Matrizes: Determinante, Traço, Invertibilidade e Diagonalização

UNIVERSIDADE da MADEIRA
Departamento de Matemática e Engenharias
MATEMÁTICA I
Licenciaturas em Bioquı́mica e Quı́mica
1o Semestre 2005/2006
Folha de exercı́cios no 5
Matrizes: Determinante, Traço, Invertibilidade e Diagonalização. Produto Externo
1. Seja A =
a b
c d
, tal que |A| =
6 0. Mostre que A−1 =
1
|A|
d −b
−c a
.
2. Determine as inversas das matrizes
A=
0 2
3 0
; B=
cos θ − sin θ
sin θ cos θ
3. Considere o sistema



2 −1 0
0 0 1
; C =  1 0 0  ; D =  −1 2 −1 
0 −1 2
0 1 0


 2x − y = 4
2y − x − z = 2

2z − y = 8
Resolva-o de duas formas diferentes:
(a) Pelo método de eliminação de variáveis.
(b) Resolvendo a equação matricial correspondente.
4. Dê três exemplos de matrizes de dimensão
(2 × 2), diferentes de I e de −I, e tais que elas
coincidam com o seu inverso A2 = I .
5. Se |A| =
6 0, então existe A−1 . Dê exemplos de matrizes A e B tais que
(a) A + B não seja invertı́vel mesmo que A e B o sejam.
(b) A + B seja invertı́vel mesmo que A e B não o sejam.
6. Calcule o determinante da matriz

1
A= 4 
2

1
2 −1 2
7. Calcule o determinante e o traço das seguintes matrizes:




a 0 0
2 0 1
2 −1
C= c b 0 
A=
B= 1 2 1 
4 3


 c b d
 0 1 1


1 1 2 4
1
1 2 0
1 1 2
 2 2 4 3 
 −1 1 1 2 


F =
E=
D= 2 1 3 
 1 3 2 2 
 2 −1 1 1 
2 3 5
3 4 6 1
1
1 1 1


1 1 k
8. Considere a matriz A =  0 2 −1 . Determine para que valores de k ∈ R a matriz
−1 0 1
A é invertı́vel.
9. Supondo que A e B são invertı́veis do tipo n × n, determine em função dos determinantes
de A e de B:
(a) det 2A
(b) det AB
−1
(c) det (AB)
(d) det 4A−1
−1
T
(f ) det 12 A 3B T
(e) det AB
10. Resolva
(a) as equações seguintes:
k 0 0 0 −1 1 = 0.
1 1 k (b)
1 k 1
0 −1 1
1 0 2
= 1.
11. Sejam u = (−1, 3, 1) ; v = (0, 1, 1) e w = (1, −4, 1). Calcule os seguintes produtos externos:
(a) u × v
(b) v × w
(c) u × (v × w)
(d) (u × v) × w
12. Encontre 2 vectores ortogonais a u e v para:
(a) u = (1, 1, 1)
(b) u = (1, 2, 1)
v = (2, −1, −2).
v = (−1, 2, 0).
13. Considere as seguintes matrizes:






7
5 −1
1 0 0
1
5 −1
2 1
A=
, B =  0 −2 1  , C =  0 0 −1  , D =  0 −2 1 
2 3
20 0
3
0 1 0
−4 0
3
(a) Determine os valores e vectores próprios de cada uma das matrizes.
(b) Verifique que o traço das matrizes é igual à soma dos respectivos valores próprios e
que o determinante é igual ao produto dos valores próprios.
14. Encontre uma matriz diagonalizante para cada uma das seguintes matrizes




2 1 1
1
5 −1
B= 2 3 2 
A =  0 −2 1 
3 3 4
−4 0
3
e mostre que a matriz que apresentou é de facto diagonalizante.
2
Soluções:
2.
A−1 =
0
1
2
1
3
0
; B −1 =
cos θ sin θ
− sin θ cos θ
; C −1


0 1 0
=  0 0 1  ; D−1 = 
1 0 0

3
4
1
2
1
4
3. x = 6, y = 8, z = 8.
4. Por exemplo:
−1 0
0 1
0 12
e
.
;
2 0
π 1
1 0
5. Por exemplo:
0
(a) A =
1
0
(b) A =
0
0 1
; B=
.
−1 0
1
0 0
; B=
.
0
1 0
1
0

2 −1 2
6. A =  8 −4 8  ; |A| = 0.
4 −2 4

7. |A| = 10; trA = 5
|B| = 3; trB = 5
|C| = abd; trC = a + b + d
|D| = 0; trD = 7
|E| = 11; trE = 4
|F | = 0; trF = 6
3
8. A matriz A é invertı́vel para k ∈ R\ − 2 .
9.
(a) 2n |A|
(b) |A| |B|
10.
(a) k = −1 ou k = 0
11.
(a) (2, 1, −1)
(c)
1
|A||B|
(d)
4n
|A|
(e) |A| |B|
(f )
|A|
6n |B|
(b) k = 2
(b) (5, 1, −1)
(c) (−4, 4, −16)
(d) (−3, −3, −9)
12. Por exemplo:
(a)
(−1, 4, −3) e (1, −4, 3)
(b)
(−2, −1, 4) e (2, 1, −4)
13. Matriz A
• Valores próprios: λ1 = 1 e λ2 = 4.
• Os vectores próprios associados ao valor próprio λ1 = 1 são da forma (v1 , −v1 ).
Os vectores próprios associados ao valor próprio λ2 = 4 são da forma (v1 , 2v1 ).
• tr A = 2 + 3 = 1 + 4 = λ1 + λ2
e
det A = 4 = 1 · 4 = λ1 · λ2 .
3
1
2
1
1
2
1
4
1
2
3
4


Matriz B
• Valores próprios: λ1 = 3; λ2 = −3; λ3 = 2.
• Os vectores próprios associados ao valor próprio λ1 = 3 são da forma (0, v2 , 5v2 )
Os vectores próprios associados ao valor próprio λ2 = −3 são da forma 32 v3 , −v3 , v3
Os vectores próprios associados ao valor próprio λ3 = 2 são da forma (v2 , v2 , 4v2 )
• tr B = 1 − 2 + 3 = 3 − 3 + 2 = λ1 + λ2 + λ3
e
det B = −18 = 3 · (−3) · 2 = λ1 · λ2 · λ3 .
Matriz C
• Valores próprios: λ = 1.
• Os vectores próprios associados ao valor próprio λ = 1 são da forma (v1 , 0, 0), por
• tr C = 1 = λ
e det C = 1 = λ.
Matriz D
• Valores próprios: λ1 = 3 (valor próprio duplo), e λ2 = 2.
• Os vectores próprios associados ao valor próprio λ1 = 3 são da forma (0, v2 , 5v2 )
Os vectores próprios associados ao valor próprio λ2 = 2 são da forma (v1 , −5v1 , −20v1 )
• tr D = 7 − 2 + 3 = 3 + 3 + 2 = 2λ1 + λ2 e det D = 18 = 3 · 3 · 2 = λ21 · λ2 .
OBS: O valor próprio λ1 = 3 aparece duas vezes na soma e no produto dos valores
próprios porque é um valor próprio duplo.


0 1 3
14. Matriz diagonalizante para a matriz A: S =  1 1 −2 .
5 4 2


−1 −1 1
0 2 .
Matriz diagonalizante para a matriz B: S =  1
0
1 3
4