Capítulo 9 – Colisões Num processo de colisão de 2 partículas

Capítulo 9 – Colisões
Num processo de colisão de 2 partículas muitas coisas podem acontecer:
O processo de colisão pode ocorrer tanto por forças de contacto como no jogo de bilhar como
por interação à distância via gravitação ou forças elétricas.
Vejamos no caso da força entre duas bolas de bilhar
Temos da 3ª. Lei de Newton
Chamamos Impulso de uma força
Da equação (1) temos:
ou, chamando de
e
teremos a conservação do Momento Linear total antes e depois da colisão
. Logo,
As forças de contacto são de curta duração
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Colisões Elásticas e Inelásticas
Chamamos uma colisão de elástica se ela conserva energia cinética.
Na prática é muito difícil ter uma colisão completamente elástica. Por exemplo, quando duas
bolas de bilhar colidem ouve-se o som da batida e haverá um diminuto aumento da temperatura
das bolas. Isso significa que parte da energia cinética se transformou, de maneira irreversível,
em energia sonora e energia térmica. Como, porém, essa perda é muito pequena, da ordem de
3% ou 4%, podemos, para todos os efeitos, desprezá-la e considerar a colisão elástica.
Quando não há conservação da energia cinética, a colisão é dita inelástica.
Até hoje, a Física não precisou abrir mão do Princípio de Conservação de Energia: num
sistema isolado a sua Energia Total (mecânica, térmica, sonora, eletromagnética, etc) se
conserva.
Colisões Elásticas Unidimensionais
Suponhamos uma colisão unidimensional de 2 partículas (que rotularemos 1 e 2) na ausência de
forças externas. Como só há forças internas na colisão o vetor momento linear total do sistema
se conservará. Sejam e , o valor inicial (antes da colisão) e o valor final (depois da colisão),
respectivamente. A conservação de momento linear nos fornece a equação
A energia cinética pode ser escrita como
A energia cinética inicial
e a energia cinética final
serão iguais
A eq. (1) pode ser rescrita
E a eq. (2)
Dividindo (2´) por (1´) membro a membro, teremos
Ou
Numa colisão elástica unidimensional as velocidades relativas antes e depois da colisão se
invertem.
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Resolvendo o sistema de equações (1´) e (3) para
e
, temos
Ou, em termos de velocidades
Casos Particulares:
a) Massas Iguais
Ou seja, as partículas trocam de momento e de velocidade.
b) Alvo em repouso (partícula 2)
i)
Neste caso,
O corpo incidente 1 praticamente reflete no corpo 2 e o corpo 2 recua com baixíssima
velocidade.
ii)
Neste caso,
O corpo 1 praticamente não é freado e o corpo 2 é lançado com aproximadamente 2 vezes a
velocidade do 1.
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Reator Nuclear
As ideias acima podem ser usadas num reator atômico de U235. Neste reator, o núcleo do U235
absorve um nêutron lento, isto é, com energia entre 0,01 e 0,1 eV (
)e
fissiona seu núcleo em núcleos mais leves (o U235 tem fissão espontânea e induzida). Em geral,
neste processo, ele libera 2 a 3 nêutrons rápidos, com energia da ordem de
.
Estes nêutrons rápidos precisam ser moderados, isto é precisam ter sua energia reduzida. Para
isso, faz-se com que eles colidam com núcleos pesados como o Deutério (água pesada), ou o
Berílio ou o Carbono (grafite). O Hidrogênio seria ideal, mas o seu núcleo também absorve
nêutrons lentos.
Pressão
Outro conceito ligado ao choque elástico unidimensional é o da colisão de moléculas idênticas
de massa m e velocidade v contra uma parede. A colisão de 1 molécula transfere momento
. Se o número de colisões por unidade de tempo for então a força média será
e a pressão será
, onde
é o número de colisões por unidade
de área por unidade de tempo.
Colisões Inelásticas:
Não há conservação de energia cinética
Pêndulo balístico:
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Colisões Elásticas Bidimensionais
Em 2D, as velocidades finais dos corpos 1 e 2 introduzem 4 incógnitas: as componentes x e y
das velocidades finais 1 e 2. A conservação do vetor Momento Linear total em 2D nos fornece 2
equações e a conservação da energia cinética nos fornece mais 1 equação...logo é necessário que
o experimento nos forneça mais 1 informação adicional para resolvermos integralmente a
colisão elástica 2D.
Na figura acima, o corpo 2 está inicialmente em repouso. A distância b é chamada de parâmetro
de choque.
A conservação de momento linear nos fornece
Logo, os 3 vetores de momento linear estão no mesmo plano.
A conservação da energia cinética
Portanto temos 4 incógnitas
,
nos fornece
,
e
e somente 3 equações.
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a) Massas Iguais
Neste caso,
, e a eq. (3) fica
Tomando o produto escalar de
Logo,
e
com ele mesmo teremos
são ortogonais.
Donde
e
( )
( )
A colisão leva as partículas somente para o hemisfério dianteiro, pois teremos neste
caso,
.
b) Caso Geral
Da conservação de momento linear
Da conservação de energia cinética
Logo,
Cujas soluções são:
Como
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1) Se
Então somente a solução positiva é aceitável
Neste caso, pode haver espalhamento para o hemisfério traseiro pois
2) Se
teremos
Logo,
Então, como no caso
precisamente, no cone
, o espalhamento se faz somente no hemisfério dianteiro, mais
.
As 2 soluções são aceitáveis:
Cada uma delas gera diferentes soluções para
.
Descrição no CM
A descrição da colisão no CM é sempre mais fácil mesmo quando
Teremos:
E
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Vejamos a relação entre a energia cinética no Laboratório e no CM
Multiplicando os dois membros da equação por
, somando em j e dividindo por 2
Ou seja
Portanto,
Em palavras, a energia cinética no referencial de Laboratório é igual à soma da energia cinética
no referencial de CM mais a energia cinética do CM. Obviamente, quando T se conserva, T´ se
conserva.
Na construção de aceleradores de partículas busca-se atingir o maior valor possível de energia
cinética no processo de colisão. Para essa tarefa, o referencial de CM é mais indicado do que o
de Laboratório, pois este último tem um custo maior já que tem que acrescentar a energia
cinética do CM.
Vamos agora analisar a mudança de referencial CM e Lab.
Ou seja,
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Substituindo (5) em (1a), (2a), (3a) e (4a) teremos
Como conhecemos
podemos obter
de (1b) e em seguida obter
de (3b). Portanto,
todos os vetores momentos lineares iniciais no CM,
e
, serão conhecidos e obtidos a
partir do vetor momento linear
do referencial de Laboratório.
Vejamos agora, os vetores momentos lineares finais no CM. O vetor
de (4b). Fazendo o produto escalar de (2b) com (2b) temos
pode ser obtido de
Ou
Fazendo o produto escalar de (1b) com (2b) temos
Ou
Em resumo,
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Colisões Inelásticas Bidimensionais
Vamos supor uma colisão inelástica da partícula 1 sobre 2 (em repouso) e que podem sair (sem
conservar energia cinética) as mesmas 2 ou 2 diferentes 3 e 4, como é comum acontecer em
reações nucleares (veja figura abaixo).
A conservação de momento linear nos fornece
Teremos novamente um único plano de colisão!
Definimos o fator Q de uma colisão inelástica como a variação da energia cinética do sistema
Se
A conservação de momento nos dá 2 equações (componentes x e y de
geral, precisamos de e
para determinarmos Q.
) e 4 incógnitas.Em
Supondo velocidades não relativísticas (em muitas reações nucleares essa hipótese é violada 1)
temos
Donde
1
Na relatividade especial
,
portanto,
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Que substituindo em (1) nos dá
Exemplo:
A reação nuclear dêuteron + dêuteron gerando um próton e um tríton
O deutério (trítio) é um átomo composto de 1 próton e 1 nêutron (2 nêutrons) no seu núcleo e 1
elétron orbitando. O dêuteron (tríton) é o seu núcleo.
Bombardeando-se um alvo de deutério em repouso com um feixe de dêuterons de energia 4
Mev, verifica-se que os prótons que emergem a 90º da direção do feixe têm uma energia de 4
Mev. Qual o Q da reação?
Onde 1 u.m.a é a unidade de massa atômica que é igual a 1/12 da massa do carbono 12 (que
tem 6 prótons, 6 nêutrons e 6 elétrons). Substituindo em (2) obtemos Q = 4 Mev. Como Q > 0, o
processo é exoérgico.
Consideremos agora uma operação de captura ou colisão totalmente inelástica.
Como Q < 0 o processo é endoérgico e
é a chamada massa reduzida.
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