PROBABILIDADE E
ESTATÍSTICA
Profa. Dra. Yara de Souza Tadano
[email protected]
Aula 3
09/2014
Estatística Descritiva
Medidas
de Centro
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Medidas de Centro
Uma medida de centro é um valor no centro ou meio
do conjunto de dados.
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Medidas de Centro
As medidas de tendência central (ou medidas de
centro) mais comuns são:
Média (aritmética)
Média ponderada
Mediana
Moda
Ponto Médio
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Média (Aritmética)
É a medida de centro encontrada pela adição dos valores e
divisão do total pelo número de valores.
Média Amostral ( X )
Média Populacional ()
n
X
X
i 1
N
i
n
X
i 1
i
N
onde n é o número de elementos da amostra e N é o número de
elementos da população.
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Média (Aritmética)
Uma desvantagem da média é que ela é sensível a qualquer
valor, de modo que um valor excepcional pode afetar
drasticamente a média.
A mediana supera essa desvantagem.
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Mediana
A mediana pode ser considerada como um “valor do meio”.
A
centro que é o
de um conjunto de dados é a medida de
quando os dados originais
estão arranjados em ordem crescente (ou decrescente) de
magnitude.
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Mediana
Para encontrar a mediana, primeiro
os valores e
depois siga um dos dois passos:
Se o número de valores for
, a mediana será o número
localizado no meio exato da lista.
Se o número de valores for
, a mediana será encontrada pelo
cálculo da média dos dois números do meio.
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Mediana
A mediana é dada pela seguinte expressão:
Mediana Amostral (
Se n for ímpar:
)
Mediana Populacional (Me)
Se n for ímpar:
Me= Xæ N+1ö
ç
÷
è 2 ø
Se n for par:
Se n for par:
é
ù
ê Xæ ö + Xæ ö ú
N
ç +1÷ ú
êë çè N2 ÷ø
è 2 øû
Me=
2
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Exemplo
Olhando para o diagrama de Ramo e Folha do exemplo
sobre a altura (em cm) dos alunos da UTFPR:
RAMOS
15
16
17
FOLHAS
012345555666788
0000011112233444567889
023
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Exemplo
Vamos supor agora, que ao invés de dois alunos de 161 cm,
um dos alunos tinha 205 cm e o outro 209 cm de altura. O
diagrama Ramo e Folha seria:
RAMOS
15
16
17
18
19
20
FOLHAS
012345555666788
00000112233444567889
023
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Exemplo
Neste caso, a
162,9 cm.
Já a
passaria de 160,6 cm para
continuaria sendo 160,5 cm
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Moda
A
de um conjunto de dados é o valor que ocorre
mais frequentemente.
: Quando tem duas modas, ou seja, dois
valores que ocorrem com a mesma maior frequência.
: Quando tem mais de duas modas.
Quando nenhum valor se repete, dizemos que
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.
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Exemplo
Qual a moda das alturas (em cm) dos alunos da UTFPR?
Olhando para o diagrama Ramos e Folhas, podemos
verificar que a moda é
RAMOS
15
16
17
.
FOLHAS
012345555666788
0000011112233444567889
023
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Ponto Médio
O
é a media de centro que é exatamente o
valor a meio caminho entre o maior valor e o menor valor no
conjunto original de dados.
valor máximo + valor mínimo
Ponto Médio =
2
Raramente é usado como medida de centro.
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Média de uma distribuição de
frequências
A média de uma distribuição de frequência é dada pela
seguinte expressão:
1ª Fórmula:
k
x f ri xi
f ri frequência relativa da i ésima classe.
xi ponto médio da i - ésima classe
i 1
2ª Fórmula:
x
k
fx
i 1
k
i i
f
i 1
f i frequência da i - ésima classe
k número de classes
i
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Média Ponderada
A média ponderada é dada pela seguinte expressão:
Média Ponderada
Amostral ( X )
Média Ponderada
Populacional ()
n
N
X
w X
i 1
n
i
w
i 1
i
i
w X
i 1
N
i
i
w
i 1
i
onde wi é o peso.
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Pensamento Crítico
Para cada um dos seguintes conjuntos, podemos achar
medidas de centro, como média e mediana. Identifique a
principal razão pela qual a média e a mediana não são
estatísticas que servem precisa e efetivamente como medidas
de centro.
1) Códigos Postais: 79950, 85015, 13014
2) Classificação de níveis de estresse para diferentes
empregos: 2 3 1 7 9
3) Respondentes de uma sondagem são codificados como:
1 (PT), 2 (PSDB), 3 (PV), 4 (PCdoB)
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Pensamento Crítico
1) Os códigos postais são rótulos para
.
2) As classificações refletem uma
, mas não
medem ou contam coisa alguma. Os valores não
correspondem à magnitude de estresse, mas apenas qual
emprego tem maior nível de estresse.
3) Os resultados são números, porém estes números,
simplesmente são uma maneira de expressar os
.
Portanto, em qualquer dos casos, a média ou mediana são
estatísticas sem significado. A
seria uma medida de
centro que poderia fornecer alguma informação útil.
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Qual a melhor
medida de centro?
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Infelizmente,
uma única melhor resposta para esta
questão.
As diferentes medidas de centro têm diferentes vantagens e
desvantagens.
A média será a mais utilizada, porém deve-se tomar
cuidado, pois uma desvantagem importante é que, algumas
vezes, a média é drasticamente afetada por alguns valores
extremos.
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Medidas de centro
Média
Ache a soma de
todos os valores e
divida, então pelo
número de valores.
Mediana
Moda
Ordene os dados
Número
impar de
valores
A mediana é
o valor no
meio exato.
Valor que
ocorre mais
frequentemente.
Número
par de
valores
Faça a média
dos dois valores
do meio.
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A
é sensível a valores extremos;
tendem a variar menos do que
outras medidas de centro;
A
é, em geral, uma boa escolha se há alguns
valores extremos;
A
é boa para dados no nível nominal de
mensuração.
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Assimétrica
positiva
(ou à direita)
Média > Mediana > Moda
ou
Mediana > Média > Moda
Assimétrica
negativa
(ou à esquerda)
Simétrica
Moda
Mediana
Média
IGUAIS
Moda > Mediana > Média
ou
Moda > Média > Mediana
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Regra de Arredondamento
Use uma casa decimal a mais que as que são
apresentadas no conjunto original de dados.
No caso da
, como são valores iguais aos dos
dados originais, eles podem ser deixados sem
arredondamento.
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