5ª Lista de exercícios

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C AMPUS E XPERIMENTAL DE S OROCABA – Á LGEBRA L INEAR
Quinta Lista de Exercı́cios de Álgebra Linear
1. Determine se o conjunto V dado abaixo é fechado em relação às operações ⊕ e ⊙:
(a) V é o conjunto de todos os pares ordenados de números reais (x, y), onde x > 0 e y > 0:
(x, y) ⊕ (x′ , y ′ ) =
k ⊙ (x, y) =
(x + x′ , y + y ′ )
(kx, ky)
Resp.: Fechado para ⊕, não é fechado para ⊙.
(b) V é o conjunto de todos os polinômios do tipo at2 + bt + c, onde a, b e c são números reais com b = a + 1:
(a1 t2 + b1 t + c1 ) ⊕ (a2 t2 + b2 t + c2 )
k ⊙ (at2 + bt + c)
= (a1 + a2 )t2 + (b1 + b2 )t + (c1 + c2 )
= (ka)t2 + (kb)t + (kc)
Resp.: Não é fechado para ⊕ e ⊙.
2. Nos exercı́cios abaixo, determine se o conjunto dado juntamente com as operações dadas é um espaço
vetorial. Se não for, relacione as propriedades da definição que não são válidas.
(a) O conjunto de todas as ternas ordenadas de números reais (x, y, z) com as operações:
(x, y, z) ⊕ (x′ , y ′ , z ′ ) =
k ⊙ (x, y, z) =
(x′ , y + y ′ , z ′ )
(kx, ky, kz)
(b) O cojunto de todas as ternas ordenadas de números reais do tipo (0, 0, z) com operações:
(0, 0, z) ⊕ (0, 0, z ′ ) = (0, 0, z + z ′ )
k ⊙ (0, 0, z) = (0, 0, kz)
Resp.: Espaço Vetorial.
(c) O conjunto de todos os pares ordenados de números reais (x, y) onde x ≤ 0, com as operações usuais
em R2 .
Resp.: Não é espaço vetorial.
(d) O conjunto de todos os números reais positivos u com as operações u ⊕ v = uv e k ⊙ u = uc .
Resp.: Espaço vetorial.
3. Quais dos seguintes subconjuntos de R4 são subespaços de R4 ? O conjunto de todos os vetores do tipo:
(Resp.: (b) e (c).)
(a) (a, b, c, d), onde a − b = 2.
(b) (a, b, c, d), onde c = a + 2b e d = a − 3b.
(c) (a, b, c, d), onde a = 0 e b = −d.
4. Quais dos seguintes subconjuntos de P2 são subespaços ? O conjunto de todos os polinômios do tipo: (Resp.:
(a) e (c).)
(a) a2 t2 + a1 t + a0 , onde a0 = 0.
(b) a2 t2 + a1 t + a0 , onde a0 = 2.
(c) a2 t2 + a1 t + a0 , onde a2 + a1 = a0 .
5. Quais dos seguintes subconjuntos do espaço vetorial Mmn são subespaços ? Resp.: (b)
(a) O conjunto de todas as triangulares superiores n × n.
(b) O conjunto de todas as matrizes n × n cujo determinante é igual a 1.
6. Para cada item, determine se o vetor dado pertence a [{v1 , v2 v3 }] onde:
v1 = (1, 0, 0, 1),
(a) v = (−1, 4, 2, 2)
Resp.: Não.
v2 = (1, −1, 0, 0),
(b) v = (−1, 1, 4, 3)
Resp.: Não.
v3 = (0, 1, 2, 1)
(c) v
=
(1, 2, 0, 1)
Resp.: Não.
(d) v
=
(0, 1, 1, 0)
Resp.: Não.
7. Para cada item, determine se o vetor p(t) dado pertence a [{p1 (t), p2 (t), p3 (t)}], onde
p1 (t) = t2 − t,
p2 (t) = t2 − 2t + 1,
(a) p(t) = 3t2 − 3t + 1 Resp.: Não.
2
(b) p(t) = t − t + 1 Resp.: Não.
p3 (t) = −t2 + 1
(c) p(t) = t + 1 Resp.: Não.
(d) p(t) = 2t2 − t − 1 Resp.: Sim.
8. Quais dos seguintes vetores geram R4 ? Resp.: (a) e (d).
(a) (1, 0, 0, 1), (0, 1, 0, 0), (1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0)
(b) (1, 2, 1, 0), (1, 1, −1, 0), (0, 0, 0, 1)
(c) (6, 4, −2, 4), (2, 0, 0, 1), (3, 2, −1, 2), (5, 6, −3, 2), (0, 4, −2, −1)
(d) (1, 1, 0, 0), (1, 2, −1, 1), (0, 0, 1, 1), (2, 1, 2, 1)
9. Os polinômios t3 + 2t + 1, t2 − t + 2, t3 + 2, −t3 + t2 − 5t + 2 geram P3 ? Resp.: Não.
10. Quais dos seguintes conjuntos de vetores em R3 são linearmente dependentes ? Para aqueles que forem,
expresse um vetor como uma combinação linear dos outros.
(a) {(1, 1, 2, 1), (1, 0, 0, 2), (4, 6, 8, 6), (0, 3, 2, 1)}; Resp.: (4, 6, 8, 6) = 3(1, 1, 2, 1) + (1, 0, 0, 2) + (0, 3, 2, 1).
(b) {(1, −2, 3, −1), (−2, 4, −6, 2)}; Resp.: (−2, 4, −6, 2) = −2(1, −2, 3, −1).
(c) {(1, 1, 1, 1), (2, 3, 1, 2), (3, 1, 2, 1), (2, 2, 1, 1)};
(d) {(4, 2, −1, 3), (6, 5, −5, 1), (2, −1, 3, 5)}. Resp.: (6, 5, −5, 1) = 2(4, 2, −1, 3) − 2(2, −1, 3, 5).
11. Considere o espaço vetorial M22 . Siga as instruções do exercı́cio anterior.
("
# "
# "
# "
#)
1 1
1 0
0 3
2 6
(a)
,
,
,
Resp.: L.D.
1 2
0 2
1 2
4 6
#)
# "
# "
("
0 1
1 0
1 1
Resp.: L.I.
,
,
(b)
0 2
0 2
1 1
("
# "
# "
# "
#)
1 1
2 3
3 1
2 2
(c)
,
,
,
Resp.: L.I.
1 1
1 2
2 1
1 1
12. Para quais valores de c os vetores (−1, 0, 1), (2, 1, 2) e (1, 1, c) em R3 são lienarmente dependentes ? Resp.:
c = 1.
13. Quais dos seguintes conjuntos de vetores são bases para R2 ? Resp.: (a) e (d).
(a) {(1, 3), (1, −1)}
(b) {(0, 0), (1, 2), (2, 4)}
(c) {(1, 2), (2, −3), (3, 2)} (d) {(1, 3), (−2, 6)}
14. Quais dos seguintes conjuntos de vetores são bases para R4 ? Resp.: (a) e (d).
(a) {(1, 0, 0, 1), (0, 1, 0, 0), (1, 1, 1, 1), (0, 1, 1, 1)}
(b) {(1, −1, 0, 2), (3, −1, 2, 1), (1, 0, 0, 1)}
(c) {(−2, 4, 6, 4), (0, 1, 2, 0), (−1, 2, 3, 2), (−3, 2, 5, 6), (−2, −1, 0, 4)}
(d) {(0, 0, 1, 1), (−1, 1, 1, 2), (1, 1, 0, 0), (2, 1, 2, 1)}
15. Quais dos seguintes conjuntos de vetores são bases para P3 ? Resp.: (c).
(a) t3 , +2t2 + 3t, 2t3 + 1, 6t3 + 8t2 + 6t + 4, t3 + 2t2 + t + 1
(b) t3 + t2 + 1, t3 − 1, t3 + t2 + t
(c) t3 + t2 + t + 1, t3 + 2t2 + t + 3, 2t3 + t2 + 3t + 2, t3 + t2 + 2t + 2
(d) t3 − t, t3 + t2 , t − 1
16. Quais dos seguintes subconjuntos dados formam uma base para R3 . Expresse o vetor (2, 1, 3) como uma
combinação linear dos vetores em cada subconjunto que é uma base. Resp.: (a).
(a) {(1, 1, 1), (1, 2, 3), (0, 1, 0)}
(b) {(1, 2, 3), (2, 1, 3), (0, 0, 0)}
17. Quais dos seguintes subconjuntos dados formam uma base para P2 . Expresse 5t2 − 3t + 8 como uma
combinação linear dos vetores em cada subconjunto que é uma base. Resp.: (a).
(a)
2
t + t, t − 1, t + 1
(b)
t2 + 1, t − 1
18. Seja S = {v1 , v2 , v3 , v4 } onde
(a) v1 = (1, 2, 2)
(b) v2 = (3, 2, 1)
(c) v3 = (11, 10, 7)
(d) v4 = (4, 7, 6)
Encontre uma base para o subespaço W = [S] de R3 . Qual é a dimensão de W , dimW ? Resp. possı́vel:
{v1 , v2 }, dim(W ) = 2.
19. Considere o seguinte subconjunto de P3 :
S = {t3 + t2 − 2t + 1, t2 + 1, t3 − 2t, 2t3 + 3t2 − 4t + 3}.
Encontre uma base para o subespaço W = [S]. Qual é a dimensão de W , dimW ? Resp. possı́vel:
{t3 + t2 − 2t + 1, t2 + 1}, dim(W ) = 2.
20. Suponha que as bases são ordenadas. Calcule o vetor de coordenadas de v em relação à base S .
("
# "
#)
"
#
1
0
3
2
(a) V é R , S =
,
,v=
.
0
1
−2
(b) V é P1 , S = {t + 1, t − 2}, v = t + 4.
# "
# "
("
0
0 0
1 0
,
,
(c) V é M22 , S =
0
1 0
0 0
1
0
# "
,
0 0
0 1
#)
,v=
"
1 0
−1 2
#
.
21. Calcule o vetor v se o vetor de coordenadas [v]S é dado em relação à base S para V .
("
# "
#)
"
#
2
−1
1
2
(a) V é R , S =
,
, [v]S =
.
1
1
2
(b) V é P1 , S = {t, 2t − 1}, [v]S =
(c) V é M22 , S =
("
−1 0
1 0
"
# "
,
1
2
2
0
#
.
2
1
# "
,
1 2
−1 3
# "
,
0 0
2 3
#)



, [v]S = 

2
1
−1
3



.

22. Sejam S = {(1, 2), (0, 1)} e T = {(1, 1), (2, 3)} bases para R2 . Sejam também v = (1, 5) e w = (5, 4).
(a) Encontre os vetores de coordenadas de v e w em relação à base T .
(b) Qual é a matriz mudança de base PS→T da base T para a base S ?
(c) Encontre os vetores de coordenadas de v e w em relação à S usando PS→T .
(d) Encontre os vetores de coordenadas de v e w em relação à S diretamente.
(e) Encontre a matriz mudança de base QT →S da base S para a base T .
(f) Encontre os vetores de coordenadas de v e w em relação à T usando QT →S . Compare as respostas
com as do item (a).
23. Sejam S = {t2 + 1, t − 2, t + 3} e T = {2t2 + t, t2 + 3, t} as bases para P2 . Sejam também v = 8t2 − 4t + 6
e w = 7t2 − t + 9. Siga as instruções do exercı́cio anterior.
24. Sejam
# "
0
0
25. Sejam S = {(1, −1), (2, 1)} e T = {(3, 0), (4, −1)} as bases para R2 . Se v ∈ R2 e [v]T =
"
S=
("
1
0
0
0
# "
,
0 1
1 0
# "
,
0
0
2
1
# "
,
0 0
1 1
#)
1
1
#
e
T =
("
1
0
1
0
# "
,
0 0
1 0
,
0
1
# "
,
1 0
0 0
#)
bases para M22 . Sejam também
v=
"
1
1
e
w=
"
1 2
−2 1
#
Siga as intruções do exercı́cio (22).
1
2
#
, determine
[v]S .
26. Sejam S = {v1 , v2 , v3 } e S = {w1 , w2 , w3 } bases para R3 , onde v1 = (1, 0, 1), v1 = (1, 1, 0) e v1 = (0, 0, 1).
Se a matriz mudança de base de T para S é

1
1 2


1 1 
 2
−1 −1 2

determine T .
27. Sejam S = {v1 , v2 } e S = {w1 , w2 } bases para R2 , onde v1 = (1, 2) e v1 = (0, 1) . Se a matriz mudança de
base de T para S é
"
#
2 1
1 1
determine T .