1º Teste de Mecânica e Ondas

1º Teste de Mecânica e Ondas
(MEBM, MEFT, LMAC,MEEC)
24 de Março de 2011
Duração do Teste: 1h 30m
1. Em casas com paredes de granito a concentração de 222Rn (Radão – gás radioactivo
originado no decaimento do Urânio) pode ser elevada atingindo valores superiores ao
recomendado pela Organização Mundial se Saúde (100 Bq/m3) ou mesmo aos permitidos
pela legislação portuguesa (400 Bq/m3).
O 222Rn decai em 218Po com um período de semi-desintegração de 3.8 dias.
Considere que num quarto com um volume de 30 m3, fechado durante vários meses, de
uma casa na região da Serra da Estrela, a concentração de Radão é estável (o número
médio de átomos produzidos por unidade de tempo é igual ao número médio de átomos
que decaem na mesma unidade de tempo) e que a actividade específica do Radão é
nessas circunstâncias de 500 Bq/m3.
a) Determine a constante de decaimento λ do Radão em dias-1 e em s-1.
λ = ln 2/T = ln2/(3,8 dias) = 0,1824 dias–1 = 0,1824 dias–1 /(86400 s/dia) ou, em s–1,
λ = 2,11×10–6 s–1.
b) Determine o número médio de átomos de Radão por m3 que se encontra no
interior do quarto.
N = Actividade/ λ ó N = 500 / 2,11×10–6 s–1 = 2,37 ×108 átomos/m3
c) Suponha agora que para arejar o quarto abriu-se uma janela e conseguiu-se
assim “expulsar” todos os átomos de Radão para o
exterior.
i. Represente
graficamente
a
evolução
temporal da população dos átomos de Radão
que foram “expulsos”. Qual é a % de átomos
“expulsos” que ainda sobrevivem ao fim de um
tempo de 15.2 dias?
%átomos = N(15.2 dias)/N0 =
exp[ –λ.15,2 ] =
exp[ – 0,1824×15,2 ] = 6,25%
ii. Represente graficamente a evolução da
população dos átomos de Radão no interior do
quarto depois de se ter de novo fechado a
janela. Ao fim de quanto tempo a concentração
de Radão no interior do quarto atinge 15/16 da
concentração de equilíbrio?
N(t)=(500/ λ)[1 – exp[–0,1824 t ])
15/16 = 1 - 1/16 ó
exp[ –0,1824 t] = 1/16 ó t = 15,2 dias
d) De facto a cadeia de decaimento relevante é mais complexa, assim:
222
T1/2
Rn -> 218Po
3,8 d
3 min
-> 214Pb -> 214Bi -> 214Po
26.8 min 20 min 164 µs
-> 210Pb
22 anos
(Como o Pb210 tem um período de semi-desintegração de vários anos a cadeia para
efeitos ambientais termina ai)
Determine então qual é a actividade radioactiva total por m3 num quarto fechado
durante vários meses.
Como o tempo de semi-desintegração dos outros decaimentos (até ao Pb210) é
muito inferior ao tempo de semi-desintegração do Rn222, por cada átomo de
Radão-222 que decai, decaiem logo de seguida um átomo de Po218, outro de
Pb214, um de Bi214, e finalmente outro de Po214. Assim, por cada decaimento de
3
Rn222, temos mais 4 decaimentos. O nº total de decaimentos por m , atingida a
situação de equilíbrio (ao fim de 15,2 dias já teríamos atingido 15/16 desta
situação), seria então de 5 x 500 Bq/m3: 2500 Bq/m3.
Nota: se contarmos também com a produção do Radão-222, a partir do Urânio,
então teríamos 500 Bq/m3 adicionais para os decaimentos do Urânio em Rn222.
1 Becquerel (Bq) = 1 decaimento por segundo
2. Para as telecomunicações a “longa” distância (centenas de km) utilizam-se fibras ópticas para
reduzir as perdas de sinal e as interferências electromagnéticas exteriores. Uma fibra óptica é
constituída por um núcleo central de índice de refracção n1, revestido por uma baínha de índice
de refracção n2<n1, e está imersa num meio de índice de refracção n0. Considere a fibra
representada na figura, em que o núcleo tem índice de refracção n1 =1,50 e a baínha tem índice
de refracção n2=1,29, e que está em contacto com o ar (n0 ≈ 1). Num dado instante incide na
fibra um raio de luz infravermelha, de comprimento de onda no ar λ = 1,3×10−6 m, com um
ângulo de incidência i = 48,59º.
a) Calcule o comprimento de onda do raio de luz dentro do núcleo da fibra.
λ1 =(n1 /nar ) λ = 1,3×10−6 m/1,5 = 8,67×10−7 m.
b) Calcule o ângulo de refracção para o raio de luz que refracta na superfície de entrada no
núcleo da fibra.
n1 sen t = nar sen i ó t = arcsin ( sen i / n1 ) = 30º.
c) Designa-se por cone de aceitância duma fibra óptica, como o cone de semi-abertura
angular θmax com eixo coincidente com o eixo da fibra, tal que toda a luz incidente na
superfície de entrada no núcleo da fibra dentro desse cone angular, permanece dentro do
núcleo da fibra e é por isso transmitido ao longo da fibra com um mínimo de perdas.
Determine θmax nas condições do problema.
(sugestão: comece por calcular o ângulo de reflexão total para raios incidentes na
parede lateral interna do núcleo da fibra)
θRT =arcsen (n2 / n1 ) = arcsen ( 1,29/1,50 ) = 59º,32; para ter este ângulo de incidência
na face lateral (interna) da fibra, ou ângulos superiores, o ângulo de refracção t na
entrada da fibra tem de ser inferior ou igual a tMAX = 90º – 59º,32 =30º,68. Assim, o
ângulo de incidência tem de igual ou inferior a θMAX =arcsen ( n1 sen tMAX ) = 49º,95.
Para valores do ângulo i superiores a este, o ângulo t será maior do que 30º,68, e
portanto o ângulo incidente na face lateral será inferior a 59º,32, portanto inferior ao
ângulo de reflexão total nessa face, e parte da luz será refractada nessa face, saindo do
núcleo da fibra.
d) Se os extremos da fibra estiverem envolvidos em água com índice de refracção n0 =1,33,
muda a amplitude do cone de aceitância. Determine o novo valor de θmax nestas
condições.
θMAX =arcsen ( (n1 / nágua) sen t ) = arcsen ( (1,5/1,33) sen 30º,68 ) = 35º,14.
e) Para se poder dar uma característica da fibra óptica independente do meio exterior,
define-se Abertura Numérica AN por
AN = n0 sen ! max
Determine AN nas condições do problema e mostre que só depende de n1 e de n2.
AN = n0 sen ( θMAX ) = n1 sen ( tMAX ) = 0,77;
Para um caso geral, temos
AN = n0 sen ( θMAX ) = n1 sen ( tMAX ) = n1 sen ( 90º – θRT ), com
θRT = arcsen( n2 / n1 ); temos assim AN = n1 cos ( arcsen (n2 / n1 ) ), e como cos x = [ 1 –
sen2 x ]1/2, vem AN = n1 [ 1 – (n2 / n1)2 ]1/2 =[ n12 – n22 ]1/2 .
f) Se um raio de luz entrar pela parte lateral da fibra, na direcção do eixo da fibra e
segundo um ângulo φ=60º com a normal à superfície (perpendicular ao eixo da fibra),
que acontece ao raio de luz? Isto é, para que valores do ângulo φ é que o raio de luz
poderia entrar na fibra e propagar-se até ao extremo oposto (considere que o
comprimento da fibra é muito superior ao seu diâmetro exterior)?
Se um raio de luz entrar pela parte lateral da fibra, com um ângulo de incidência φ =
60º, o ângulo de refracção para a baínha será tA dado por
tA = arcsen( (sen φ )/ n2 ) = 42º,17, que será idêntico ao ângulo de incidência no núcleo.
O raio refractado para o núcleo fará um ângulo com a normal à superfície de tN =
arcsen( n2 (sen tA )/ n1 ) = 35º,26, que será o ângulo de incidência na superfície de
separação núcleo-fibra no lado oposto. Assim, o raio refractado para a baínha será tB
= arcsen( n1 sen tN / n2 ) = tA, que será o ângulo de incidência na superfície baínha-ar
do lado oposto, e portanto o raio refractado para o ar será tar = arcsen( n2 sen tA ) = φ =
60º.
Concluindo, se o raio refractado entrar pela face lateral da fibra, fazendo um ângulo
com a normal, sairá do lado oposto da fibra com o mesmo ângulo, qualquer que seja o
ângulo inicial. Assim, para nenhum valor do ângulo de incidência na parte lateral,
poderemos ter o raio a propagar-se na fibra até ao outro extremo sem perdas.