matrizes
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MATEMÁTICA A ÁLGEBRA LINEAR Lilian de Souza Vismara Mestre Eng. Elétrica – ESSC / USP Licenciada em Matemática – UFSCar 1 MATRIZES Motivação de estudo Contexto histórico-científico Testes seus conhecimentos! Definição de matrizes Igualdade de matrizes Matriz nula Matriz transposta Matriz quadrada Diagonais de uma matriz quadrada Matriz identidade Matriz diagonal Adição e subtração de matrizes Matriz oposta Matriz inversa Referências Lilian de Souza Vismara Mestre Eng. Elétrica – ESSC / USP Licenciada em Matemática – UFSCar 2 Motivação de estudo Muitos problemas da ciência e dos negócios, quando transcritos para a linguagem matemática, resultam em sistemas de equações lineares de difícil desenvolvimento. Nesses casos, recorremos a cálculos com os coeficientes das equações, os quais podem ser organizados em tabelas chamadas matrizes. 3 Exemplo 4 Contexto histórico-científico A ideia do uso de matrizes não é nova – já aparecia em textos da China antiga, em cerca de 200 a. C. Nos tempos modernos, Arthur Cayley (1821-1895) foi o primeiro matemático a retomá-la. Hoje, as matrizes constituem ferramenta indispensável à programação de computadores para a resolução de intricados sistemas de equações. 5 Testes seus conhecimentos! 6 Testes seus conhecimentos! Respostas 7 Definição de matrizes • Define-se matriz mxn uma tabela com m linhas e n colunas. 5 2 3 4 4 0 1 8 1 1 2 8 5 4 0 0 3 6 6 3 4 9 0 3 • Uma matriz A, do tipo mxn pode ser representada por: A (aij ) mxn a11 a 21 A a m1 a12 a22 am 2 a1n a 2n a mn • Escrever uma matriz 3 x 2 na qual a =5, a31=7, a11 =a22 =1 e os demais elementos sejam nulos. 12 Igualdade de matrizes • Quando duas matrizes A e B são do mesmo tipo, os elementos de mesmo índice são denominados elementos correspondentes. 2 x 1 2 7 1 1 B 3 5 9 A 3 5 y 2 z 4 0 6 0 6 Quais os valores de x e y que tornam as matrizes A e B iguais? • Calcular x e y de modo que as matrizes A e B sejam iguais. 2 x y A 2x y 1 5 2 B 1 7 As matrizes abaixo são iguais? 1 3 B 4 7 C 1 3 4 7 Matriz nula 0 0 A 0 0 0 0 Esta é uma matriz nula, do tipo 3 x 2, também indicada por 03x2. Matriz Transposta 2 3 2 T A 5 1 A 3 0 2 3x2 5 0 1 2 2 x 3 1 6 1 6 5 3 T B B 5 7 5 3 2 2 x 4 3 7 5 3 2 4 x 2 Matriz Quadrada 5 1 A 0 2 2x2 3 1 4 B 5 8 5 2 5 0 3 x3 Diagonais de uma matriz quadrada 3 1 4 B 5 8 5 2 5 0 Diagonal principal 3 1 4 B 5 8 5 2 5 0 Diagonal secundária Matriz Identidade 1 0 0 A 0 1 0 0 0 1 1, se : i j aij 0, se : i j Matriz Diagonal 1 0 0 A 0 2 0 0 0 3 A matriz B é uma matriz diagonal? 0 0 B 0 0 Adição e subtração de matrizes Sejam as matrizes A e B: 2 3 1 0 1 2 A B 0 1 4 1 3 5 Para obter a matriz C=A+B, basta somar os elementos correspondentes A e B: 2 3 1 0 1 2 2 0 3 1 1 2 C A B 0 1 4 1 3 5 0 (1) 1 3 4 5 2 4 3 C 1 4 9 Exercício • Determinar a matriz X de modo que: 2 1 3 4 4 5 X 2 0 Matriz oposta 1 2 1 2 Se, A , então A , 3 5 3 5 1 2 1 2 0 0 porque : 3 5 3 5 0 0 Matriz inversa 3 1 2 1 A inversa da matriz A 1 3 é a matriz A 1 1 1 2 3 2 1 0 . 1 3 1 1 0 1 pois A. A e 3 2 1 2 1 0 A .A . 1 1 1 3 0 1 1 2 , 1 Atenção: Matriz oposta Matriz inversa Referências Referência utilizada: Matemática: construção e significado. 1. ed. Coordenação técnica José Luiz P. Mello, Editora responsável Juliane Matsubara Barroso. São Paulo: Moderna, 2005. Volume único. Referencias Básicas: KOLMAN, B. Introdução à Álgebra Linear com Aplicações. Rio de Janeiro: LTC, 6 ed., 1998. HOWARD, A. Álgebra Linear com Aplicações Rio de Janeiro: Bookman, 8ed, 2001. LAY, D. C. Álgebra linear e suas aplicações. Rio de Janeiro: LTC, 2 ed., 1999 Referências Complementares: BOLDRINI, C. R. Álgebra linear. São Paulo: Harbra, 1984 IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos. Fundamentos da Matemática Elementar. São Paulo: Saraiva,1993. STEINBRUCH, A.; WINTERLE, P. Álgebra Linear. São Paulo: McGraw-Hill, 2ed.,1987. http://www.mat.ufmg.br/~regi/gaalt/gaalt00.pdf http://www.labma.ufrj.br/~gregorio/livro/al2.pdf
