Geometria Plana

Curso Alcance – 2017
Aula: Geometria Plana I
Professor Voluntário: Stella e Lucas
FÓRMULAS:
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Trigonometria no triângulo retângulo
𝐶𝑂
Polígonos e seus ângulos
S = ( n – 2 ) . 180
Diagonais dos polígonos
𝒏(𝒏−𝟑)
D=
𝟐
𝐶𝐴
𝐶𝑂
sen(Ɵ) = 𝐻𝑖𝑝 ; cos(Ɵ) = 𝐻𝑖𝑝 ; tg(Ɵ) = 𝐶𝐴
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Lei dos Senos
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Lei dos Cossenos
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a =b +c –2·b·c·cosθ ; b = a + c – 2·a·c·cosβ ; c = a + b – 2·a·b·cosα
ELEMENTOS DE UM POLÍGONO
Os polígonos possuem alguns elementos, como: Lados, vértices, diagonais, ângulos internos
e ângulos externos.
POLÍGONOS CONVEXOS E CONCÂVOS
 Os polígonos podem ser convexos ou não, o que é determinado pelo tamanho de seus ângulos. Caso
os ângulos sejam menores do que 180°, ele será convexo.
 Quando o polígono apresentar um ângulo maior do que 180°, será côncavo.
POLÍGONOS E SEUS ÂNGULOS
O que vai determinar a soma dos ângulos internos de um polígono, é a quantidade de lados (n) que
ele possui. Para calcular, podemos usar a fórmula:
S = ( n – 2 ) . 180
Onde S é a soma dos ângulos internos e n o número de lados.
POLÍGONOS E SUAS DIAGONAIS
Para calcular o número de diagonais, precisamos do número de lados:
D=
𝒏(𝒏−𝟑)
𝟐
Onde n é o número de lados e d o número de diagonais.
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TRIGONOMETRIA NO TRÂNGULO RETÂNGULO
ÂNGULOS NOTÁVEIS
LEI DOS SENOS
• A Lei ou o Teorema dos Senos determina que num triângulo, a relação do seno de um ângulo é
sempre proporcional à medida do lado oposto a esse ângulo.
• Aplicação da Lei dos Senos: A Lei dos Senos é geralmente usada, quando são conhecidos 2 ângulos
internos e a medida do cateto oposto a um desses ângulos.
LEI DOS COSSENOS
• A lei dos cossenos permite encontrar o valor da medida de um lado de um triângulo qualquer se a
medida dos outros lados e o ângulo por eles formado for conhecido.
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a =b +c –2·b·c·cosθ ; b = a + c – 2·a·c·cosβ ; c = a + b – 2·a·b·cosα
CIRCUNFERÊNCIA TRIGONOMÉTRICA
TRANSFORMAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
sen (a + b) = sen a * cos b + cos a * sen b
sen (a – b) = sen a * cos b – cos a * sen b
cos (a + b) = cos a * cos b – sen a * sen b
cos (a – b) = cos a * cos b + sen a * sen b
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LISTA DE EXERCÍCIOS
1) (Puc-Rio) Os ângulos internos de um quadrilátero medem 3x - 45, 2x + 10, 2x + 15 e x + 20 graus. O menor
ângulo mede: a) 90° b) 65° c) 45° d) 105° e) 80° R: b
2) Os números dos lados de dois polígonos convexos são consecutivos e um deles tem 9 diagonais a mais que
o outro. Que polígonos são esses? R: 10 e 11 lados
3) (Fuvest-2000) Na figura adiante, ABCDE é um pentágono regular. A medida, em graus, do ângulo α é:
a) 32° b) 34° c) 36° d) 38° e) 40° R: C
4) Os números que exprimem o número de lados de três polígonos são n – 3, n e n + 3. Determine o número
de lados desses polígonos, sabendo que a soma de todos os seus ângulos internos vale 3 240°. R: 5 lados,
8 lados e 11 lados
5) (Faap) A medida mais próxima de cada ângulo externo do heptágono regular da moeda de R$ 0,25.
a) 60° b) 45° c) 36° d) 83° e) 51° R: e
6) (Mackenzie - SP) Os ângulos externos de um polígono regular medem 20°. Então, o número de
diagonais desse polígono é:
a) 90 b) 104 c) 119 d) 135 e) 152 R:135
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