Utilização das Transformadas na obtenção da solução analítica

ISSN 2317-3297
Utilização das Transformadas na obtenção da solução analítica para a
Equação de Convecção-Difusão Bidimensional: Um estudo visando o
desempenho de métodos baseados em Diferenças Finitas
Paulo Gustavo S.B., Barbosa M.N., Nélio Henderson
Universidade do Estado do Rio de Janeiro, Instituto Politécnico
28630-050, Nova Friburgo, RJ
E-mails: né[email protected] / [email protected]
Palavras-chave: Equação Convecção-Difusão, Métodos TVD’s, Diferenças Finitas.
Resumo: No presente trabalho, apresenta a solução de Leu e Dane (1990) na obtenção da
solução analítica da equação de convecção-difusão com a utilização das Transformadas de
Laplace e Fourier. Tal solução é analisada numericamente de forma comparativa, utilizando
uma família de esquemas de diferenças finitas com limitadores de fluxo, incluindo os métodos
TVD de segunda ordem, em um problema teste bidimensional dominado pelo transporte. Foi
realizado observações referentes à difusão numérica e às oscilações espúrias decorrentes da
injeção de um traçador em um meio bidimensional após sessenta dias. Logo os limitadores de
fluxo SUPERBEE e MUSCL apresentaram melhor desempenho para a resolução do problema
em questão.
1. INTRODUÇÃO
O presente trabalho tem como objetivo estudar o desempenho de métodos de diferenças
finitas com limitadores de fluxo na resolução do problema que descreve o escoamento miscível
em meios porosos, dominado pelo transporte convectivo. Em particular, incluímos a análise e o
emprego de métodos TVD’s de segunda ordem, como aqueles usados previamente por Blunt e
Rubin (1992) na simulação do escoamento imiscível.
Com o objetivo de visar uma comparação numérica-analítica, neste trabalho segue a proposta
de Leu e Dane (1990), a qual utiliza a transformada de Laplace na variável temporal e a
transformada de Fourier em uma das variáveis espaciais, obtendo assim uma solução analítica
para o nosso problema teste, a qual será utilizada como referência no estudo comparativo do
desempenho numérico dos métodos considerados aqui.
2. DESENVOLVIMENTO DA SOLUÇÃO ANALÍTICA PARA A EQUAÇÃO DE
CONVECÇÃO-DIFUSÃO
Neste item foi obtida uma solução analítica para a equação de convecção-difusão. Trata-se
de um caso particular da solução analítica desenvolvida por Leu e Dane (1990) para um
problema de valor inicial e de contorno, com convecção em uma única direção e difusão
multidimensional. A equação de convecção-difusão pode ser escrito da forma:
c
c
 2c
 2c
v
 DL 2  DT 2
t
x
x
y
(1)
onde DL e DT são matrizes denominadas de Tensor de difusão. As condições iniciais e
de contorno utilizadas são, respectivamente, da seguinte forma:
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c  x, y,0   f  y , 0  x  , 0  y  
(2)
c
c
lim
 lim
 0,  x, y  
x  x
y   y
(3)
y  0, t  0
c L
1

c 0, y, t   g  y    c L  c R 
2
c R
y  0, t  0
(4)
y  0, t  0
Tomando a Transformada de Laplace da Eq(1), obtemos:
  2c 
  2c 
 c 
 c 
£    v £   D L £ 2   DT £  2 
 t 
 x 
 x 
 y 
(5)
Utilizando as propriedades da Transformada de Laplace e as condições iniciais e de contorno, a
Eq. (5) é escrita da forma

2

2
sC
x
,
y
,
s

f
y

D
C
x
,
y
,
s

v
C
x
,
y
,
s

D
C x, y, s 








L
T

2
2

x

x

y




C  x, y, s   lim C  x, y , s   0
lim
x  x
y   y


gy
C 0, y, s  
s

(6)
Em seguida, tomamos a Transformada de Fourier da Eq. (6), inclusive a condição inicial e
de contorno. De acordo com as propriedades da Transformada de Fourier tem-se:
d2 ˆ
d
C  x, a , s   v Cˆ  x, a, s   DT a 2Cˆ  x, a, s 
(7)
2
dx
dx
A Eq. (7) é uma equação diferencial ordinária não-homogênea, sendo assim, ela
pode ser simplificado da seguinte maneira
sCˆ  x, a , s   Fˆ a   DL
DL
d2 ˆ
d
C  v Cˆ   2 DT  s Cˆ   Fˆ    D L 2  v   DT  s   0
2
dx
dx


(8)
cuja as raízes são
 v
v
 
 
2 DL  2 DL

2

D
s 
  T  2 

DL
DL 


1/ 2
(9)
Utilizando álgebra, a Eq.(7) sujeita a condição inicial e de contorno tem a seguinte equação:
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 Gˆ
 1x
Fˆ
Fˆ

Cˆ  x,  , s    
e

2

DT  2  s
 s DT   s 
(10)
Para obter a solução c x, y, t  da Eq.(1), sujeita as condições de contorno, deve-se
aplicar a Transformada Inversa de Laplace e utilizando o Teorema da Convolução temos
a seguinte expressão
Cˆ  x,  , t  
Gˆ
4DL 1 / 2
 t 3 / 2
 Fˆ
  x  v 2 
2
2
exp 
 
 exp  DT   d   exp  DT  t
4 DL 
 0
 2

 x  vt   ˆ
 vx 
 exp  erfc 
 F exp  DT  2 t
1/ 2  
 DL 
 4 DL t   





erfc 

x  vt 
1/ 2 
 4 DL  
(11)

O último passo do processo de solução trata da aplicação da Transformada de Fourier na
Eq.(11). Fazendo a substituição de variável para a massa específica  
y
, temos a
4 DT 1/ 2
solução analítica procurada, como mostra a Eq.(12).
cx, y, t  
t

3 / 2
0

ci
2
x
4DL 1 / 2
  x  vt 

 cR


cL
y
y
 d
erfc 

erfc 
exp  
1/ 2 
1/ 2 
1 / 2 
2
2






4
D

4
D

4
D



L


L

L

 
(12)

 x  vt 
 x  vt  
 vx 
erfc 
 exp
 ci
erfc 
1/ 2 
1/ 2  

 DL 
 4 DL t  
 4 DL t   
Neste trabalho estamos interessados em um caso particular estudado por Leu e Dane (1990),
resultante do fato de tomarmos a função
f  y   0 , ou seja, ci  0 e
c0
g y  
0
se
y a
se
y a
a   .
Para concluir a formulação do problema teste, resta-nos atribuir valores aos parâmetros
geométricos e físicos referidos acima. Aqui, consideramos: Lx  100 m , Ly  40 m , ya  12 m ,
yb  28 m ,  l  10 3 m ,  t  104 m e d mol  10 5 m 2 d .
3. METODOLOGIA
3.1 Método TVD’s com Limitadore de fluxo
Para a utilização do método do tipo TVD será usado o método de diferenças finitas com
limitadores de fluxo, veja Blunt e Rubin (1992). Tais métodos foram desenvolvidos com o
objetivo de evitar as oscilações espúrias tipicamente encontradas nas soluções numéricas
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fornecidas pelos os esquemas clássicos, como aqueles encontrados, por exemplo, nos textos de
Aziz e Settari (1979) e Peaceman (1977). Adiante vemos uma família de limitadores de fluxo
mais utilizado em problemas dominado pelo o transporte.
Tabela 1. Alguns limitadores de fluxo mais utilizados
Função  ( r )
Denominação
 ( r )  max 0, min(1, r )
MINMOD
 (r )  max 0, min(2, r )
OSHER
 (r )  max 0, min(2r , (r  1) 2, 2)
MUSCL
 ( r )  max 0, min(1, 2r ), min(2, r )
SUPERBEE
4. RESULTADOS
Neste trabalho serão apresentados os resultados de algumas simulações do escoamento
miscível, referentes ao nosso problema teste. Para permitir uma inspeção visual dos efeitos da
difusão numérica, mostramos aqui as superfícies e as curvas de nível da concentração do solvente
no instante t  60 d , para as soluções numéricas obtidas com os limitadores de fluxo do tipo
TVD considerados no presente trabalho. Para comparações iniciais, consideramos a superfície da
solução analítica mostrada na Fig. 1.
Figura 1. Superfície da solução analítica (à direita) e Solução utilizando UWPO (à esquerda).
Figura 2. Superfície obtida com o MUSCL (à direita) e superfície utilizando o SUPERBEE (à
esquerda).
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Observando a Fig. 1, notamos uma visível discrepância. Essa discrepância entre a solução
analítica e a numérica, obtida com o emprego do limitador de fluxo UWPO, torna-se nítida
exatamente na região onde a solução analítica apresenta uma variação abrupta no valor de
concentração do solvente. Essa variação é conhecida como difusão numérica. Entretanto o
limitador SUPERBBE teve uma pequena difusão, Fig.2. Já o limitador DC mostrou-se inviável
para o problema em questão, sendo o mesmo oriundo de oscilações espúrias, Fig.(3).
Figura 3. Superfície solução obtida com o DC (à direita) e Perfis de concentrações para
diferentes tipos de limitadores (à esquerda).
5. CONCLUSÃO
Foi feita observações referentes à difusão numérica, e o mesmo mostram que, o limitador
UWPO apresenta solução numérica com um perfil um pouco mais difusivo que o MUSCL, o que
excluiu o limitador de UWPO das nossas considerações. Por outro lado, notamos que o limitador
SUPERBEE apresentou a menor difusão numérica, gerando uma solução com perfil muito
próximo da solução analítica, apesar de ser o esquema que consumiu o maior tempo de
computação.Todos os limitadores de fluxo do tipo não TVD, com exceção do UWPO, que
apresentou forte difusão numérica, apresentaram oscilações espúrias inaceitáveis, como foi visto
na Fig.3.
Referências
[1] Blunt, M. and Ruin, B., Implicit Flux Limiting Schemes for Petroleum Reservoir Simulation,
Journal of Computational Physics, 102, 194, (1992).
[2] Leu, F. J., and Dane, J. H., Analytical solutions of the one-dimensional advection equation
and two- or three-dimensional dispersion equation, Water Resources Research, 26, 1475, (1990).
[3] Leveque, R. J., Finite volume methods for hyperbolic problems, Cambridge Texts in Applied
Mathematics, Cambridge University Press, (2002).
[4] Peaceman, D. W., Improved treatment of dispersion in numerical calculation of
multidimensional miscible displacement, Soc. Pet. Eng. J., 213, (1966).
[5] Tardy, P. M. J. and Pearson, J. R. A., A 1-D-averaged model for stable and unstable miscible
flows in porous media with varying Péclet number and aspect rations, Transport in Porous
Media, 62, 205, (2006).
[6] Thomas, J. W., Numerical partial differential equations: conservation laws and elliptic
equations, Texts in Applied Mathematics 33, Springer, New York, (1999).
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