Professor: Luiz Fernando Jorge da Cunha

UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
BACHARELADO EM COMPUTAÇÃO
AULA- 2
2015-2
MOVIMENTO UNIFORMEMENTE VARIADO
Movimento Uniformemente Variado é aquele em que a velocidade é variável e a
aceleração é constante e não nula.
- Função Horária do MUV.
a) V= f (t)
to = 0
am 
a
v v  v0


t t  t 0
v  v0
t
t
a m  a  cons tan te
V  V0  a.t
onde Vo = Velocidade Inicial
a = Aceleração
t = Tempo
b) S= f(t)
S
So
V
Vo
0
to = 0
t
2
É uma reta ( 1º Grau)
V
V
Vo
S
0
t
t
Logo a área do trapézio nos fornece o espaço percorrido S
V  Vo
.t
2
Vo  a .t  Vo
S  So 
.t
2
2Vo  a.t  t
S  So 
2
a. t 2
S  So  Vo. t 
2
S 
1
S  So  Vo. t  . a. t 2
2
S  S  So
V  Vo  a.t
3
EQUAÇÃO DE TORRICELLI
As duas funções vistas até agora , nos permitem saber a posição do móvel e
sua velocidade em relação ao tempo. Dessa forma Torricelli , desenvolveu uma
equação para conhecer a velocidade, sem ter o tempo.
S  So  Vo. t 
1
. a. t 2
2
V  Vo  a. t
Isolando t na equação ( II) e substituindo na ( I ) vem:
t
v  v0
a
 v  v0  1  v  v0 
S  S 0  V0 .
  .a

 a  2  a 
v .v  v02 1 v 2  2.v.v0  v02
S  S0  0
 .a
a
2
a2
S  S 0 v0 .v  v02 v 2  2.v.v0  v02


1
a
2a
2
2a .S  S 0   2.v0 .v  2v02  v 2  2.v.v0  v02
2a S  S 0   v02  v 2
v 2  v02  2.aS  S 0 
v 2  v02  2. a. S
(I)
( II )
4
QUEDA LIVRE DOS CORPOS
A terra exerce uma força sobre todos os corpos colocados em torno da mesma.
Esta região em que atua esta força (pêso) é denominada de campo gravitacional.
A força pêso é sempre dirigida para o centro da terra.
A aceleração que age sobre um corpo em queda livre é constante e denominada
de aceleração da gravidade, representada pela letra ( g) , cujo valor é
aproximadamente g= 9,8 m/s2
LANÇAMENTO VERTICAL
PARA CIMA
- Na subida , a aceleração da gravidade é negativa, pois é contraria ao sentido
positivo da trajetória.
- No instante em que o corpo atinge a altura máxima ( hmáx) sua velocidade é
zero.
- Na subida o movimento é uniformemente retardado.
Sentido da
Trajetória
V=0
hmáx
Vo
5
LANÇAMENTO VERTICAL
PARA BAIXO
- Na descida a aceleração da gravidade é positiva, pois concorda com o sentido
positivo da trajetória.
- Na descida o movimento é uniformemente acelerado.
- Quando se diz que o corpo foi abandonado, sua velocidade inicial é zero. ( Vo=0
)
Sentido da
Trajetória
g
Vo
6
-GRÁFICOS DO M.U.V
a) S= f (t)
S  S 0  V0 .t 
S
1 2
a.t
2
S
 0
0
 0
t
0
t
O vértice da parábola do gráfico S= f(t) corresponde ao instante em que o móvel
muda de sentido.
b) V= f (t)
V
V2

V1
V
t
t1
tg 
V V2  V1

a
t
t 2  t1
-No gráfico V= f(t) , a tg  = aceleração.
t2
t
7
c) a= f (t)
a
a
a  cte  0
0
t
0
t
a  cte  0
No gráfico a = f(t) , a área compreendida entre os instantes t1 e t2 = S
a
a1
V
t1
t2
t
8
Exercícios
01-Exercicio –
Um automovel deve percorrer um trecho reto de uma rodovia com velocidade
escalar média igual a 90 km/h, gastando 15 minutos para isto. Entretanto,
dificuldades imprevistas fizeram com que nos primeiros 5 minutos a velocidade
desenvolvida fosse 54 km/h. Determine a aceleração escalar média do automóvel,
a partir dos 5 minutos iniciais para que seja possível manter a velocidade escalar
média de 90 km/h.
02-Exercicio
O gráfico abaixo representa a velocidade, em funçào do tempo de um movel
que executa movimento uniformemente variado.
V (m/s)
20
9
0
-16
5
t (s)
Determine:
a) a velocidade inicial (Vo) e a aceleração (a)
b) O instante em que o móvel para
c) Os intervalos de tempo em que o móvel executa movimento acelerado ou
retardado.
d) O deslocamento do móvel de 0 a 9s.
9
03-Exercício:
O Motorista de um automóvel que se desloca numa trajetória retilínea vê uma
criança 50m a sua frente, quando sua velocidade é de 72 Km/h. Verificar se o
motorista conseguirá evitar o atropelamento, acionando os freios com uma
aceleração constante de 5 m/s2.
04-Exercício
De um helicóptero que desce verticalmente é abandonada uma pedra, quando ele
se encontra a 100 m do solo. Sabendo-se qu a pedra leva 4s para atingir o solo,
determine a velocidade de descida do helicóptero, no momento em que a pedra é
abandonada.
05- Exercício:
Um corpo se movimenta sobre o eixo x com aceleração constante, de acordo com
a equação horária X  2  2t  2t 2 em que t é dado em segundos e x em
metros. Determine a velocidade média entre os instantes t=0 e t=2s.
10
06-Exercício:
Uma bala sai do O cano de um fuzil com velocidade de 500 m/s. Sabendo que o
comprimento do cano é de 60 cm. Determine:
a) A aceleração da bala dentro do cano
b) O tempo que a bala demora para sair do cano.
07-Exercício- Um projétil é lançado verticalmente de baixo para cima com
velocidade inicial de 200 m/s e 8,0 segundos depois ouve-se a sua explosão no
ponto de lançamento. Calcule o tempo ( t1 ) desde o lançamento até o instante da
explosão e sua velocidade ( V1 ) nesse instante.
08-Exercício:
Um avião na decolagem, percorre a partir do repouso e, sobre a pista 600m em
15s, com aceleração constante. Determine a velocidade de decolagem do avião.
Vo=0
11
09-Exercício
O diagrama abaixo representa a velocidade de uma partícula em função do tempo.
V(m/s)
40
0

20


40
60
t (s)
-40
a) Trace o diagrama da aceleração em função do tempo.
b) Determine a variação de espaço ocorrida durante os 60s de movimento.
10-Exercicio
Um automóvel, avançando a velocidade de 36 km/h, sofre uma colisão frontal
contra um muro de concreto. Observa-se que o carro para completamente após
amassar 0,50m de sua parte frontal. Determine a desaceleração do carro suposta
constante durante a colisão.
12
11-Exercício:
Um corpo é abandonado do alto de uma torre de 100m de altura em relação ao
solo. Desprezando a resistência do ar e admitindo g= 10 m/s2 . Determine:
a)
b)
c)
d)
a Função S= f(t)\
a Função V= f(t)
O tempo gasto para atingir o solo
A velocidade ao atingir o solo.
12- Exercicio
Uma composição ferroviária ( 19 vagões e uma locomotiva) desloca-se a 20m/s.
Sendo o comprimento de cada elemento da composição 10m, qual é o tempo que
o trem gasta para ultrapassar:
a) Um sinaleiro
b) Uma ponte de 100m de comprimento.
13-Exercício
Um percurso de 310 km deve ser feito por um ônibus em 5 horas. O primeiro
trecho de 100 km é percorrido com velocidade média de 50 km/h, e o segundo
trecho de 90 km com velocidade média de 60 km/h. Que velocidade média deve
ter o ônibus no trecho restante para que a viagem se efetue no tempo previsto
13
14-Exercicio- Uma pista de autorama tem a forma de uma circunferência de raio
4/  metros. Dois carrinhos, um verde e outro amarelo, irão disputar uma corrida,
partindo do repouso com acelerações escalares constantes e iguais a 1 m 2 e
s
m
2
, respectivamente.
s2
Quando o carrinho amarelo tiver uma volta de vantagem sobre o carrinho verde,
suas acelerações escalares se anulam. Determine:
a) As velocidades escalares dos carrinhos no momento em que as acelerações
escalares se anulam.
b) Quantas voltas o carrinho amarelo terá efetuado até o referido momento.
c) Após quanto tempo o carrinho amarelo terá completado 5 voltas a mais que
o carrinho verde.
15-Exercicio
Um caminhão-tanque desloca-se numa estrada reta com velocidade constante de
72 km/h. Devido a um vazamento, o caminhão perde água à razão de uma gota
por segundo. O motorista, vendo um obstáculo, freia o caminhão uniformemente
até parar. As manchas de água deixadas na estrada estão representadas abaixo.
Determine o valor do módulo da desaceleração durante a frenagem do caminhão.
V=72Km/h
20m
V=0
20m
18m
14m
10m
6m
2m
14
16-Exercício
Dois motociclistas (A) e (B) partem de um mesmo ponto de uma estrada retilínea
horizontal, com velocidades constantes e iguais a 36 km/h e 108 km/h,
respectivamente. Sabendo-se que se movem no mesmo sentido e que o
motociclista (B) parte 3 s após a partida de (A), determine:
a) O instante em que os dois motociclistas se encontram após a partida de A.
b) A posição do encontro.
17-Exercicio
Um carro viaja com velocidade de 90km/h num trecho retilíneo de uma estrada,
quando subitamente o motorista vê um animal parado na pista. Entre o instante
em que o motorista avista o animal parado e aquele em que começa a frear, o
carro percorre 15m. Freando o carro a uma taxa constante de 5m/s2, determine
qual a a distância mínima que o motorista deve ter percebido o animal na pista se
o motorista frear o carro à taxa constante de 5,0m/s2, para evitar o choque com o
animal.
15
18-Exercicio
Um carro de desloca numa trajetória retilínea e sua velocidade em função do
tempo, a partir do instante t=10s, está representada no gráfico abaixo:
V(m/s)
10
8
6
4
2
0
6
8
10
12
14
16
18 20
22
t(s)
Se o carro partiu do repouso e manteve uma aceleração constante até t=15s,
determine a distância percorrida, desde sua partida até atingir a velocidade de
6m/s.
19-Exercício
Dois navios N1 e N2 partem de um mesmo ponto e se deslocam sobre uma reta
com velocidades de 35 km/h e 25 km/h. A comunicação entre os dois navios é
possível, pelo rádio, enquanto a distância entre eles não ultrapassar 600 km.
Determine o tempo durante o qual os dois navios podem se comunicar, admitindo
que :
a) Os dois navios partem ao mesmo tempo e movem-se no mesmo sentido.
b) O navio mais lento parte duas horas antes do outro e movem-se no mesmo
sentido.
c) Os dois navios partem ao mesmo tempo e movem-se em sentidos opostos.
16
20-Exercicio
Um móvel parte do repouso com movimento de aceleração constante e, após 4s,
mantém sua velocidade constante como mostra o gráfico abaixo. Determine a
aceleração do móvel no intervalo de tempo de 0 a 4s.
X(m)
50
30
0
mu
mu
muv
4
6
t(s)
21-Exercício:
No instante em que um corpo é abandonado de um ponto situado a 400m acima
do solo, um outro é lançado do solo, no sentido ascendente segundo a mesma
vertical. Determine a velocidade inicial do segundo corpo para que encontre o
outro a 320 metros do solo. Adote g= 10m/s2.
17
22-Exercício: A velocidade de um ponto material em movimento sobre uma
trajetória retilínea, no decorrer do tempo é indicada no gráfico abaixo. Determine a
velocidade média do ponto material no intervalo de tempo de 0 a 8s.
V(m/s)
20
10
A1
A2
A2
A1
4
8
T (s)
23-Exercicio
Uma esfera de massa m=200 g é lançada verticalmente para baixo, dentro de um
poço. Sabe-se que a esfera atinge a água 3s depois de arremessada e que o som é
ouvido 3,2 s após o arremesso. Desprezando os efeitos do ar, determine a
velocidade final da esfera. Considere a velocidade do som no ar= 300 m/s
24-Exercício
Dois móveis A e B percorrem uma reta de acordo com os diagramas indicados
abaixo. Determine a posição e o instante do encontro desses móveis .
S(m)
17
10
2
3
10
T(s)
18
25-Exercício:
Um trem percorre 8 km entre duas estações. Se a aceleração e a desaceleração
podem ser no máximo 5 m/s2 e se as velocidades são limitadas a 80 m/s, qual o
tempo mínimo para o trem efetuar o percurso entre as duas estações ?
V(m/s)
80
t1
t 2
t 3
T (s)
26-Exercício
A velocidade de um carro é, no instante em que o motorista nota que o sinal
fechou 72 km/h. O tempo de reação do motorista é de 0,7s ( tempo de reação,
tempo decorrido entre o instante em que o motorista vê o sinal fechar até aquele
em que aplica os freios) e os freios aplicam ao carro um retardamento uniforme de
5 m/s2. Determine a distância percorrida pelo carro, do instante em que o
motorista nota que o sinal fechou até parar ?
19
27-ExercicioO gráfico abaixo mostra a velocidade de um objeto em função do tempo, em
movimento ao longo do eixo x. Sabendo-se que, no instante t=0, a posição do
objeto é x=-10m, determine a equação x(t) para a posição do objeto em função
do tempo.
V(m/s)
30
20
10
0
-10
-20
-30
0
10
20
30
40
50
t(s)
Exercício-28:
De um ponto a 80m do solo um pequeno objeto P é abandonado e cai em direção
ao solo. Outro corpo Q, um segundo antes, havia sido atirado para baixo, na
mesma vertical, de um ponto a 180m do solo. Adote g= 10m/s2, e despreze a
ação do ar sobre os corpos. Sabendo-se que eles chegam juntos ao solo,
determine a velocidade com que o corpo Q foi atirado em m/s.
20
29-Exercício:
Um corpo é lançado verticalmente para cima com velocidade tal que pode ser
apanhado 4,0 s após o lançamento e 0,4s após iniciado o movimento descendente.
Determine:
a) Com que velocidade ele é apanhado
b) Qual a velocidade de lançamento.
c) Quanto tempo ele leva para atingir o ponto mais alto da trajetória.
30-Exercício:
Um móvel percorre uma trajetória circular de raio 10m, de acordo com a função
V= 5+ 3t. Determine os módulos das acelerações tangencial e centrípeta e
resultante no instante t= 5s.
31-Exercício:
Um trem de metrô parte de uma estação com aceleração Uniforme até atingir,
após 10s, a velocidade de 90 Km/h, que é mantida durante 10s, até parar na
estação seguinte:
a) Represente graficamente a velocidade em função do tempo.
b) Calcule a distância entre as duas estações.
21
32-Exercício: Do topo de uma plataforma de altura igual a 25m, lança-se
verticalmente para cima uma bola de tênis, com velocidade inicial em modulo,
igual a 20 m/s. Desprezando o atrito com o ar, determine o modulo da velocidade
com que a bola atinge o solo.
33-Exercício
Um corpo abandonado de uma altura H, percorre 25m no ultimo segundo de
queda. Desprezando a resistência do ar e adotando g=10m/s2, determine o valor
de H.
34-Exercício:
Um balão está subindo a razão de 15 m/s e encontra-se a uma altura de 90m
acima do solo, quando dele se solta uma pedra. Quanto tempo leva a pedra para
atingir o solo ?
22
35-Exercício:
Dois moveis A e B são lançados verticalmente para cima com a mesma velocidade
inicial de 40 m/s do topo de um edifício de 30m de altura. O móvel B é lançado 3s
após o lançamento do móvel A. Desprezando a resistência do ar e adotando g =
10m/s2, determine:
a) O instante em que os moveis se encontram a partir do instante em que o
segundo foi lançado.
b) As velocidades de A e B nesse instante.
36-Exercício:
Um trem dotado de velocidade constante igual a 90 km/h corre sobre trilhos
horizontais no instante em que uma lanterna se despreende de um ponto situado
na sua traseira a 5,0m do solo. Determine a distância percorrida pelo trem, no
intervalo de tempo gasto pela lanterna para atingir o solo.
Exercicio 37A função horária do movimento de uma partícula é expressa por S  t 2  10t  24 .
Determine a posição do móvel ao mudar de sentido.