funções a partir de grandezas geométricas(1)

FUNÇÕES A PARTIR DE GRANDEZAS GEOMÉTRICAS(1)
Vinícius Emmel Martins(2), Radael de Souza Parolin(3), Patrícia Pujol Goulart
Carpes(4)
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Trabalho executado com recursos do Edital Nº 271/2014 - Programa de Desenvolvimento Acadêmico 2015, da
Reitoria da Universidade Federal do Pampa.
(2)
Estudante Bolsista; Universidade Federal do Pampa; Itaqui/RS; [email protected]
(3)
Professor Orientador; Universidade Federal do Pampa; Itaqui/RS; [email protected]
(4)
Professora Colaboradora; Universidade Federal do Pampa; Itaqui/RS; [email protected]
RESUMO: Geralmente o estudo de relações (funções) explora características e propriedades particulares de alguns
tipos de funções. Ainda, aplicações de funções são consideradas conteúdo adicional e muitas vezes estão ao final dos
componentes curriculares, acabando por não ser estudado. Em contrapartida, estudos preocupados em discutir
significados às funções, com objetivo de melhorar o ensino e aprendizagem, buscam valorizar fenômenos e relações
matemáticas. Neste contexto, pode-se reconhecer as relações de dependência entre grandezas geométricas como
aplicações puramente matemáticas, e apreciar a inter-relação entre a álgebra e a geometria. O trabalho aqui descrito
propõe o estudo e desenvolvimento de funções que representam relações de dependência entre grandezas
geométricas. O desenvolvimento contemplou uma revisão bibliográfica em livros de funções e de geometria plana, o
estudo de funções de objetos geométricos, a análise e descrição das funções de diferentes objetos geométricos, e a
construção das relações geométricas das funções em programas computacionais geometricamente dinâmicos. Como
resultados, pudemos identificar, compreender, descrever e desenvolver objetos matemáticos computacionais acerca de
funções que representam a área de polígonos.
Palavras-Chave: Funções, Geometria Plana, Grandezas Geométricas
INTRODUÇÃO
O estudo de funções geralmente explora aspectos da dependência e relação entre duas variáveis,
que de forma genérica, discute e amplia características particulares de cada função. Assim, o estudo de
particularidades como domínio e imagem, raízes, assíntotas horizontais e verticais, pontos de máximo e de
mínimo, inflexões, dentre outros, são aspectos matemáticos obrigatórios em componentes curriculares que
envolvem o tema.
Considerando ainda, objetos matemáticos da geometria plana euclidiana, podem-se estudar diversas
relações de dependência entre grandezas geométricas, buscando valorizar funções com aplicações dentro
da própria ciência matemática.
O trabalho aqui descrito propõe o estudo e desenvolvimento de funções que representam relações de
dependência entre grandezas geométricas e sua visualização em programas que permitam o
desenvolvimento da geometria.
METODOLOGIA
Buscou-se realizar uma ampla revisão bibliográfica em livros que abordam temas relacionados a
funções e geometria plana, analisando vários objetos geométricos e relações entre suas grandezas
geométricas a partir de construções, propriedades e relações já determinadas dos objetos geométricos
(REZENDE; QUEIROZ, 2000. DOLCE; POMPEO, 2005).
Após encontrar funções, por exemplo, que relacionam variáveis como comprimentos ou áreas, ou
seja, alguma relação de dependência entre os objetos geométricos e suas grandezas, realizou-se uma
busca das propriedades das funções, efetuando um estudo detalhado destas funções e de suas
particularidades, tais como: Bijeção; Paridade; Domínio e imagem; Raízes; Assíntotas horizontais e
verticais; Pontos de máximo e de mínimo; Inflexões; Crescimento e decrescimento; Concavidade (BOULOS,
1999. LIMA, 2001).
Parte crucial deste trabalho foi a utilização de softwares computacionais para reproduzir as figuras
geométricas e suas respectivas funções, que possibilitaram um detalhamento e enriquecimento da relação
geometria-álgebra com aplicações puramente matemáticas, através do uso de geometria dinâmica, que
permite verificar detalhes de maneira visualmente dinâmica, tornando o estudo mais atrativo e didático.
RESULTADOS E DISCUSSÃO
Consideremos a variação da área de um triângulo retângulo e um trapézio quando um de seus lados
varia. Ambos estão dentro de um triângulo retângulo com medidas dos lados CB = 3, AB = 4 e AC = 5 u.c.,
com variação do lado AB, conforme Figura 1. A relação de variação de um lado do triângulo com sua área é
Anais do VII Salão Internacional de Ensino, Pesquisa e Extensão – Universidade Federal do Pampa
definida como uma função quadrática, pois para cada valor da medida do lado do triângulo temos um único
valor correspondente para a área. Na Figura 1, podemos observar que conforme variamos o valor do lado
do triângulo conseguimos construir o gráfico da função para a área do polígono. A partir da semelhança de
triângulos, e relações do trapézio, encontramos as funções
Atriângulo( x) 
3x 2
8
e
Atrapézio( x)  3x 
3x 2
8
(1)
Figura 1 – Áreas do triângulo (vermelho) e trapézio (azul) variando um de seus lados e o gráfico de suas
respectivas funções A(x)
Outros exemplos de construções também analisadas foram um retângulo quando um de seus lados é
mantido fixo e o segundo varia, um triângulo isósceles, no qual se mantiveram fixos os dois lados iguais,
variando apenas o comprimento do outro lado, e um retângulo com perímetro fixo variando seus lados.
Nestes exemplos utilizou-se o programa computacional GeoGebra 5 (International GeoGebra
Institute, 2015), que permite a variação instantânea da variável e sua imagem (variação geométrica),
permitindo visualizar de forma mais coerente a dinâmica da função envolvida, além de favorecer a
experimentação, o controle e discussões acerca de tais relações envolvidas (GIRALDO et al., 2014).
CONCLUSÕES
Este trabalho permitiu o desenvolvimento de objetos matemáticos computacionalmente dinâmicos,
com a finalidade de construir atividades educacionais, tanto para o ensino básico quanto superior, no qual
busca unir o estudo de funções e geometria plana, possibilitando discussões e melhor compreensão acerca
dos objetos envolvidos, seus conceitos e propriedades matemáticas.
REFERÊNCIAS
BOULOS, P. Pré-Calculo. São Paulo: Makron Books, 1999.
DOLCE, O.; POMPEO, J. N. Fundamentos de Matemática Elementar. Geometria Plana. v. 9. 6 ed. São Paulo: Atual,
2005.
GIRALDO, V.; MATTOS, F. R.; CAETANO, P. A. Recursos Computacionais no Ensino da Matemática. SBM, 2014
(Coleção PROFMAT).
International GeoGebra Institute. Programa GeoGebra 5 [homepage na Internet]. Áustria, 2015. Disponível em:
<http://www.geogebra.org/>. Acesso em: 10 jan. 2015.
LIMA, E. L. et al. A matemática do ensino médio. Coleção do Professor de Matemática. v. 1. 3 ed. Rio de Janeiro:
SBM, 2001.
REZENDE, E. Q. F, QUEIROZ, M. L. B. de. Geometria Euclidiana Plana e Construções Geométricas. Campinas:
Editora da Unicamp, 2000.
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