Métodos para Determinação do Valor Característico da Resistência

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MADEIRA
arquitetura
e engenharia
nº
14 artigo 4
Métodos para Determinação do Valor Característico
da Resistência à Compressão Paralela às Fibras da
Madeira
Edna Moura Pinto, Universidade de São Paulo, Interunidades em Ciência e Engenharia
de Materiais, São Carlos, SP. E-mail: [email protected]
Mariano Martinez Espinosa, Universidade Federal de Mato Grosso (UFMT)- Instituto de
Ciências de Exatas e da Terra (ICET - Departamento de Estatística), Cuiabá, MT. E-mail:
[email protected]
Carlito Calil Junior, Universidade de São Paulo, Escola de Engenharia de São Carlos,
Departamento de Engenharia de Estruturas, São Carlos, SP. E-mail: [email protected]
Resumo: Os métodos para determinação dos valores característicos por meio da teoria de
probabilidade, dada pela Norma Brasileira de Projeto de Estruturas NBR 7190 (1997)(1)
pressupõe a condição de normalidade dos dados analisados, fazendo-se necessária a
verificação dos dados, bem como a existência de um tamanho amostral grande ( n > 30) e um
coeficiente de variação de 18% para o cálculo adequado do valor. No entanto, a teoria dos
percentis se apresentou como uma alternativa para a determinação empírica deste valor
quando tais pressupostos não são satisfeitos pelo conjunto de dados, desconsiderando até
mesmo a sua distribuição, Martinez e Calil (2000)(4). Este trabalho tem por finalidade realizar
um estudo comparativo entre o valor característico obtido por meio da teoria de percentis para
dados agrupados e pelos métodos da determinação direta dados pela referida Norma. Para
esta inquirição foram utilizados dados de ensaios experimentais realizados no Laboratório de
Madeiras e Estruturas de Madeira (LaMEM/SET/EESC/USP) com uma espécie do gênero
Eucalyptus (grandis) constatando a melhor adequação dos resultados a partir da utilização do
método dos percentis.
Palavras-chave: Madeira, norma, valor característico, estatística descritiva, inferência
estatística.
Abstract: The methods for determination of the characteristic values by means of the theory of
probability, given for the Brazilian Timber Structure Design NBR 7190 (1997)(1) estimates the
condition of normality of the analyzed data, making the size of sample making necessary the
verification of such hypothesis and possible transformation of the data for the adequate
calculation of the value in the case of the distributions to be asymmetrical, as presented by
Martinez e Calil (2000)(4).This indicated the theory of the percentiles as an alternative for the
empirical determination of this value without having that to consider the distribution of the data.
In this way this work has for purpose to carry through a comparative study enters the
characteristic value gotten by means of the theory of percentiles and for the method of the direct
determination data for the related standard. With the purpose of this inquiry they will be used
given of experimental assays carried through in the Laboratory of timber and wood structures
(LaMEM/SET/EESC/USP) with one species of the Eucalyptus grandis.
Keywords: timber, standard, characteristic value, descriptive statistics, statistics inference.
MADEIRA: arquitetura e engenharia, quadrimestral, setembro a dezembro, 2004, ISSN 1806-6097
1. Introdução
A utilização do valor característico para a determinação da resistência da madeira proporcionou
um grande avanço na determinação da segurança para o dimensionamento estrutural de
madeira. Este valor obtido de dados experimentais são determinados por meio de expressões
fornecidas pela NBR 7190 (1997)(1), fazendo uso de métodos probabilísticos. No entanto, o
tamanho da amostra, bem como a variabilidade e a distribuição dos dados podem interferir na
correta determinação deste valor. Neste sentido, este trabalho tem por objetivo realizar um
estudo comparativo entre os métodos utilizados para determinação do valor característico
propostos pela NBR 7190 (1997)(1) e o método da teoria dos percentis para dados agrupados,
Martinez e Calil (2000)(4), a fim de constatar situações onde a suposição de normalidade dos
dados não seja adequada.
2. Fundamentação teórica
Para determinação do valor característico foi utilizada a teoria de probabilidade apresentada
pela NBR 7190 (1997)(1) e a teoria dos percentis para dados agrupados, Martinez e Calil
(2000)(4), considerando um exemplo com dados agrupados em classes, com um tamanho de
amostragem maior que 30 ( n > 30).
2.1 Métodos propostos pela NBR 7190
Empregam-se dois métodos:
2.1.1) O método probabilístico
O método probabilístico proposto pela NBR 7190(1) para determinar o valor característico supõe
que os dados tenham uma distribuição normal com n grande ( n > 30) e coeficiente de variação
de 18%. Portanto, para a determinação deste valor é necessário primeiramente verificar se os
dados se adequam a uma distribuição normal, Martinez e Calil (2000)(4). Se os dados se
aderem a esta distribuição, a eq. (1) pode ser utilizada; caso contrário deve ser feita uma
transformação adequada dos dados ou utilizar distribuições assimétricas, Martinez et al
(2003)(3). Cabe ressaltar que para utilização da eq. (1), não é necessário agrupar os dados em
classes.
f c 0, k = y − 1,64 × s ,
(1)
onde:
f c 0, k
é o valor característico de resistência à compressão paralela às fibras;
y é o valor médio da resistência;
s é o desvio padrão;
1,64
valor obtido da tabela de distribuição normal padronizada considerando uma
probabilidade de 5%.
2.1.2 O método do Estimador Estatístico
A determinação do valor característico das propriedades da madeira por este método, utiliza a
eq. (2) onde os resultados devem ser colocados em ordem crescente x1 ≤ x 2 ≤ ... ≤ x n
desprezando-se o valor mais alto se o número de corpos de prova for ímpar, não se tomando
para f c 0, k valor inferior a x1 , nem a 0,7 do valor médio x m , NBR 7190 (1997)(1).
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f c 0, k




f c 0,1 + f c 0, 2 + ... + f c , 0 n −1
2
= 2×
− f c ,0 n  × 1,1 ,
2 
n

−1


2


(2)
onde:
f c 0, k
é o valor característico de resistência a compressão paralela;
n é o número de observações;
f c , 0,i são valores de resistência a compressão, para i = 1,..., n .
2.2 Método dos Percentis para dados agrupados
É determinado pela seguinte expressão Martinez et al (2004)(2):
Pp = LIR p +
(np − Fi −1 )
W,
fi
(3)
onde:
LIR P é o limite inferior real da classe do percentil;
n é o número de observações;
p é a percentagem desejada;
Fi −1 é a freqüência acumulada da classe que precede à classe do percentil;
f i é a freqüência observada da classe do percentil;
W é a amplitude de classe.
Observa-se que para determinar o valor característico por meio da eq. (3) é necessário agrupar
os dados em classes, em uma distribuição de freqüências. Deve-se portanto utilizar uma
amostra grande ( n > 30).
3. Materiais e Métodos
Para este estudo, realizado no Laboratório de Madeiras e de Estruturas de Madeira (LaMEM)
do Departamento de Estruturas da Escola de Engenharia de São Carlos da Universidade de
São Paulo/USP, foi empregada a máquina universal Amsler para realização dos ensaios de
compressão, com a finalidade de determinar os valores de resistência da madeira.
Os corpos-de-prova para ensaios de compressão paralela as fibras foram retirados com as
seguintes dimensões: 5,0 x 5,0 x 15,00 cm em conformidade com a NBR 7190 (1997)(1), como
ilustram as fig. 1 e 2.
O método de amostragem aleatório simples foi utilizado na seleção dos corpos-de-prova, de
onde foram extraídos ao azar 100 corpos de prova, Martinez et al (2000)(5). Os procedimentos
experimentais foram baseados na NBR 7190 (1997)(1) e os resultados apresentados foram
ajustados para o teor de umidade de 12%.
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F
Figura 1 – Dimensões do corpo de prova para
ensaio de compressão paralela às fibras.
F
Figura 2- Arranjo de ensaio para compressão
paralela às fibras, com instrumentação baseada em
relógios comparadores.
4. Resultados e Discussões
Na tab. 1 são apresentados os resultados de ensaios de compressão paralela às fibras
referente 100 corpos de prova de madeira de E. grandis.
4.1 Exemplo
Utiliza resultados de ensaios para caracterização mínima por compressão paralela às fibras de
madeira das espécies de Eucaliptus grandis, realizados no Laboratório de Madeira e de
Estruturas de Madeira do Departamento de Estruturas da Escola de Engenharia de São Carlos.
Tabela 1 - Resistência a compressão paralela às fibra (fc0) de 100 corpos de prova de madeira
da espécis E. grandis, ensaiados no LaMEM/SET/EESC/USP, em 2000.
24,5
29,1
31,5
33,7
25,7
29,1
32,2
33,8
26,0
29,1
32,2
34,0
27,2
29,6
32,4
34,1
27,4
30,4
32,6
34,3
28,2
30,6
32,6
34,6
28,5
30,9
32,7
34,9
28,8
31,1
32,7
35,8
28,9
31,1
33,2
36,1
28,9
31,2
33,5
36,1
(4)
Fonte: Martinez e Calil (2000) .
36,2
36,3
36,5
36,6
36,7
36,7
36,8
37,2
37,2
37,4
37,6
37,8
38,5
38,7
39,5
40,2
40,3
40,8
41,1
41,2
41,1
42,1
42,1
42,2
42,3
42,6
43,3
43,4
43,6
44,8
44,9
45,2
45,8
46,3
46,8
47,1
47,5
47,7
48,3
48,5
48,9
49,3
49,7
49,8
52,0
52,1
52,3
54,1
55,6
57,2
57,5
58,6
60,3
62,1
63,1
64,4
66,1
67,2
68,5
71,1
A média ( y ), a variância ( s 2 ), o desvio padrão ( s ) e o coeficiente de variação para os dados
não agrupados da tab. 3, são apresentados a seguir:
y = 40,68MPa
s2=115,86
s=10,76
CV=26,5%
Na fig. 3 é apresentado o histograma dos dados da tab. 1.
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25
Porcentagem
20
15
10
5
0
30
40
50
Resistência
60
70
Figura 3 – Histograma de distribuição dos dados de resistência para os valores da tab. 1.
a) O valor característico da resistência à compressão paralela às fibras, determinado pela eq.
(1), para os dados não agrupados da tab. 1 é:
f c 0, k = 40,68 − 1,64 ×10,76 = 23,3 MPa
Observe que os dados da tab. 1 são assimétricos à direita, como podemos constatar por meio
do histograma apresentado pela fig. 3. A assimetria à direita é mostrada quando existe maior
concentração das freqüências à esquerda, isso indica que os dados não têm uma distribuição
normal. Portanto o valor obtido de 23,3 MPa não é correto, uma vez que a eq. (1) supõe uma
simetria dos dados. Além disso, o valor do coeficiente de variação para este exemplo indica
uma grande variabilidade dos dados, observe que este valor de CV=26,5% é superior aos 18 %
indicado pela NBR 7190(1), o que indica que a utilização da eq. (2), neste caso, conduziria a
resultados inadequados.
b) O valor característico da resistência a compressão paralela às fibras determinado segundo a
eq. (2), dada pela NBR 7190(1):
f c 0,k




24
,
5
25
,
7
37
,
2
+
+
L
+
− 37,4  × 1,1 = 29,77 MPa
= 2×
100


−1


2


Deve-se considerar que o valor para f c 0, k não deve ser inferior a x1 , nem a 0,7 do valor
médio x m , respectivamente 24,5 MPa e 28,5 MPa.
c) O valor característico da resistência à compressão paralela às fibras determinado pela teoria
dos percentis, segundo a eq. (3), utilizando a tab. 2 é dado por:
100 × 0,05 − 0
f c 0, k =P =
5% 24,8 +
× 6,6 = 26,5 MPa.
20
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Tabela 2- Distribuição de freqüência para os resultados de ensaios de resistência à
compressão paralela às fibra (fc0) de 100 corpos de prova de madeira da espécie E. grandis,
ensaiados no LaMEM/SET/EESC/USP, em 2000.
Classes
fi
Freqüência
[24,8;31,4)
[31,4;38,0)
[38,0;44,6)
[44,6;51,2)
[51,2;57,8)
[57,8;64,4)
[64,4;71,0)
[71,0;77,6)
Total
20,0
32,0
17,0
15,0
7,0
4,0
4,0
1,0
100,0
fr
mi Ponto
Fi
Freqüência
relativa
0,20
0,32
0,17
0,15
0,07
0,04
0,04
0,01
1,00
médio da
classe
28,1
34,7
41,3
47,9
55,5
61,1
67,7
74,3
Freqüência
acumulada
20
52
69
84
91
95
99
100
mi − y
(mi − y ) 2 f i
-12,58
-5,98
0,62
7,22
14,82
20,42
27,02
33,62
3165,13
1144,33
6,53
781,92
1537,42
1667,90
2920,32
1130,30
12353,85
5. Conclusões
Podemos concluir com este trabalho que a eq. (3), equação dos percentis, se apresenta mais
adequada para determinação do valor característico em distribuições assimétricas, como é
comum em dados obtidos em ensaios com madeira. Nestes casos a aplicação da eq. (1) deve
seguir as recomendações de Martinez e Calil (2000)(4). O uso da eq. (2) proposta pela NBR
7190 para os exemplos considerados apresentou um erro não conservador de até 12%.
6. Agradecimentos
Os autores agradecem à Capes e a FAPESP pelo apoio financeiro direcionado à esta
pesquisa.
7. Referências bibliográficas
(1) Associação Brasileira de Normas Técnicas (1997). NBR 7190 – Projeto de estruturas de
madeira. Rio de Janeiro.
(2) MARTÍNEZ, E. M.; LOUZADA, F. N.; GALVÃO, B.; CALIL, C. J. (2004). Estatística geral
com aplicações à engenharia. Livro aceito para publicação na Editora Atlas S.A., em processo
final de produção editorial. São Paulo-SP.
(3) MARTÍNEZ, E. M.; CALIL, C. J.; ROCCO LAHR, F. A. (2003). Métodos Paramétricos e nãoParamétricos para Determinar o Valor Característico em Resultados de ensaios de Madeira.
Artigo submetido à publicação na Revista SCIENTIA FORESTALIS.
(4) MARTÍNEZ, M. E.; CALIL, C. J. (2000) Determinação do valor característico da resistência
da madeira: distribuições de probabilidades simétricas e assimétricas. Revista Madeira:
Arquitetura e Engenharia. Ano 1, n. 2/ ISSN: 1516-2850, p.25-30, mai/ago, .
(5) MARTÍNEZ, M. E.; CALIL, C. J.; SALES, A. (2000) Um método de mustreo para la
determinación de las propiedades físicas y mecánicas de la madera. Revista Madeira: Madera
Ciência y Tecnologia, v.2, n.1, p. 5-20. ISSN: 01717-3644, 2000c.
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