Probabilidade II Lista 2 - Covariância e Coeficiente de Correlação

Probabilidade II
Lista 2 - Covariância e Coeciente de Correlação
Um dado honesto e um dado desonesto (probabilidade de ocorrer face 1 é igual a 1/5; das
demais, é igual a 4/25) são lançados de forma independente. Seja X o menor dos dois números e Y o maior
deles (se os números forem iguais, assuma X = Y ). Calcule a correlação entre essas v.a's. Resposta:
ρX,Y = 0, 475.
Exercício 1.
Dois tetraedros equilibrados com faces numeradas de 1 a 4 são lançados de forma independente.
Seja X o menor dos dois números e Y o maior deles (se os números forem iguais, assuma X = Y ). Calcule
a correlação entre essas v.a's. Resposta: ρX,Y = 0, 45.
Exercício 2.
Desejamos comparar a relação entre o número de lhos (X ) e anos de escolaridade do pai (Y )
em famílias de dois bairros (A e B ) periféricos da cidade. Apesar dos bairros terem características próximas,
suspeita-se que a intensidade da dependência entre essas variáveis seja diferente nos dois bairros. Para cada
bairro, a distribuição conjunta é dada abaixo.
Exercício 3.
XA \YA
5
6
7
8
9
0,01 0,02 0,05 0,03 0,01
0,05 0,05 0,09 0,08 0,06
0,11 0,10 0,10 0,13 0,11
XB \YB
5
6
7
8
9
0,01 0,01 0,03 0,08 0,09
0,04 0,07 0,06 0,06 0,05
0,12 0,13 0,11 0,09 0,05
2
3
4
2
3
4
Calcule, para cada bairro, o coeciente de correlação e tire suas conclusões sobre as variáveis X e Y .
Para o bairro A, temos ρXA ,YA = −0, 02 e para o bairro B, temos ρXB ,YB = −0, 58. Para os
dois bairros, o sinal negativo no coeciente de correlação indica que o aumento nos anos de escolaridade do
pai, tende a provocar um decrescimento no número de lhos nas famílias. No entanto, essa relação linear é
muito mais forte no bairro B do que no bairro A.
Respostas:
Numa comunidade em que apenas dez casais trabalham, fez-se um levantamento no qual foram
obtidos os seguintes valores para os rendimentos anuais:
Exercício 4.
Casal Rendimento do homem (X) Rendimento da mulher (Y )
1
10
5
2
10
10
3
5
5
4
10
5
5
15
5
6
10
10
7
5
10
8
15
10
9
10
10
10
5
10
Um casal é escolhido ao acaso entre os dez.
a) X e Y são v.a's independentes? Justique.
Resposta:
b) Calcule o coeciente de correlação entre X e Y .
1
Não.
Resposta:
ρX,Y = 0, 46.
c) Considere a v.a. igual à soma dos rendimentos de cada homem e mulher. Calcule a média e a variância
de Z . Respostas: E(Z) = 17, 5 e V ar(Z) = 16, 25.
Exercício 5. A densidade conjunta entre X e Y é dada por f (x, y) = 2I(0,y) (x)I(0,1) (y). Obtenha a correlação
entre as variáveis e verique se são independentes. Resposta: As variáveis não são independentes e ρX,Y =
0, 50.
Sejam X e Y v.a's com coeciente de correlação igual a ρ. Mostre que as v.a's X − E(X) e
Y − E(Y ) também têm o coeciente de correlação igual a ρ.
Exercício 6.
Seja (X, Y ) um vetor com distribuição normal bivariada (Veja Exercício 25 da Lista 1).
Mostre que o coeciente de correlação entre as v.a's X e Y é dado pelo parâmetro ρ. Sugestão: Assuma que
E(X) = E(Y ) = 0 (por quê?) e mostre que E(XY ) = ρσ1 σ2 .
Exercício 7.
Seja (X, Y ) um vetor com distribuição normal bivariada. Mostre que X e Y são independentes
se, e somente se, forem não correlacionadas.
Exercício 8.
Seja X uma v.a. com densidade Uniforme Contínua em [0, 2π]. Verique que U = senX e
V = cos X são não correlacionadas. Essas variáveis são independentes? Justique.
Exercício 9.
Sejam X e Y variáveis Bernoulli com parâmetros p e q , respectivamente. Mostre que as v.a's
X e Y são independentes se, e só se, forem não correlacionadas.
Exercício 10.
Exercício 11. Seja (X1 , . . . , Xm , Y1 , . . . , Yn ) um vetor aleatório (m + n)-dimensional tal que V ar(Xi ) =
V ar(Yj ) = 1, para i = 1, . . . , m e j = 1, . . . , n; ρXi ,Xj = ρ1 , ρYi ,Yj = ρ2 , ∀i 6= j , e ρXi ,Yj = ρ3 , ∀i, j . Se
U = X1 + · · · + Xm e V = Y1 + · · · + Yn , então prove que o coeciente de correlação entre U e V é igual a
√
mnρ3
p
ρU,V = p
1 + (m − 1)ρ1 1 + (n − 1)ρ2
Suponha que o vetor aleatório (X, Y ) seja uniformemente distribuído sobre a região A, onde
A = {(x, y)|x2 + y 2 ≤ 1, y ≥ 0}. Calcule o coeciente de correlação entre X e Y . Resposta: ρX,Y = 0.
Exercício 12.
DISTRIBUIÇÃO
Os exercícios da Lista 1 foram distribuídos de acordo com a tabela abaixo. Os exercícios são individuais
e a entrega deverá ser feita até 23 de abril.
Allan Rogger Pereira Elizário - 5 e 12
Brunna Maria de Oliveira Lorenzon - 1 e 7
Daniela Gomes Fagundes - 6 e 8
Daniella Guimarães de Almeida Bueno - 10 e 11
Diego da Silva Morais - 4 e 9
Diego Ribeiro Silva Toledo - 2 e 3
Diogo Bruno Ribeiro Silva - 7 e 9
Elaine de Moura Macedo - 11 e 12
Herberth Duarte dos Santos - 3 e 6
João Pedro Pires Gonçalves - 2 e 10
Jorge Antônio Lima da Silveira - 4 e 5
2
José Francisco Arruda e Silva - 1 e 8
José Humberto de Araújo Ferraz - 1 e 9
Karollyna Barbosa Bie - 5 e 12
Laís Franco - 10 e 11
Lucas Santos Bicalho - 4 e 6
Ludmilla Pereira Pimenta - 3 e 7
Patrick Mandela Ferreira Barbosa - 2 e 8
Paulo Henrique Isecke Neto - 10 e 12
Pedro Leonardo Longhin Silva - 2 e 5
Rodrigo de Queiróz Barbosa - 1 e 7
Walef Pacíco da Lima - 6 e 9
Wennerkeinny Wendley Stalschus de Oliveira - 8 e 11
3