Força Cortante

Força Cortante
Estado Limite Último
306
FORÇA CORTANTE
Força cortante
O comportamento estrutural face à força cortante
para vigas de alvenaria, é, de um modo geral,
similar aos das vigas de concreto armado.
As fissuras de flexão surgem primeiro, e depois de
se expandirem em forma de leque, se inclinam em
direção aos apoios.
Com o incremento do carregamento as fissuras
inclinadas em seções próximas aos apoios tendem
a se desenvolver, e levam à ruptura da viga por
tração diagonal.
307
FORÇA CORTANTE
Vigas sem armadura transversal
F
F
1
2
3
F
F
1
Fissura de flexão:
ortogonal ao eixo
da viga
σ1
2σ
2
σ2
σ1
Fissura devida à tração diagonal:
inclinação de cerca de 450 em
relação ao eixo da viga
308
FORÇA CORTANTE
Estado de tensões
Cisalhamento puro
σ1
τ
σ2
τ
Estado plano de tensões
σc
τ MÁ X
σ1
σ2
τ
τ
450
σ1
σ2
σ2
σ1 σ
0
τ MÁ X
σc
450
τ
σ2
σ1
309
FORÇA CORTANTE
Tipos de rupturas de vigas de alvenaria
Tração diagonal:
ruptura dos blocos
σ1
Tração diagonal:
ruptura das juntas
Tração diagonal e
ancoragem
inadequada
σ1
A armadura
σ1
σ1
σ1
longitudinal
σ1
se desloca
310
FORÇA CORTANTE
A zona de compressão
funciona
como
um
engaste para os consoles
formadas pelas partes
situadas
entre
duas
fissuras.
Vext
Vm
h
C
d
Aswfsw
s
Reação de
apoio
Vd
T
Mecanismos interno
Vm +
∑A
sw fsw
+ Vd = Vext
n
Vd – encavilhamento da armadura
(EFEITO DE PINO)
x A , f – área da armadura
sw sw
transversal e tensão no aço
transversal, respectivamente;
Vm – força cortante resistida pela
zona de compressão;
Vext – força cortante atuante.
311
Força cortante
Modelo da treliça clássica
1) A viga tem um banzo comprimido formado pela
zona comprimida situada acima da linha neutra.
2) O banzo tracionado é formado pela armadura de
flexão.
3) A união dessas duas regiões é realizada por
tirantes verticais ou inclinados, que formam a
armadura transversal da viga.
4) Entre as fissuras inclinadas de θ=450 tem-se uma
região de concreto comprimida, formando as bielas
de compressão.
5) Admite-se que a alvenaria (grout) não resista à
tração.
312
Força cortante
Tração na armadura transversal
Biela
Fissura
Banzo comprimido
Se num espaçamento s há uma barra
transversal, num comprimento
horizontal z(1+cotg α) tem-se
n= (1+cotg α)z/s barras.
Banzo
tracionado
313
Força cortante
Equilíbrio vertical
∑F = 0
VSd − (nVα )senα = 0
z
VSd = (1 + cotgα)A α σ α senα
s
Essa fórmula permite calcular a armadura transversal
inclinada de um ângulo α para resistir à força cortante
de projeto VSd.
Entretanto, a armadura só será efetiva se as bielas
comprimidas (grout) resistirem à força cortante
atuante.
314
Força cortante
Compressão na biela
A análise da tensão na
biela é realizada
considerando-se um
plano inclinado que passa
por uma barra
transversal.
Biela comprimida
315
Força cortante
Relações geométricas
z
cosψ
AB =
senα
π
2
+ sen (α - ϕ ) = π ∴ ψ = α -
π
4
cosψ = cos (α - ϕ ) = cos α sen
π
4
+ sen α cos
π
4
2
(cos α + sen α)
2
z
2
(cos α + sen α)
AB =
senα 2
cosψ =
316
Força cortante
Equilíbrio vertical:
∑F = 0
VSd = σ c .AB.sen
σc =
VSd
b.AB.sen
π
π
4
=0
σc =
4
cos α + sen α = 1 + cotg α
VSd
σc =
zb(1 + cotg α)
VSd
zb(cos α + sen α)
Tensão de
compressão na
biela
317
Força cortante
Parâmetros para dimensionamento
CALV
kx
h
d
B
σc
450
B
σc
Z=kxd
α
Asfs
s
As normas brasileiras adotam a treliça clássica de
Ritter-Mörsch para o dimensionamento á força
cortante, e prescrevem uma tensão cisalhante
admissível convencional.
318
Força cortante
Tensão cisalhante característica
Vd
τ vd =
≤ fv k
bd
fv k − tensão cisalhante característica
(Tabela).
Para vigas de seção retangular:
b=largura da seção; d=altura útil
Para viga
T:
b=largura da alma; d=altura útil.
319
Força cortante
Tensão de cisalhamento
Paredes: τ v d <
fv k
γm
neste caso não é preciso usar
armadura
Vigas (flexão simples): τ v d ≥ 0,35 + 17,5ρ usar armadura
γm
Limite da tensão de cisalhamento:
τ v d ≤ 0,7 MPa
O coeficiente de ponderação para a alvenaria
(combinações normais) é 2,0.
320
Força cortante
Armaduras
Força cortante resistida pela alvenaria: Va = fv d bd
Armadura transversal: A sw
(
Vd − Va ) s
=
0,5f y dd
OBS.: as normas brasileiras consideram uma tensão
para o aço igual a 50% da tensão de escoamento de
cálculo; o aço está em regime elástico linear.
O Eurocode 6 considera fyd.
321
Força cortante
Espaçamento da armadura
Para vigas o espaçamento da armadura transversal
deve ser: s≤0,5d ou 30 cm.
Para paredes o espaçamento da armadura
trnasversal deve ser: s≤60 cm.
Forças próximas aos apoios
Para av≤2d (efeito de arco), sendo a distância da força
aplicada até o apoio considera-se a tensão cisalhante
2d
característica: *
fv k = f v k
a
≤ 0,7 MPa
A força concentrada é considerada principal quando
contribui com pelo menos 70% da força cortante junto ao
apoio.
322
FORÇA CORTANTE
Formulação teórica
Tensão cisalhante
x ≅ ns
Fissura
d
450
h
n=número de estribos
que costuram a fissura
h h
tg45 = ≅
≅1
x ns
o
s
x
Vd ≅ 0
h d
n= ≅
s s
desprezando-se o encavilhamento
da armadura
Vext = Vm + nA sw fsw = Vm + A sw fsw d
s
323
FORÇA CORTANTE
Vext − Vm = A sw fsw d
s
{÷ bd
Vext − Vm
= τ − τm
bd
Desprezando-se a força cortante resistida pela zona de
compressão, tem-se a favor da segurança:
τm = 0
Espaçamento dos
estribos verticais
A sw fsw
s=
bτ
324
FORÇA CORTANTE
Tensão cisalhante
Vigas sem armadura transversal
τ(b.dx )
kd
CALV
Kzd
M
Z
d
M+dM
Z+dZ
dx
As
b
O braço de alavanca Kzd é considerado constante no
trecho analisado.
∑F
x
= 0 ⇒ τ(b ⋅ dx ) + Z = Z + dZ
325
FORÇA CORTANTE
Com as fórmulas:
dM
M + dM
M
V
=
Z + dZ =
Z=
dx
k zd
k zd
tem-se
V
1 dM
τ
=
τ=
b(k z d)
bk z d dx
Sendo k z d = z o braço de alavanca resulta para a
tensão de cisalhamento:
V
τ=
bz
A adoção dessa tensão de cisalhamento é uma maneira
convencional de efetuar o dimensionamento, pois as
rupturas ocorrem por tração diagonal devido à tensão
principal de tração σ1.
326
FORÇA CORTANTE
T=
M
M + dM dM
; T + dT =
;
=V
z
z
dx
Tensão cisalhante
devida à flexão
1 dM
V
τ= ⋅
∴ τ=
bz dx
bz
PAREDES:
V
τ=
tL
V
V
Tensão cisalhante
t
L
327
FORÇA CORTANTE
Roteiro:
I) tensão cisalhante:
d
d
DFC
V
V
τ=
bd
NOTA: a força cortante a ser adotada nos cálculos será
a da seção afastada de d (altura útil) da face do apoio.
328
FORÇA CORTANTE
Distribuição da armadura transversal
d
Estribos
para resistir
à força
cortante
Não é necessário
o uso de
armadura
transversal
V
Estribos
para resistir
à força
cortante
s/2
Vm
DFC
s/2
d/2
d/2
329
FORÇA CORTANTE
ii) verificar:
τ vd <
fv k
γm
Não é necessário usar armadura
transversal.
iii) verificar:
τ vd ≥
0,35 + 1,75ρ
γm
Neste caso, calcular a armadura
transversal.
τ v d ≤ 0,7 MPa
iv) armadura transversal:
Va = fv d bd
A sw
(
Vd − Va ) s
=
⇒a
0,5fsw d
sw
A sw (Vd − Va )×103  mm2 


=
=
s
0,5fsw d  m 
330
FORÇA CORTANTE
v) espaçamento dos estribos verticais:
Normas ⇒ s deve ser tal que pelo menos
um estribo costure a fissura, logo smáx < d.
d
s
Fissura
OBS.: ao se adotar ⇒ s ≤ 0,5d certamente se terá pelo
menos um estribo costurando a fissura.
331
FORÇA CORTANTE
Armadura transversal (estribos)
10,0mm; 12,5mm; 16,0mm
φt usuais →
6,3mm; 5,0mm; 4,0mm
1 TRAMO
2 TRAMOS
(ABERTO)
2 TRAMOS
(FECHADO)
332
FORÇA CORTANTE
NOTAS: barras dobradas.
a) uma barra dobrada:
α
α
A sw
Vd − Va
=
0,5fsw ⋅ senα
estribos
inclinados
b) barras paralelas dobradas ou estribos
inclinados:
α
s
(
Vd − Va ) s
A sw =
0,5fsw d(senα + cos α)
333
Força cortante
Exemplo
Dimensionar à força cortante a seção transversal de
blocos de concreto com dimensões 190 mm x 400 mm,
com altura útil d=360 mm, adotando-se os coeficientes de
ponderação 2,0 e 1,15 para o grout e para o aço,
respectivamente.
Dados de projeto: aço CA – 50A; Vk=30 kN; AS=7,0 cm2
VSd=1,4x30=42 kN
Tensão cisalhante de cálculo:
42 × 103
τ vd =
≅ 0,61 < 0,7 MPa
190 × 360
334
Força cortante
Tensão cisalhante característica: ρ v d =
As
7,0
=
≅ 1,02%
bd 19 × 36
fv k = 0,35 + 17,5ρ = 0,35 + 17,5 × 1,02% ≅ 0,53 MPa
Calcular a armadura
0,53
τ v d = 0,61 >
=
≅ 0,27 MPa transversal.
γ m 2,0
A sw
Vd − Va
= a sw =
Armadura transversal:
s
0,5f y dd
fv k
Va = fv dbd = 0,27 × 190 × 360 × 10 -3 ≅ 18,47 kN
4
(
)
42
−
18,47
×
10
fy k
2
a
=
≅
3,01
cm
/m
fy d =
= 435 MPa
sw
0,5 × 435 × 360
γm
2 × 0,32
≅ 21 m φ 6,3 c20
Estribos
3,01
335
Força cortante
Exemplo
Usar os dados do exemplo anterior, mas com Vk=38 kN.
VSd=1,4x38=53,2 kN
53,2 × 103
τ vd =
≅ 0,78 > 0,7 MPa
190 × 360
Aumentar a seção
transversal.
Notas:
O limite 0,7 MPa é muito baixo.
A resistência da biela dessa viga atende as
prescrições do Eurocode 6.
336
Força cortante
Exemplo (Eurocode 6)
Dimensionar à força cortante a seção transversal de
blocos vazados de concreto com dimensões 140 mm x
400 mm, com altura útil d=360 mm, adotando-se os
coeficientes de segurança 2,5 para o grout C12 e 1,15
para o aço.
DADOS DE PROJETO: aço CA – 50A; Vk=38 kN.
VSd=1,4x38=53,2 kN
VRd1 =
fv bbd
γm
VSd > VRd1
=
fvb=0,27 MPa (tabela EC6)
0,27 × 140 × 360
= 5443N ≅ 5,4 kN
2,5
Calcular a armadura
transversal
337
Força cortante
Armadura transversal:
α = 900
asw
VSd − VRd1
 A sw 
=
=
 s  0,9d fy k (1 + cot α)sen α
γs
(
53,4 - 5,4 )× 103
=
= 339 mm2 / m
500
(1 + 0 )×1
0,9 × 360 ×
1,15
s=
2 × 32
= 0,19 m ∴ φ 6,3c19 cm
339
338
Força cortante
Compressão na biela:
VRd2
VRd2
 fy k
 (1 + cot α)sen α
 γs
500
= 0,9 × 360 × 339 ×
× (1 + 0 )× 1 = 47,8 kN
1,15
A
= 0,9d sw
 s
Verificação:
VSd≤VRd1+VRd2≤0,3fkbd/ γ m
5,4+47,8=53,2 kN<0,3X10X140X360/(2,5x1000)=60,5 kN
OK!!!!
339
FORÇA CORTANTE
Exemplo
Determinar a tensão de cisalhamento na seção
ilustrada. Fatores de ponderação: 2,0 e 1,15.
600
500
500
ρs=0,5%
500
190 (mm)
17 kN
V
DFC
2.100 mm
340
FORÇA CORTANTE
V = 12,95 kN
1,4V 1,4 × 12,9 × 103
τ vd =
=
≅ 0,19 MPa < 0,7 MPa
bd
190 × 500
fv k = 0,35 + 17,5ρ = 0,35 + 17,5 × 0,5% ≅ 0,44 MPa
fv k
Adotar armadura
τ v d = 0,19 MPa < = 0,22MPa
mínima
γm
A sw ,mín = 0,05%bd = 0,05%× 19 × 50 = 0,475 cm 2 ∴2φ 5 mm
Espaçamento dos estribos s=0,5d=25 cm.
Adotar estribos ϕ=5 mm cada 25 cm.
341
FORÇA CORTANTE
Exemplo
300
400
Detalhar a armadura calculada para resistir à força
cortante.
A sw
mm2
= 182
asw =
s
m
1a OPÇÃO: φt = 5 mm
Aφ = 20 mm2
20
d
s=
≅ 0,11 m < = 15 cm
OK!
182
2
Um tramo
140 (mm)
2a OPÇÃO: φt = 5 mm
1 φ 5 c 11
2 × 0,20
d
s=
≅ 0,22 m > = 15 cm
1,82
2
Adotar s = 15 cm ∴φ 5 c 15
Dois tramos
ou
342
ADERÊNCIA
Aderência
A força de tração na armadura varia em função da
variação do momento de flexão.
Formulação teórica
M
T=
z
Força de tração
Tensão de aderência
τ
dx
T + dT =
M + dM
z
Equilíbrio
τ ⋅ dx = (T + dT ) − T = dT
343
ADERÊNCIA
τ=
dT d  M  1 dM V
=
=
 = ⋅
dx dx  z  z dx z
Resistência de aderência característica
Tipo de
aderência
Barras
corrugadas
Barras
lisas
Entre aço e
argamassa
0,10
0,00
Entre aço e
grout
2,20
1,50
Nos cálculos, em geral, adota-se z=0,9d .
344
ADERÊNCIA
Exemplo
600
500
200
Verificar a tensão de aderência nas barras
corrugadas da seção ilustrada.
V = 60 kN
Tensão de aderência:
1,4V
τ bd =
(∑ p ).z
∑ p = π ×12,5 × 3 ≅ 118 mm
z = 0,9d = 0,9 × 50 = 45 cm
1,4 × 60 × 103
2,20
Não atende
=
= 1,58 MPa >
= 1,10 MPa
118 × 450
γm
3 φ 12,5 (mm)
τ bd
Força cortante atuante:
345
ADERÊNCIA
Bitolar com 3ϕ10 + 3ϕ8 para aumentar o perímetro
da armadura.
∑ p = π (10 × 3 + 8 × 3) ≅ 170 mm
Tensão de aderência:
τ bd
1,4 × 60 × 103
2,20
=
= 1,10 MPa =
= 1,10 MPa
170 × 450
γm
Atende.
346