matrizes

MATEMÁTICA A
ÁLGEBRA LINEAR
Lilian de Souza Vismara
Mestre Eng. Elétrica – ESSC / USP
Licenciada em Matemática – UFSCar
1
MATRIZES
Motivação de estudo
Contexto histórico-científico
Testes seus conhecimentos!
Definição de matrizes
Igualdade de matrizes
Matriz nula
Matriz transposta
Matriz quadrada
Diagonais de uma matriz quadrada
Matriz identidade
Matriz diagonal
Adição e subtração de matrizes
Matriz oposta
Matriz inversa
Referências
Lilian de Souza Vismara
Mestre Eng. Elétrica – ESSC / USP
Licenciada em Matemática – UFSCar
2
Motivação de estudo
Muitos problemas da ciência e dos
negócios, quando transcritos para a
linguagem matemática, resultam em
sistemas de equações lineares de difícil
desenvolvimento.
Nesses casos, recorremos a cálculos com os
coeficientes das equações, os quais podem
ser organizados em tabelas chamadas
matrizes.
3
Exemplo
4
Contexto histórico-científico
A ideia do uso de matrizes não é nova – já
aparecia em textos da China antiga, em cerca
de 200 a. C. Nos tempos modernos, Arthur
Cayley (1821-1895) foi o primeiro matemático
a retomá-la.
Hoje, as matrizes constituem ferramenta
indispensável à programação de
computadores para a resolução de intricados
sistemas de equações.
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Testes seus conhecimentos!
6
Testes seus conhecimentos!
Respostas
7
Definição de matrizes
• Define-se matriz mxn uma tabela com m
linhas e n colunas.
 5 2
  3 4


 4 0
1
8
 
1
1

2

8
5 4 0

0 3 6
6 3 4

9 0 3
• Uma matriz A, do tipo mxn pode ser representada por:
A  (aij ) mxn
 a11
a
21

A
 

a m1
a12
a22

am 2
 a1n 

 a 2n 

 

 a mn 
• Escrever uma matriz 3 x 2 na qual a =5, a31=7, a11 =a22 =1
e os demais elementos sejam nulos.
12
Igualdade de matrizes
• Quando duas matrizes A e B são do
mesmo tipo, os elementos de mesmo
índice são denominados elementos
correspondentes.
 2 x 1
2 7 1
1 




B  3 5 9
A  3
5
y  2
z

4 0 6
0
6


Quais os valores de x e y que tornam
as matrizes A e B iguais?
• Calcular x e y de modo que as matrizes A
e B sejam iguais.
2 
x  y
A

2x  y
 1
5 2
B

1 7
As matrizes abaixo são iguais?
1 
3
B 
4
 
7 
C  1 3 4 7
Matriz nula
0 0 


A  0 0 
0 0
Esta é uma matriz nula, do tipo 3 x 2,
também indicada por 03x2.
Matriz Transposta
 2 3
2

T


A  5 1  A  
3

0 2
3x2
5 0

1 2 2 x 3
1
6
1 6 5 3
T

B
B


5
7 5 3 2 2 x 4

3
7

5

3

2 4 x 2
Matriz Quadrada
5  1
A

0
2

 2x2
 3 1 4


B  5 8 5 
2 5 0
3 x3
Diagonais de uma matriz
quadrada
 3 1 4


B  5 8 5 
2 5 0
Diagonal principal
 3 1 4


B  5 8 5 
2 5 0
Diagonal secundária
Matriz Identidade
1 0 0


A  0 1 0 
0 0 1
1, se : i  j
aij  
0, se : i  j
Matriz Diagonal
1 0 0


A  0 2 0 
0 0 3
A matriz B é uma
matriz diagonal?
0 0 
B

0 0 
Adição e subtração de matrizes
Sejam as matrizes A e B:
2 3 1 
 0 1 2
A
B


0
1
4


 1 3 5
Para obter a matriz C=A+B, basta somar os
elementos correspondentes A e B:
 2 3 1   0 1 2  2  0 3  1 1  2 
C  A B  





0 1 4  1 3 5 0  (1) 1  3 4  5
 2 4 3
C


1
4
9


Exercício
• Determinar a matriz X de modo que:
 2 1
 3 4
 4 5  X  2 0




Matriz oposta
 1  2
 1 2 
Se, A  
, então  A  
,


 3 5 
 3  5
 1  2    1 2   0 0
porque : 





 3 5   3  5 0 0
Matriz inversa
3
1 2



1
A inversa da matriz A 
1 3 é a matriz A  


 1
1
1 2  3  2 1 0

.




1 3  1 1  0 1
pois
A. A
e
 3  2 1 2 1 0
A .A  
.





1
1
1
3
0
1


 

1
 2
,

1
Atenção:
Matriz oposta

Matriz inversa
Referências
Referência utilizada:
Matemática: construção e significado. 1. ed. Coordenação técnica José
Luiz P. Mello, Editora responsável Juliane Matsubara Barroso. São Paulo:
Moderna, 2005. Volume único.
Referencias Básicas:
KOLMAN, B. Introdução à Álgebra Linear com Aplicações. Rio de
Janeiro: LTC, 6 ed., 1998.
HOWARD, A. Álgebra Linear com Aplicações Rio de Janeiro: Bookman,
8ed, 2001.
LAY, D. C. Álgebra linear e suas aplicações. Rio de Janeiro: LTC, 2 ed.,
1999
Referências Complementares:
BOLDRINI, C. R. Álgebra linear. São Paulo: Harbra, 1984
IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos. Fundamentos da Matemática
Elementar. São Paulo: Saraiva,1993.
STEINBRUCH, A.; WINTERLE, P. Álgebra Linear. São Paulo: McGraw-Hill,
2ed.,1987.
http://www.mat.ufmg.br/~regi/gaalt/gaalt00.pdf
http://www.labma.ufrj.br/~gregorio/livro/al2.pdf