Matemática Aula 8 – Geometria Plana Parte 1 Ângulos Definição

Matemática
Aula 8 – Geometria Plana
Parte 1
Bissetriz
Bissetriz de um ângulo pode ser definida como a
semirreta que se origina no vértice do ângulo principal,
dividindo-o em outros dois ângulos com medidas
iguais.
Ângulos
Definição
Denominamos ângulo a região do plano limitada por
duas semirretas de mesma origem. As semirretas
recebem o nome de lados do ângulo e a origem delas,
de vértice do ângulo.
Retas paralelas cortadas por uma transversal
BÔA = AÔB = ô
Classificação
Os ângulos são classificados de acordo com suas
medidas:
Suplementates são ângulos que possuem o mesmo
vértice e lados comuns não opostos. A soma de dois
ângulos suplementares é 180º. Na figura acima temos
os seguintes ângulos suplementares:

Ângulos colaterais externos: a e h, b e g

Ângulos colaterais internos: e e d, c e f
Congruentes são os ângulos que possuem a mesma
medida. Os ângulos congruentes da figura acima são:
Medição
A unidade usual de medida de ângulo, de acordo com
o sistema internacional de medidas, é o grau,
representado pelo símbolo º, e seus submúltiplos são
o minuto ‘ e o segundo “.
Temos que 1º (grau) equivale a 60’ (minutos) e 1’
(minuto) equivale a 60”(segundos).
Exemplos:

Ângulos correspondentes: a e e, d e h, b e f, c
eg

Ângulos alternos externos: a e g, b e h

Ângulos alternos internos: d e f, c e e
Teorema de Tales
Tales de Mileto foi um importante filósofo, astrônomo e
matemático grego que viveu antes de Cristo. Ele usou
seus
conhecimentos
sobre
Geometria
e
proporcionalidade para determinar a altura de uma
pirâmide. O teorema que leva o seu nome pode ser
definido da seguinte forma:
“Feixes de retas paralelas cortadas ou intersectadas
por segmentos transversais formam segmentos de
retas proporcionalmente correspondentes”.
Para compreender melhor o teorema observe o
esquema representativo a seguir:
𝐴𝐵 𝐴′𝐵′
=
𝐵𝐶 𝐵′𝐶′
Exemplo:
Elementos de um polígono

Lados: são os segmentos consecutivos que
formam o polígono.

Vértice: é o ponto de intersecção de dois
lados consecutivos.

Diagonal: é o segmento determinado por dois
vértices não consecutivos.

Ângulo interno: é o ângulo formado por dois
lados consecutivos

Ângulo externo: é o ângulo formado por um
lado e o prolongamento de um lado contíguo.

Polígono regular: polígono com todos os
seus lados e ângulos iguais.
Nomenclatura
NÚMERO
DE LADOS
(OU
ÂNGULOS)
𝐴𝐵 = 2𝑥 − 3
𝐵𝐶 = 𝑥 + 2
𝐴′ 𝐵′ = 5
𝐵′ 𝐶 ′ = 6
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
15
20
NOME DO POLÍGONO
EM FUNÇÃO DO
EM FUNÇÃO DO
NÚMERO DE
NÚMERO DE
ÂNGULOS
LADOS
triângulo
quadrângulo
pentágono
hexágono
heptágono
octógono
eneágono
decágono
undecágono
dodecágono
pentadecágono
icoságono
trilátero
quadrilátero
pentalátero
hexalátero
heptalátero
octolátero
enealátero
decalátero
undecalátero
dodecalátero
pentadecalátero
icosalátero
Determinando o valor de x:
𝐴𝐵 𝐴′ 𝐵′
=
𝐵𝐶 𝐵′ 𝐶 ′
2𝑥 − 3 5
=
𝑥+2
6
6(2𝑥 − 3) = 5(𝑥 + 2)
12𝑥 − 18 = 5𝑥 + 10
7𝑥 = 28
𝒙=𝟒
Polígonos
Definição
Número de diagonais
Um polígono de 𝑛 lados possui um número de
diagonais igual a:
𝑛(𝑛 − 3)
2
𝑛 é 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠
𝑂𝑛𝑑𝑒 {
𝑑 é 𝑜 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑑𝑖𝑎𝑔𝑜𝑛𝑎𝑖𝑠
𝑑=
Soma dos ângulos internos
A soma dos ângulos internos de um triângulo qualquer
é 180º.
Polígono é a região do plano limitada por um conjunto
de segmentos interligados formando uma linha
fechada.
𝜶 + 𝜷 + 𝜸 = 𝟏𝟖𝟎°
A soma dos ângulos internos de um polígono de 𝑛
lados é:
{
𝑺𝒊 = (𝒏 − 𝟐)𝟏𝟖𝟎°
𝑛 é 𝑜 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠
𝑂𝑛𝑑𝑒 {
𝑆𝑖 é 𝑎 𝑠𝑜𝑚𝑎 𝑑𝑜𝑠 â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜𝑠 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜𝑠
𝐴𝐵
𝐵𝐶
𝐶𝐴
= ′ ′= ′ ′=𝑘
′
′
𝐴𝐵
𝐵𝐶
𝐶𝐴
𝑒
 = Â′
̂
{𝐵̂ = 𝐵′
̂
̂
𝐶 = 𝐶′
Soma dos ângulos externos
Elementos relativos ao triângulo
A soma dos ângulos externos de qualquer polígono é
360º.
𝑺𝒆 = 𝟑𝟔𝟎°
Definição de área e perímetro
Área de um polígono é a medida da quantidade de
espaço bidimensional que o polígono delimita. A
unidade de medida de área no sistema internacional é
o metro quadrado (m²). Um metro quadrado é a área
de um quadrado que possui um metro de lado.
Altura
Segmento de uma reta perpendicular a um dos lados
e determinado por esse lado e o vértice oposto. O
ponto de encontro das três alturas recebe o nome de
Ortocentro.
Perímetro é a soma de todos os lados de um
polígono.
Triângulos
Classificação
Mediana
Quanto aos ângulos:

Acutângulo: possui os três ângulos agudos.

Retângulo: possui um ângulo reto.

Obtusângulo: possui um ângulo maior que
90º.
Segmento de reta determinado por um vértice e o
ponto médio do lado oposto. O ponto de encontro das
medianas recebe o nome de Baricentro. Este ponto
possui a propriedade de dividir cada mediana na razão
2:1.
Quanto aos lados:

Equilátero: possui três lados congruentes.

Isósceles: possui dois lados congruentes.

Escaleno: possui
congruentes.
os
três
lados
não
Semelhança de triângulos
Bissetriz
Dois triângulos são semelhantes quando os pares de
ângulos correspondentes são congruentes.
Segmento da bissetriz de um dos ângulos cujas
extremidades são o vértice do ângulo e a intersecção
com o lado oposto. O ponto de encontro das
bissetrizes recebe o nome de Incentro. Este ponto é o
centro da circunferência inscrita no triângulo.
Os triângulos das figuras abaixo são semelhantes se
verificam as relações:
Mediatriz
É o segmento perpendicular ao lado pelo seu ponto
médio. Este ponto de encontro das três mediatrizes
recebe o nome de Circuncentro, e é o centro da
circunferência circunscrita no triângulo.
Soma dos ângulos externos
O triângulo obedece à fórmula de soma de ângulos de
um polígono, que sempre é 360º. Cada ângulo tem a
mesma medida da soma dos ângulos internos não
adjacentes.
̂ ̂
̂
{ 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 = 180°
𝐶̂ + 𝐸𝑥𝑡. 𝐶 = 180°
𝐴̂ + 𝐵̂ + 𝐶̂ = 𝐶̂ + 𝐸𝑥𝑡. 𝐶
𝐴̂ + 𝐵̂ = 𝐸𝑥𝑡. 𝐶