Comportamento ondulatório da matéria

Comportamento ondulatório da
matéria
Louis de Broglie investigou as propriedades ondulatórias da matéria na
década de 30. Ele supôs que o e-, em seu movimento ao redor do núcleo,
tinha associado a ele um λ. Ele igualou as duas expressões conhecidas de
energia:
Erel = Eñ-rel
mc2=hν
mc2=hc/ λ
Isolando-se λ e substituindo-se c por v:
h
λ=
mv
Comportamento ondulatório da
matéria
λ=
h
mv
Como a hipótese de De Broglie é aplicável a toda matéria, qualquer objeto de
massa m e velocidade v originaria uma onda de matéria característica. No
entanto, o comprimento de onda de um objeto de tamanho comum, como uma
bola de golfe, é tão minúsculo que estará fora da faixa de qualquer observação
possível. Isso não é o caso de um e- porque sua massa é muito pequena.
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Comportamento ondulatório da
matéria
Qual o comprimento de onda de um e- com velocidade de 5,97 x 106 m/s?
 1kgm 2 / s 2  103 g 
h
(6,63x10 −34 J .s )



λ=
=
mv (9,11x10 −28 g ) x(5,97 x10 6 m / s ) 
1J
1
kg


= 1,22 x10 −10 m = 0,122nm
Comparando esses valores com os comprimentos de onda de radiações
eletromagnéticas (espectro eletromagnético), observa-se que o comprimento de
onda desse e- apresenta aproximadamente um comprimento de onda da mesma
ordem das ondas de raios X.
Posteriormente, a Teoria de De Broglie foi comprovada por experimentos de
difração de e- e de raios X em cristais.
Comportamento ondulatório da
matéria
O Princípio da Incerteza de Heisenberg
A onda produzida pelo movimento ondulatório do e- estende-se no espaço e sua
localização não é definida de maneira precisa. Assim, é impossível determinar
com precisão onde um e- está localizado em um tempo determinado.
O físico Werner Heisenberg concluiu que a natureza dual da material coloca uma
limitação sobre como podemos determinar precisamente, e de maneira
simultânea, a posição e o momentum de qualquer objeto, das dimensões de um
átomo.
Heisenberg relacionou matematicamente a incerteza da posição (∆x) e o
momento (m∆v):
(∆x).(m∆v) ≥
h
4π
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O Princípio da Incerteza de Heisenberg
Um cálculo rápido e relativamente simples ilustra as implicações do Princípio da
Incerteza, tomando-se um e- movendo-se em um átomo de hidrogênio.
Vamos supor que a velocidade do e- seja de 5 x 106 m/s e que podemos
conhecer o valor exato dessa velocidade com uma incerteza de 1% e que essa
é a única fonte de incerteza no momentum. Utilizando a equação de
Heisenberg, Simplificadamente, na forma de uma igualdade, temos:
h
(6,63x10 −34 J .s)
∆x ≥
=
= 1x10 −9 m
4π .m.∆v 4π (9,11x10 −31 kg )(5 x10 4 m / s)
Uma vez que o diâmetro de um átomo de hidrogênio é de 2x10-10 m, a
incerteza é muito maior do que o tamanho do átomo.
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O modelo atômico da mecânica ondulatória (quântica)
A mecânica quântica combina os aspectos quantizados do modelo de Bohr com as
idéias do movimento ondulatório dos e-. Segundo o Princípio da Incerteza, tudo que
podemos conhecer a respeito da posição do e- é muito incerto.
Assim, a M.Q. descreve equações de onda para descrever o comportamento do e-,
independente do tempo, para partículas subatômicas movendo-se num
espaço em três dimensões (x,y,z).
∂ 2 Ψ ∂ 2 Ψ ∂ 2 Ψ 8π 2 m
+ 2 + 2 + 2 ( E − V )Ψ = 0
2
∂x
∂y
∂z
h
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Princípios de Mecânica Quântica
Busca-se um modelo que descreve precisamente a energia do e-, definindo-se sua
Localização em termos de probabilidades. Em 1926, Erwin Schroedinger propôs um
Modelo que incorporava o caráter ondulatório das partículas sub-atômicas.
Em suas equações ondulatórias, Schroedinger descreve funções matemáticas cujas
soluções são denominadas funções de onda. Essas funções são geralmente
representadas pelo símbolo ψ (psi). O valor de ψ está relacionado com a amplitude
da onda. Porém, o valor de ψ2 representa a probabilidade de encontrar o e- em uma
dada região espacial. Assim, ψ2 é chamado de densidade de probabilidade.
Comportamento ondulatório da matéria
O modelo atômico da mecânica ondulatória (quântica)
A equação ondulatória quantizada de Schroedinger:
∂ 2 Ψ ∂ 2 Ψ ∂ 2 Ψ 8π 2 m
+ 2 + 2 + 2 ( E − V )Ψ = 0
2
∂x
∂y
∂z
h
ψ(x,y,z) = função de onda
x,y,z = coordenadas espaciais (cartesianas)
m= massa da partícula
E= energia total da partícula
∂2Ψ
∂x 2
∂ 2Ψ
∂y 2
∂ 2Ψ
∂z 2
Segundas derivadas parciais
V= energia potencial da partícula
h= constante de planck
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O modelo atômico da mecânica ondulatória (quântica)
A equação ondulatória quantizada de Schroedinger:
Representação simplificada
Representação em projeção
Posição de uma partícula P em um espaço cartesiano x,y,z.
O modelo atômico da mecânica ondulatória (quântica)
A equação ondulatória quantizada de Schroedinger:
As funções de onda que descrevem possíveis posições de um e- em
Um átomo apresentam algumas limitações:
1- A função de onda deve ser unívoca (isto é, para cada ponto do espaço
a função só pode ter um valor);
2- A função de onda deve ser contínua (isto é, não pode haver pontos do espaço
para os quais a função não tenha um valor específico);
3- A função de onda deve ser nula no infinito;
4- A função de onda deve ser normada (ou normatizada), o que quer dizer que a
probabilidade de encontrar o e- em todo o espaço dever ser unitária (100% de
chance). Em outras palavras, a seguinte condição deve ser obedecida:
∫ψ
2
( x, y, z )dv = 1
v
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Comportamento ondulatório da matéria
Curvas de densidade de probabilidade
Comportamento ondulatório da matéria
Curvas de densidade de probabilidade
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Comportamento ondulatório da matéria
Curvas de densidade de probabilidade
Comportamento ondulatório da
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Princípios de Mecânica Quântica
A solução da equação de Schroedinger para o átomo de hidrogênio produz
um conjunto de funções de onda e energias correspondentes. Essas funções de
onda são chamadas de Orbitais.
Observe que um orbital (modelo da mecânica quântica) não é o mesmo que
órbita (modelo de Bohr), pois o movimento de um e- em um átomo não pode ser
medido ou localizado com precisão (Princípio da Incerteza).
Cada orbital descreve uma distribuição específica de densidade eletrônica no
espaço, tendo energia e forma características.
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Princípios de Mecânica Quântica
O orbital s tem simetria esférica ao redor do núcleo.
A função densidade eletrônica apresenta n-1 nós, nos quais a probabilidade tende a zero.
Nestes casos, a probabilidade de encontrar o elétron se concentra a certa distância do núcleo.
Comportamento ondulatório da
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Princípios de Mecânica Quântica
A forma geométrica dos orbitais p é a de duas esferas achatadas até o ponto de contato
(o núcleo atómico ) e orientadas segundo os eixos de coordenadas.
Os orbitais p apresentam n-2 nós radiais na densidade eletrônica. À medida que aumenta o valor
do número quântico principal, a probabilidade de encontrar o elétron afasta-se do
núcleo atômico.
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Princípios de Mecânica Quântica
Os orbitais d tem uma forma mais diversificada:
quatro deles têm forma de 4 lóbulos de sinais alternados
(dois planos nodais, em diferentes orientações espaciais ), e
o último é um duplo lóbulo rodeado por um anel ( um duplo cone nodal ).
Seguindo a mesma tendência, apresentam n-3 nós radiais.
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Princípios de Mecânica Quântica
Números quânticos e orbitais
O modelo de Bohr introduziu um único número quântico, n. O modelo da M.Q.
usa três números quânticos, n,l e m, para descrever um orbital.
1. O número quântico principal, n, pode ter valores positivos e inteiros de
1,2,3... À medida que n aumenta, o orbital torna-se maior, e o e- passa mais
tempo distante do núcleo. Um aumento de n significa que o e- tem energia alta e
está menos fortemente preso ao núcleo.
2. O segundo número quântico, o número azimutal (l), pode ter valores inteiros de
0 a n-1 para cada valor de n. Esse número quântico define o formato do orbital. O
valor de l é normalmente assinalado pelas letras s, p, d e f, correspondendo aos
valores de l de 0, 1, 2 e 3, respectivamente.
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Princípios de Mecânica Quântica
Números quânticos e orbitais
3. Número quântico magnético, que pode ter valores entre –l e +l, incluindo
O zero. Esse número quântico descreve a orientação do orbital no espaço.
O conjunto de orbitais com o mesmo valor de n é chamado nível eletrônico.
Assim, por exemplo, todos os orbitais que têm n=3 são chamados orbitais do
Terceiro nível.
A combinação dos números quânticos nos dá a relação que existe entre
Os valores de n, l e m, até n=4. Em outras palavras, ela fornece o tipo e
quantidade de orbitais que podem existir em cada nível eletrônico.
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