A mão de DEUS na natureza... Seqüência de FIBONACCI

A mão de DEUS na natureza...
Seqüência de FIBONACCI...
Números áureos...
Proporção áurea
Cassiopeia Stars
Elaboração: Avides Reis de Faria
1
Quem foi FIBONACCI
Fibonacci dedicou-se ao estudo dos números áureos...
O seu nome completo era Leonardo de Pisa.
Ficou conhecido como Fibonacci, devido ao fato de
Fibonacci ser um diminutivo de fillius Bonacci, que queria
provavelmente dizer filho de Bonacci.
Nasceu em Pisa (Itália) por volta de 1175.
2
•
•
•
•
Entre outros livros, Fibonacci escreveu o Liber abacci, em 1202.
Foi neste livro que Fibonacci falou pela primeira vez da questão
observada nos coelhos.
Notou que: o número de pares de coelhos em determinado mês, é a
soma dos pares de coelhos existentes nos dois meses anteriores a
este.
Matematicamente, tem-se: Fn = Fn-1 + Fn-2 (no. Natural)
Sequencia
de Fibonacci
A MÃO DE DEUS ... nos animais
3
A sequencia de FIBONACCI... e a Proporção Áurea
O quociente entre estes dois números tende, no infinito, para o quociente áureo perfeito,
assim:
0+1=1
1 + 1 = 2..................................................................................................................................1 / 2 = 0,5.
1 + 2 = 3, ..........................................................................................................................2 / 3 = 0,66666666
2 + 3 = 5, ....................................................................................................................3 / 5 = 0,6............
3 + 5 = 8, ..............................................................................................................5 / 8 = 0,625........
5 + 8 = 13, ..................................................................................................8 / 13 = 0,6153846..
8 + 13 = 21, ........................................................................................13 / 21 = 0,6190476.
13 + 21 = 34, ...............................................................................21 / 34 = 0,617647..
21 + 34 = 55, ..................................................................... 34 / 55 = 0,6181818
34 + 55 = 89, ............................................................. 55 / 89 = 0,6179775.
55 + 89 = 144, ..................................................89 / 144 = 0,6180555.
89 + 144 = 233, ...................................144 / 233 = 0,6180257.
144 + 233 = 377,.......................... 233 / 377 = 0,6180371.
233 + 377= 610..................
E assim sucessivamente........tendendo no infinito para
φ = Fib(∞) / Fib(∞-1) = 0,6180338
Notar que 0,618..é equivalente a 61,8 % apr., ou 2/3 de um todo qualquer !!!
Tem-se assim a seqüência de FIBONACCI, estruturada nos NÚMEROS ÁUREOS:
123581321345589144233377610...........
segue-se sucessivamente !
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Números Áureos – Proporção áurea
- Os “NÚMEROS
ÁUREOS” estão associados ao número 5;
- Na Idade Média, Bhaskara, demonstrou que, no triangulo retângulo, „o quadrado da
hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos catetos‟.
Conforme Bahaskara, para a reta:
A
G
( 1-g )
B
g
g = -1√ 5 / 2
:
Φ = 1,6180338...
φ = 0,6180338...
Cujas raízes são
tem-se:
OS NÚMEROS ÁUREOS:
(phi) Φ = 1,6180338...
Φ
= 0,6180338...
Notar que Φ = Φ + 1
5
Retângulos áureos
e
Quadrados de Fibonacci
6
A harmonia áurea no comando da criação
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Segundo Fibonati, esta série ocorre na Natureza quando os objetos, seres e
formatos são curvos, desde o Macrocosmo, como as galáxias de estrelas, como
no Microcosmo como nos vórtices, nas espirais em frutas e flores, e seres
microscópicos etc., sendo seu traçado derivado de uma estrutura de
retângulos justapostos, com medidas desta série.
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A seqüência de FIBONACCI ... a natureza !
... a mão de D E U S
9
A FORMA DAS
GALAXIAS
Olhe para o Universo...
E veja a mão de DEUS !
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Outras Galáxias no
Macrocosmo
11
A harmonia áurea no comando da criação
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Também no microcosmo...a natureza é decifrada por Fibonacci
A mão de
DEUS
nas conchas
13
8
5
A mão de DEUS...
nas árvores...
3
2
1
0
13
A mão de DEUS...
nas flores...
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A mão de DEUS... nas flores...
Na pétalas nas flores:
– Em algumas plantas o número de pétalas é um número de Fibonacci:
• 3 pétalas: lírio, açucena, íris, trandescância.
• 5 pétalas: botão de ouro, rosa selvagem, columbine, esporas,
capuchinha.
• 8 pétalas: delphiniums, anémona.
• 13 pétalas: malmequer, cineraria, ragwort.
• 21 pétalas: áster, olhado preto, susana, chicória.
• 34 pétalas: tanchagem, píretro, dália.
• 55, 89, etc pétalas: margaridas(várias), a família asteraceae,
– Algumas destas flores têm mesmo este número preciso de pétalas,
outras podem variar mas sempre com um número de pétalas, perto do
de Fibonacci...
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A MÃO DE DEUS ...
nos legumes ...
Identificamos a mão de
DEUS
nas plantas...
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A MÃO DE DEUS ...
nos legumes ...
Identificamos a mão de
DEUS nas plantas...
Encontramos ...
...nas pinhas (figura ao lado)
...nas folhas das cabeças das alfaces,
...na couve-flor,
...nas camadas das cebolas...
...ou os padrões de saliências dos ananases...
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Mais sobre a natureza da plantas...
Os números de Fibonacci ligam-se
facilmente à natureza.
É possível encontrá-los no arranjo das
folhas do ramo de uma planta, nas copas das
árvores ou até mesmo no número de pétalas
das flores.
Podemos também encontrar a espiral de
Fibonacci nas sementes das
flores, em frutos e pinhas.
Os arranjos das folhas de algumas
plantas em torno do caule são
números de Fibonacci.
Com este arranjo, todas as folhas
conseguem apanhar os raios
solares de igual forma.
Quando chove, o escoamento da
água torna-se também mais fácil.
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A MÃO DE DEUS ... nas plantas ...
Notar como as folhas de baixo são maiores ...decrescendo harmonicamente até o miolo
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Na natureza...no projeto das plantas...em tudo vemos o grande projeto!
Em torno do ramo central vê-se
uma distribuição de Fibonacci :
3 folhas em 5 voltas
5 folhas em 8 voltas
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Mais sobre Fibonatti na natureza da plantas nas flores
Na figura à esquerda, podemos contar as
folhas, seguindo-as pela ordem que aparecem,
até encontrar uma folha exatamente na vertical
da primeira.
Na planta do topo contamos três rotações no
sentido dos ponteiros do relógio, antes de
encontrarmos a folha na mesma direção da
primeira.
Passamos por cinco folhas, até que isso
aconteça.
Se contarmos no sentido contrário aos
ponteiros do relógio, precisamos de duas
rotações.
Os algarismos 2, 3 e 5 são números de
Fibonacci.
Podemos escrever então:
3\5 de volta por folha = 0,61 de volta (proporção
áurea).
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A MÃO DE DEUS ... no HOMEM ... nas mãos ... e no corpo
Olhe para seu braço... e para
suas mãos...
Identificas a proporção
áurea?  2/3
Olhe para nosso corpo... e para
suas proporções...
Observe a posição do umbigo,
e dos órgãos sexuais...
Identificas a proporção áurea?
 2/3
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A MÃO DE DEUS ... no HOMEM ... nas mãos
Olhe para a sua mão!
Consegues ver...a proporção áurea?
Os dedos de Fibonacci:
2 mãos cada uma com...
5 dedos, cada um tem...
3 partes separadas por...
2 nós.
Olhe para seus braços... e ante-braços...
Identificas a proporção áurea?  2/3 = 0,6...  61,8%
Olhe para seu rosto... e para o nariz...
Identificas a proporção áurea?  2/3
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Notar o microcosmo
“projetado
com base na
proporção áurea”
(phi) Φ = 0,6180338
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Φ
O Homem como “pentágono”
(muito usado por Leonardo Da Vinci
em seus desenhos)
Φ
O Homem “áureo”
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A MÃO DE DEUS ...
nos planêtas ...
Afélio e periélio...
0,6
Considerações dos estudos do matemático e
astrônomo Kepler (Johanes Kepler - 1571-1630) e pelo
filósofo Roberto Fludd, (1574-1637):
- Kepler, com base nas suas observações, registra que os astros não
percorrem em suas trajetórias círculos perfeitos, mas sim percursos
elípticos;
- No afélio, quando está mais longe do centro têm velocidade maior;
- Na fase do periélio, estão mais próximos do centro, têm velocidade
menor.
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A MÃO DE DEUS ...
Na luzes e nas cores ...nas frequencias...
Percebemos a luz clara ou
chamada de branca, com o
seu desdobramento pelo
efeito do prisma, que
identifica as cores.
A faixa da luz visível está
entre 1013 Hz e 1014 Hz.
O intervalo dessa estreita
faixa de freqüência, que
possibilita identificar as
cores, é a progressão
geométrica resultante da
cor de menor freqüência
para a de maior freqüência
tem como “razão”
matemática o número
1,05946309
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28
A MÃO DE DEUS ...
Na música ...
ESPIRAL LOGARÍTMICA REPRESENTATIVA
ESCALA MUSICAL TEMPERADA
No campo da música essa
escala, com base na indicada
razão – 1,05946309 - é
designada de escala
temperada.
Clóclea
Aparece, de maneira bastante evidente, a curiosa
correlação das duas espirais quanto à forma de
percepção dos sons.
Os sons mais graves são percebidos no centro,
enquanto os mais agudos nos extremos das
espirais, na medida em que a freqüência do som
se eleva na proporção das oitavas.
29
30
~ 1,6
A faixa média de audição humana é
de 20 a 20 khz.
Como se determina o número de
oitavas entre 20 e 20000 Hz
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A MÃO DE DEUS ... no HOMEM ... no ouvido
Legenda:
1. Canais semicirculares
2. Nervo Auditivo
3. Membrana Basilar
4. Cóclea
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CÓCLEA, O ANALISADOR DE ESPECTRO
Sistema Auditivo
Resposta em freqüencia,
ao longo da espiral cócliana
A **Cóclea, órgão parte do sistema
auditivo, atua como um
analisador espectral
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A MÃO DE DEUS ... Na música ... Cont.
A progressão geométrica da escala musical apresenta a seguinte explicação:
1.
2.
3.
Uma corda esticada, em toda a sua extensão produz um determinado som.
No momento que dividirmos esse som (comprimento de onda) ao meio,
o som produzido por essa metade tem o dobro de “altura”.
Esse som apresenta o dobro de freqüência e corresponde a
uma “oitava” na escala musical.
Do,
do#, re, re#, mi, fa, fa#, sol, sol#, la, la# si, do.
retornando ao dó que tem o dobro de freqüência do dó anterior.
(Obs: o sinal # significa SUSTENIDO, isto é, meio tom acima)
Numericamente temos que a razão dessa progressão geométrica é 1,05946309
Do
1,0
do#
1,059
re
re#
1,122
1,189
mi
fa
fa#
sol
1,259
1,334
1,414
1,498
sol#
1,587
la
la#
si
1,681
1,781
,887
do
2,0
Observa-se a mesma razão na progressão sobre a escala das freqüências, partindo da
afinação de do a 220 Hz, vamos encontrar a seguinte seqüência:
220 Hz 233
Do
do#
246
re
261
re#
277
mi
293
fa
311
fa#
329
sol
349
sol#
369
la
391
la#
415
si
440 Hz.
do.
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REPRESENTAÇÃO POLAR DA ESCALA MUSICAL TEMPERADA
(Vallumbrosius)
A PRESENÇA DA
RAZÃO ÁUREA
AS 5
OITAVAS
35
Correspondências entre O SOM , A COR E A LUZ.
Ao estudar as características desses três elementos pela física, pode-se constatar que
eles têm uma propriedade em comum, que é a freqüência.
•
•
•
O som é percebido pelos nossos ouvidos dentro da faixa já indicada de freqüência,
situada entre 20 e 20.000 Hz. ;
Percebemos a luz quando a freqüência estiver entre 10 2 Hz e 10 22 Hz ;
A cor entre 10 13 Hz e 10 14 Hz (ainda dentro da mesma faixa de freqüência da luz),
apenas diferenciada pelo seu desdobramento que vai do vermelho ao violeta.
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Outras associações com a proporção áurea:
•
Teoria dos fractais;
•
Na estrutura de repetição do DNA humano;
•
Na música: artigos relacionam as composições de Mozart, Bethoveen (Quinta
Sinfonia) e Shubert com a razão áurea;
•
Visão humana: Nosso campo de visão, independente da distância até o objeto é um
retângulo na relação áurea.
Assim os aparelhos de TV, os monitores de video de computadores tem apr. a
proporção área nas dimensões da largura e da altura da tela (3x4) ...(9x16);
•
Na arquitetura: desde a antiguidade, os arquitetos aplicam a razão áurea nos
projetos, nos desenhos e telas (em especial a arquitetura grega)
– Nas pirâmides egípcias (Gisé), a altura e a metade do lado da base das
pirâmides obedecem à razão áurea.
– Na arquitetura moderna: Le Corbusier (Charles-Edouard Jeanneret), em 1948,
publicou um livro sobre um sistema de medição denominado MODULOR,
baseado nas proporções áureas, nos números de Fibonacci e nas dimensões
médias humanas.
O “Modulor” é uma seqüência de medidas usada para encontrar a HARMONIA
nas composições.
37
Fim...
38