Introdução - Dinâmica dos Fluidos Computacional - PUC-Rio

MEC2348
Transferência de Calor II
2015-2
Departamento de Engenharia Mecânica
Angela Ourivio Nieckele
sala 163- L – ramal 1182 – e-mail: [email protected]
• Termodinâmica: estuda as interações de energia
entre um sistema e a vizinhança (calor e trabalho).
Trata de estados em equilíbrio. Não trata da natureza
da interação.
• Fenômenos de Transporte
 Dinâmica dos fluidos: transporte de quantidade de
movimento
 Transferência de calor: transporte de energia
 Transferência de massa: transporte de massa de
espécies químicas
Observação:
1. Freqüentemente ocorrem simultaneamente
2. As equações básicas são muito semelhantes e as ferramentas
matemáticas para resolver problemas são similares, porque os
mecanismos moleculares são diretamente relacionados.
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2
• Transferência de calor: estuda os mecanismos
de transferência de calor, e relações para o
cálculo das taxas de transferência de calor.
• Exemplos: Projetos de paredes refratárias,
calor perdido em equipamentos, trocadores
de calor, etc.
• Modos de transferência de calor:
• condução, convecção e radiação
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3
Modos de transferência de calor
Condução: movimentos randômicos translacionais
(difusão) de moléculas (fluidos) ou elétrons (sólidos)
Convecção: é o processo de transferência de calor
efetuado pelo escoamento de fluidos (transferência de calor +
escoamento de fluidos)
Radiação: Todo corpo (sólido, líquido ou gás) com temperatura acima do zero absoluto, emite energia (ondas eletromagnéticas com velocidade da luz).
• Não é necessário um meio material para a propagação de
energia.
CONDUÇÃO
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4
Comentários

A determinação da taxa de transferência de calor e taxa de
transferência de massa na interface entre fases em um sistema
fluido é um dos grandes objetivos de um engenheiro. Em
geral, deseja-se determinar a transferência entre uma interface
sólido-fluido, onde o fluido encontra-se em movimento em
relação a superfície sólida estacionária, mas também existem
aplicações onde a interface é entre um líquido e um gás.

Se o fluido estiver em repouso, o problema torna-se ou um
simples problema de condução de calor onde existe um
gradiente de temperatura normal a interface (superfície), ou
um simples problema de difusão de massa onde existe um
gradiente de concentração de massa normal a superfície.
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5
Comentários

Contudo, se houver movimento de fluido, haverá transporte de
energia e massa por gradientes potenciais e pelo movimento
do fluido propriamente dito. Este complexo processo de
transporte é chamado de convecção. Este é o foco do presente
curso

O maior desafio para resolver um problema de convecção,
consiste em analisar uma situação que envolve uma
combinação da transferência de calor, transferência de massa e
reações químicas.
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6
Propriedades dos Fluidos

Matéria é formada por moléculas em movimento, colidindo. As
propriedades de matérias estão relacionadas com o
comportamento molecular

Pressão (P): resultante da colisão das moléculas com as

Força  N
paredes do recipiente

P
 Pa 

área  m 2


Densidade (r): relaciona-se com a ocupação da
matéria
 1  m 3 
n

m r  kg 



Volume específico (n): relaciona-se com a
ocupação da matéria

Densidade relativa (d): razão entre a densidade
da substância e a densidade da água
(adimensional)
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 kg 


 3
m 
m
r

d
r
r H 2O
7
Fluidos
 Líquidos: força coesiva entre moléculas é forte.
Possui superfície livre

Gases: força coesiva entre moléculas é fraca.
Ocupa todo recipiente.

Temperatura (T): é uma medida da energia cinética das
moléculas. Medida relativa T (oC, oF) ou absoluta T (K, R)
 Igualdade de temperatura  equilíbrio térmico

Viscosidade absoluta(m): razão entre a tensão cisalhante(t)
t
e a taxa de deformação (  )
m


Viscosidade cinemática (u)
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m
u
r
8

Para entender o comportamento da matéria seria
necessário considerar cada molécula, conhecendo a
história de cada uma, velocidade, aceleração e modos de
iteração. Isto é inviável sem um tratamento estatístico,
devido ao elevado número de moléculas.

Na maioria das aplicações da engenharia, desejamos estudar
uma quantidade de volume de fluido contendo um grande
número de moléculas  hipótese do contínuo: admite-se que os
fluidos são meios contínuos, esquecendo-se da sua estrutura
molecular.

Para demonstrar o conceito do contínuo, considere a
propriedade densidade:

Molecular Continuo
ex: densidade:
r(x,y,z,t) =
m/
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d*
d
lim
m/
dd*
9

A hipótese do contínuo falha quando as dimensões
envolvidas forem da ordem do caminho médio livre entre
colisões moleculares:
Distância média entre colisões de moléculas do ar nas CNTP:


ex. arraste em satélites. A Teoria cinética dos gases trata desta área.


1, 6 x 10-5 cm
Conceito do contínuo está associado com o conceito de
campo, i.e., todas as grandezas são definidas no espaço e
no tempo: Ex: V(r,t); P(r,t); etc.
O vetor posição r pode ser escrito em diferentes sistemas de
coordenadas:




r

r

x
e

y
e

z
e
 Cartesiano:
x
y
z



r  r  r er ( )  z e z
 Cilíndrico:


r

r

r
e
 Esférico:
r ( ,  )
Não importa qual a partícula que está no ponto
em um determinado instante de tempo, mas sim
em que condições a partícula que passar pelo
ponto naquele instante possui.


10
10
Método Lagrangeano versus Euleriano

Método Lagrangiano: As equações de conservação
são aplicadas a um sistema arbitrário, o qual pode ser
infinitesimal ou finito.




A variável física é descrita para um determinada partícula
A variável independente é um “rótulo” da partícula, como por
exemplo, a coordenada
 da partícula em um determinado
instante de tempo: rP é a posição da partícula P em t = 0

   (rP , t ) Esta função descreve como a função  da
partícula P varia com o tempo
Ex: policial seguindo carro
11
Método Lagrangeano versus Euleriano

Método Euleriano: As equações de conservação são
aplicadas a um volume de controle arbitrário, o qual
pode ser infinitesimal ou finito





A variável física é descrita em relação a um ponto do espaço

Para cada instante t, a partícula em r é uma partícula
diferente

r é a posição da partícula P em t

   (r , t ) Esta função descreve a função  na posição
da partícula P em função do tempo
Ex: controlador de tráfego
Vamos utilizar a formulação
Euleriana, juntamente com o
conceito de campo, i.e., todas
as propriedades são definidas
em função de sua localização
no espaço e no tempo
12
Descrição Euleriana

   ( x, y , z , t )
Derivada total de uma grandeza  (pressão, temperatura,
velocidade, etc) descreve como a grandeza varia segundo o movimento
(= como  varia com o tempo para uma determinada partícula
d
  dt   dx   dy   d z




d t particula t d t  x d t  y d t  z d t



u
D

Dt

 t



v
w



u
v
w
 x
 y
 z

taxa de variaçãocom o taxa de variaçãocom o
tempo ( posição fixa)
tempo devido ao mov. da
partícula( variaçãoconvectiva)
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13

Vetor
 Velocidade:








V  u e x  v e y  w e z  u1 e1  u 2 e2  u 3 e3   u i ei  u i ei
i

Produto
entre vetores:
  escalar


 
A  B  Ai ei  B j e j  Ai B j ei  e j  Ai B j  ij  Ai Bi

Operador gradiente:
   
 
 
grad      e1
 e2
 e3
 ei
 x1
 x2
 x3
 xi
Operador Divergente:

  
 Aj  
 Aj
 Ai

div A    A  ei
e j Aj 
ei  e j 
 ij 
 xi
 xi
 xi
 xi

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14
Derivada Material

D  

 V  
Dt  t
ou
D  


 ui
Dt  t
 xi
Deseja-se medir variação da pressão com o tempo, em três situações diferentes:
1 - Estação Metereológica p=p(t)








2 - Avião com velocidade Va ua i va j wa k
dp  p
t
dt

Va
dp  p dt  p dx  p dy  p dz  p  p  p  p
u
v
w
t dt x dt y dt z dt t x a y a z a
dt
3 - Balão sem propulsão, se deslocando com a velocidade do ar, do fluido,







com velocidade V u i v j w k
p
p
p 
Dp
dp p dt p dx p dy p dz p p





 u v w 
 V  p 
y
z
t
dt t dt x dt y dt z dt t x
D t 15
Aceleração:


 DV  V
a

Dt
t
  
 V  V
aceleração
local temporal
aceleração
convectiva


   u e
 DV  V


u
a

 V  V  k k u i ei  e j
(u k e k ) k e k u i  ij
(u k e k )
Dt
t
t

t
 xj
 xj
 uk
 ek
u
a k e k  k e k u i e k
u i u k
t
 xi
 xi
Em coordenadas cartesianas:


 
V  ui  v j  wk
,




a  axi  a y j  az k
Du  u  
u
u
u
u
ax 

 V  u 
u
v
w
Dt
t
t
x
y
z
Dv  v    v
v
v
v
ay 

 V  v  u
v
w
Dt
t
t
x
y
z
Dw  w  
w
w
w
az 

 V  w 
 u w  v
w
Dt
t
t
x
y
z
y
ej
ej
ei
ei
x
16
Aceleração:
a k ek 


 DV  V   
a

V  V
Dt
t
 uk
 ek
 uk
e k u i e k
u i u k
t
 xi
 xi
Em coordenadas cilíndricas:




V  u r e r  u e  u z e z ,




a  a r e r  a e  a z e z
y
er
e e
r
er

x
2
u


Dur  ur
u
 ur
 ur
 ur 
ar 

 V  u r  r  u r
 u
 uz

Dt
t
t
r
r 
z
r
Du
 u  
 u
 u
 u
 u u r u
a 

 V  u 
 ur
 u
 uz

Dt
t
t
r
r 
z
r
Du z  u z  
u
u
 uz
u
az 

 V  u z  z  u r z  u
 uz z
Dt
t
t
r
r 
z
17
Fluidos em Movimento

O escoamento dos fluidos é determinado a partir do
conhecimento da velocidade em cada ponto do
escoamento, isto é, a partir do campo das diversas
grandezas relevantes.

Tipos de Campos:

Campo escalar:
 massa específica: r(r ,t); temperatura: T(r ,t); pressão p(r ,t)

Campo vetorial:
 velocidade: V(r ,t); aceleração: a(r ,t); força F(r ,t)

Campo Tensorial:
 tensão: s(r ,t); gradiente de velocidade:  V(r ,t);
taxa de deformação D(r ,t)
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18
Equações Governantes
da Mecânica
 massa
 quantidade movimento linear (2ª. Lei de Newton)
 quantidade de movimento angular
 energia (1ª. Lei da termodinâmica)
 massa de espécies químicas
 entropia
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19
Equações constitutivas:





Difusão de calor: lei de Fourier,
Difusão de massa: lei de Fick
Difusão de quantidade de movimento: lei da
viscosidade de Newton,
Transferência de calor por convecção: lei de
Newton,
Transferência de calor por radiação: lei de StefanBoltzman
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20
Modos de transferência de calor
Condução:
• Modo de transferência de calor em sólidos ou fluidos
em repouso
Lei de Fourier: fornece a taxa de transferência de calor por
condução
T1 > T2
calor irá de T1  T2
qx = taxa de calor que cruza a área A (Watt ou Btu/h)
T2
T1
q”x
T
T

 x  qx   k A
x

qx  A
 k = condutividade
qx  
térmica [W /(K m)]
fluxo de calor
(W/m2)
qx


qx 
A
L
x
Area A
Lei de Fourier
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q  Κ grad T
21
Condução:
q  Κ grad T  Κ  T
• Lei de Fourier:
• K= tensor condutividade térmica




q  qx i  qy j  qz k
T  T  T 
T 
i 
j
k
x
y
z

T
T
T
qx   k xx
 k xy
 k xz
x
y
 z 


T
T
T
qz   k zx
 k zy
 k zz
x
y
 z 


T
T
T
qy   k yx
 k yy
 k yz
x
y
 z 

devido a simetria: kxy = kyx ; kxz = kzx ; kyz = kzy
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22
Condução:
q  Κ grad T  Κ  T
• Lei de Fourier:
 K= tensor condutividade térmica
o



K é uma propriedade do material e depende de:
temperatura, T
densidade (gases, material sinterizado)
direção (materiais anisotrópicos).
o Para materiais isotrópicos: kxy = kxz = kyz = 0
em geral kxx = kyy = kzz=k
T
qx   k
x
qy   k
T
y
qz   k
Forma geral da Lei de Fourier isotrópica
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T
z

q   k  T
23
Modos de transferência de calor
Convecção
• é o processo de transferência de
calor efetuado pelo escoamento de
fluidos (transferência de calor +
escoamento de fluidos)
• É composto por dois mecanismos:
• Difusão (movimento molecular aleatório)
• Advecção: (energia transferida devido ao
movimento macroscópico de mistura do fluido)
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25
Convecção
q  h As (Ts  T )
Lei de Newton: taxa de calor que cruza a superfície:
h = coeficiente de transferência de calor ou coeficiente
de filme de transferência de calor
fluxo de calor
q


q 
As
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em y = 0, u = 0

qc  qk   k
T
 y fluido
y 0
Classificação da convecção
• Convecção forçada: movimento do fluido é causado por
agentes externos (bombas, ventiladores, movimento de
um veículo, etc.)
• Convecção natural: movimento do fluido ocorre devido a
campos externos como o gravitacional (forças de empuxo),
agindo no gradiente de densidade induzido pelo próprio
processo de transporte (de massa ou energia).
• Convecção mista: natural + forçada
• Evaporação/Condensação: casos especiais de
convecção, onde a energia é transferida na forma de calor
latente.
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Convecção

Lei de Newton de resfriamento: fornece a
taxa de transferência de calor por convecção
q"= h(Ts - T¥ )
h - coeficiente de troca de calor por convecção (W/m2K)
Ts - temperatura da superfície
T - temperatura do fluido
Exemplo:
Em convecção natural, har  10 W/m2K e hágua  100 W/m2K
 q”água > q”ar (i.e., para um mesmo intervalo de tempo,
um corpo na água perde mais calor do que um no ar)

Ordem de grandeza de h (W/m2K):
 Convecção natural: gases - 2 a 25
líquidos - 50 a 1000
 Convecção forçada: gases - 25 a 250
líquidos - 50 a 20000
 Convecção com mudança de fase: 2500 a 100000
Tar=20 0C
Tágua=20 0C
27
Modos de transferência de calor
Radiação
• Todo corpo (sólido, líquido ou gás) com temperatura
acima do zero absoluto, emite energia (ondas
eletromagnéticas com velocidade da luz).
• Não é necessário um meio material para a propagação de
energia.
Lei de Steffan-Boltzman: Fluxo máximo de
radiação que pode ser emitida por uma superfície
corpo negro:
q"  s Ts4
s=5,67×10-8 W/(m2K4) → constante de Stefan Boltzmann
T em temperatura absoluta
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Radiação
Radiação incidente:
q"inc  q"ref  q"trans  q"abs
1
q"ref
q"inc

q"trans q"abs

q"inc q"inc
• a → absortividade, 0≤ a≤1 (fração da energia absorvida)
• r → refletividade, 0≤ r≤1 (fração da energia refletida)
• t → transmissividade, 0≤ t≤1 (fração da energia transmitida)
→ Conservação de energia: art1
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Radiação
Emissão de corpo real:
q"  e s Ts4
e → emissividade, 0≤ e≤1
corpo cinza: ea(Lei de Kirchhoff)
troca de calor entre duas superfícies
q12  A2 12 s (T14  T24 )
12 = fator de forma ou fator de configuração, depende:
- propriedades
- geometria (como as superfícies se enxergam)
– Aplicações: espaçonaves, câmaras de combustão; coletor solar
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31
Difusão de Massa
Lei de Fick: Modo de transferência de massa difusivo
w1 (x) > w1 (x+dx)
Por exemplo: hidrogênio se difunde através de uma
camada estagnada de oxigênio
M 1x taxa de difusão da espécie 1 que cruza a área A
(kg/s)
fluxo de difusivo de
massa [kg/(sm2)]
 w1
M 1x   r D12 A
x
rr1 r2 = massa específica total
M 1x
m 1x 
A
D12 = difusividade de massa da espécie 1 na espécie 2
r
w1  1
r
Fração em massa da espécie 1
Lei de Fick para difusão binária:
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
   r D12  w1
m
31
Difusão de calor e massa para fluidos
binários:
• Para um fluido puro em regime permanente, as taxas na qual
calor e massa se difundem em relação a velocidade média
baseada na massa podem ser determinados com precisão como
sendo proporcionais aos gradientes de temperatura e de fração
em massa, respectivamente.
• Se os gradientes forem muito grandes, as relações lineares
perdem precisão. Da mesma forma, se o fluido está sujeito
simultaneamente a difusão tanto de calor como de massa, os dois
fluxos influenciam um ou outro, de tal forma que podem ser
previstos por uma combinação linear dos forçamentos dados
pelos gradientes de temperatura e fração em massa. Esta
interdependência é devido ao movimento das partículas que
transferem massa, mas também transferem energia e vice-versa.
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32
• Expressões gerais para um fluido com multi-componentes são
muito complexas, mas para o caso de um fluido binários, os
fluxos difusivos de calor e massa podem ser dados por

q


 R T M 2 a

 k  
T   (H1  H 2  m 1  
m 1 


 M1 M 2

conduçãode
convecção


termo difusão
efeito Dufour
• onde H1 e H2 são as entalpias específicas de cada espécies, M1, M2 são as
massas moleculares de cada espécie e M é a massa molecular da mistura. R é a
constante do gás e a é o fator de difusão térmica.
• O termo de convecção interdifusiva é normalmente desprezível. Indica que a
transferência de massa difusiva induz a um fluxo de energia, mesmo quando o
fluxo líquido difusivo é nulo, mas as partículas de massa das diferentes espécies
carregam quantidades diferentes de energia a mesma temperatura.
• O termo de difusão chamado efeito de Dufour (descoberto por Dufour em 1873)
indica que o fluxo de massa difusiva induz a um fluxo de energia e depende do
fator de difusão térmica a. Este termo, também é normalmente desprezado,
porém pode ser importante quando, por exemplo, hélio é soprado através de
uma superfície porosa em uma corrente de gás quente, com o objetivo de
proteger a superfície do gás quente.
Fourier
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interdifusiva
33
Fluxo de massa
(

   r w1 w2 D12 a

M M D w
 M M w w D
m 1   r D12  w1    1 2 12 1  p    1 2 1 2 12 B1  B2   
T

 
p
RT
T
 
 

difusão de
























Fick
difusão de
pressão
onde p é a pressão e B1
e B2
difusão de
força de corpo
difusão térmica
efeito de Soret
são forças de corpo
• O termo de difusão de pressão indica que o movimento líquido da espécie 1
pode ocorrer se um gradiente de pressão é imposto. Apesar de ser normalmente
desprezado, pode ser importante em escoamentos com rotação (swirl) onde
altíssimos gradientes de pressão podem ser encontrados, como é o caso de
centrífugas
• O termo de difusão de força de corpo é diferente de zero somente quando forças
de corpo diferentes atuam nos dois componentes. Isso pode ocorrer na
tecnologia de plasma, onde o fluido interage com forças elétricas e magnéticas e
em sistemas ionizados. Se o campo gravitacional for o único responsável pelas
forças de corpo, então o termo de difusão de força de corpo desaparece.
• O termo de difusão térmica, chamado de efeito Soret, descreve a tendência de
uma espécie de massa difundir na presença de um imposto gradiente de
temperatura, e é desprezível a menos que o gradiente encontrado seja muito
grande. Este efeito tem sido utilizado na separação de isótopos na coluna de
Clusius-Dickel, a qual combina convecção para alcançar a separação.
34
Lei de Newton de viscosidade
fluido Newtoniano
Força 
Fext  Fyx  m As
u
y
u
t yx 
m
Tensão 
A
y
m = viscosidade absoluta ou
viscosidade dinâmica,
propriedade do fluido
Fyx
Lei de Newton:
O
tensor extra é proporcional a taxa de deformação do
elemento de fluido (deformação linear, angular e taxa de
compressão ou expansão):
35
Vetor tensão



O vetor tensão tn é a força de contato por
unidade de área que um material dentro
de (t) faz no material fora de (t).
Hipótese de Cauchy: tn = tn (n)
A dependência de tn em n pode ser obtida através de um
balanço de forças em um tetraedro com a altura h 0.
 F  0   t n dA  t  x dA(n e x )  t  y dA(n e y )  t  z dA(n e z )  0
ez

Da 3ª. Lei de Newton
tn
t x   t x ; t  y   t y ; t z   t z

então
ey
ex


t n  t x (n e x )  t y (n e y )  t z (n e z )  n t x e x  t y e y  t z e z  n σ
36
Tensor tensão


sé o tensor tensão: σ  t x e x  t y e y  t z e z
Note que:
t x  e x [e x  t x ]  e y [e y  t x ]  e z [e z  t x ]
ez
tz
ey
ex

t y  e x [e x  t y ]  e y [e y  t y ]  e z [e z  t y ]
t z  e x [e x  t z ]  e y [e y  t z ]  e z [e z  t z ]
Então substituindo as tensões nos planos perpendiculares
as direções x, y e z, tem-se
σ  e x e x [e x  t x ]  e x e y [e y  t x ]  e x e z [e z  t x ] 
ez
 e y e x [e x  t y ]  e y e y [e y  t y ]  e y e z [e z  t y ]
 e z e x [e x  t z ]  e z e y [e y  t z ]  e z e z [e z  t z ]

A matriz s
e x  t x

σ  e x  t y
e  t
 x z
e ytx
e yt y
eytz
ez tx
ez t y
ez tz





tz
t-x
ty
t-y
ex
t-z
tx
37
ey
Tensor tensão



Definindo s xx  e x  t x ; s xy  e y  t x ;
o tensor tensão sé :
s xx s xy

σ  s yx s yy
s
 zx s zy
s xz  e z  t x ; etc
s xz
s yz
s zz





Substituindo as tensões nos planos perpendiculares as
y
direções x, y e z, tem-se
s yy

s yz
1º subscrito indica a superfície
do cubo na qual a tensão atua,
enquanto que o 2º índice
indica a direção da tensão
s zy
s yx
s xy
s xx
s xz
s zz
s zx
x
z
38
Fluido em repouso:Compressão isotrópica:
0
 P 0

σ  0 P 0
 0
0 P

1 0 0





P
0
1
0


  P I

0 0 1
y

I é a matriz identidade,
que também pode ser
representada pelo
operador
delta de kronecker s xx  P
s yy  P
s zz  P
s xx  P
x
 ij  1
se i  j
0
se i  j
z
s zz  P
s yy  P
39
Fluido em movimento:
Surge uma tensão adicional: s PI t,onde té o tensor extratensão (tensão de tensões viscosas)
t xx

τ  t yx
t zx

y
t xy t xz
t yy t zy
t zy t zz
s yy   P  t yy
s yz  t yz
s zy  t zy
s yx  t yx
s xy  t xy
s xz  t xz
s zz   P  t zz





s zx  t zx
s xx   P  t xx
x
z
40
=du t
=(u/y)yt
Taxa de deformação angular:
dv t du t
  yx  a    tan a  tan  

x
y
 yx  lim
t 0
  yx
t
u (y)
v u


 2 D yx
x y
=dv t
=(v/x)xt
v (x)
Taxa de deformação linear:
  xx 
du t
x
  xx  u

 D xx
x
t 0 t
=dv t =(v/y)yt
u (y)
v (y)
=du t
=(u/x)xt
 xx  lim
Taxa de deformação volumétrica:

 u  v  w

    V
   xx   yy   zz  


 x  y  z 
u (x)
41
Taxa de Deformação: D

u

x

 1  u v 
D   
 
 2  y x 
 1  u w 


 
 2  z x 
1  v u 
  
2  x y 
v
y
1  v w 
 

2  z y 
1  w u 
 

2  x z 
1  w v  

  
2  y z  

w

z

Diagonal: taxa de deformação linear do elemento de fluido
Fora da diagonal: taxa de deformação angular do elemento de fluido
42
Gradiente de Velocidade:  v
Em coordenadas cartesianas:
dr = ex dx + ey dy + ez dz e v = ex u + ey v + ez w



2
T
  [grad V  (grad V ) ]  div V I
3
 



x


 

 
 (u
grad V   V  
 y
 


 z
 u

 x
 v

T
(grad V )  
 x
 w

 x
u
 y
v
 y
w
 y
u 

z 
v 

z 
 w

z
 u

 x
 u
w  
 y
 u

 z
v
;
v
x
v
 y
v
z
1

I   ij   0
0

dv=dr•v
w

x 
 w

 y
w

z 
0
1
0
0

0
1 
43
Taxa de Deformação: D

u

x

 1  u v 
D   
 
 2  y x 
 1  u w 


 
 2  z x 
1  v u 
  
2  x y 
v
y
1  v w 
 

2  z y 

1  w u 
 

2  x z 
1  w v  

  
2  y z  

w

z


 T
1
D   V  ( V )
2

 1

 T
 T
1 


V 
 V  ( V )

 V  ( V ) 
 2 

2 


 



taxa de
deformação
vorticidade
44
Taxa de rotação:
dv t du t
1
1
  yx  (a     (tan a  tan    

2
2
x
y

yx  lim
t 0
  yx
t
1u v
  W yx  w z
 

2 y  x
=du t=(u/y)yt
u (y)
=-dv t
=-(v/x)xt
v (x)
45
Vorticidade: W
 1

 T
 T
1 


V 
 V  ( V )

 V  ( V ) 
 2 

2 


 



taxa de
deformação
vorticidade
1
W
2
Vorticidade

0


 1  u v 
W   
 
 2  y x 
 1  u w 


 
 2  z x 
1  v u 
  
2  x y 
0
1  v w 
 

2  z y 


 V  ( V )T 


1  w u 
 

2  x z  
0
1  w v   

      w z
2  y z   
w y
 
0


wz
0
wx
wy 

wx 
0 
wx, wy e wz são taxas de rotação médias (velocidades angulares)
w = ex wx+ ey wy+ ez wz  vetor vorticidade
46
Lei de Newton de viscosidade
O
tensor extra é proporcional a taxa de deformação do
elemento de fluido (deformação linear, angular e taxa de
compressão ou expansão):

2 

τ  2 m D    m    V I
3 


onde
Viscosidade:
1
D
2


 V  ( V )T 



m

l – 2/3 m : segundo coeficiente de viscosidade
: primeiro coeficiente de viscosidade molecular, viscosidade
absoluta ou viscosidade dinâmica


l 0: para escoamento de fluido incompressível
 : viscosidade global

em geral  0para escoamentos compressíveis, com
exceção de escoamento com ondas de choque e explosões
47

Lei de Newton em coordenadas cilíndricas
t r  t r
t rz  t zr
 u
u 
 m r  z 
r 
 z
t z  t z

 u   u r u  



 m
r 
r 
 r
  u  u z 


 m
r  
 z
,
,
,

u r 2
 m  V
t rr  2m
r 3
t 

 u  u r  2
  m  V

2m
 r  r  3
t zz

u z 2
 m  V
 2m
3
z
notação indicial
 uj 
  ui
  2 m  u k  ij


t ij  m

 xj
 xk
3
x

i


48
Fenômenos de Transporte
k  (r cp T 
rh
T

 a
x
r cp
x
x
Lei de Fourier:
qx   k
Lei de Fick:
 w1
 (r w1 
M 1x   r D12
  D12
x
x
Lei de Newton de viscosidade: t  m
 u m  (r u 

u
 y r
 y
 (r u 
 y
akrcp = difusividade térmica, u = mr= viscosidade cinemática
Razão entre difusividades:
No. de Prandtl 
Pr 
No. de Schmidt 
Sc 
No. de Lewis 
Le 
u difusivida de de quantidade de movimento

a
difusivida de térmica
u
D12
D12
a


difusivida de de
difusivida de da
difusivida de
quantidade
espécie 1
de movimento
na espécie 2
da espécie 1 na
difusivida de térmica
espécie
2
Le = Pr/Sc
49
Tipos de Escoamento

Regime permanente:
 V = V(r ); isto é  ( ) /  t = 0

Regime transiente:
 V=V(r ,t) Caso geral:  ( ) /  t ≠ 0
Escoamento uniforme: a velocidade é a
mesma em qualquer ponto do escoamento

Escoamento não uniforme: a velocidade
varia de ponto para ponto do escoamento

50
Dimensão
 Uni-dimensional: v depende somente de uma
coordenada espacial

Bi-dimensional: v depende somente de duas
coordenadas espaciais

Tri-dimensional: v depende das três coordenadas
espaciais, caso geral.


Fluido perfeito, sem viscosidade:
t ≈ 0 (   0 )
Fluido viscoso : t≠ 0
Caracterização dos Fluidos quanto ao seu
comportamento sob esforços normais compressivos:


Compressíveis: quando há variação apreciável de volumes
devido à compressão. Gases em geral se comportam
assim. r ≠ constante (M>0,3), onde M= V/c é o número de
Mach; c = velocidade do som
Incompressíveis: quando a variação do volume é pequena
para grandes compressões. A maioria dos líquidos se
comporta desta forma. r≈ constante
52
Regime de Escoamento:

Escoamento laminar: movimento regular

Escoamento Turbulento: aparecem turbilhões no
escoamento, causando um movimento de mistura.
O turbilhamento provoca um regime não
permanente. Porém o tempo característico de
flutuação turbulenta < < escala de tempo que define
o regime permanente ou transiente
•Se o escoamento é laminar,
eventuais perturbações serão
amortecidas e desaparecerão
(Fig. a). Durante a transição,
picos esporádicos de turbulência
surgirão (Fig. b). Durante o
regime turbulento, o escoamento
flutuará continuamente (Fig. c).
53

Experiência de Reynolds
Laminar:
filamento de
corante não
se mistura
Turbulento: o
corante mistura
rapidamente
O escoamento turbulento
ocorre a altas velocidades. A
transição é caracterizada pelo
no. de Reynolds
rV D
Re 
m


Reynolds altos  esc. turbulento
Reynolds baixo  esc. laminar
54