Teoria cinética dos gases

2/13/2017
TEORIA CINÉTICA DOS
GASES
Prof. Harley P. Martins Filho
• Postulados fundamentais da Teoria Cinética
 Um gás é composto por um grande número de partículas
diminutas
 Na ausência de um campo de forças estas partículas movem-se
em linha reta incessantemente
 Estas partículas colidem raramente, e, quando acontece, a
colisão é elástica
1
2/13/2017
• Pressão exercida por um gás
Área A
Colisão de uma partícula com a parede  pressão
momentânea exercida.
Pressão total do gás resulta do somatório de impactos de todas
as partículas.
Pressão momentânea exercida por uma partícula em uma parede da
caixa:
P
P
F
dv
e F  ma  m
A
dt
Aceleração da partícula ocorre no
momento do choque:
Antes do choque: velocidade v1
Depois do choque: velocidade –v1
t
 v = –v1 – (v1) = -2v1
Se o tempo de colisão é tcol , a = -2v1/tcol  F1 = -2v1m/tcol
Mas esta é a força que a parede exerceu na partícula. A força
exercida pela partícula é o negativo deste valor: Fpart 1 = 2v1m/tcol
2
2/13/2017
Mas devemos calcular a força média exercida pela partícula,
considerando o tempo total de uma colisão a outra, por exemplo.
Tempo t1 decorrido entre uma colisão e outra (= tempo que inclui
uma colisão inteira):
v1 = 2l/t1  t1 = 2l/v1
Caminho percorrido: 2l
Na maior parte do tempo, entre uma colisão e outra (t1 - tcol ), a
força é nula:
 2v m 
(t1  tcol )  0  tcol  1 
2
 tcol   2v1m  v1 m
Fmédia 1 
2l
t1
l
v1
Pressão média exercida pela partícula 1:
P1 
Fmédia 1 mv12 mv12


A
lA
V

Para o conjunto de partículas: P   Pi   m  v12  v22  v32  ...
V 
i
Definindo:
2
2
2
2

v  (v1  v2  v3  ...) / N
P
Nmv 2
V
Efeito de colisões:
v2
v1
 Partícula 1 aumenta sua frequência de colisões com a parede
mas partícula 2 não colide com a mesma parede. Em termos de
colisões, é o mesmo efeito das duas partículas separadas.
Na verdade o cálculo só precisou levar em conta uma
componente da velocidade molecular (x, digamos). É mais
conveniente expressar o resultado em termos de uma velocidade
média quadrática global.
3
2/13/2017
Levando em conta movimentação em todas as direções:
c 2  vx2  v y2  vz2
onde c é a velocidade quadrática média das partículas. Mas as
três componentes da velocidade quadrática média são iguais:
c 2  3v x2

Nmc 2
P
3V
Equação fundamental da Teoria Cinética
Numa mistura de gases, os impactos das moléculas de um gás
são independentes dos impactos das moléculas dos outros gases
 Lei de Dalton das pressões parciais segue naturalmente da
Teoria Cinética.
• Consequências da Teoria Cinética
Energia cinética de uma partícula: EK (i ) 
 Equação fundamental: P 
Nmc 2 2 NEK
2

ou PV  NEK
3V
3V
3
Gás ideal: PV = nRT  nRT 
Mas n = N/NA 
T 
RT 
1 2
1
mci  EK  mc 2
2
2
2
NE K
3
2
N A EK
3
2N A
EK
3R
Interpretação: temperatura é uma medida da energia cinética
média do movimento caótico das partículas.
4
2/13/2017
Equação não contém nenhum parâmetro dependente da natureza
do gás  A uma certa temperatura, todos os gases possuem a mesma
energia cinética média.
Mas N A E K dá a energia cinética total associada a um mol de
partículas EK:
3
2N A
2 EK
T
EK 
 EK  RT
2
3R
3R
 Razão das velocidades médias quadráticas para dois gases em
uma mesma temperatura:
1

1

E K ( A)  E K ( B )  N A  m Ac A2   N A  mB cB2 
2

2

2
c
M
Mas M i  mi N A  M Ac A2  M B cB2  A2  B
cB M A
1/ 2
c A2  M B 

 2  
cB  M A 
Lei da efusão de Graham
 Velocidade quadrática média para um gás
EK 
3
3
1
 3
RT  N A E K  RT  N A  mc 2   RT 
2
2
2
 2
1/ 2
 3RT 
c

 M 
Exemplo: O2 a 27C  c = 483,56 m s-1 (1741 km h-1)
 Velocidade média das partículas
Fazendo-se a média comum dos módulos das velocidades das
partículas usando-se a distribução de velocidades de Maxwell,
chega-se a
1/ 2
 8RT 
c 

 M 
5
2/13/2017
 Capacidade calorífica dos gases
Capacidade calorífica molar de uma substância é a quantidade
de calor requerida para elevar a temperatura de um mol da
substância em um grau Celsius.
Cm 
dQ
em uma temperatura especificada
dT
Em uma troca de calor a volume constante, todo o calor é
transformado em energia cinética.
dE
 dQ 

  K
dT
 dT V
Mas pela Teoria Cinética, E K 
3
3
RT  CV ,m  R
2
2
Mas estes resultados só são válidos para partículas que só têm
movimento de translação (átomos). Para moléculas, calor absorvido
pode aumentar energia cinética de rotações e vibrações.
Para moléculas diatômicas, por exemplo, CV,m = (5/2)R
6
2/13/2017
• Colisões intermoleculares
Velocidade média relativa de
uma partícula em relação às
outras:
crel  2c
Área da seção de choque:  =
d2. Se centro de outra partícula
estiver dentro do tubo de
choque, ocorre colisão.
Comprimento do tubo de choque: crel t
Pode-se demonstrar que a frequência de colisões para uma
partícula é dada por
z  2c
P
kT
k (constante de Boltzmann) = 1,3806610-23 JK-1
Exemplo: N2 a 1 atm e 25C ( = 0,43 nm2)  z = 5109 s-1
 Caminho livre médio (distância percorrida entre duas colisões )
Tempo transcorrido entre colisões (ou tempo que contém uma
colisão):
P
colisões  1 seg.
kT
Uma colisão
 t1
2c
t1 
kT
2c P
7
2/13/2017
Caminho percorrido neste tempo ():
  c t1  c
kT

2c P

kT
2P
Exemplo: N2 a 1 atm e 25C ( = 0,43 nm2)

1,38066 1023  298
 6,7  108 m
18
2  0,43  10  101325
Comparação do caminho livre médio com as dimensões
moleculares:
d

0,43  1018

 3,7  1010 m

3,1416
Relação caminho livre/diâmetro molecular:

d
 181,1
8