algumas desigualdades na teoria da integral de lebesgue

ALGUMAS DESIGUALDADES NA TEORIA DA INTEGRAL DE LEBESGUE1
PES, Ronaldo Bressan2 ; MIOTTO, Márcio Luı́s; BECKER, Alex Jenaro2 ; GABERT,
Rodrigo de Freitas2
1
Trabalho de Pesquisa - Universidade Federal de Santa Maria
2
Curso de Matemática da Universidade Federal de Santa Maria (UFSM), Santa Maria, RS, Brasil
E-mail: [email protected]
RESUMO
Este trabalho diz respeito a um estudo desenvolvido na Universidade Federal de Santa Maria, no curso de
Matemática, sobre a teoria da medida e integração. Este tem por objetivo tratar de algumas desigualdades importantes dentro da teoria, as quais são conhecidas por desigualdade de Jensen, de Hölder e de Minkowski. Também
é alvo deste trabalho, a desigualdade entre a média aritmética e a média geométrica, a qual pode ser vista como
uma consequência da desigualdade de Jensen. Para o desenvolvimento de tais desigualdades, definiu-se alguns conceitos fundamentais como, por exemplo, o conceito de medida e de σ-álgebra. Como resultado deste trabalho, temos a caracterização do espaço Lp como um espaço normado, que resulta da desigualdade de Minkowski, a qual
decorre da desigualdade de Hölder. Portanto, pode-se concluir que além de revelar propriedades importantes dentro da teoria da medida e integração, este estudo está complementando a formação dos acadêmicos nele envolvidos.
Palavras-chave:
Teoria
da
Medida;
Integração;
Lebesgue;
Desigualdades.
1. INTRODUÇÃO
O presente trabalho diz respeito ao projeto de iniciação cientı́fica intitulado Teoria da Medida e
Integração, que trata da teoria de integração via a integral de Lebesgue, criada pelo matemático francês Henri
Lebesgue (1875-1941), que acabou generalizando a teoria elaborada pelo também matemático Georg Friedrich
Bernhard Riemann (1826-1866).
Tal estudo justifica-se no fato das disciplinas de Cálculo e Análise Matemática, presentes na grade
curricular do Curso de Graduação em Matemática da Universidade Federal de Santa Maria, não tratarem a
integração via integral de Lebesgue. Entretanto, a importância de se estudar esta teoria não está somente
apoiada neste fato, mas também no fato de que os poderosos teoremas associados a teoria de integração de
Lebesgue conduzem a resultados mais gerais e mais elegantes do que os ligados a integral de Riemann.
Dessa forma, este trabalho tem por objetivo discorrer sobre algumas desigualdades importantes na
teoria da medida e integração. Em particular, as desigualdades a serem discutidas aqui são: desigualdade de
Jensen, desigualdade de Hölder e desigualdade de Minkowski. Vale ainda ressaltar que, como consequência da
desigualdade de Jensen, tem-se a desigualdade entre a média geométrica e a média aritmética, a qual também
será tratada neste trabalho.
2. METODOLOGIA
As atividades realizadas neste projeto são desenvolvidas através de seminários, onde os participantes
apresentam e discutem os tópicos pré determinados referentes à teoria da medida e integração. Durantes os
seminários, são feitas observações pelo orientador sobre o tópico que está sendo discutido assim como são dados
exemplos e aplicações dos resultados apresentados.
3. RESULTADOS E DISCUSSÕES
Para começarmos a discutir as desigualdades em questão, veremos alguns conceitos e definições necessários para o entendimento do que seguirá.
Primeiramente, consideremos uma famı́lia X de subconjuntos de um conjunto X. Diremos que X é
S∞
uma σ-álgebra se ∅, X ∈ X , caso A ∈ X , então X − A ∈ X , se (An ) ⊆ X , então a união n=1 An ∈ X . Por
exemplo, a famı́lia de todos os subconjuntos de um conjunto X qualquer, denotada por P(X), é uma σ-álgebra.
Além disso, um par ordenado (X, X ) consistindo de um conjunto X e de uma σ-álgebra X de X é
chamado de um espaço mensurável.
Assim, consideremos (X, X ) um espaço mensurável e definimos medida como sendo uma função
S
µ : X → R, onde R = R {∞}, que satisfaz: µ(∅) = 0, µ(E) ≥ 0 para todo E ∈ X , e se (En ) é uma sequência
S∞
P∞
disjunta de conjuntos de X , então µ ( n=1 En ) = n=1 µ(En ).
Por sua vez, um espaço de medida é uma tripla (X,X ,µ) e diremos que certa afirmação vale µ-quase
toda parte (µ-qtp) em X, se ela for verdadeira para todos os pontos de X, exceto em um conjunto N ∈ X com
µ(N ) = 0.
Considerando para cada p ∈ [1, ∞), definimos o espaço Lp (X), como sendo o espaço das funções reais
extendidas p integráveis à Lebesgue, ou seja,
Z
p
p
L (X) = f : X → R;
|f | dµ < ∞ ,
X
2
munido com a norma
Z
p
kf kp =
p1
|f | dµ
.
X
Ainda, dado dois elementos p, q ∈ (1, ∞) dizemos que p e q são conjugados se
1
p
+
1
q
= 1.
Por fim, uma função f definida em (a, b) ⊆ R é dita convexa se para todo par x, y ∈ (a, b) e todo
t ∈ [0, 1],
f (tx + (1 − t)y) ≤ tf (x) + (1 − t)f (y).
Dessa forma, enunciemos a desigualdade de Jensen:
Teorema 1: Seja (X, X , µ) um espaço de medida e E ∈ X , onde µ(E) < ∞. Seja ainda f : E → (a, b) e ϕ uma
função convexa em (a, b). Então
ϕ
1
µ(E)
f dµ ≤
Z
E
1
µ(E)
Z
ϕ(f )dµ.
E
Como ϕ é convexa em (a, b), pode-se justificar que existe m ∈ R, onde m(η − α) + ϕ(α) ≤ ϕ(η), para
R
1
f dµ e η = f (x) segue a desigualdade.
todo η ∈ (a, b). Considerando α = µ(E)
E
A mesma pode nos levar a resultados surpreendentes tais como a desigualdade entre a média geométrica
e a média aritmética, a saber
1
(θ1 θ2 ...θn ) n ≤
θ1 + θ2 + ... + θn
,
n
se θi ≥ 0, para cada 1 ≤ i ≤ n.
A justificativa de tal desigualdade no caso em que θi = 0, para algum 1 ≤ i ≤ n, é válida. Assim,
podemos assumir que θi > 0, para todo 1 ≤ i ≤ n.
Sejam ξi = ln(θi ), X = {ξi }1≤i≤n , X = P(X) e µ a medida em X, onde µ({ξi }) = 1/n, para cada
1 ≤ i ≤ n.
Observe que µ(X) = 1. Seja ainda a função convexa em R ϕ(t) = et e f (x) =
n
X
i=1
Assim, temos que ϕ ◦ f (x) =
n
Y
eξi χ{ξi } (x) .
i=1
Daı́,
n
Z
ϕ ◦ f dµ =
X
1 X ξi
θ1 + θ2 + ... + θn
e =
.
n i=1
n
3
ξi χ{ξi } (x).
Como
R
f dµ =
X
1
n
n
X
ξi temos, portanto, que
i=1
Z
ϕ
n
Y
f dµ =
X
! n1
e
= (θ1 θ2 ...θn )1/n .
ξi
i=1
Logo, utilizando a desigualdade de Jensen, segue a desigualdade entre as médias.
Agora, antes de enunciarmos a desigualdade de Hölder, consideramos p, q ∈ (1, ∞) conjugados. Assim,
para quaisquer valores não-negativos a, b ∈ R, afirmamos que
ab ≤
1 p 1 q
a + b .
p
q
Se a ou b são nulos a desigualdade está satisfeita. No caso em que a > 0 e b > 0 a função h : [0, ∞) → R
definida por
h(s) =
sp
1
+ −s ,
p
q
tem mı́nimo absoluto em s = 1. Portanto, para todo s > 0,
s≤
1
sp
+
p
q
e a igualdade ocorre somente se s = 1. Escolhendo
s=
a
q
bp
verifica-se a desigualdade. Portanto, enunciemos a desigualdade de Hölder.
Teorema 2: Sejam f ∈ Lp (E) e g ∈ Lq (E), com 1 < p, q < ∞ conjugados. Então f g ∈ L1 (E) e
Z
|f g|dµ ≤ kf kp kgkq .
E
Boa parte da demonstração deste teorema segue da seguinte escolha
a=
|f |
|g|
,b =
kf kp
kgkq
onde obtemos que
|f g|
1 |f |p
1 |g|q
≤
.
p +
kf kp kgkq
p kf kp
q kgkqq
Integrando sobre E,
R
|f g|dµ
1 1
≤ + = 1,
kf kp kgkq
p q
E
donde segue o resultado.
Como consequência da desigualdade de Hölder apresentamos o último resultado deste trabalho, conhecido por Desigualdade de Minkowski.
4
Teorema 3: Sejam f, g ∈ Lp (E) para algum 1 ≤ p ≤ ∞. Então
kf + gkp ≤ kf kp + kgkp .
É fácil verificar tal desigualdade no caso p = 1. Se 1 < p < ∞, então
Z
Z
Z
Z
kf + gkpp =
|f + g|p dµ =
|f + g|p−1 |f + g|dµ ≤
|f + g|p−1 |f |dµ +
|f + g|p−1 |g|dµ.
E
E
E
Pela desigualdade acima e observando que p e
p
p−1
E
são conjugados, segue pela desigualdade de Hölder
que
kf + gkpp ≤ kf + gkp−1
(kf kp + kgkp ),
p
donde segue a desigualdade de Minkowski.
4. CONCLUSÕES
Conclui-se que tais desigualdades apresentadas neste trabalho revelam propriedades interessantes da
norma do espaço Lp , que auxiliam na caracterização deste como um espaço normado. Além disso, tais resultados
complementam a formação acadêmica dos alunos de graduação e pós-graduação em matemática envolvidos no
projeto, visto que o estudo da Teoria da Medida e Integração proporciona o desenvolvimento de um estudo mais
geral do que os apresentados nos cursos de cálculo ou análise.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
BARTLE, R.G. The Elements of Integration. John Wiley and Sons, New York, 1966.
DIBENEDETTO, E. Real Analysis. Birkhäuser Advanced Texts, New York, 2001.
RUDIN, W. Real and Complex Analysis. 3th edition, McGraw-Hill Book Company, 1987.
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