Sistema Massa, Mola e Amortecedor

1. Simulação da solução analítica do Sistema Massa-Mola-Amortecedor do Exemplo 1
1.1. Solução analítica:
1.1.1. Modelo:
&x& + 5 x& + 4 x = f
1.1.2. Solução analítica:
x(t ) = 3e − t − 2e −4t
1.1.3. Arquivo para simulação no Matlab:
% Simulaçao de um sistema massa-mola-amortecedor usando o Matlab - Janeiro de 2006
% Autor: Edson Nemer
clc;
clear;
format short;
t=0:0.1:10;
x=3*exp(-t)-2*exp(-4*t);
plot(t,x);
title('Soluçao do Exemplo 1');
xlabel('X');
ylabel('y=f(x)');
grid;
1.1.4. Gráfico obtido na simulação com o Matlab:
1.2. Representação do Sistema Massa-Mola-Amortecedor do Exemplo 1 em Variáveis de
Estado
1.2.1. Modelo:
&x& + 5 x& + 4 x = f
∴ &x& = −4 x − 5 x& + f
1.2.2. Conversão para variáveis de estado:
Se definirmos uma variável de estado como a posição x1 = x e o outro estado como a
velocidade x2 = ẋ , teremos:
⎧ x1 = x
⎧ x&1 = x 2
⇒ ⎨
⎨
⎩ x 2 = x&
⎩ x& 2 = −4 x1 − 5 x 2 + f
Logo, temos que:
⎡ x&1 ⎤ ⎡ 0 1 ⎤
⎢ x& ⎥ = ⎢− 4 − 5⎥
⎦
⎣ 2⎦ ⎣
⎡ x1 ⎤ ⎡0⎤
⎢ x ⎥ + ⎢ 1⎥ f
⎣ 2⎦ ⎣ ⎦
1.2.3. Arquivo para simulação no Matlab:
1.2.4. Plotando simulação executada no Simulink
Para plotar a simulação do Simulink, executar o arquivo abaixo. Este código apanha os valores
das variáveis de interesse que foram armazenadas e plota dentro do ambiente do Matab.
% Simulaçao de um sistema massa-mola-amortecedor usando o Matlab - 08 de Janeiro de 2006
% Autor: Edson Nemer
disp('*********************************************************************************************************** ');
% Este codigo e para ser executado apos a simulaçao massamola do Simulink ter sido executada.
load massamola;
plot(masMolAmort(1,:),masMolAmort(2,:));
title('Soluçao do Exemplo 1 implementado no Simulink');
xlabel('X');
ylabel('y=f(x)');
grid;
1.2.5. Gráfico obtido na simulação com o Matlab:
2. Simulação da solução analítica do Sistema Massa-Mola-Amortecedor do Exemplo 2
2.1. Modelo:
&x& + 3x& + 8.5 x = f
2.2. Solução analítica:
x(t ) = 2,79e −1,5t sen(2,5 t + 0,367)
2.3. Arquivo para simulação no Matlab:
% Simulaçao de um sistema massa-mola-amortecedor usando o Matlab - 09 de Janeiro de 2006
% Autor: Edson Nemer
clc;
clear;
format short;
disp('*********************************************************************************************************** ');
% Equaçoes Diferenciais Ordinarias
x=zeros(1,101);
t=0:0.1:10;
x=2.79.*exp(-1.5*t).*sin(2.5*t+0.367);
plot(t,x);
title('Soluçao do Exemplo 2');
xlabel('X');
ylabel('y=f(x)');
grid;
2.4. Gráfico obtido na simulação com o Matlab:
3. Representação do Sistema Massa-Mola-Amortecedor do Exemplo 2 em Variáveis de Estado
3.1. Modelo:
&x& + 3x& + 8.5 x = f
∴ &x& = −8.5 x − 3x& + f
3.2. Conversão para variáveis de estado:
Se definirmos uma variável de estado como a posição x1 = x e o outro estado como a
velocidade x2 = ẋ , teremos:
⎧ x1 = x
⎧ x&1 = x 2
⇒ ⎨
⎨
⎩ x 2 = x&
⎩ x& 2 = −8.5 x1 − 3 x 2 + f
Logo, temos que:
⎡ x&1 ⎤ ⎡ 0 1 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡0 ⎤
⎢ x& ⎥ = ⎢− 8.5 − 3⎥ ⎢ x ⎥ + ⎢ 1⎥ f
⎦ ⎣ 2⎦ ⎣ ⎦
⎣ 2⎦ ⎣
3.3. Arquivo para simulação no Matlab:
y = [1
⎡ x1 ⎤
0] ⎢ ⎥
⎣ x2 ⎦
3.4. Plotando simulação executada no Simulink
Para plotar a simulação do Simulink, executar o arquivo abaixo. Este código apanha os valores
das variáveis de interesse que foram armazenadas e plota dentro do ambiente do Matab.
% Simulaçao de um sistema massa-mola-amortecedor usando o Matlab - 09 de Janeiro de 2006
% Autor: Edson Nemer
disp('*********************************************************************************************************** ');
% Este codigo e para ser executado apos a simulaçao massamola do Simulink ter sido executada.
load massamola;
plot(masMolAmort(1,:),masMolAmort(2,:));
title('Soluçao do Exemplo 2 implementado no Simulink');
xlabel('X');
ylabel('y=f(x)');
grid;
3.5. Gráfico obtido na simulação com o Matlab:
Referências:
1) Franklin, Powell, Emami-Naieni: "Feedback Control of Dynamic
Systems". Addison-Wesley, 1986.
2) D'Azzo e Houpis. "Análise e Projeto de Sistemas de Controle
Lineares". Editora Guanabara, 1984.
3) Palm III, W. J. Control Systems Engineering. Wiley, 1986.