Desigualdades de Hölder generalizada com normas - Dm-UFPB

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Universidade Federal da Paraı́ba
Centro de Ciências Exatas e da Natureza
Programa de Pós–Graduação em Matemática
Mestrado em Matemática
Desigualdade de Hölder
generalizada com normas mistas e
aplicações
Daniel Tomaz de Araújo
João Pessoa – PB
Agosto de 2016
Universidade Federal da Paraı́ba
Centro de Ciências Exatas e da Natureza
Programa de Pós–Graduação em Matemática
Mestrado em Matemática
Desigualdade de Hölder
generalizada com normas mistas e
aplicações
por
Daniel Tomaz de Araújo
sob a orientação do
Prof. Dr. Daniel Marinho Pellegrino
e sob a co-orientação do
Prof. Dr. Nacib André Gurgel e Albuquerque
Dissertação apresentada ao Corpo Docente do Programa de Pós-Graduação em
Matemática da Universidade Federal da
Paraı́ba como requisito parcial para obtenção do tı́tulo de Mestre em Matemática.
João Pessoa – PB
Agosto de 2016
A663d
UFPB/BC
Araújo, Daniel Tomaz de.
Desigualdade de Hölder generalizada com normas mistas e
aplicações / Daniel Tomaz de Araújo.- João Pessoa, 2016.
87f.
Orientador: Daniel Marinho Pellegrino
Dissertação (Mestrado) - UFPB/CCEN
1. Matemática. 2. Desigualdade de Hölder. 3. Desigualdade
de Bohnenblust-Hille. 4. Desigualdade de Hardy-Littlewood.
5. Operadores multilineares múltiplo somantes.
CDU: 51(043)
Agradecimentos
Primeiramente a Deus pelo dom da vida. Aos meus pais, Hélio Tomaz de Araújo e
Maria Daguia Costa de Araújo pelo amor incondicional, responsáveis por tudo o que
hoje sou. Aos meus irmãos, Diego, Douglas (in memorian), Ana Beatriz e a pequena
Alice. O amor de vocês é o que me faz não desistir nunca.
Ao meu orientador Professor Daniel Pellegrino, pela oportunidade de poder concretizar este trabalho, sempre com muita paciência e dedicação, a quem tenho muito
respeito e extrema admiração, não só como profissional, mas também como pessoa de
caráter único.
Ao meu coorientador e porque não orientador também, o professor Nacib Albuquerque, um dos grandes responsáveis pela construção do trabalho, presente do inı́cio
ao fim, sempre acessı́vel, dedicado e conciso nas correções, buscando o melhor para o
trabalho. Foi uma honra para mim estar ao lado de vocês dois.
Ao meu amor Jéssica Patrı́cia, pela paciência imensurável e pela compreensão durante todo este perı́odo. Seu carinho foi crucial para superar todas as dificuldades.
Aos meus eternos amigos da residência universitária da UFRN, Leandro Lima, Emanuel Carlos, Sérgio Balbino e Adailton. A amizade de vocês não tem preço. Ninguém
consegue nada na vida sem amigos de verdade. Aos meus colegas de mestrado, Tony
Lopes, Zé Gonçalves ( Zezinho), Pedro Pantoja, pelos momentos de estudo que podemos compartilhar nessa longa caminhada. E aos demais colegas da pós-graduação de
Matemática.
Aos professores do Departamento pelo conhecimento repassado, Elisandra, Andrade, Miriam, Everaldo, Adriano, Uberlândio. Aos professores da banca, pela disponibilidade e pelas sugestões valiosas. Ao professor Ronaldo Freire de Lima da UFRN,
não só pelo papel de professor, mas pelo incentivo em nos fazer acreditar que sempre fomos capazes de alcançar este patamar. Aos meus eternos professores da Escola
Cipriano Lopes Galvão, pelo apoio e incentivo de sempre.
Ao meus tios maternos e paternos, Chagas, Maria, Rosinério, e em especial ao meu
tio Paulo, que sempre foi mais que um pai para mim. Obrigado por tudo.
Aos funcionários do Departamento, pelo empenho em nos fornecer as melhores
condições de produzir ciência.
Por fim, aos meus familiares e amigos do meu velho sı́tio Totoró, lugar onde nasci
e construı́ os verdadeiros valores da vida.
A CAPES pelo apoio financeiro.
Resumo
No presente trabalho, apresentamos uma versão pouco conhecida da famosa Desigualdade de Hölder, considerando o contexto dos espaços Lp e `p com normas mistas. Mostramos como o uso adequado desta desigualdade vem influenciando positivamente outras desigualdades clássicas, a destacar, as desigualdades multilineares de
Bohnenblust-Hille e Hardy-Littlewood.
Palavras-chave: Desigualdade de Hölder, Desigualdade de Bohnenblust-Hille, Desigualdade de Hardy-Littlewood, Operadores multilineares múltiplo somantes.
vi
Abstract
In this work, we present a version little know of the famous Hölder’s Inequality,
considering the context of Lp and `p spaces for mixed norms. We show how a suitable
use this inequality has influencied positively others classical inequalities, to highlight,
the multilinear inequalities of Bohnenblust-Hille and Hardy-Littlewood.
Keywords: Hölder’s inequality, Bohnenblust-Hille inequality, Hardy-Littlewood inequality, multiple summing operators .
Sumário
Introdução
ix
1 Desigualdade de Hölder com normas mistas
1
1.1
Espaços Lp com norma mista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2
Espaços de sequências com norma mista . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.3
Desigualdade de Hölder com norma mista . . . . . . . . . . . . . . . .
8
2 Operadores multilineares múltiplo somantes
18
2.1
Operadores absolutamente somantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
2.2
Operadores absolutamente p-somantes . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
2.3
Operadores absolutamente (q; p)-somantes . . . . . . . . . . . . . . . .
26
2.4
Operadores multilineares múltiplo somantes . . . . . . . . . . . . . . .
30
3 Aplicações da Desigualdade de Hölder com normas mistas
44
3.1
Desigualdade multilinear de Bohnenblust-Hille . . . . . . . . . . . . . .
44
3.2
Aplicações da Desigualdade de Hölder com a Bonhenblust-Hille . . . .
50
3.3
Aplicações da Desigualdade de Hölder interpolativa . . . . . . . . . . .
63
Apêndice
73
Referências
84
viii
Introdução
Neste trabalho apresentamos uma versão pouco conhecida da desigualdade clássica
de Hölder em espaços caracterizados por normas mistas, exibindo algumas aplicações
recentes no ambiente multilinear, com o auxı́lio de outras desigualdades clássicas como,
por exemplo, a desigualdade de Bonhenblust-Hille. Historicamente, a desigualdade de
Hölder foi descoberta de modo independente por Leonard James Rogers (1862-1933)
em 1888 e Otto Hölder (1859-1937) em 1889. Um caso particular bastante conhecido
dos cursos de Análise Real e Álgebra Linear ocorre quando consideramos p = q = 2.
Ela é a famosa desigualdade de Cauchy-Bunyakovski-Schwarz.
Em Análise Funcional, a desigualdade clássica de Hölder é crucial para provar a
desigualdade de Minkowski, comumente conhecida como desigualdade triangular nos
espaços Lp . Outra situação concreta, por exemplo, é mostrar que o dual do espaço Lp
é o espaço Lq para p ∈ [1, ∞) com
1
p
+
1
q
= 1.
A motivação para o presente trabalho foi o estudo de uma versão da desigualdade
de Hölder que apareceu em espaços Lp com normas mistas, fruto de trabalhos de
Luxemburg [27] em 1955 e de A. Benedeck e R. Panzone [9] em 1961. A teoria de espaços
Lp com normas mistas tem sido explorada em trabalhos de Equações Diferenciais,
mas apenas recentemente começou a ser explorada na Análise Funcional ajudando na
solução do célebre problema do raio de Bohr que aparece na teoria de Séries de Dirichlet
e com aplicações em resultados de Teoria da Informação Quântica.
No presente trabalho ilustramos aplicações recentes da desigualdade de Hölder para
normas mistas, como em resultados relacionados às desigualdades de BohnenblustHille e Hardy-Littlewood, avaliando a dependência que surge em n quando o expoente
ótimo das desigualdades é perturbado. Estudamos também a relação com a teoria de
operadores múltiplos somantes.
Nossa principal referência foi [2]. Nela, os autores apresentam resultados que necessitam da aplicação da desigualdade de Hölder com normas mistas.
ix
Estrutura do Texto
O primeiro capı́tulo foi dedicado à Desigualdade de Hölder para normas mistas.
Nele, exibimos algumas de suas versões clássicas até chegar ao resultado principal, a
Desigualdade de Hölder com normas mistas, apresentando uma demonstração formal.
Discorremos também sobre algumas propriedades básicas dos espaços Lp e `p com
normas mistas. Finalizamos o capı́tulo com um corolário dessa nova Desigualdade de
Hölder, tão eficaz quanto a própria desigualdade em algumas aplicações.
No Capı́tulo 2 realizamos um apanhado de alguns resultados relacionados a somabilidade de aplicações multilineares. Começamos com resultados básicos da teoria dos
espaços de Banach e teoremas clássicos como o de Grothendieck e Dvoretzky-Rogers.
Enfatizamos o papel dos operadores absolutamente somantes e suas ramificações, como
os operadores p−somantes, (q; p) −somantes e múltiplos somantes, destacando algumas
propriedades básicas. Para encerrar o capı́tulo, apresentamos alguns resultados recentes relacionados a essa teoria.
O Capı́tulo 3 foi destinado a aplicações da desigualdade vista no Capı́tulo 1, com
base na referência [2]. Inicialmente, exibimos a Desigualdade de Bohnenblust-Hille,
resultado de fundamental importância nas estimativas propostas. Nesta etapa, recorremos a Desigualdade de Kahane-Salem-Zygmund para obtenção da otimalidade dos
expoentes na maior parte dos teoremas. Finalizamos o capı́tulo com algumas aplicações
como , por exemplo, a Desigualdade
4
3
4
3
de Littlewood, enfatizando que o expoente ótimo
pode ser obtido por meio de interpolação de outros expoentes adequados.
Por fim, o apêndice foi dedicado à demonstração de resultados que foram cruci-
ais durante seu desenvolvimento. Elaboramos também uma outra demonstração da
Desigualdade de Hölder com normas mistas, considerando o espaço Lp .
Notação e Terminologia
• Em todo este texto, K sempre denotará o corpo dos números reais R ou o corpo
dos números complexos C.
• O termo “operador ”será usado no mesmo sentido de “função”.
• Na maior parte do texto, usaremos X, Y, E, F, G, H, Ei , Fi , . . . para nos referimos
a espaços de Banach. A norma de um espaço de Banach E será usualmente denotada
por ||.||. Por BE representamos a bola unitária fechada do espaço de Banach E, isto
é, {x ∈ E; ||x|| ≤ 1} e SE = {x ∈ E; ||x|| = 1} a esfera unitária do mesmo espaço E.
• O dual topológico de um espaço de Banach E será denotado por E 0 .
• Denotaremos por p∗ o expoente conjugado de p ∈ (1, ∞), isto é,
x
1
p
+
1
p∗
= 1.
Convencionaremos 1∗ = ∞.
• L(E1 , . . . , Em ; F ) representará o espaço de Banach formado por todas as aplicações
m−lineares contı́nuas T : E1 × · · · × Em −→ F munido com a norma do supremo,
||T || =
sup
||T x|| .
x∈BE1 ×···×Em
Quando E1 = · · · = Em escreveremos simplesmente L(m Ei ; F ).
• KN denotará o conjunto formado pelas sequências cujas entradas são elementos
de K.
• Alguns espaços importantes serão frequentes no texto:
P
`p = (xn )n∈N ∈ KN ; n |xn |p < ∞ ;
`∞ = (xn )n∈N ∈ KN ; supn |xn | < ∞ ;
def
`np = (xn )n∈N ∈ `p ; xi = 0, ∀i ≥ n + 1 = Kn com a norma `p ;
c0 = (xn )n∈N ∈ KN ; xn −→ 0 .
• Dado um inteiro positivo m e um subconjunto não-vazio D ⊂ N, denotamos o
conjunto de multi-ı́ndices i = (i1 , . . . , im ), com ik ∈ D por
M (m, D) = {i = (i1 , . . . , im ) ∈ Nm ; ik ∈ D, k = 1, . . . , m} = Dm .
• Denotaremos também
M (m, n) = M (m, {1, 2, . . . , n}) .
xi
Capı́tulo 1
Desigualdade de Hölder com
normas mistas
1.1
Espaços Lp com norma mista
O propósito desta seção é apresentar alguns conceitos importantes relacionados aos
espaços Lp com normas mistas, enfatizando notações e propriedades intrı́nsecas que
serão cruciais para a compreensão da Desigualdade de Hölder neste contexto. Os primeiros indı́cios de estudos sobre espaços com essa natureza são creditados a Luxemburg
[27] em 1955 e posteriormente com A. Benedeck e R. Panzone [9] em 1961. Em [9], os
autores apresentam um arsenal de resultados envolvendo estes espaços, conectando-os
com resultados clássicos de teoria da medida, dentre outros o Teorema da Convergência
Monótona e o Teorema da Convergência dominada de Lebesgue.
P
Consideremos (Xi , i , µi ), com i = 1, . . . , m , espaços de medida σ-finita. Denotaremos por
P
(X, , µ) =
m
m
m
Y
Y
P Y
Xi ,
,
µi
i
i=1
i=1
!
i=1
o espaço produto munido com a medida produto.
Para p = (p1 , . . . , pm ) ∈ [1, ∞]m , chamado algumas vezes de expoente múltiplo,
denotaremos por Lp (X) o espaço formado por todas as classes de equivalência das
funções mensuráveis f : X −→K (K = R ou C) que satisfazem a seguinte propriedade:
Para qualquer (x1 , . . . , xm−1 ) ∈ X1 × · · · × Xm−1 , a função avaliada neste ponto
f (x1 , . . . , xm−1 , ·) ∈ Lpm (Xm ). Isto significa mais precisamente que
||f ||pm := ||f (x1 , . . . , xm−1 , ·)||pm < ∞,
1
1. Desigualdade de Hölder com normas mistas
e ||f ||pm : X1 × · · · × Xm−1 −→K é uma função mensurável em
!
m−1
P Y
µi .
i,
m−1
Y
m−1
Y
i=1
i=1
Xi ,
i=1
Sucessivamente, se tomarmos 1 < k < m, para qualquer (x1 , . . . , xm−k ) ∈ X1 × · · · ×
Xm−k , a função
||f (x1 , . . . , xm−k , ·)||(pm−k+1 ,...,pm ) : Xm−k+1 × · · · × Xm −→ K
é uma função mensurável em L(pm−k+1 ,...,pm ) (Xm−k+1 × · · · × Xm ). Ou seja,
||f (x1 , . . . , xm−k , ·, . . . , ·)||(pm−k+1 ,...,pm )
= ||f (x1 , . . . , xm−k , ·, . . . , ·)||pm · · · pm−k+2
< ∞.
pm−k+1
Logo,
||f ||p = ||f ||(p1 ,...,pm )
= ||f ||(p2 ,...,pm ) .
def
p1
Por simplicidade de notação, consideremos o caso em que pi < ∞, para todo i =
1, . . . , m. Neste caso, dizemos que uma função mensurável f : X −→ K é um elemento
do espaço Lp (X) se, e somente se,

Z
Z
def
||f ||p = 
pm
|f |
···
X1
m
1
2
···
dµm
 p1
! pp1
pm−1
p
dµ1 
< ∞.
Xm
Dadas f, g : X −→ K em Lp (X) , definimos a função produto f.g, como o produto
pontual entre f e g , isto é,
def
f.g (x1 , . . . , xm ) = f (x1 , . . . , xm ) .g (x1 , . . . , xm ) .
Sucessivas aplicações da desigualdade de Minkowski nos permitem constatar que
||.||p define uma norma em Lp (X). De fato, é imediato que se ||f ||p = 0 ⇔ f ≡ 0 µ
a.e. Agora, considere λ ∈ K e f ∈ Lp (X), com p = (p1 , . . . , pm ) ∈ [1, ∞)m . Então,

def
Z
Z
···
||λf ||p = 
X1

···
=
X1
|λf |
m
dµm
1
2
···
dµ1 
Xm
Z
Z
pm
 p1
! pp1
pm−1
p
pm
pm
|λ | | f |
Xm
2
! pp1
pm−1
p
m
dµm
2
···
 p1
1
dµ1 
.
1. Desigualdade de Hölder com normas mistas
Pelas propriedades de integração, segue que

Z
Z
pm
|λ |pm | f |
···

m
dµm
 p1
! pp1
pm−1
p
1
2
···
dµ1 
Xm
X1

pm .
= |λ|
pm−1
pm
···
p1 1
p2 p1
Z
Z
pm
···
.
|f |
m
dµm
 p1
! pp1
pm−1
p
1
2
···
dµ1 
Xm
X1
= |λ| . ||f ||p .
Resta-nos portanto, mostrar a desigualdade triangular. Para uma melhor compreensão,
iremos proceder usando indução sobre m, juntamente com o auxı́lio da Desigualdade
de Minkowski.
Considere m = 2 . Sejam p = (p1 , p2 ) ∈ [1, ∞)2 e f, g : X −→ K ∈ Lp (X), com
X =X1 × X2 . Por definição,
Z
Z
||f ||(p1 ,p2 ) =
X1
1
2
e
dµ1
X2
Z
Z
||g||(p1 ,p2 ) =
|f |p2 dµ2
! p1
pp1
X1
|g|p2 dµ2
! p1
pp1
2
1
dµ1
X2
Fixado x1 ∈ X1 , pela maneira como definimos o espaço Lp (X), f (x1 , ·) ∈ Lp2 (X2 ) e
g (x1 , ·) ∈ Lp2 (X2 ). Pela desigualdade de Minkowski, f + g ∈ Lp2 (X2 ) e, além disso,
||f + g||p2 ≤ ||f ||p2 + ||g||p2 ,
ou seja,
Z
p2
p1
|f + g| dµ2
X2
2
Z
≤
p2
|f | dµ2
p1
2
Z
|g| dµ2
+
X2
X2
Note que,
||f ||p2 : X1 −→ K∈ Lp1 (X1 )
||g||p2 : X1 −→ K∈ Lp1 (X1 ) .
Logo,
||f + g||p2 : X1 −→ K∈ Lp1 (X1 ) .
3
p2
p1
2
.
1. Desigualdade de Hölder com normas mistas
Aplicando novamente a Desigualdade de Minkowski segue que
||f + g||p2 p1
≤ ||f ||p2 + ||g||p2 p 1 ≤ ||f ||p2 + ||g||p2 .
p1
p1
Ou seja,
def ||f + g||(p1 ,p2 ) = ||f + g||p2 Z
Z
|f + g|p2 dµ2
=
X1
Z
! p1
1
dµ1
X2
"Z
|f |p2 dµ2
≤
X1
Z
p1
p1
p2
p1
2
Z
≤
X1
2
1
dµ1
X2
X2
Z
|g|p2 dµ2
+
! p1
p1 #p1
|f |p2 dµ2
! p1
pp1
2
1
dµ1
Z
Z
+
X2
X1
|g|p2 dµ2
! p1
pp1
2
1
dµ1
X2
def
= ||f ||(p1 ,p2 ) + ||g||(p1 ,p2 ) .
Consequentemente,
||f + g||p ≤ ||f ||p + ||g||p .
Suponhamos que o resultado seja válido para m − 1. Vamos mostrar que o mesmo é
válido para m. De fato, sejam p = (p1 , . . . , pm ) ∈ [1, ∞)m e f, g : X −→ K ∈ Lp (X),
com X =X1 × X2 × · · · × Xm . Com isso, fixado x1 ∈ X1 , segue que f (x1 , · . . . , ·)
∈ L(p2 ,...,pm ) (X2 × · · · × Xm ) e g (x1 , · . . . , ·) ∈ L(p2 ,...,pm ) (X2 × · · · × Xm ). Pela hipótese
de indução,
f + g ∈ L(p2 ,...,pm ) (X2 × · · · × Xm ) ,
e, além disso, pela Desigualdade de Minkowski,
||f + g||(p2 ,...,pm ) ≤ ||f ||(p2 ,...,pm ) + ||g||(p2 ,...,pm ) .
Por outro lado, observe que
||f ||(p2 ,...,pm ) : X1 −→ K∈ Lp1 (X1 )
||g||(p2 ,...,pm ) : X1 −→ K∈ Lp1 (X1 ) .
Logo,
||f + g||(p2 ,...,pm ) : X1 −→ K∈ Lp1 (X1 ) .
4
1. Desigualdade de Hölder com normas mistas
Aplicando novamente a Desigualdade de Minkowski, tem-se que
||f + g||(p2 ,...,pm ) ≤ ||f ||(p2 ,...,pm ) + ||g||(p2 ,...,pm ) p1
= ||f ||(p2 ,...,pm ) + ||g||(p2 ,...,pm ) .
p1
p1
p1
Isto significa mais precisamente que

Z
Z
pm
···

|f + g|
X1
! pp1
pm−1
p
m
dµm
2
···
 p1
1
dµ1 
Xm

Z
Z
≤
pm
···
|f |
X1

Z

+
! pp1
pm−1
p
m
dµm
2
···
 p1
1
dµ1 
Xm
Z
pm
···
X1
|g|
! pp1
pm−1
p
m
dµm
2
···
 p1
1
dµ1 
.
Xm
Pela definição de norma mista,
def
||f + g||p = ||f + g||(p
1 ,...,pm )
≤ ||f ||(p1 ,...,pm ) + ||g||(p1 ,...,pm ) = ||f ||p + ||g||p .
Portanto, ||.||p define uma norma em Lp (X). Além disso, o espaço Lp (X) com sua
norma mista é um espaço de Banach. Para mais detalhes recomendamos [9, Theorem
1.b].
1.2
Espaços de sequências com norma mista
Os espaços de sequências são casos particulares dos espaços Lp , e serão estes os
mais utilizados no nosso trabalho.
Consideraremos em nosso estudo o espaço de medida (N, P (N) , µc ), formado pela
σ−álgebra do conjunto das partes P (N), em conjunto com a medida de contagem µc .
Dado p ∈ [1, ∞], definimos
n
o
`p := Lp (N) = (αn )n ∈ KN ; ||(αn )n ||p < ∞ .
Agora, dados p = (p1 , . . . , pm ) ∈ [1, ∞]m e uma matriz escalar a = (ai )i∈Nm de múltiplos
ı́ndices, denotamos por
def
`p = Lp (Nm ) =
n
o
a = (ai )i∈Nm ; ||a||p < ∞ ,
5
1. Desigualdade de Hölder com normas mistas
onde
i
= (i1 , . . . , im ) ∈ Nm .
Em particular, para p = (p1 , . . . , pm ) ∈ [1, ∞)m , dizemos que a = (ai )i∈Nm ∈ `p se, e
somente se,

def 
||a||p = 
∞
X

· · ·
i1 =1
∞
X
! pm−1
p
m
|ai |pm
 pp1  p11
2


···
 < ∞.
im =1
A demonstração de que ||.||p define uma norma segue o mesmo raciocı́nio apresentado
na seção anterior, utilizando várias vezes a Desigualdade de Minkowski.
Com isso, dado E espaço de Banach, definimos o espaço de sequências com norma
mista por
def
`p (E) = `p1 (`p2 (. . . (`pm (E)) . . .)) .
Em particular, quando tivermos E = K, denotaremos,
`p (K) = Lp (Nm ) = `p .
Uma informação de extrema relevância é que a ordem na qual somamos ou integramos em espaços com norma mista é de fundamental importância, assim como a ordem
dos expoentes, conforme ilustram os exemplos a seguir.
Exemplo 1.1. Consideremos a matriz de múltiplos ı́ndices a =

X
i
X 1 1

2i j
j
! 11 ×2  12
 =
X1
i
=
X 1 2
2i
j
X 1 2
j
1
2i j
∞
i,j=1
! 21
j
! 12
j
X1
i
2i
< ∞,
e, por outro lado,

X
j
X 1 1

2i j
i
! 11 ×2  12
 =
X1
j
6
j
X 1 2
i
2i
! 21
= ∞.
. Por um lado
1. Desigualdade de Hölder com normas mistas
Exemplo 1.2. Considerando a mesma matriz do exemplo anterior,
||a||(1,2 )
X X 1 2
def
=
2i j
i
j
! 21
!
X1
=
.
2i
i
X1
j2
j
! 21
< ∞.
Entretanto, a ∈
/ `(2,1) , visto que

def
||a||(2,1 ) =
X 1
2i j
j
X

i
!2  12
 = ∞.
Exemplo 1.3. Considere a função F : R2 −→ R definida por
(
1
x− 2 , se 0 ≤ y ≤ x ≤ 1
F (x, y) =
0, caso contrário
.
Embora F ∈ L(1,2 ) (R2 ) ∩ L(2,1 ) (R2 ), veremos que ||F ||(1,2 ) 6= ||F ||(2,1 ) . De fato, note
que,
def
Z Z
||F ||(1,2 ) =
|F (x, y)| dy
R
! 11
12
2
dx
Z
1
Z
0
x
Z
0
1 2 12
−2 x dy dx.
x
1 2
−2 x dy dx
=
R
Calculando a integral,
x
0
1 2 −2 −1 x
x dy = x .x = 1.
0
E daı́,
Z
21
1
1dx
= 1.
0
Portanto,
||F ||(1,2 ) = 1
Por outro lado,
def
Z Z
|F (x, y)|1 dy
||F ||(2,1 ) =
R
! 12
21
dx
Z
Z
=
0
R
1
0
Calculando a integral, obtemos
Z
0
x
1 2 1 2
−2 x dy = x− 2 .x = x.
7
! 21
.
1. Desigualdade de Hölder com normas mistas
E daı́,
12
1
Z
xdx
0
21
1
x2 1
1
= =
=√ .
2 0
2
2
Logo,
1
||F ||(2,1 ) = √ .
2
1.3
Desigualdade de Hölder com norma mista
Durante o nosso texto, dado p ∈ [1, ∞]m , denotaremos por `p = Lp (Nm ), o espaço
formado por todas as matrizes de múltiplos ı́ndices a = (ai )i∈Nm , cuja norma−p é finita. Dadas duas matrizes a = (ai )i∈Nm e b = (bi )i∈Nm definimos o produto entre elas
pontualmente, isto é,
ab = (ai bi )i∈Nm .
Dizemos que uma matriz a = (ai )i∈Nm ∈ `p se, e somente se,




∞
∞
∞
X
X
  X


·
·
·
||a||p = 

i =1 i =1
i
=1
def
1
m−1
2
p
! pm−1  pm−2
∞
X
m−1
pm
pm
|ai |

im =1
p  1
 pp23  p12 p1

  
··· 
< ∞.
 

Teorema 1.1. (Desigualdade clássica de Hölder em espaços `p )
Sejam r ∈ (0, ∞], p1 , . . . , pN ∈ (0, ∞] tal que
1
r
=
1
p1
+ ··· +
1
.
pN
Se cada ak =
(aki )i∈N ∈ `pk , com k = 1, . . . , N , então a1 · · · aN ∈ `r e, além disso,
||a1 · · · aN ||r ≤ ||a1 ||p1 · · · ||aN ||pN .
Demonstração. Procederemos por indução sobre N . Primeiramente vejamos o caso
em que N = 2 e r = 1. Note que esta situação é exatamente a Desigualdade clássica
de Hölder. De fato, consideremos a1 =
|a1i |
||a1 ||p
e a2 =
1
|a2i |
||a2 ||p
. Se a1 = 0 ou a2 = 0 a
2
desigualdade é imediata. Com o auxı́lio da Desigualdade de Young, [22, Prop.4.1.3],
garantimos que
a1 .a2 ≤
Por conseguinte,
Assim,
1 p1
1
1
1
a1 + ap22 , com
+
= 1.
p1
p2
p1 p2
|a1i |
|a2i |
1 |a1i |p1
1 |a2i |p2
.
≤
+
.
||a1 ||p1 ||a2 ||p2
p1 ||a1 ||pp11 p2 ||a2 ||pp22
X |a1i |
|a2i |
1 X |a1i |p1
1 X |a2i |p2
.
≤
+
.
||a1 ||p1 ||a2 ||p2
p1 i ||a1 ||pp11 p2 i ||a2 ||pp22
i
8
1. Desigualdade de Hölder com normas mistas
Reorganizando, obtemos
X
X
X |a1i |
1
|a2i |
1
|a1i |p1 +
|a2i |p2 .
.
≤
p1
p2
||a1 ||p1 ||a2 ||p2
p1 ||a1 ||p1 i
p2 ||a2 ||p2 i
i
Por outro lado, observe que
||a1 ||pp11 =
X
|a1i |p1 e ||a2 ||pp22 =
X
|a2i |p2 .
i
i
Com isso,
X |a1i |
1
|a2i |
1
.
≤
+
= 1.
||a
||
||a
||
p
p
1
2
1
2
p
p
1
2
i
Ou seja,
X |a1i |
|a2i |
.
≤ 1.
||a1 ||p1 ||a2 ||p2
i
Consequentemente,
X
|a1i .a2i | ≤ ||a1 ||p1 . ||a2 ||p2 .
i
Logo,
||a1 .a2 ||r ≤ ||a1 ||p1 . ||a2 ||p2 .
Agora, suponha que p1 = ∞. Note que,
∞
m
m
X
X
X
|a1i a2i | ≤ sup
|a1i a2i | ≤ sup |a1i | sup
|a2i |
m
m
i
i=1
i=1
i=1
! p1
m
2
X
≤ sup |a1i | . sup
|a2i |p2
m
i
= sup |a1i | .
i
i=1
∞
X
! p1
2
p2
|a2i |
i=1
= ||a1 ||∞ . ||a2 ||p2 .
Agora suponhamos N = 2 e r > 1. Lembrando que 1 =
∞
X
r
p1
+
r
p2
temos
!
|a1i a2i |r
= |||a1 a2 |r ||1 ≤ |||a1 |r || p1 . |||a2 |r || p2 .
r
r
i=1
Ou seja,
∞
X
i=1
!
|a1i a2i |r
≤
∞
X
(|a1i |r )
i=1
p1
r
! pr
1
.
∞
X
i=1
9
(|a2i |r )
p2
r
! pr
2
.
1. Desigualdade de Hölder com normas mistas
Isto significa mais precisamente que
∞
X
!
|a1i a2i |r

≤
i=1
∞
X
! p1 r 
∞
X
1
|a1i |p1
 .
! p1 r
2
|a2i |p2

i=1
i=1
= ||a1 ||rp1 . ||a2 ||rp2 .
E daı́, obtemos
||a1 a2 ||r ≤ ||a1 ||p1 . ||a2 ||p2 .
Suponhamos então que o resultado seja válido para N − 1. Vamos mostrar que é válido
para N . De fato, note que se pN = ∞, sabemos que
|aN | ≤ sup |aN | = ||aN ||∞ .
N
E daı́, pela hipótese de indução, temos
||a1 · · · aN ||r = ||(a1 · · · aN −1 ) .aN ||r ≤ ||a1 · · · aN −1 ||r . ||aN ||∞
HI
≤ ||a1 ||p1 · · · ||aN −1 ||pN −1 . ||aN ||pN .
Por outro lado, se pN < ∞, note que p =
pN
(pN −r)
eq=
pN
r
são expoentes conjugados
de Hölder no intervalo (0, ∞). Então, aplicando a Desigualdade de Hölder com os
expoentes
1
r
=
1
rp
+
1
rq
e usando a hipótese de indução com
1
=
rp
1
1
+ ··· +
p1
pN −1
,
obtemos
||a1 · · · aN ||r = ||(a1 · · · aN −1 ) .aN ||r ≤ ||a1 · · · aN −1 ||rp . ||aN ||rq
≤ ||a1 ||p1 · · · ||aN −1 ||pN −1 . ||aN ||pN .
Note que rq = pN . Portanto,
||a1 · · · aN ||r ≤ ||a1 ||p1 · · · ||aN ||pN .
Exibiremos agora o principal resultado deste capı́tulo, a Desigualdade de Hölder
com normas mistas em espaços de sequências. A tı́tulo de informação, poderı́amos
fazer a demonstração do resultado utilizando o espaço das funções mensuráveis, com
10
1. Desigualdade de Hölder com normas mistas
algumas pequenas adaptações.
Teorema 1.2. (Desigualdade de Hölder com normas mistas em espaços `p )
Sejam m, n, N inteiros positivos, r = (r1 , . . . , rm ) ∈ (0, ∞]m , p (1) = (p1 (1) , . . . , pm (1)) ,
· · · , p (N ) = (p1 (N ) , . . . , pm (N )) ∈ (0, ∞]m tais que
1
1
1
=
+ ··· +
, para j = 1, . . . , m.
rj
pj (1)
pj (N )
(1.1)
Considere também a (k) = (a (k)i )i∈Nm ∈ `p(k) , k = 1, . . . , N matrizes escalares. Então,
a (1) · · · a (N ) ∈ `r , e além disso,
||a (1) · · · a (N )||r ≤ ||a (1)||p(1) · · · ||a (N )||p(N ) .
Em particular, se cada p (k) ∈ (0, ∞), temos

∞

X 
···

i1 =1
∞
X
a (1) · · · a (N ) rm
i
i
! rm−1
r
m
 rr1  r11
2

··· 
im =1


N  X
∞
Y



≤

· · ·

i =1
k=1
1
∞
X
(k)
! pm−1
p (k)
m
|a (k)i |pm (k)
im =1
1 
(k)  p (k)
 pp1 (k)
1
2





···
.


Demonstração. Procederemos usando indução sobre m. Por simplicidade de notação,
consideraremos apenas o caso em que p (k) ∈ (0, ∞)m , para k = 1, . . . , N . Note que
para m = 1, temos a versão
clássica
de Hölder generalizada. Analisemos então o caso
m = 2. Sejam a (k) = a (k)i1 ,i2
∈ `p1 (k),p2 (k) matrizes escalares de múltiplos
i1 ,i2 ∈N
ı́ndices, com r = (r1 , r2 ), p (k) = (p1 (k) , p2 (k)) ∈ (0, ∞)2 , k = 1, . . . , N e
1
1
1
=
+ ··· +
r1
p1 (1)
p1 (N )
1
1
1
=
+ ··· +
r2
p2 (1)
p2 (N )
(1.2)
(1.3)
∞
∈ `p2 (N ) . Por 1.3
∈ `p2 (1) , · · · , a (N )i1 ,i2
i2 =1
i2 =1
∞
e pela Desigualdade clássica de Hölder segue que a (1)i1 ,i2 · · · a (N )i1 ,i2
∈ `r2 e,
∞
Fixado i1 , por hipótese, a (1)i1 ,i2
i2 =1
além disso,
a
(1)
·
·
·
a
(N
)
≤
a
(1)
i1 ,i2
i1 ,i2 i1 ,i2 r2
11
p2 (1)
· · · a (N )i1 ,i2 .
p2 (N )
1. Desigualdade de Hölder com normas mistas
Ou seja,
∞ r2
X
a (1)i1 ,i2 · · · a (N )i1 ,i2 ! r1
2
i2 =1
∞ p2 (1)
X
a (1)i1 ,i2 ≤
! p 1(1)
∞ p2 (N )
X
···
a (N )i1 ,i2 2
1
2 (N )
!p
.
i2 =1
i2 =1
Com isso, definamos αi1 (k) =
∞ p2 (k)
X
a (k)i1 ,i2 ! p 1(k)
2
= a (k)i1 ,i2 def
i2 =1
para todo
p2 (k)
k = 1, . . . , N . Por hipótese, a (k) ∈ `(p1 (k),p2 (k)) . Consequentemente, (αi1 (k))∞
i1 =1 ∈
`p1 (k) , k = 1, . . . , N . Elevando ambos os membros da desigualdade a r1 , somando em
i1 e em seguida elevando ambos os membros a

∞
X
∞ r2
X
a (1)i1 ,i2 · · · a (N )i1 ,i2 
i1 =1
i2 =1


≤
∞
X
∞ X
p2 (1)
a (1)i1 ,i2 
i1 =1
1
r1
obtemos,
! rr1  r11
2

! p r(1)
1
∞ X
2
p2 (N )
a (N )i1 ,i2 ···
i2 =1
 r1
! p r(N
1
1
)
2

.
i2 =1
Ou seja,

def
||a (1) · · · a (N )||(r1 ,r2 ) = 
∞
X
∞ X
r2
a
(1)
·
·
·
a
(N
)
i1 ,i2
i1 ,i2 i1 =1

≤
∞ Y
N
X
∞ p2 (k)
X

a (k)i1 ,i2 =
∞
N
X
Y
=
∞
X

! p 1(k) r1  r11
2
 
i2 =1
#r1 # r1
"
i1 =1
"
2
i2 =1

i1 =1k=1
"
! rr1  r11
1
αi1 (k)
k=1
# r1
1
r1
[αi1 (1) · · · αi1 (N )]
.
i1 =1
Uma vez que cada sequência (αi1 (k))∞
i1 =1 pertence a `p1 (k) , para todo k = 1, . . . , N ,
usando 1.2 temos,
"
∞
X
i1 =1
# r1
1
[αi1 (1) · · · αi1 (N )]r1
≤
∞
X
! p 1(1)
1
|αi1 (1)|p1 (1)
i1 =1
···
∞
X
i1 =1
12
!p
|αi1 (N )|p1 (N )
1
1 (N )
.
1. Desigualdade de Hölder com normas mistas
Logo,

∞
X
∞ X
r2
a (1)i1 ,i2 · · · a (N )i1 ,i2 
i1 =1
! rr1  r11
"
2
≤

i2 =1
∞
X
# r1
1
r1
[αi1 (1) · · · αi1 (N )]
i1 =1
Por conseguinte,

∞
X
∞ X
r2
a (1)i1 ,i2 · · · a (N )i1 ,i2 
i1 =1
1
! rr1  r11
2

≤
i2 =1
N
Y

∞
X
∞ X
p2 (k)
a (k)i1 ,i2 
k=1
i1 =1
 p1 (k)
! pp1 (k)
(k)
2

i2 =1
Pela definição de norma mista, concluı́mos que
||a (1) · · · a (N )||(r1 ,r2 ) ≤ ||a (1)||(p1 (1),p2 (1)) · · · ||a (N )||(p1 (N ),p2 (N )) .
Consequentemente,
||a (1) · · · a (N )||r ≤ ||a (1)||p(1) · · · ||a (N )||p(N )
como desejávamos. Dadas a (1) ∈ `P(1) , · · · , a (N ) ∈ `p(N ) , suponhamos, por hipótese,
que o resultado seja válido para m − 1. Mostremos que o mesmo é válido para m.
Fixado i1 , pela definição de norma mista em espaços `p garantimos que,
(ai1 ,i2 ,...,im (k))∞
i2 ,...,im =1 ∈ `(p2 (k),...,pm (k)) , ∀ k = 1, . . . , N .
Aplicando a Desigualdade de Hölder com (1.1), pela hipótese de indução nos é assegurado que
(a (1)i · · · a (N )i )∞
i2 ,...,im =1 ∈ `(r2 ,...,rm ) .
Além disso,
||a (1) · · · a (N )||(r2 ,...,rm ) ≤
N
Y
k=1
13
||a (k)||(p2 (k),...,pm (k)) .
.
1. Desigualdade de Hölder com normas mistas
Ou seja,


∞
! rm−1
r
∞
X
X 
···

i2 =1
m
rm
|a (1)i · · · a (N )i |
 rr2  r12
3

··· 
im =1
1


N
∞
Y
X


≤
· · ·

∞
X
i2 =1
k=1
!
pm−1 (k)
pm (k)
pm (k)
|a (k)i |
im =1
 p2 (k)
 pp2 (k)
3 (k)



···
.

Com isso, para cada i1 fixo, considere, para todo k = 1, . . . , N
1


∞
X

βi1 (k) = 
· · ·

i2 =1
(k)
! pm−1
p (k)
∞
X
m
|a (k)i |pm (k)
im =1
 p2 (k)
 pp2 (k)
3 (k)

def


···
= ||a (k)i ||(p2 (k),...,pm (k)) .

Como consequência, obtemos


∞
X


∞
X
· · ·
i2 =1
! rm−1
r
m
|a (1)i · · · a (N )i |rm
 rr2  r12
3

· · ·   ≤ βi1 (1) · · · βi1 (N ) .
im =1
Elevando ambos os membros da desigualdade a r1 , somando em i1 , e em seguida elevando a
1
r1
temos,



∞
∞
X
X 

···


i1 =1

i2 =1

∞
X
! rm−1
r
m
|a (1)i · · · a (N )i |rm
im =1

∞ N  ∞
 X Y  X 
≤

· · ·


i1 =1k=1  i2 =1
"
=
"N
∞
X
Y
i1 =1
∞
X
1
βi1 (k)
k=1
(k)
! pm−1
p (k)
m
|a (k)i |pm (k)
im =1
#r1 # r1
def
=
r  1
 rr2  r12 r1
3
 
···  

∞
X
1
 p21(k) r1 r1
 pp2 (k)
3 (k)
 


 

···
 

 

! r1
1
|βi1 (1) · · · βi1 (N )|r1
.
i1 =1
Por hipótese, cada sequência (βi1 (k))∞
i1 =1 pertence a `p1 (k) , para todo k = 1, . . . , N .
14
1. Desigualdade de Hölder com normas mistas
Então, aplicando a Desigualdade de Hölder no segundo membro usando 1.2 obtemos:
"
"N
∞
X
Y
i1 =1
#r1 # r1
∞
X
1
≤
βi1 (k)
! p 1(1)
∞
X
1
p1 (1)
|βi1 (1)|
···
i1 =1
k=1
!p
1
1 (N )
p1 (N )
|βi1 (N )|
.
i1 =1
Isto significa mais precisamente que



∞
∞
X
X 

···


i1 =1
∞
X
i2 =1


! rm−1
r
m
|a (1)i · · · a (N )i |rm
im =1

N X
∞
Y
 ∞ X



≤
· · ·



i1 =1
i2 =1
k=1
∞
X
r  1
 rr2  r21 r1
3
 

···
 

(k)
! pm−1
p (k)
m
|a (k)i |pm (k)
im =1
 p 1(k)
1
 pp12 (k)
 pp2 (k)
(k)
3 (k)






···
.



Pela definição de norma mista segue que
||a (1) · · · a (N )||r = ||a (1) · · · a (N )||(r1 ,...,rm )
≤ ||a (1)||(p1 (1),...,pm (1)) · · · ||a (N )||(p1 (N ),...,pm (N ))
def
= ||a (1)||p(1) · · · ||a (N )||p(N ) .
Utilizando a desigualdade acima, podemos obter uma variação dela, denominada
de Desigualdade de Hölder interpolativa com expoentes múltiplos. Relembrando a
definição de matrizes de múltiplos ı́ndices, dado θ > 0, definimos aθ = aθi i∈Nm . Dado
q = (q1 , . . . , qm ) ∈ (0, ∞]m é fácil ver que
θ a q = ||a||θ .
q
θ
De fato,


∞
θ def X
a q = 
· · ·
θ

i1 =1

∞
 X
· · ·
=

i1 =1
∞
X
θ qθm
ai ! qm−1
. qθ
θ
m
 qθ1 . qθ  qθ1
2

···

im =1
∞
X
! qm−1
q
m
|ai |qm
im =1
15
θ
 qq1  q11
2
  def
θ
···  
 = ||a||q ,
1. Desigualdade de Hölder com normas mistas
onde
q
θ
q1
, . . . , qθm
θ
=
.
Definição 1.3.1. Seja E espaço vetorial e X subconjunto de E. Dados x1 , . . . , xn ∈ X,
o conjunto C (X) formado por todas as combinações convexas t1 x1 + · · · + tn xn , com
n
X
ti ≥ 0 e
ti = 1 chama-se envoltória convexa de X.
i=1
É fácil ver que C (X) é um subconjunto convexo de E. Além disso, C (X) é o menor
subconjunto convexo de E que contém X.
Corolário 1.3. (Desigualdade de Hölder interpolativa com expoentes múltiplos).
Se
1
1
m
jam m, n, N inteiros positivos e q, q (1) , . . . , q (N ) ∈ (0, ∞] tais que q1 , . . . , qm
pertencem a envoltória convexa de q11(k) , . . . , qm1(k) , com k = 1, . . . , N . Então para
qualquer matriz a = (ai )i∈Nm ,
N
Y
||a||q ≤
k
,
||a||θq(k)
k=1
onde os θk são as coordenadas de
1
, . . . , qm1(k)
q1 (k)
na envoltória convexa.
Ou seja,

∞

X 
···

i1 =1
∞
X
! qm−1
q
m
|ai |qm
 qq1  q11
2

··· 
im =1


N
∞

Y X 
≤

· · ·
i =1
k=1
1
∞
X
!
qm−1 (k)
qm (k)
qm (k)
|ai |
im =1
 q11(k) θk
 qq1 (k)
(k)
2





···
 ,


Demonstração. Para j = 1, . . . , m temos,
1
θ1
θN
=
+ ··· +
=
qj
qj (1)
qj (N )
1
qj (1)
θ1
+ ··· +
1
qj (N )
θN
.
k
Uma vez que aθk q(k) = ||a||θq(k)
, aplicando a Desigualdade de Hölder com normas
θk
mistas em espaços `p , obtemos
N
N
N
Y
Y
Y
θ +···+θ θ θk k
1
N k ||a||q = a
= a ≤
a
||a||θq(k)
.
q(k) =
q
θk
k=1
q
16
k=1
k=1
1. Desigualdade de Hölder com normas mistas
No Capı́tulo 3 perceberemos com mais nitidez a importância deste resultado em
algumas aplicações, dentre elas, a Desigualdade de Bohnenblust-Hille.
17
Capı́tulo 2
Operadores multilineares múltiplo
somantes
2.1
Operadores absolutamente somantes
O objetivo deste capı́tulo é discorrer sobre os principais resultados concernentes a
teoria multilinear dos operadores absolutamente somantes. Essa teoria teve inı́cio com
Grothendieck, na década de 50 ([23], 1953), mas foi verdadeiramente compreendida
apenas na década de 60 com contribuições de Lindestrauss, Pelczynski, Pietsch, dentre
outros.
Começaremos com alguns resultados clássicos sobre somabilidade e alguns espaços
de sequências, ferramentas cruciais para se estudar os referidos operadores. Mencionaremos também os teoremas de Grothendieck e Dvoretzky-Rogers. Em sequência,
exibiremos as ramificações dos operadores absolutamente somantes, como os operadores
p−somantes, (q, p)−somantes e múltiplos somantes.
Definição 2.1.1. Sejam E um espaço de Banach e 1 ≤ p ≤ ∞. Uma sequência (xn )n∈N
em E é dita ser fortemente p-somável quando a respectiva sequência de escalares
(||xn ||)n estiver em `p . Denotamos por `p (E) o conjunto formado pelas sequências
fortemente p-somáveis, isto é,
`p (E) = {(xn ) ∈ E N ; (xn ) é fortemente p-somável}.
Um fato conhecido é que este conjunto munido com as operações usuais torna-se
um espaço vetorial, equipado com a norma definida por
def
||(xn )||p =
∞
X
! p1
||xn ||p
def
para 1 ≤ p < ∞ e ||(xn )||∞ = sup ||xn || , caso p = ∞.
n∈N
n=1
18
2. Operadores multilineares múltiplo somantes
Dos cursos de Análise Funcional, aprendemos que o espaço das sequências `p munido
com a sua norma usual é um espaço de Banach. De modo natural, isso nos levaria a
pensar se essa propriedade de completude poderia ser herdada por esses novos espaços.
Proposição 2.1. `p (E) ; ||.||p é um espaço de Banach.
Demonstração. Trabalharemos com o caso 1 ≤ p < ∞ , pois, por meio de adaptações
é possı́vel lograr êxito com o caso p = ∞. Considere então (xn )n uma sequência de
Cauchy em `p (E), onde xn = (xnk )k∈N ∈ `p (E). Dado ε > 0, por definição, existe
k0 ∈ N tal que pra k, l suficientemente grandes, obtemos
∞
X
k
xn − xln p
ε > xk − xl p =
! p1
p
≥ xkn − xln .
n=1
E daı́, para cada natural n fixo, segue que xkn
Banach, existe xn ∈ E tal que
xkn
k∈N
é de Cauchy em E. Como E é
→ xn , quando k → ∞. Como l na expressão acima
é arbitrário, podemos fazer l → ∞. Por conseguinte, obtemos
ε > xk − x p =
∞
X
k
xn − xn p
! p1
p
≥ xkn − xn ,
n=1
k→∞
com x = (xn )n . Isto significa mais precisamente que x − xk ∈ `p (E) e lim xk = x .
Sendo `p (E) um espaço vetorial, segue que x = xk + x − xk ∈ `p (E). Consequentemente, obtemos a completude almejada.
Outro conceito importante na teoria é o de sequências fracamente somáveis.
Definição 2.1.2. Sejam E um espaço de Banach e 1 ≤ p ≤ ∞. Dizemos que uma
sequência (xn ) ∈ E é fracamente p-somável se (ϕ(xn ))n ∈ `p , para todo funcional linear contı́nuo ϕ ∈ E 0 . Denominamos `w
p (E) o conjunto formado por todas as
sequências fracamente p-somáveis em E. Ou seja,
N
`w
p (E) = {(xn ) ∈ E ; (xn ) é fracamente p-somável}.
Além disso, este conjunto munido com as operações usuais também torna-se um espaço
vetorial, e sua norma é definida por
||(xn )||p,w = sup
ϕ∈BE 0
∞
X
! p1
|ϕ(xn )|p
para 1 ≤ p < ∞
n=1
e
||(xn )||p,w = sup ||ϕ(xn )||∞ para p = ∞.
ϕ∈BE 0
19
2. Operadores multilineares múltiplo somantes
Antes de verificarmos que tal aplicação define uma norma em `w
p (E), o primeiro
passo a ser dado é verificar se o supremo acima é de fato finito. Com isso, necessitamos
do auxı́lio do Teorema do Gráfico Fechado. Com efeito, dado x = (xn ) ∈ `w
p (E),
considere o operador Ψx : E 0 −→ `p definido por Ψx (ϕ) = (ϕ (xn ))n . Note que Ψx está
bem definida e é claramente linear. Seja então (ϕn , Ψx (ϕn )) −→ (ϕ, y), onde ϕn −→ ϕ
e Ψx (ϕn ) −→ y = (yn )n∈N . Pela continuidade de ϕ, para cada n ∈ N, ϕk (xn ) −→
ϕ (xn ) e ϕk (xn ) −→ yn . Pela unicidade do limite, asseguramos que Ψx (ϕ) = (ϕ (xn )) =
(yn )n∈N = y, ou seja, Ψx possui gráfico fechado. Como E 0 e `p são espaços de Banach,
pelo Teorema do Gráfico Fechado segue que Ψx é contı́nuo. Consequentemente,
||x||p,w = sup
∞
X
ϕ∈BE 0
! p1
|ϕ(xn )|p
def
def
= sup ||(ϕ(xn ))n ||p = sup ||Ψx (ϕ)|| = ||Ψx || < ∞.
ϕ∈BE 0
n=1
ϕ∈BE 0
Concluı́mos então que o supremo é finito.
Com a finitude obtida, nos resta apenas verificar que ||.||p,w define uma norma em
def
`p (E). De fato, considere x = (xn ) ∈ `w
p (E). Note que, ||(xn )||p,w = supϕ∈BE 0 ||(ϕ (xn ))n ||p .
Se ||(xn )||p,w = 0 =⇒ supϕ∈BE0 ||(ϕ (xn ))n ||p = 0. Consequentemente, (ϕ (xn )) = 0 ,
∀n ∈ N e ϕ ∈ E 0 . E daı́, pelo Teorema de Hahn-Banach xn = 0 , ∀n ∈ N. Logo, x = 0.
Além disso, dadas (xn ), (yn ) ∈ `w
p (E) e ϕ ∈ BE 0 , garantimos que ||ϕ (xn + yn )||p =
||ϕ (xn ) + ϕ (yn )||p . Utilizando a desigualdade triangular,
||ϕ (xn + yn )||p ≤ ||ϕ (xn )||p + ||ϕ (yn )||p ≤ sup ||ϕ (xn )||p + sup ||ϕ (yn )||p .
ϕ∈BE 0
ϕ∈BE 0
Logo,
sup ||ϕ (xn + yn )||p ≤ sup ||ϕ (xn )||p + sup ||ϕ (yn )||p .
ϕ∈BE 0
ϕ∈BE 0
ϕ∈BE 0
Por definição, ||(xn + yn )||p,w ≤ ||(xn )||p,w + ||(yn )||p,w . Por fim, consideremos λ ∈ K e
x = (xn ) ∈ `w
p (E). Assim,
||(λxn )||p,w = sup ||ϕ (λxn )||p = sup ||λϕ (xn )||p
ϕ∈BE 0
ϕ∈BE 0
= sup |λ| . ||ϕ (xn )||p = |λ| . sup ||ϕ (xn )||p
ϕ∈BE 0
ϕ∈BE 0
= |λ| . ||(xn )||p,w .
Portanto, ||.||p,w define uma norma em `w
p (E).
Proposição 2.2. `w
p (E) , ||.||p,w é um espaço de Banach.
Demonstração. Inicialmente seja 1 ≤ p < ∞. Considere (xn )n uma sequência de
Cauchy em `w
p (E). Dado ε > 0, existe k0 ∈ N tal que, para k, l suficientemente
20
2. Operadores multilineares múltiplo somantes
grandes com k, l ≥ k0 temos:
H.Banach ε > xk − xl p,w = sup ϕ xkn − xln p ≥ sup ϕ xkn − xln = xkn − xln .
ϕ∈BE 0
ϕ∈BE 0
Em outras palavras, para cada n ∈ N fixo, xkn
é de Cauchy em E. Como este é
k
Banach, existe xn ∈ E tal que xkn → xn , quando k → ∞. Seja x = (xn ). Vamos
mostrar que x ∈ `w
p (E). De fato, dado 1 ≤ p < ∞, para cada ϕ ∈ BE 0 e k, l grandes
temos:
!p
p
εp > xk − xl p,w =
sup ϕ xkn − xln n p
ϕ∈BE 0
N
X
ϕ xkn − xln p .
≥
n=1
N
X
ϕ xn − xln p ≤ εp , ∀ϕ ∈ BE 0 , isto é, xk − x
Fazendo k → ∞,
≤ ε. Em
p,w
n=1
||.||p,w
k
decorrência disso, x
k
k
→ x e x ∈ `w
p (E), uma vez que x = x + x − x , onde ambas
parcelas estão em `w
p (E).
O caso p = ∞ nos revela uma peculiaridade. Neste caso, com o auxı́lio do Teorema
de Hahn Banach (forma analı́tica), é possı́vel mostrar que `∞ (E) = `w
∞ (E), E espaço
de Banach. Com efeito, seja (xn )n sequência limitada em E. Note que,
!
def
||(xn )n ||∞ = sup ||xn ||
H-Banach
=
n∈N
sup
n∈N
def
sup |ϕ (xn )|
= sup sup |ϕ (xn )| = ||(xn )n ||∞,w .
ϕ∈BE 0
ϕ∈BE 0 n∈N
Com isso, concluı́mos que `∞ (E) ⊆ `w
∞ (E). Reciprocamente, obtemos o resultado.
Observe que a troca do supremo é permitida em virtude do Teorema de Hahn-Banach
(veja [14, Corollary 1.3]). Para cada xn ∈ E, o resultado nos assegura a existência de
um funcional ϕxn ∈ BE 0 tal que ϕxn (xn ) = ||xn ||. Com isso,
||xn || = ϕxn (xn ) ≤ sup |ϕxn (xn )| ≤ sup
ϕ∈BE 0
n∈N
sup |ϕ (xn )| .
n∈N
Logo,
!
sup ||xn || = sup
n
n
sup |ϕ (xn )|
ϕ∈BE 0
≤ sup
ϕ∈BE 0
sup |ϕ (xn )| .
n∈N
Analogamente,
!
ϕxn (xn ) = ||xn || ≤ sup ||xn || ≤ sup
n∈N
n∈N
21
sup |ϕ (xn )| .
ϕ∈BE 0
2. Operadores multilineares múltiplo somantes
Então,
sup |ϕxn (xn )| = sup
ϕ∈BE 0
ϕ∈BE 0
!
sup |ϕ (xn )| ≤ sup
n∈N
sup |ϕ (xn )| ,
ϕ∈BE 0
n∈N
e daı́ temos a igualdade.
Com os espaços conhecidos e bem definidos, uma relação interessante entre eles é
0
que `p (E) é um subespaço vetorial do `w
p (E), pois, dado x = (xn )n ∈ `p (E) e ϕ ∈ E
obtemos:
∞
X
p
|ϕ (xn )| ≤
n=1
∞
X
p
p
(||ϕ|| . ||xn ||) ≤ ||ϕ|| .
n=1
∞
X
||xn ||p < ∞.
n=1
Consequentemente, (ϕ (xn ))n ∈ `p , ∀ϕ ∈ E 0 =⇒ x = (xn )n ∈ `w
p (E). Logo, `p (E) ⊆
`w
p (E).
Neste mesmo contexto, destacamos também os seguintes espaços:
0
cw
0 (E) = {(xn ) ∈ E; lim ϕ (xn ) = 0, ∀ϕ ∈ E }
n→∞
c0 (E) = {(xn ) ∈ E; lim ||xn || = 0}.
n→∞
Denominamos cw
0 (E) e c0 (E) o espaço formado pelas sequências fracamente nulas e
o espaço formado pelas sequências fortemente nulas respectivamente, do espaço de
Banach E. Veremos mais tarde o teorema fraco de Dvoretzky-Rogers, o qual assegura
que quando 1 ≤ p < ∞ , nós temos `w
p (E) = `p (E) se, e somente se, dim E < ∞.
Outro espaço igualmente importante é denotado por
def
`up (E) =
o
n
(x
)
=
0
, para p ∈ [1, ∞).
(xn )n ∈ `w
(E)
;
lim
n n>k
p
k→∞
Ratificando o que mencionamos no inı́cio deste capı́tulo, um dos grandes responsáveis pelo sucesso da teoria dos espaços de Banach foi Alexander Grothendieck
com a publicação do [23] em 1953. Trabalho de difı́cil compreensão e leitura, com conceitos técnicos e abstratos sobre normas tensoriais, ideais de operadores, operadores
absolutamente somantes, que aos poucos foram sendo lapidados por J. Lindestrauss
e A. Pelczynski em 1968, tornando-os mais acessı́veis e palpáveis para a comunidade
cientı́fica. O principal resultado do Résumé ([23]) dito pelo próprio Grothendieck, é
chamado na obra de Teorema Fundamental da teoria métrica de produtos tensoriais,
hoje conhecida como Desigualdade de Grothendieck , marcada pelo misticismo da constante KG (homenagem a Grothendieck), a qual não se sabe até hoje seu valor ótimo,
tanto no caso real quanto no caso complexo. Outro resultado importante é o Teorema
de Grothendieck, que de certa forma marcou o inı́cio do estudo dos operadores ab-
22
2. Operadores multilineares múltiplo somantes
solutamente somantes, talvez não como conhecemos hoje, mas suas ideias foram com
certeza imprescindı́veis.
Recordemos que se E e F são espaços de Banach, denotamos por L (E, F ) o espaço
vetorial formado por todas aplicações lineares contı́nuas T : E −→ F munido com a
norma do supremo,
||T || = sup ||T x|| .
x∈BE
Definição 2.1.3. Sejam E e F espaços de Banach. Um operador T ∈ L (E, F ) é
absolutamente somante se T transforma sequências fracamente somáveis em sequências
absolutamente somáveis, ou seja,
∞
w
(T (xn ))∞
n=1 ∈ `1 (F ) sempre que (xn )n=1 ∈ `1 (E) .
Decorre da definição, que o operador absolutamente somante em certo sentido melhora
a convergência das séries.
Exemplo 2.1. Operadores de posto finito são absolutamente somantes. Para detalhes
veja [18, prop.2.3]
∞
Exemplo 2.2. Considere a sequência (ej )∞
j=1 ∈ `∞ . Note que (ej )j=1 é fracamente
somável em `∞ . Entretanto, como ||ej || = 1, para todo j, é imediato que (ej )∞
j=1 não é
absolutamente somável em `∞ . Por conseguinte, o operador identidade i : `∞ −→ `∞
é linear e contı́nuo, mas não é absolutamente somante.
Teorema 2.3. (Desigualdade de Grothendieck) Existe uma constante positiva KG tal
que, para todo espaço de Hilbert H, todo m ∈ N, toda matriz quadrada de escalares
(aij )m×m e quaisquer vetores x1 , . . . , xm , y1 , . . . , ym ∈ BH , é verdade que
m
( m
)
X
X
aij hxi , yj i ≤ KG sup aij si tj : |si | , |tj | ≤ 1 .
i,j=1
i,j=1
Para detalhes da demonstração, recomendamos [13, Teor.10.2.2].
Teorema 2.4. (Teorema de Grothendieck) Todo operador linear contı́nuo T : `1 −→ `2
é absolutamente somante.
Novamente, recomendamos [13, Teor.10.2.6].
O próximo teorema nos permite caracterizar espaços de Banach com dimensão
infinita por meio de séries incondicionalmente convergentes que não são absolutamente
convergentes. A origem do teorema está atrelada ao problema presente no famoso
“Scottish Book” ([32]), proposto por Mazur e Orlicz. Em 1950, A. Dvoretsky and C.A.
23
2. Operadores multilineares múltiplo somantes
Rogers responderam a questão, que já havia tido um avanço importante uns três anos
antes com um artigo de MacPhail [28].
Teorema 2.5. (Dvoretzky-Rogers) Seja E espaço de Banach de dimensão infinita.
Dada qualquer sequência (an )∞
n=1 ∈ `2 existe uma série incondicionalmente convergente
∞
X
xn em E tal que ||xn || = |an | para todo n ∈ N. Em particular, se (an )∞
n=1 ∈
n=1
∞
X
`2 − `1 , então a série associada
xn é incondicionalmente convergente mas nãon=1
absolutamente convergente.
No âmbito da teoria de operadores absolutamente somantes, é conveniente utilizar
a seguinte versão do Teorema de Dvoretzky-Rogers:
Teorema 2.6. (Teorema fraco de Dvoretzky-Rogers) Seja 1 ≤ p < ∞. Todo espaço de
Banach E de dimensão infinta possui uma sequência fracamente p-somável que não é
fortemente p-somável.
2.2
Operadores absolutamente p-somantes
Definição 2.2.1. Seja 1 ≤ p < ∞ e T : E −→ F um operador linear contı́nuo entre
espaços de Banach. Dizemos que T é absolutamente p-somante se existe uma constante
c ≥ 0 tal que para todo m ∈ N e x1 , . . . , xm ∈ E
m
X
i=1
! p1
||T xi ||p
≤ c. sup

m
 X

i=1
! p1
|ϕ (xi )|p
: ϕ ∈ BE 0


.

A menor das constantes c que satisfaz a desigualdade acima denotamos por πp (T ).
Q
Escrevemos p (E, F ) o conjunto formado por todos os operadores p-somantes de E
em F .
Q
É fácil verificar que p (E; F ) é um subspaço vetorial de L (E, F ) e que πp define
Q
uma norma em p (E, F ). A proposição a seguir nos permite caracterizar os operadores
p-somantes. Para tanto, consideremos o operador Tb : `w
p (E) −→ `p (F ) dado por
Tb (xn ) = (T (xn ))n
b w
Proposição 2.7. T é p-somante se
e somente se T `p (E) está contido em `p (F ).
Neste caso, Tb : `w
p (E) −→ `p (F ) = πp (u).
O importante a destacar nessa proposição é o fato de que se T : E −→ F é um
operador p-somante, então ele induz um operador Tb : `w
p (E) −→ `p (F ) definido por
24
2. Operadores multilineares múltiplo somantes
b
Tb (xn ) = (T xn )∞
satisfazendo
π
(T
)
=
T . Em [15], os autores comentam que além
p
n=1
da teoria dos espaços de Banach, os operadores p-somantes possuem forte impacto na
teoria dos espaços nucleares e teoria das distribuições.
Teorema 2.8. (Inclusão) Se 1 ≤ p < q < ∞, então
Q
disso, dado T ∈ p (E; F ) temos que πq (T ) ≤ πp (T ).
Demonstração. Considere T ∈
||T xk ||
q
−1
p
Q
p
Q
p
(E; F ) ⊂
Q
q
(E; F ). Além
(E; F ) e x1 , . . . , xn ∈ E .Observe que se λk =
então obtemos ||T xk ||q = ||T (λk xk )||p , pois,
q
def
1
||T (λk xk )|| = |λk | ||T xk || = ||T xk || p −1 . ||T xk || = (||T xk ||q ) p .
Elevando ambos os membros a p, inferimos que ||T (λk xk )||p = ||T xk ||q . Por hipótese,
sendo T p-somante, garantimos que
n
X
! p1
q
||T xk ||
=
k=1
n
X
! p1
p
||T (λk xk )||
n
X
λpk |ϕ (xk )|p
≤ πp (T ) . sup
ϕ∈BE 0
k=1
! p1
.
k=1
Como q > p, aplicando então a Desigualdade de Hölder com os expoentes
q
p
e
q
(q−p)
obtemos:
n
X
! p1
||T xk ||q
≤ πp (T ) .
n
X
qp
(q−p)
! (q−p)
pq
λk
. sup
ϕ∈BE 0
k=1
k=1
n
X
(|ϕ (xk )|p )
q
p
! qpp
.
k=1
Por conseguinte,
n
X
! p1
||T xk ||q
≤ πp (T ) .
k=1
n
X
! p1 − 1q
||T xk ||q
. ||(xk )nk=1 ||q,w .
k=1
Reorganizando,
n
X
! 1q
||T xk ||q
≤ πp (T ) . ||(xk )nk=1 ||q,w .
k=1
Por definição, segue que T é q-somante. E daı́,
Q
p
(E; F ) ⊂
Q
q
(E; F ). A outra
conclusão é imediata.
Outro personagem importante na teoria de operadores absolutamente somantes é
A. Pietach. Uma de suas maiores contribuições na área é o Teorema de Dominação.
Teorema 2.9. (Dominação de Pietsch, 1967) Sejam E e F espaços de Banach. Um
operador linear contı́nuo T : E −→ F é absolutamente p-somante se e somente se
existe uma constante C > 0 e uma medida µ de probabilidade de Borel na bola unitária
25
2. Operadores multilineares múltiplo somantes
fechada do dual de E com a topologia fraca estrela,(BE ∗ , σ (E ∗ , E)), tal que
Z
p
||T (x)|| ≤ C
|ϕ (x)| dµ
p1
.
BE ∗
Para detalhes da prova veja [36, Theorem 2.5].
2.3
Operadores absolutamente (q; p)-somantes
Com o passar dos anos, o estudo dos operadores absolutamente somantes foi ganhando destaque junto com a teoria dos espaços de Banach. A partir de então, novos
conceitos foram sendo descobertos, o que é bem natural em se tratando de matemática,
contribuindo gradativamente para o sucesso dessas novas linhas de pesquisa dentro da
Análise Funcional. Neste contexto, nos anos 70 surge o conceito de tipo e cotipo
de espaços de Banach, contemplados com os trabalhos de J. Hoffmann-Jorgensen, S.
Kwapién, B. Maurey e G. Pisier. A motivação de Maurey para o uso de tais conceitos
estava relacionada com problemas envolvendo fatoração de operadores lineares, enquanto que J. Hoffmann-Jorgensen incrementou estes elementos em seus estudos sobre
teoria de probabilidade em espaços de Banach. Por outro lado, S. Kwapién e G. Pisier
associaram tais conceitos em seus respectivos estudos sobre a geometria dos espaços
de Banach. Sequencialmente, outras áreas foram fortemente influenciadas como teoria
de ideiais de operadores, teoria de aplicações multilineares, teoria de produtos tensoriais topológicos e polinômios homogêneos em espaços de Banach. Para tanto, vamos
relembrar um pouco algumas propriedades interessantes das funções de Rademacher.
Para cada inteiro positivo n, as funções de Rademacher rn : [0, 1] −→ R são formalmente definidas por
rn (t) := sign (sin 2n πt) .
A grande utilidade das funções de Rademacher são as propriedades de ortogonalidade. Se 0 < n1 < n2 < . . . < nk e p1 , . . . , pk ≥ 0 são inteiros, então
Z
0
(
1
def
rnp11 (t) · · · rnpkk (t) dt =
1, se cada pj é par
0, caso contrário
.
Uma consequência imediata desse fato é que as funções de Rademacher formam uma
sequência ortonormal em L2 [0, 1]. Além disso,
Z
0
1
∞
2
∞
X
X
|an |2 , ∀ (an ) ∈ `2 .
an rn (t) dt =
n=1
n=1
26
2. Operadores multilineares múltiplo somantes
Definição 2.3.1. Dizemos que um espaço de Banach E possui cotipo q ≥ 2 se existe
uma constante K ≥ 0 tal que, para todo inteiro positivo n e x1 , . . . , xn em E, temos
n
X
! 1q
||xi ||q

Z
≤K 
1
0
i=1
Para o caso q = ∞, substituı́mos
n
X
2  21
n
X
ri (t) xi dt .
i=1
! 1q
||xi ||q
pelo max1≤k≤n ||xk ||.
i=1
Denotamos por Cq (E) o ı́nfimo de todas as constantes K ≥ 0 que satisfazem a
desigualdade acima e cot E o ı́nfimo dos cotipos assumidos por E, ou seja,
cot E = inf { 2 ≤ q ≤ ∞; E possui cotipo q} .
Definição 2.3.2. Dizemos que um espaço de Banach E possui tipo p se existe uma
constante θ ≥ 0 tal que para qualquer escolha finita de vetores x1 , . . . , xn em E, temos

Z
1

0
2  21
! p1
n
n
X
X
||xk ||p
.
rk (t) xk dt ≤ θ.
k=1
k=1
Se E possui tipo p, denotamos por Tp (E) a menor constante θ que satisfaz a
desigualdade acima e a chamamos de constante tipo p de E.
Definição 2.3.3. Sejam 1 ≤ p ≤ q < ∞ e E e F espaços de Banach. Dizemos
que um operador linear contı́nuo T : E −→ F é absolutamente (q, p)-somante, ou
∞
w
simplesmente (q; p)-somante, se (T (xn ))∞
n=1 ∈ `q (F ) sempre que (xn )n=1 ∈ `p (E). De
maneira equivalente, dizemos que T : E −→ F é (q; p)-somante se existe uma constante
C ≥ 0 tal que
∞
X
! 1q
||T (xn )||q
∞
w
≤ C ||(xn )∞
n=1 ||p,w para toda (xn )n=1 ∈ `p (E) .
n=1
O ı́nfimo de todas as constantes C para as quais a desigualdade acima é satisfeita define uma norma, que denotamos por πq,p (T ). O caso em que p = q escrevemos simplesQ
mente πp (T ). Denotamos ainda por q,p (E; F ) o conjunto formado por todos os operaQ
dores (q; p)-somantes de E em F . O que já é de se esperar é que
(E;
F
)
,
π
(T
)
q,p
q,p
Q
possui uma estrutura vetorial. E mais ainda,
q,p (E; F ) , πq,p (T ) é um espaço de
Banach como constataremos depois.
Uma observação importante é que se T : E −→ F é absolutamente (q; p)-somante,
27
2. Operadores multilineares múltiplo somantes
a aplicação induzida
∞
b
Tb : `w
p (E) −→ `q (F ) , definida por T (xn ) = (T xn )n=1
é um operador linear bem definido e limitado, levando sequências fracamente p-somáveis
de E em sequências fortemente q-somáveis de F (absolutamente q-somáveis).
Q
def
disso, q,p (E; F ) constitui um subespaço vetorial de L (E, F ) e ||T ||π(q;p) =
Além
b
T satisfazendo ||.||L(E,F ) ≤ ||.||π(q;p) . A proposição seguinte nos dá ferramentas para caracterizarmos os operadores absolutamente (q; p)-somantes.
Proposição 2.10. Seja T : E −→ F operador linear limitado entre espaços de Banach.
São equivalentes:
(a) T é absolutamente (q; p)-somante;
(b) Existe K1 ≥ 0 tal que, para quaisquer n ∈ N e x1 , . . . , xn ∈ E,
n
X
! 1q
||T (xk )||q
≤ K1 . sup
ϕ∈BE 0
k=1
n
X
! p1
|ϕ (xk )|p
;
k=1
w
(c) Existe K2 ≥ 0 tal que, para cada (xn )∞
n=1 ∈ `p (E),
∞
X
! 1q
||T (xn )||q
≤ K2 . sup
ϕ∈BE 0
n=1
∞
X
! p1
|ϕ (xn )|p
;
n=1
u
(d) Existe K3 ≥ 0 tal que, para cada (xn )∞
n=1 ∈ `p (E),
∞
X
! 1q
||T (xn )||q
≤ K3 . sup
ϕ∈BE 0
n=1
∞
X
! p1
|ϕ (xn )|p
;
n=1
∞
w
(e) (T (xn ))∞
n=1 ∈ `q (F ), sempre que (xn )n=1 ∈ `p (E).
Para detalhes da demostração veja [4, Prop. 1.3].
Uma consequência imediata da proposição acima é que ||.||L(E,F ) ≤ ||.||π(q;p) . Vejamos a afirmação no corolário abaixo.
Q
Corolário 2.11. Se T ∈ q,p (E; F ), então ||T ||L(E,F ) ≤ ||T ||πq,p .
Demonstração. De fato, se considerarmos n = 1 no item (b) da proposição acima,
obteremos:
def
||T || = sup ||T x|| ≤ sup ||T ||πq,p sup |ϕ (x)| = ||T ||πq,p sup sup |ϕ (x)|
x∈BE
x∈BE
ϕ∈BE 0
x∈BE ϕ∈BE 0
Portanto, ||T ||L(E,F ) ≤ ||T ||πq,p .
28
H-Banach
=
||T ||πq,p .
2. Operadores multilineares múltiplo somantes
Teorema 2.12.
Q
(E;
F
)
,
π
(T
)
é Banach.
q,p
q,p
Demonstração. Suponhamos que 1 ≤ p ≤ q < ∞ e considere (Tn )∞
n=1 uma sequência
Q
de Cauchy em
q,p (E; F ) , πq,p (T ) . Como ||.||L(E,F ) ≤ ||.||πq,p , asseguramos que
∞
(Tn )∞
n=1 é de Cauchy em L (E, F ). Como este é Banach, (Tn )n=1 converge para algum
T ∈ L (E, F ). Considere o operador Tb : `w (E) −→ `w (F ) definido por Tb ((xn )∞ ) =
p
(T xn )∞
n=1 .
q
n=1
Note que, Tb está bem definido e é claramente linear, uma vez que T é linear.
Além disso, é limitado, visto que
b
∞
T ((xn )n=1 )
q,w
= ||(T xn )∞
n=1 ||q,w
T é limitado
≤
∞
||T || . ||(xn )∞
n=1 ||q,w ≤ ||T || . ||(xn )n=1 ||p,w
onde a última desigualdade é justificada pelo fato de que o operador inclusão I : `p −→
`q linear e limitado satisfaz a condição ||.||q ≤ ||.||p sempre que p ≤ q. Pra cada n ∈ N,
b
definição de operador (q; p)-somante.
consideremos o operador
induzido Tn oriundo
da
∞
b Como ||Tn ||πq,p = Tn , concluı́mos que Tbn
é de Cauchy em L `w
p (E) , `q (F ) .
n=1
Sendo `q (F ) Banach comsua norma usual, isso acarreta que L `w
p (E) , `q (F ) é Ba∞
nach, e daı́, a sequência Tbn
converge para algum ϕ ∈ L `w
p (E) , `q (F ) . Dado
n=1
∞
∞
w
(xk )∞
k=1 ∈ `p (E), seja (yk )k=1 = ϕ (xk )k=1 ∈ `q (F ). Fixado k ∈ N, observe que
n
b
||Tn xk − yk || ≤ ||(Tn xk − yk )k ||p = Tn (xk ) − ϕ (xk ) −→ 0. Logo, lim Tn xk = yk .
p
n→∞
Além disso, uma vez que ||Tn − T ||L(E,F ) −→ 0 =⇒ limn Tn xk = T xk . Pela unicidade
do limite, yk = T xk , ∀k ∈ N. Decorre daı́ que Tb (xk )k = (T xk )k = (yk )k = ϕ (xk ), ou
(E)
,
`
(F
)
, como desejávamos.
seja, Tb = ϕ ∈ L `w
q
p
Ressaltamos que todos os resultados vistos anteriormente sobre operadores absolutamente (q; p)-somantes, consideramos q > p, pois, veremos posteriormente que se
q < p, o único operador (q; p)-somante é o operador identicamente nulo.
Com o conceito de operador absolutamente (q; p)-somante assimilado, alguns resultados clássicos da teoria surgem em consonância com o conceito de cotipo visto
anteriormente, estabelecendo resultados de coincidência entre operadores lineares definidos em espaços de Banach.
Teorema 2.13. (Dubinsky - Pelczynski - Rosenthal - Maurey) Seja F espaço
de Banach com cotipo q , onde 2 ≤ q < ∞, e K um espaço de Hausdorff compacto.
Q
(a) Se q = 2, então L (C (K) , F ) = 2 (C (K) , F ).
Q
Q
(b) Se 2 < q < ∞, então L (C (K) , F ) = q,p (C (K) , F ) = r (C (K) , F ) para
todo p < q e q < r < ∞.
Teorema 2.14. (Maurey) Sejam E e F espaços de Banach.
29
2. Operadores multilineares múltiplo somantes
Q
(E, F ) = 1 (E, F ).
Q
Q
(b) Se E tem cotipo 2 < q < ∞, então r (E, F ) = 1 (E, F ) para todo 1 < r < q ∗ .
Q
Q
(c) Se E e F têm cotipo 2, então r (E, F ) = 1 (E, F ) para todo 1 < r < ∞.
(a) Se E tem cotipo 2, então
Q
2
Corolário 2.15. Se E tem cotipo 2 ≤ q < ∞, então toda sequência fracamente
somável em E é fortemente q-somável. Em outras palavras, IE é (q; 1)-somante.
Outro resultado recente envolvendo o cotipo de espaços de Banach é o seguinte
Teorema 2.16. (Botelho, Pellegrino, 2009) Sejam E e F espaços de Banach de
dimensão infinita.
Q
(a) Se 1 (E, F ) = L (E, F ), então cot E = cot F = 2.
Q
Q
(b) Se 2 ≤ r < cot F e q,r (E, F ) = L (E, F ), então L (`1 , `cot F ) = q,r (`1 , `cot F ).
(c) Se cot F = ∞ e p ≥ 1, então existe um operador linear contı́nuo de E em F
que não é p-somante.
2.4
Operadores multilineares múltiplo somantes
Com a consolidação dos estudos sobre operadores absolutamente somantes, o objetivo subsequente seria tentar generalizar todos os conceitos produzidos até então para
ambientes mais gerais. Foi nesse cenário que surgiu o conceito de operador multilinear múltiplo somante, em trabalhos realizados de modo independentes por Matos em
([31]) e Pérez-Garcı́a em ([38]). O objetivo desta seção é discorrer sobre os principais
resultados relacionados as extensões dos operadores absolutamente somantes, exibindo
gradativamente alguns resultados clássicos e outros recentes frutos de pesquisas atuais.
Definição 2.4.1. Se 1 ≤ p1 , . . . , pn ≤ q < ∞, dizemos que um operador T ∈
L (E1 , . . . , En ; F ) é múltiplo (q; p1 , . . . , pn )-somante se existe uma constante Cn > 0
tal que
∞
X
q
(1)
(n) T xj 1 , . . . , x j n ! 1q
j1 ,...,jn =1
para toda
(k)
xj
∞
j=1
Denotamos por
n Y
(k) ∞ ≤ Cn . xj
j=1
k=1
(∗)
pk ,w
∈ `w
pk (Ek ), com k = 1, . . . , n.
Yn
(q;p1 ,...,pn )
(E1 , . . . , En ; F ) a classe formada por todos os opera-
dores múltiplo (q; p1 , . . . , pn )-somantes. O ı́nfimo das constantes Cn satisfazendo (∗)
30
2. Operadores multilineares múltiplo somantes
Yn
define uma norma em
(q;p1 ,...,pn )
(E1 , . . . , En ; F ) que representamos por π(q;p1 ,...,pn )
(ou π(q;p) se p1 = · · · = pk = p e por πp quando p1 = · · · = pk = p = q). Quando um
operador for múltiplo (q; p, . . . , p)-somante, o chamaremos de múltiplo (q; p)-somante
Yn
e escreveremos
para denotar a classe munido da norma π(q;p) . Se T for múltiplo
(q;p)
(p; p)-somante, chamaremos simplesmente de múltiplo p-somante, com a classe repreYn
sentada por
junto com a norma πp . Quando n = 1, revisitamos a definição de
p
operador absolutamente (q; p)-somante.
Yn
Observe que
(E1 , . . . , En ; F ) é um subespaço vetorial de L (E1 , . . . , En ; F ),
(q;p1 ,...,pn )
Yn
pois, dados T1 ,T2 ∈
(E1 , . . . , En ; F ) e λ ∈ K, obtemos:
(q;p1 ,...,pn )
m
X
q
(n) (1)
T1 + λT2 xj1 , . . . , xjn ! 1q
j1 ,...,jn =1
m
X
m-Linearidade
=
q
(1)
(n) (1)
(n)
T1 xj1 , . . . , xjn + λT2 xj1 , . . . , xjn ! 1q
j1 ,...,jn =1
m
X
≤
q
(1)
(n) T1 xj1 , . . . , xjn ! 1q
m
X
+
q
(1)
(n) λT2 xj1 , . . . , xjn ! 1q
j1 ,...,jn =1
j1 ,...,jn =1
n Y
n Y
(k) ∞ (k) ∞ def
+ |λ| C2 xj
≤ C 1 xj
j=1 p ,w
j=1 p ,w
k
k
k=1
k=1
n
Y (k) ∞ x
, onde C = (C1 + |λ| C2 ) > 0.
≤C
j
j=1
k=1
pk ,w
Como m é arbitário, fazendo m → ∞, segue que,
∞
X
q
(1)
(n) T1 + λT2 xj1 , . . . , xjn j1 ,...,jn =1
Consequentemente, T1 + λT2 ∈
! 1q
n Y
(k) ∞ x
≤C
j j=1 k=1
Yn
(q;p1 ,...,pn )
.
pk ,w
(E1 , . . . , En ; F ) como almejávamos. Os ca-
sos particulares para os operadores p-somantes e absolutamente (q; p)-somantes seguem
em virtude deste resultado.
Vamos ratificar nossa afirmação verificando que π(q;p1 ,...,pn ) define uma norma em
Yn
(E1 , . . . , En ; F ). Com isso, os casos anteriores possuem procedimento análogo.
(q;p1 ,...,pn )
De fato, ∞
Yn
(k)
Sejam xj
∈ `w
(E
),
com
k
=
1,
.
.
.
,
n.
Seja
T
∈
k
pk
(q;p1 ,...,pn )
j=1
31
(E1 , . . . , En ; F ).
2. Operadores multilineares múltiplo somantes
Se π(q;p1 ,...,pn ) (T ) = 0, então
∞
X
q
(n) (1)
T xj1 , . . . , xjn ! 1q
≤ 0.
j1 ,...,jn =1
Consequentemente, T ≡ 0. Se T é o operador nulo, é fácil ver que π(q;p1 ,...,pn ) (T ) = 0.
Yn
Agora, considere λ ∈ K e T ∈
(E1 , . . . , En ; F ). Note que,
(q;p1 ,...,pn )
∞
X
q
(n) (1)
λT xj1 , . . . , xjn ! 1q
∞
X
=
q
(n) (1)
T xj1 , . . . , λxjn ! 1q
j1 ,...,jn =1
j1 ,...,jn =1
≤ π(q;p1 ,...,pn ) (T )
!
n−1
Y k ∞ x
j j=1 k=1
n Y
pk ,w
k ∞ xj j=1 = |λ| π(q;p1 ,...,pn ) (T )
k=1
k ∞ λx
j j=1 .
pk ,w
E daı́,
π(q;p1 ,...,pn ) (λT ) ≤ |λ| π(q;p1 ,...,pn ) (T ) .
Por outro lado,
∞
X
q
(1)
(n) λT xj1 , . . . , xjn ! 1q
= |λ| .
q
(1)
(n) T xj1 , . . . , xjn ! 1q
j1 ,...,jn =1
j1 ,...,jn =1
∞
X
∞
X
q
(1)
(n) λT xj1 , . . . , xjn ! 1q
n Y
k ∞ ≤ π(q;p1 ,...,pn ) (λT )
xj j=1 j1 ,...,jn =1
k=1
.
pk ,w
Dessa forma,
∞
X
q
(1)
(n) T xj1 , . . . , xjn j1 ,...,jn =1
Logo, π(q;p1 ,...,pn ) (T ) ≤
1
.π
|λ| (q;p1 ,...,pn )
! 1q
n Y
1
k ∞ ≤
.π(q;p1 ,...,pn ) (λT )
xj j=1 |λ|
pk ,w
k=1
(λT ) ⇒ π(q;p1 ,...,pn ) (λT ) = |λ| π(q;p1 ,...,pn ) (T ).
32
e
pk ,w
2. Operadores multilineares múltiplo somantes
Por fim, dados T1 ,T2 ∈
∞
X
Yn
(q;p1 ,...,pn )
(E1 , . . . , En ; F ), temos:
q
(n) (1)
(T1 + T2 ) xj1 , . . . , xjn ! 1q
j1 ,...,jn =1
m-Linearidade
=
∞
X
q
(1)
(n) (1)
(n)
T1 xj1 , . . . , xjn + T2 xj1 , . . . , xjn ! 1q
j1 ,...,jn =1
Minkowski
≤
∞
X
q
(n) (1)
T1 xj1 , . . . , xjn ! 1q
+
∞
X
q
(n) (1)
T2 xj1 , . . . , xjn ! 1q
j1 ,...,jn =1
j1 ,...,jn =1
≤ π(q;p1 ,...,pn ) (T1 ) + π(q;p1 ,...,pn ) (T2 )
n Y
k ∞ xj j=1 k=1
.
pk ,w
Ou seja,
π(q;p1 ,...,pn ) (T1 + T2 ) ≤ π(q;p1 ,...,pn ) (T1 ) + π(q;p1 ,...,pn ) (T2 ) .
Desde o primeiro momento em que começamos a trabalhar com os operadores multilineares, sempre consideramos o caso em que q > pj , para todo j = 1, . . . , n. Isso porque
o caso em que q < pj para algum 1 ≤ j ≤ n nos revela uma peculiaridade. Nestas
condições, o único operador múltiplo (q; p1 , . . . , pn )-somante é o operador identicamente
nulo. Vejamos isso na seguinte
Proposição 2.17. Seja q < pj , para algum 1 ≤ j ≤ n. Se T ∈
Yn
(q;p1 ,...,pn )
(E1 , . . . , En ; F ),
então, T é o operador nulo.
Demonstração. Com efeito, pela relação de inclusão entre os espaços de sequências, se
q < pj para algum 1 ≤ j ≤ n obtemos que `pj ⊃ `q propriamente. Consequentemente, é
∞
possı́vel escolher λij ij =1 ∈ `pj − `q . Com isso, dado xj ∈ Ej , com xj 6= 0, asseguramos
∞
0
que λij xj ij =1 ∈ `w
pj (Ej ), uma vez que pra qualquer ϕ ∈ (Ej ) ,
∞
∞
∞
X
X
X
pj def
p j
pj
pj
ϕ λi xj pj ≤
λi < ∞.
||ϕ|| . λij xj
= ||ϕ|| . ||xj || .
j
j
ij =1
ij =1
ij =1
Suponhamos por contradição, que exista T 6= 0 tal que T ∈
Yn
(q;p1 ,...,pn )
(E1 , . . . , En ; F ).
Dessa forma, para qualquer escolha de xkik ∈ Ek , temos
∞
X
! 1q
T x1i , . . . , xni q
n
1
i1 ,...,in =1
Em particular, tomando xkik
n Y
l ∞ ≤ C. xil i =1 l
l=1
∞
ik =1
.
pl ,w
= (xk , 0, . . . , 0, . . .), para cada 1 ≤ k ≤ n, k 6= j
33
2. Operadores multilineares múltiplo somantes
obtemos,
∞
X
! 1q
T x1i , . . . , λi xj , . . . , xni q
j
n
1

=
∞
X
 1q
T x1 , . . . , λ i xj , . . . , x n q 
j
ij =1
i1 ,...,in =1
≤C
n Y
k ∞ x
ik ik =1 k6=j
!
pk ,w
∞ λ
x
ij j ij =1 pj ,w
E daı́,
 1q
∞
X
q
λi 
||T (x1 , . . . , xj , . . . , xn )|| 
j

ij =1
≤ C.
k ∞ x
ik ik =1 k6=j

!
n Y
pk ,w
|ϕ (xj )| 
∞
X
 p1
j
p j
λi 
j
.
ij =1
 1q
∞
X
q
λi  < ∞, ou seja, λi ∞ ∈ `q , provocando uma conDecorre daı́ que 
j
j ij =1

ij =1
tradição. Portanto, T ≡ 0.
Yn
Lema 2.18. Se T ∈
(q;p1 ,...,pn )
(E1 , . . . , En ; F ), então ||T ||L(E1 ,...,En ;F ) ≤ π(q;p1 ,...,pn ) (T ).
∞
Demonstração. Considere xkik i =1 ∈ `w
pk (Ek ), para todo k = 1, . . . , n. Sendo T ∈
k
Yn
(E1 , . . . , En ; F ), temos
(q;p1 ,...,pn )
∞
X
! 1q
T x1i , . . . , xni q
n
1
n Y
k ∞ ≤ π(q;p1 ,...,pn ) (T )
xik ik =1 i1 ,...,in =1
k=1
Em particular, consideremos xkik
∞
ik =1
.
pk ,w
= (xk , 0, . . . , 0, . . .) para cada 1 ≤ k ≤ n. Desse
modo,
∞
X
! 1q
T x1i , . . . , xni q
n
1
1
= (||T (x1 , . . . , xn )||q ) q
i1 ,...,in =1
n Y
k ∞ ≤ π(q;p1 ,...,pn ) (T )
xik ik =1 k=1
Por definição, sabemos que
k ∞ xik ik =1 =
pk ,w
sup
ϕ∈B E 0
( k)
34
∞
X
ϕ xki pk
k
ik =1
! p1
k
.
.
pk ,w
2. Operadores multilineares múltiplo somantes
Entretanto, pela escolha que fizemos
k ∞ xik ik =1 pk ,w
= sup |ϕ (xk )|
H-Banach
=
||xk || .
||ϕ||≤1
Logo,
||T (x1 , . . . , xn )|| ≤ π(q;p1 ,...,pn ) (T )
n
Y
||xk || .
k=1
Tomando o supremo em ambos os lados com ||xk || = 1, para k = 1, . . . , n, por definição
segue que
||T || ≤ π(q;p1 ,...,pn ) (T ) .
A seguinte proposição nos fornece uma boa caracterização para os operadores mulYn
(E1 , . . . , En ; F ) com sua
tilineares. Ela será útil na demonstração de que
(q;p1 ,...,pn )
norma usual é espaço de Banach.
Proposição 2.19. Sejam 1 ≤ p1 , . . . , pn ≤ q < ∞ e T ∈ L (E1 , . . . , En ; F ). São
equivalentes:
(a) T é múltiplo (q; p1 , . . . , pn )-somante
∞
(b) Para cada sequência xkik i =1 ∈ `w
pk (Ek ), temos
k
T x1i1 , . . . , xnin
∞
i1 ,...,in =1
∈ `q (Nn ; F ) .
Com isso, o operador multilinear associado
w
n
Te : `w
p1 (E1 ) × · · · × `pn (En ) −→ `q (N ; F )
definido por
Te
∞
x1i1 i1 =1
,...,
∞
xnin in =1
= T x1i1 , . . . , xnin
é contı́nuo e além disso,
e
T = π(q;p1 ,...,pn ) (T )
35
∞
i1 ,...,in =1
2. Operadores multilineares múltiplo somantes
Demonstração. (a) =⇒ (b). Considere xkik
∞
X
! 1q
T x1i , . . . , xni q
n
1
m∈N
! 1q
T x1i , . . . , xni q
n
1
i1 ,...,in =1
n Y
k m π(q;p1 ,...,pn ) (T ) .
xik ik =1 Hipótese
≤
∈ `w
pk (Ek ). Note que,
ik =1
m
X
= sup
i1 ,...,in =1
∞
sup
m∈N
k=1
= π(q;p1 ,...,pn ) (T ) sup
m∈N
n Y
k m xik ik =1 k=1
n Y
k ∞ = π(q;p1 ,...,pn ) (T )
xik ik =1 k=1
Consequentemente, T x1i1 , . . . , xnin
∞
i1 ,...,in =1
!!
pk ,w
!
pk ,w
!
Hipótese
<
∞
pk ,w
∈ `q (Nn ; F ).
(b) =⇒ (a) Para lograrmos êxito, necessitamos que o operador Te definido acima
seja contı́nuo. Para tanto, recorreremos ao clássico Teorema do Gráfico Fechado. De
fato,
w
w
Seja (xm )∞
m=1 ⊂ `p1 (E1 ) × · · · × `pn (En ), dada por
(xm ) =
e suponha que
xm , Te (xm )
∞
x1m,i1
∞
∞ i1
in =1
, . . . , xnm,in
=1
m→∞
−→ (x, z), onde x =
m=1
∞
, . . . , xnin in =1
m→∞
seja, (xm ) −→
∞
x1i1 i1 =1
(zi1 , . . . , zin )∞
i1 ,...in =1
w
`w
∈ `q (Nn ; F ), ou
p1 (E1 ) × · · · × `pn (En ) e z =
m→∞
Te (xm ) −→ z. Vamos mostrar que z = Te (x). De fato,
∈
xe
m→∞
Observe que como (xm ) −→ x, isso nos garante uma convergência coordenada a
coordenada, ou seja,
xkm,ik
∞
m→∞
ik =1
−→ xkik
∞
ik =1
∈ `w
pk (Ek ) , para todo k = 1, . . . , n.
Por conseguinte, para k ∈ {1, . . . , n} garantimos que xkm,ik
∞
m→∞
ik =1
−→
definição, dado ε > 0, encontramos um N0 ∈ N tal que n ≥ N0 obtemos,
sup
ϕ∈BE 0
k
Dessa forma,
∞
X
ϕ xkn,i − xki pk
k
k
! p1
k
def
= xkm − xk p
k ,w
ik =1
∞
X
ϕ xkn,i − xki pk < εpk para todo ϕ ∈ BE 0 .
k
k
k
ik =1
36
< ε.
xkik
∞
ik =1
. Por
2. Operadores multilineares múltiplo somantes
Neste caso,
n ≥ N0 =⇒ xkn,ik − xkik = sup ϕ xkn,ik − xkik < ε para todo ik .
ϕ∈BE 0
k
Consequentemente,
m→∞
xkm,ik −→ xkik ∈ Ek , ∀k ∈ {1, . . . , n} .
Assim,
x1m,i1 , . . . , xnm,in
m→∞ 1
−→ xi1 , . . . , xnin ∈ E1 × · · · × En .
A continuidade de T nos permite que
T x1m,i1 , . . . , xnm,in
Como
x1m,i1
∞
∞ i1
in =1
, . . . , xnm,in
=1
m→∞
−→ T x1i1 , . . . , xnin ∈ F .
w
∈ `w
p1 (E1 ) × · · · × `pn (En ), para cada i1 , . . . , in
temos,
Te
x1m,i1
∞
∞ i1
in =1
, . . . , xnm,in
=1
= T x1m,i1 , . . . , xnm,in
∞
m=1
.
Com isso, tomando o limite com m → ∞,
lim Te
m→∞
∞
x1m,i1 i =1
1
,...,
∞
xnm,in i =1
n
= lim T x1m,i1 , . . . , xnm,in
m→∞
∞
m=1
= T x1i1 , . . . , xnin .
m→∞
No entanto, por hipótese Te (xm ) −→ (zi1 , . . . , zin )∞
i1 ,...in =1 . Por definição, para o ε > 0
dado, é possı́vel encontrar N ∈ N tal que
∞
∞ e
∞
T x1m,i1 i1 =1 , . . . , xnm,in in =1 − (zi1 , . . . , zin )i1 ,...in =1 < ε sempre que m ≥ N .
q
E daı́,
∞
∞
T x1m,i1 , . . . , xnm,in m=1 − (zi1 , . . . , zin )i1 ,...in =1 < ε.
q
Então, para cada i1 , . . . , in ∈ Nn temos,
∞
∞
1
n
T xm,i1 , . . . , xm,in m=1 − (zi1 , . . . , zin )i1 ,...in =1 < ε, sempre que m ≥ N .
Logo,
lim T x1m,i1 , . . . , xnm,in
m→∞
∞
m=1
= (zi1 , . . . , zin )∞
i1 ,...in =1 .
Pela unicidade do limite, temos,
(zi1 , . . . , zin ) = T x1i1 , . . . , xnin
37
para cada i1 , . . . , in .
2. Operadores multilineares múltiplo somantes
E daı́,
m→∞
Te (xm ) −→ T x1i1 , . . . , xnin
∞
def
i1 ,...in =1
= Te (x) = z.
Portanto, segue do Teorema do Gráfico Fechado que Te é contı́nuo. Além disso, note
que,
! 1q
∞
X
T x1i , . . . , xni q
n
1
= T x1i1 , . . . , xnin q
i1 ,...,in =1
∞ ∞
= Te x1i1 i1 =1 , . . . , xnin in =1 def
Te é limitado
≤
n Y
e
k ∞ T xik ik =1 k=1
q
pk ,w
<∞
Logo, T é múltiplo (q; p1 , . . . , pn )-somante com π(q;p1 ,...,pn ) (T ) ≤ Te. Por outro lado,
como
e
T = ∞ ∞
e
T x1i1 i1 =1 , . . . , xnin in =1 sup
∞ xk
ik i =1 k
= ≤1
pk ,w
∞
X
sup
∞ xk
ik i =1 k
≤ ≤1
i1 ,...,in =1
pk ,w
n Y
k ∞ π(q;p1 ,...,pn ) (T )
xik ik =1 sup
∞ xk
ik i =1 k
! 1q
T x1i , . . . , xni q
n
1
k=1
≤1
pk ,w
pk ,w
= π(q;p1 ,...,pn ) (T )
Concluı́mos que Te ≤ π(q;p1 ,...,pn ) (T ). Portanto, π(q;p1 ,...,pn ) (T ) = Te.
Teorema 2.20.
Y
n
(q;p1 ,...,pn )
(E1 , . . . , En ; F ) , π(q;p1 ,...,pn )
Demonstração. Seja (Tk )∞
k=1 uma sequência de Cauchy em
Pelo lema anterior, como ||T ||L(E1 ,...,En ;F ) ≤ π(q;p1 ,...,pn ) (T ),
é espaço de Banach.
Yn
(E1 , . . . , En ; F ).
(q;p1 ,...,pn )
(Tk )∞
k=1 será
de Cauchy em
L (E1 , . . . , En ; F ) e sendo este Banach, (Tk )∞
k=1 converge para algum T ∈ L (E1 , . . . , En ; F ).
Considere então o seguinte operador
Ψ:
Yn
(q;p1 ,...,pn )
w
n
(E1 , . . . , En ; F ) −→ L `w
p1 (E1 ) , . . . , `pn (En ) ; `q (N ; F )
definido por Ψ (T ) = Te. Note que Ψ está bem definido. Além disso, é uma isometria
38
2. Operadores multilineares múltiplo somantes
visto que,
def
proposição2.19
||Ψ (T )|| = Te
=
π(q;p1 ,...,pn ) (T ) = ||T || .
∞
Com isso, Tek
é uma sequência de Cauchy em L
n
(E1 ) , . . . , `w
pn (En ) ; `q (N ; F ) .
k=1
∞
Como este é Banach, pois `q (Nn ; F ) é Banach, isso implica que Tek
converge para
k=1
n
w
algum operador S ∈ L n `w
p1 (E1 ) , . . . , `pn (En ) ; `q (N ; F ) . Consideremos a projeção
n w
`p1
Pk1 ,...,kn : `q (Nn ; F ) −→ F
definida por Pk1 ,...,kn (xi1 , . . . ,in )∞
i1 ,...,in =1 = xk1 ,...,kn . Por conseguinte, obtemos
lim Pk1 ,...,kn
k→∞
Tek
∞
x1i1 i1 =1
,...,
∞
xnin in =1
n ∞
1 ∞
= Pk1 ,...,kn S xi1 i1 =1 , . . . , xin in =1 .
k→∞
Além disso, como Tk −→ T , temos
lim Tk x1i1 , . . . , xnin
k→∞
∞
i1 ,...,in =1
= T x1i1 , . . . , xnin
∞
i1 ,...,in =1
.
Note que,
∞
∞ ∞
Pk1 ,...,kn Tek x1i1 i1 =1 , . . . , xnin in =1
= Pk1 ,...,kn Tk x1i1 , . . . , xnin i1 ,...,in =1
= Tk x1k1 , . . . , xnkn .
Tomando o limite em ambos os lados obtemos,
lim Pk1 ,...,kn
k→∞
Tek
∞
x1i1 i1 =1
,...,
∞
xnin in =1
∞
= lim Pk1 ,...,kn Tk x1i1 , . . . , xnin i1 ,...,in =1
k→∞
∞
= Pk1 ,...,kn T x1i1 , . . . , xnin i1 ,...,in =1
= T x1k1 , . . . , xnkn .
Logo,
∞
∞ Pk1 ,...,kn S x1i1 i1 =1 , . . . , xnin in =1
= T x1k1 , . . . , xnkn .
Isto siginifica mais precisamente que
S
∞
x1i1 i1 =1
,...,
∞
xnin in =1
= T x1k1 , . . . , xnkn
∞
i1 ,...,in =1
, ∀ (k1 , . . . , kn ) ∈ Nn .
w
n
E daı́, garantimos que T ∈ L n `w
p1 (E1 ) , . . . , `pn (En ) ; `q (N ; F ) , consequentemente,
Yn
Yn
por (2.19), T ∈
(E1 , . . . , En ; F ). Resulta daı́ que
(E1 , . . . , En ; F )
(q;p1 ,...,pn )
(q;p1 ,...,pn )
é Banach como desejávamos.
39
2. Operadores multilineares múltiplo somantes
O lema a seguir será útil na demonstração das seguintes proposições referentes a
aplicações multilineares. Estas, por outro lado, inserem a Desigualdade de BohnenblustHille que veremos no próximo capı́tulo no contexto dos operadores múltiplo somantes.
Lema 2.21. A correspondência u −→ (uen )n define um isomorfismo isométrico de
L (`p∗ , E) em `w
p (E) quando 1 < p < ∞. Quando p = 1, o isomorfismo isométrico é de
L (c0 , E) em `w
1 (E).
Para detalhes da demonstração veja o Apêndice, Lema 3.15.
Proposição 2.22. São equivalentes:
(i) Existe C > 0 tal que para toda aplicação m-linear T : E1 × · · · × Em −→ K
temos
n
X
r
(m) (1)
T xj 1 , . . . , x j m ! r1
j1 ,...,jm =1
m Y
(k) n ≤ C. ||T || . xj
j=1
k=1
.
p∗ ,w
(ii) Existe C > 0 tal que para toda aplicação m-linear T : E1 × · · · × Em −→ K
temos
∞
X
r
(1)
(m) T xj1 , . . . , xjm ! r1
j1 ,...,jm =1
m Y
(k) ∞ ≤ C. ||T || . xj
j=1
k=1
(k)
Demonstração. (ii) ⇒ (i). Consideremos xj
.
p∗ ,w
(k)
= 0, ∀j > n. E daı́,
∈ `w
p∗ (Ek ) com xj
usando (ii) segue que
n
X
r
(1)
(m) T xj 1 , . . . , x j m ! r1
∞
X
=
j1 ,...,jm =1
r
(1)
(m) T xj1 , . . . , xjm ! r1
j1 ,...,jm =1
m Y
(k) ∞ ≤ C. ||T || . xj
j=1 p∗ ,w
k=1
m Y
(k) n .
= C. ||T || . xj
por (ii)
j=1
k=1
p∗ ,w
Agora suponhamos que (i) seja válido. Vamos mostrar que (i) ⇒ (ii). De fato,
n
X
r
(1)
(m) T xj 1 , . . . , x j m ! r1
j1 ,...,jm =1
m Y
(k) n ≤ C. ||T ||
xj j=1 k=1
m Y
p∗ ,w
k=1
(k) ∞ x
j j=1 p∗ ,w
≤ C. ||T ||
.
Consequentemente, fazendo n → ∞ obtemos
∞
X
r
(m) (1)
T xj1 , . . . , xjm ! r1
j1 ,...,jm =1
m Y
(k) ∞ ≤ C. ||T ||
xj j=1 k=1
40
p∗ ,w
2. Operadores multilineares múltiplo somantes
como querı́amos demonstrar.
Proposição 2.23. Sejam 1 ≤ q1 , . . . , qm ≤ ∞ e p > 0. São equivalentes:
(i) Para todo inteiro positivo n, existe uma constante C > 0 tal que para todo
operador m-linear A : `nq1 × · · · × `nqm −→ F , com F espaço de Banach, temos:
! p1
n
X
p
||A (ej1 , . . . , ejm )||
≤ C. ||A|| .
j1 ,...,jm =1
(ii) Para todo operador m-linear
T : E1 × · · · × Em −→ F
(i)
com E1 , . . . , Em espaços de Banach e para quaisquer xki ∈ Ei , ki = 1, . . . , n, i =
1, . . . , m temos:
n
X
p
(1)
(m) T xk 1 , . . . , x k m ! p1
m Y
(i) n ≤ C. ||T ||
xki ki =1 i=1
k1 ,...,km =1
(i)
.
qi∗ ,w
(i)
Demonstração. (i) ⇒ (ii). Dados x1 , . . . , xn ∈ Ei , considere os seguintes operadores
ui : `nqi −→ Ei
definidos por
P
n
(i)
aj xj ,com i = 1, . . . , m.
ui (aj )nj=1 =
j=1
Note que cada ui está bem definido e é claramente linear. Além disso, pelo lema
anterior, para cada i = 1, . . . , m, ui induz um isomorfismo isométrico
Ψi : L (`qi , Ei ) −→ `w
qi∗ (Ei )
dado por
def
Ψi (ui ) = (ui (ej ))nj=1 .
Assim, para toda
(i)
yj
n
j=1
∈ `w
qi∗ (Ei ) existe ui ∈ L (`qi , Ei ) tal que
n
(i)
Ψi (ui ) = yj
.
j=1
Ou seja,
n
(i)
(ui (ej ))nj=1 = yj
j=1
41
.
2. Operadores multilineares múltiplo somantes
Como cada Ψi é uma isometria, segue que
n ||ui || = (ui (ej ))j=1 qi∗ ,w
(i) n = yj
j=1
.
qi∗ ,w
Seja
T ∈ L (E1 , . . . , Em ; F )
e defina
B : `nq1 × · · · × `nqm −→ F
por
u1 (ak1 )nk1 =1 , . . . , um (akm )nkm =1 .
B (ak1 )nk1 =1 , . . . , (akm )nkm =1 = T
Daı́,
n
X
p
(1)
(m) T yk1 , . . . , ykm ! p1
! p1
n
X
=
||T (u1 (ej1 ) , . . . um (ejm ))||p
j1 ,...,jm =1
k1 ,...,km =1
! p1
n
X
def
=
||B (ej1 , . . . , ejm )||p
j1 ,...,jm =1
por (i)
≤ C ||B||
≤ C ||T || . ||u1 || . . . ||um ||
≤ C ||T || . ||(u1 (ej1 ))||q∗ ,w . . . ||(um (ejm ))||q∗ ,w
i
i
m Y
(i) n ≤ C ||T || . yki
∗ .
ki =1
qi ,w
i=1
(ii) ⇒ (i) Este caso é imediato, pois basta considerarmos
(i)
yki = eji , com i = 1, . . . , m
e
E1 = `nq1 , . . . , Em = `nqm
Note que,
def
||(ej )||q∗ ,w = sup ||ϕ (ej )||q∗
i
i
||ϕ||=1
42
isometria
=
sup ||ϕ|| = 1.
||ϕ||=1
2. Operadores multilineares múltiplo somantes
Por conseguinte,
! p1
n
X
p
por (ii)
≤
||A (ej1 , . . . , ejm )||
m Y
(i) n C. ||A|| . ej
j=1
i=1
j1 ,...,jm =1
.
qi∗ ,w
Dedicaremos a parte final desta seção para exibirmos alguns dos principais resultados recorrentes na literatura. São contribuições recentes, marcadas pela conexão com
os conceitos apresentados no ambiente linear, contribuindo de maneira significativa
para a consolidação da teoria. Nesse âmbito, as teses de Pérez-Garcı́a ([38]) e Sousa
([41]) ambas em 2003, trouxeram resultados que merecem destaque.
Teorema 2.24. (Pérez-Garcı́a, 2003) .Se 1 ≤ p ≤ q < 2 e n ≥ 2, então
Yn
p
(E1 , . . . , En ; F ) ⊂
Yn
q
(E1 , . . . , En ; F ) .
Em virtude deste, temos um resultado mais geral.
Teorema 2.25. (Pérez-Garcı́a, 2003). Se 1 ≤ p ≤ q < 2 e n ≥ 2, então
Yn
p
Yn
(E1 , . . . , En ; F ) ⊂
q
(E1 , . . . , En ; F )
para qualquer espaço de Banach F com cotipo 2 e quaisquer espaços de Banach E1 , . . . , En .
Outro resultado clássico que aparece no contexto multilinear é o famoso Teorema
de Grothendieck, contemplado também no trabalho de Pérez-Garcı́a.([38]).
Teorema 2.26. (Pérez-Garcı́a, 2003). Se 1 ≤ p ≤ 2 então
Yn
p
(`1 ; `2 ) = L (n `1 ; `2 ) .
Teorema 2.27. (Botelho, Pellegrino, 2008 e Popa 2009) .Se 1 ≤ p, q < 2 e
E1 , . . . , En são espaços de Banach com cotipo 2, então para todo espaço de Banach F
Yn
p
(E1 , . . . , En ; F ) =
Yn
q
(E1 , . . . , En ; F ) .
Teorema 2.28. (Botelho, Michels, Pellegrino, 2010). Se 1 ≤ p ≤ q ≤ ∞ e
E1 , . . . , En são espaços L∞ , então
Yn
m,p
(E1 , . . . , En ; F ) ⊂
Yn
43
m,q
(E1 , . . . , En ; F ) .
Capı́tulo 3
Aplicações da Desigualdade de
Hölder com normas mistas
3.1
Desigualdade multilinear de Bohnenblust-Hille
Iniciaremos o capı́tulo com um resultado clássico da teoria dos operadores multilineares: a Desigualdade de Bohnenblust-Hille presente em [11]. Esta desigualdade foi
apresentada pela primeira vez em 1931, e tem tido papel importante para aplicações
em diferentes áreas como, por exemplo, na Análise Complexa, Teoria Analı́tica dos
Números e até mesmo na Teoria da Informação Quântica. Veja ([16, 8, 33]).
Nesta etapa, as funções de Rademacher definidas na seção (2.3) serão importantes.
Elas aparecem na Desigualdade de Khinchine (veja [18]), que desempenha um papel
central nessa teoria.
Teorema 3.1 (Desigualdade de Khinchine). Para qualquer 0 < p < ∞, existem constantes positivas Ap e Bp tais que
Ap .
n
X
! 12
|aj |2
Z
≤
0
j=1
1
p ! 1
! 21
n
n
p
X
X
,
≤ Bp .
|aj |2
aj rj (t) dt
j=1
j=1
para qualquer sequência de escalares (aj )nj=1 e qualquer inteiro positivo n.
As constantes ótimas da Desigualdade de Khinchine são as mesmas para o caso de
escalares reais e complexos (veja [15]). Elas foram obtidas por U. Haagerup ([24]) e
são dadas pelas expressões
 1 1

22−p ,



1
1
Γ((p+1)/2) p
Ap =
√
2.
2
,
π



 1,
44
se p ∈ (0, p0 ];
se p ∈ (p0 , 2) ;
se p ∈ [2, ∞).
(3.1)
3. Aplicações da Desigualdade de Hölder com normas mistas
e
Bp =

 1,
 2 21 .
se p ∈ (0, 2];
Γ((p+1)/2)
√
π
p1
se p ∈ (2, ∞) ,
,
onde Γ denota a Função Gama, e p0 é o número real pertencente ao intervalo (1, 2) que
√
satisfaz Γ ((p + 1) /2) = π/2. p0 ≈ 1, 84742.
Antes de passarmos para a Desigualdade de Bohnenblust-Hille, precisamos de uma
desigualdade que será crucial para provar a otimalidade dos expoentes. Ela é conhecida
como Desigualdade de Kahane-Salem-Zygmund. Para nossos objetivos, será interessante destacar aqui sua versão generalizada, que aparece em [5, Lemma 6.1].
Teorema 3.2 (Desigualdade de Kahane–Salem–Zygmund). Sejam m, n ≥ 1, p ∈
[1, ∞] e
(
α(p) : =
1
2
− p1 ,
se p ≥ 2;
0, caso contrário.
Então existe uma constante universal Cm (dependendo apenas de m) e uma aplicação
m-linear A : `np × · · · × `np −→ K da forma
1
n
X
m
A(z , . . . z ) =
± zi11 · · · zimm ,
i1 ,...,im =1
tais que
1
||A|| ≤ Cm .n 2 +mα(p) .
Nesta etapa, precisaremos também de um resultado pouco conhecido devido a Minkowski. O resultado na verdade é uma consequência da famosa Desigualdade de Minkowski ou comumente chamada de Desigualdade triangular para os espaços Lp . Para
detalhes da demonstração veja [22, Corolary 5.4.2].
Teorema 3.3 (Minkowski). Sejam 0 < p ≤ q < ∞ e (cij )∞
i,j=1 uma matriz escalar.
Então

∞
∞
X
X

i=1
! pq  1q
|cij |p

 ≤
j=1
∞
∞
X
X
j=1
! pq  p1
|cij |q
 .
i=1
Teorema 3.4 (Desigualdade de Bohnenblust–Hille). Para cada inteiro positivo m ≥ 1,
K
existe uma constante Cm
≥ 1 tal que
n
X
! m+1
2m
||T (ei1 ,..., eim )||
i1 ,...,im =1
45
2m
m+1
K
≤ Cm
||T || ,
3. Aplicações da Desigualdade de Hölder com normas mistas
para toda aplicação m-linear contı́nua T : c0 × · · · × c0 −→ K. Além disso, o expoente
2m
m+1
é ótimo.
Demonstração. Provemos por indução. Para m = 1, o resultado é imediato. Para a
demonstração por indução, não é necessário fazer o caso m = 2 mas como ele res4
3
gata a Desigualdade
constante
K
Cm
de Littlewood, vamos demonstrá-lo. Provemos que existe uma
≥ 1 tal que
∞
X
! 34
|T (ei , ej )|
4
3
≤ C2K ||T ||
i,j=1
para toda forma bilinear contı́nua T : c0 × c0 −→ K . Para tanto, a abordagem mais
rápida seria utilizar o Corolário 1.3 ou a Desigualdade de Hölder para somas mistas
(como de fato será feito na demonstração do caso geral). Faremos uma demonstração
utilizando apenas a Desigualdade de Hölder clássica.
∞
X
4
3
|T (ei , ej )| ≤
∞
∞
X
X
i=1
i,j=1
≤
∞
∞
X
X
i=1
≤

=
! 13
|T (ei , ej )|
2
.3
3
∞
X
.
! 32
|T (ei , ej )|
2 3
.
3 2
j=1
j=1
∞
∞
X
X

|T (ei , ej )| . |T (ei , ej )|
2
3
j=1
i=1
=
!
2
3
! 13
|T (ei , ej )|2
∞
X
.
j=1
! 32
|T (ei , ej )|
j=1
∞
∞
X
X
i=1
j=1
∞
X
∞
X
i=1
j=1
! 31 . 32  23 
|T (ei , ej )|2
 .
∞
∞
X
X
i=1
! 32 .3  13
|T (ei , ej )|

j=1

2
!2  12 3
∞
∞
X X

 .
|T (ei , ej )|   .

! 12  23
|T (ei , ej )|2
i=1
j=1
Consequentemente,
∞
X
! 34
4
|T (ei , ej )| 3
i,j=1

! 21  12
∞
∞
X
X
≤
|T (ei , ej )|2 
i=1

 21  12
!
2
∞
∞
 X X

. 
|T (ei , ej )|   .
i=1
j=1
j=1
Todavia, pelo Teorema 3.3 garantimos que

∞
∞
X
X

i=1
!2  12
|T (ei , ej )|
 ≤
j=1
∞
∞
X
X
j=1
46
i=1
! 21
2
|T (ei , ej )|
.
3. Aplicações da Desigualdade de Hölder com normas mistas
E daı́,
∞
X
! 34
4
|T (ei , ej )| 3

! 21  12
! 21  21  ∞
∞
∞
∞
X X
X X
≤
|T (ei , ej )|2  .
|T (ei , ej )|2  . 
i,j=1
i=1
j=1
j=1
i=1
Para concluirmos nosso objetivo precisamos estimar cada um dos fatores acima. A
estimativa é obtida utilizando a Desigualdade de Khinchine. Por (3.1), sabemos que
√
A−1
=
2 e, pela Desigualdade de Khinchine para p = 1, obtemos
1

1


1  11 .1 1
! 12 .1  11
1 ∞
Z
∞
∞
∞
X
X X
X √


 ≤
 2 |T (ei , ej )|2
rj (t)T (ei , ej ) dt 

i=1
j=1
i=1
0
j=1
∞ Z1 ∞
X
√ X
= 2
rj (t)ej ) dt
T (ei ,
i=1 0
j=1
∞
∞ X
X
√
≤ 2 sup
rj (t)ej ) .
T (ei ,
t∈[0,1]
j=1
i=1
Agora, para cada t fixo, considere o operador linear Tt : c0 −→ K definido por
Tt (y) = T
N
X
!
rj (t)ej , y .
j=1
Note que Tt é limitado, pois,
||Tt || = T
N
X
j=1
N
!
X
rj (t)ej , · ≤ ||T || . rj (t)ej ≤ ||T || . (ej )∞
j=1 1,w = ||T || .
j=1
0
Observe que (ej )∞
j=1 1,w = 1. De fato, a aplicação Ψ : (c0 ) −→ `1 dada por Ψ (ϕ) =
(ϕ (ej ))j é um isomorfismo isométrico. E daı́,
(ej )∞
j=1
def
1,w
=
sup
ϕ∈B(c
0
0)
∞
X
|ϕ (ej )| = sup ||(ϕ (ej ))||1
ϕ∈B(c
j=1
0
0)
= sup ||ϕ||
ϕ∈B(c
= 1.
47
0
0)
3. Aplicações da Desigualdade de Hölder com normas mistas
Além disso, temos
N
X
rj (t)ej = ||δ1 e1 + · · · + δN eN || ≤ 1 = (ej )∞
j=1 1,w ,
j=1
com δj ∈ {0, 1, −1}. Com isso,
√
∞ ∞
∞
√
X
X
X
rj (t)ej ) = 2 sup
|Tt (ei )|
2 sup
T (ei ,
t∈[0,1] i=1 t∈[0,1] i=1
j=1
√
≤ 2 sup ||Tt || . ||(ei )∞
i=1 ||1,w
=
√
t∈[0,1]
2 ||T || .
Consequentemente,

! 21 .1  11
∞
∞
X
X
√

 ≤ 2 ||T || .
|T (ei , ej )|2
i=1
j=1
Repetindo o argumento, obtemos a mesma estimativa para o segundo fator, isto é,
∞
∞
X
X
j=1
! 21
2
|T (ei , ej )|
≤
√
2 ||T || .
i=1
Portanto,
∞
X
! 34
|T (ei , ej )|
4
3
≤
√
12 √
21 √
2 ||T || .
2 ||T || = 2 ||T || .
i,j=1
Vejamos o caso geral (que também recupera o caso m = 2), agora utilizando a Desigualdade de Hölder para somas mistas. Aplicando a Desigualdade de Khinchine para
p=
2m−2
,
m
segue que
48
3. Aplicações da Desigualdade de Hölder com normas mistas

N
X
N
X

i1 ,...,im−1 =1


 −1 
A 2m−2
i1 ,...,im−1 =1


= A−1
2m−2
im =1
0
N
X
0
i1 ,...,im−1 =1
m

m
 2m−2
2m−2
N
m
X
rim (t)eim )
dtm 
T (ei1 , . . . , eim−1 ,
im =1
N
X
 sup
≤ A−1
2m−2
t∈[0,1] i ,...,i
1
m−1 =1

2m−2
m
 sup Cm−1
≤ A−1
2m−2
m
m
 2m−2
m
 2m−2
. 2m−2
2m−2
m
N
X
m

rim (t)T (ei1 , . . . , eim )
dtm 

m
 1
 2m−2
2m−2
Z N
m
X
 T (ei1 , . . . , eim−1 ,
rim (t)eim )
dtm 
Z1
m

im =1
0
N
X
= A−1
2m−2
Z1
m
i1 ,...,im−1 =1
m
|T (ei1 , . . . , eim )|2
im =1
N
X
≤
m
 2m−2
! 21 . 2m−2
m
t∈[0,1]
m
 2m−2
2m−2
m
N
X

rim (t)eim )
T (ei1 , . . . , eim−1 ,
im =1
m
 2m−2
2m−2
m
N
X

rim (t)eim )
T (ei1 , . . . , eim−1 ,
im =1

 sup ||T ||
≤ A−1
2m−2 Cm−1
m
2m−2
m
t∈[0,1]
m
 2m−2
2m−2
N
m
X

rim (t)eim im =1
= A−1
2m−2 Cm−1 ||T ||
m
−1
= A 2m−2 ||T || .
m
Com o auxı́lio do Teorema (3.3) , obtemos as mesmas estimativas para os expoentes
múltiplos
2m − 2
2m − 2
, . . . , 2,
m
m
2m − 2
2m − 2
, . . . , 2,
,...,
.
m
m
Para concluirmos a prova, consideremos T eI = T (ei1 , . . . , eim ) e os expoentes múltiplos
2m−2
2
qj = 2m−2
, com 2 na j−ésima posição e sj = m+1
,
.
.
.
,
2,
, para j = 1, . . . , m.
m
m
Primeiramente, note que
1
2
m+1
1
1
= 1. + (m − 1) . 2m−2 .
2
m
Aplicando a Desigualdade de Hölder com normas mistas (Teorema 1.2), temos
49
3. Aplicações da Desigualdade de Hölder com normas mistas
! m+1
2m
∞
X
|T eI |
2m
m+1
i1 ,...,im =1

 m1
! m+1
2
∞
X
=
2
2
|T eI | m+1 . . . |T eI | m+1

i1 ,...,im =1
 
 12
m
! 2m−2
.2
∞
∞
X
X
2m−2
 
 × ···×
|T eI | m


 i1 =1 i2 ,...,im =1
m
≤

 2m−2
! 21 . 2m−2

∞
∞
m
X
X




|T eI |2
i1 ,...,im−1 =1
 m1








im =1
i m1
−1
≤ A 2m−2 ||T || · · · A 2m−2 ||T ||
m
m
m i m1
h
= A−1
2m−2 ||T ||
h
−1
m
−1
= A 2m−2 ||T || .
m
Portanto,
∞
X
! m+1
2m
|T (ei1 , . . . , eim )|
2m
m+1
i1 ,...,im =1
≤ A−1
2m−2 ||T || ,
m
K
e o resultado está provado para Cm
= A−1
2m−2 .
m
Em conexão com o capı́tulo dois, alguns resultados de coincidência são estabelecidos
a partir da noção de operadores múltiplo somantes. A Desigualdade de BohnenblustHille por exemplo, pode ser inserida neste contexto. O resultado abaixo pode ser obtido
a partir do Teorema de Bohnenblust-Hille (3.4) e a Proposição 2.23 .
Corolário 3.5. Dado m ≥ 2 e E1 , . . . , Em espaços de Banach,
L (E1 , . . . , Em ; K) =
Ym
2m
;1)
( m+1
(E1 , . . . , Em ; K) .
Para detalhes veja [7, Theorem 4.3].
3.2
Aplicações da Desigualdade de Hölder com a
Bonhenblust-Hille
O objetivo desta seção é exibir algumas aplicações da Desigualdade de Hölder no
contexto das normas mistas com o auxı́lio da Desigualdade de Bohnenblust-Hille. Nesta
50
3. Aplicações da Desigualdade de Hölder com normas mistas
etapa, fundamentamos nossos estudos no artigo [2]. Na maior parte dos teoremas, conseguimos estimar as desigualdades propostas que se caracterizam como somas mistas,
e em seguida, obtemos a otimalidade de cada expoente com a ajuda da Desigualdade
de Kahane-Salem-Zygmund.
Os próximos três teoremas são resultados que mostram versões mais rebuscadas
da Desigualdade de Hardy-Littlewood. Vale salientar que ela também pode ser compreendida no contexto das normas mistas em espaços de sequências, usufruindo da
Desigualdade de Hölder em sua demonstração. Como ela não será o objeto de estudo
principal do nosso trabalho, apenas enunciaremos os resultados sem demonstrá-los.
Recomendamos ao leitor [5, Theorem 1.2], onde as demonstrações aparecem com mais
detalhes.
Teorema 3.6. (Desigualdade generalizada de Hardy-Littlewood para p ≥ 2m)
p
Sejam m ≥ 2 um inteiro positivo, p ≥ 2m e s1 , . . . , sm ∈ [ p−m
, 2]. Então as seguintes
condições são equivalentes:
(a)
1
1
mp + p − 2m
+ ··· +
≤
s1
sm
2p
K
≥ 1 satisfazendo,
(b) Existe Dm,s,p



n
X

· · ·
i1 =1
n
X
! sm−1
s
m
|A(ei1 , . . . , eim )|sm
 ss1  s11
2

K

···
 ≤ Dm,s,p ||A|| .
im =1
Para todo inteiro positivo n e toda aplicação m-linear contı́nua A : `np × · · · × `np −→ K.
Em conexão com o capı́tulo anterior, um resultado de coincidência pode ser estabelecido com a Desigualdade de Hardy-Littlewood. Considerando o expoente múltiplo
p
s = (s1 , . . . , sm ) ∈ [ p−m
, 2]m com
1
s1
+ ··· +
1
sm
=
mp+p−2m
2p
e p∗ =
p
,
p−1
obtemos
m
m+1 m
2mp
=
−
⇒s=
s
2
p
mp + p − 2m
onde
1
s
=
1
s1
+ ··· +
1
.
sm
Com isso, temos o seguinte resultado.
Corolário 3.7. Se E1 , . . . , Em são espaços de Banach, então para toda forma m−linear
contı́nua T : E1 × · · · × Em −→ K temos
Ym
(s;p∗ )
(E1 , . . . , Em ; K) = L (E1 , . . . , Em ; K) .
Para detalhes veja [7, Proposition 5.7].
51
3. Aplicações da Desigualdade de Hölder com normas mistas
Quando p = ∞, temos a versão multilinear da Desigualdade de Bohnenblust-Hille.
Note que,
lim
p→∞
mp + p − 2m
2p
= lim p.
p→∞
m+1 m
−
2
p
=
m+1
.
2
Em [6], os autores trabalham com a versão clássica da Desigualdade de HardyLittlewood, levando em consideração que todos os expoentes são iguais. Uma consequência deste fato é o seguinte:
Teorema 3.8. Seja m ≥ 2 um inteiro positivo.
(a) Se (r, p) ∈ ([1, 2] × [2, 2m)) ∪ ([1, ∞) × [2m, ∞]), então existe uma constante
K
≥ 1 tal que
Dm,r,p
n
X
! r1
|T (ei1 , . . . , eim )|r
K
nmax{
≤ Dm,r,p
2mr+2mp−mpr−pr
,0}
2pr
||T || .
i1 ,...,im =1
Para toda forma m-linear T : `np × · · · × `np −→ K e todo inteiro positivo n. Além disso,
, 0} é ótimo.
o expoente max{ 2mr+2mp−mpr−pr
2pr
K
≥ 1 tal que
(b) Se (r, p) ∈ ([2, ∞) × (m, 2m]), então existe uma constante Dm,r,p
! r1
n
X
|T (ei1 , . . . , eim )|r
K
≤ Dm,r,p
nmax{
p+mr−rp
,0}
pr
||T || .
i1 ,...,im =1
Para toda forma m-linear T : `np × · · · × `np −→ K e todo inteiro positivo n. Além disso,
o expoente max{ p+mr−rp
, 0} é ótimo.
pr
Quando r =
r =
2mp
mp+p−2m
2m
m+1
e p = ∞ , temos a Desigualdade de Bohnenblust-Hille e quando
e p ≥ 2m, recuperamos a Desigualdade Hardy-Littlewood/Praciano-
Pereira (Veja [6, Theorem 2], [40]). Por fim, quando r =
p
e
p−m
m < p < 2m, temos a
Desigualdade de Hardy-Littlewood/Dimant-Sevilla-Peris. (Veja [6, Theorem 3]).
No próximo resultado, poderemos aplicar de fato a Desigualdade de Hölder para
somas mistas vista no capı́tulo 1. Nesta etapa, também serão fundamentais as Desigualdades de Kahane-Salem-Zygmund e Bohnenblust-Hille.
Teorema 3.9. Seja m ≥ 2 um inteiro positivo.
(a) Se
(r1 , . . . , rm , p) ∈
2m
0,
m+1
m
× [2, ∞] ∪
2mp
0,
mp + p − 2m
m
K
então existe uma constante Dm,r,p
≥ 1(não dependendo de n) tal que
52
× [2m, ∞]
3. Aplicações da Desigualdade de Hölder com normas mistas

n

X 
···

i1 =1
! rm−1
r
n
X
m
|T (ei1 , . . . eim )|rm
 rr1  r11
2
2m−mp−p

+ r1 +···+ r1
K
m ||T || ,
1
n 2p
· · ·   ≤ Dm,r,p
im =1
para toda forma m-linear T : `np × · · · × `np −→ K e todo inteiro positivo n. Além disso,
o expoente
2m−mp−p
2p
1
r1
+
+ ··· +
1
rm
é ótimo.
(b) Se
(r1 , . . . , rm , p) ∈
m
m
2m
2mp
, 2 × [2, 2m] ∪
,∞
× [2m, ∞)
m+1
mp + p − 2m
K
≥ 1(não dependendo de n) tal que
então existe uma constante Dm,r,p



n
X

! rm−1
r
n
X
· · ·
i1 =1
m
|T (ei1 , . . . eim )|rm
 rr1  r11
2


···

im =1
max{ 2m−mp−p
+ r1 +···+ r1 ,0}
2p
K
≤ Dm,r,p
n
m
1
||T || ,
para toda forma m-linear T : `np × · · · × `np −→ K e todo inteiro positivo n. Além disso,
o expoente max { 2m−mp−p
+
2p
1
r1
+ ··· +
1
, 0}
rm
é ótimo.
2m
Demonstração. (a). Suponha que (rj , p) ∈ (0, m+1
] × [2, ∞] para todo j = 1, . . . , m.
Note que, para p ≥ 2
sup
ϕ∈B(`n
0
p)
n
X
−1
1
|ϕ(ej )| = n.n p∗ = n p .
j=1
Inicialmente note que Ψ : (`np )0 −→ `np∗ dada por Ψ(ϕ) = (ϕ(ej ))nj=1 é um isomorfismo
isométrico. De fato,
Como (ej )nj=1 é base de Schauder para `np , podemos escrever cada elemento x =
X
0
(xj ) ∈ `np da forma x =
ej xj . Assim, dado ϕ ∈ (`np ) temos
j
!
ϕ (x) = ϕ
X
ej xj
j
=
X
xj ϕ (ej ) .
j
Verifiquemos que Ψ está bem definida e limitada. Para tanto, para cada j ∈ N defina
mos a sequência γ j = γkj k em `np da forma:
γkj
=
∗
|ϕ (ek )|p /ϕ (ek ) , com ϕ (ek ) 6= 0 e 1 ≤ k ≤ j
.
0,
caso contrário
53
3. Aplicações da Desigualdade de Hölder com normas mistas
Dessa forma,
j
X
∗
|ϕ (ej )|p = ϕ γ j ≤ ||ϕ|| . γ j p
k=1
j
X
= ||ϕ|| .
! p1
(p∗ −1)p
|ϕ (ej )|
k=1
j
X
= ||ϕ|| .
! p1
p∗
|ϕ (ej )|
.
k=1
Consequentemente,
j
X
! p1∗
|ϕ (ej )|p
∗
≤ ||ϕ|| ,
k=1
ou seja, (ϕ (ej ))j ∈ `np∗ , assegurando sua boa definição, e além disso,
||Ψ(ϕ)|| = ||(ϕ (ej ))||p∗ ≤ ||ϕ|| .
A linearidade de Ψ é imediata. Então, dado x = (xj ) ∈ `np , utilizando a Desigualdade
clássica de Hölder, temos
X
X
|ϕ (x)| = xj ϕ (ej ) ≤
|xj ϕ (ej )| ≤ ||ϕ (ej )||p∗ . ||x||p .
j
j
Com isso concluı́mos que ||ϕ|| ≤ ||(ϕ (ej ))||p0 = ||Ψ(ϕ)||, e portanto, Ψ é uma isometria.
Para finalizar, considere b = (bj ) ∈ `np∗ e defina o funcional ϕb : `np −→ K por ϕb ((xj )) =
X
xj bj . Aplicando novamente a Desigualdade de Hölder clássica, garantimos que ϕb
está bem definido e é limitado. Além disso,
Ψ (ϕb ) = (ϕb (ej ))j = (bj ) = b,
isto é, Ψ também é sobrejetiva. Agora, fixado ϕ ∈ B(`n )0 e usando a Desigualdade de
p
Hölder obtemos
n
X
!
|ϕ (ej )|
≤
j=1
n
X
! p1
1p
.
j=1
n
X
! p1∗
p∗
|ϕ (ej )|
1
= np ,
j=1
pois
n
X
! p1∗
p∗
|ϕ (ej )|
= ||(ϕ (ej ))||p∗
j=1
54
isometria
=
||Ψ (ϕ)|| = 1.
3. Aplicações da Desigualdade de Hölder com normas mistas
Tomando o supremo,
!
n
X
sup
ϕ∈B `n 0
( p)
|ϕ (ej )|
1
≤ np .
j=1
−1
−1
−1
Por outro lado observe que φ = n p∗ , · · · , n p∗ ∈ S`np∗ , φ(ej ) = n p∗ , j = 1, . . . , n ,
pois
def
||φ||p∗ =
n
X
! p1∗
p∗
|φ(ej )|
=
j=1
Além disso,
n
X
j=1
n X
n
−1
p∗
p ∗
! p1∗
∗ p1∗
−1 p
= n. n p∗
= 1.
j=1
n
X
−1
−1
1
|φ(ej )| =
n p∗ = n.n p∗ = n p . Consequentemente,
j=1
sup
ϕ∈S`n∗
p
n
X
n
X
|φ(ej )| ≥
j=1
1
|φ(ej )| = n p .
j=1
Por conseguinte, concluı́mos que supϕ∈B(`n )0
p
n
P
1
|ϕ(ej )| = n p . Pela Desigualdade multi-
j=1
2m
; 1) múltiplo somante.
linear de Bohnenblust-Hille, todas as formas m-lineares são ( m+1
Veja proposição (2.23) e corolário (3.5). Daı́ temos,
n
X
! m+1
2m
|T (ei1 , . . . , eim )|
2m
m+1
m
≤ C ||T || n p .
i1 ,...,im =1
2m
] × [2, ∞], para i = 1, . . . , m, segue que
Como (ri , p) ∈ (0, m+1
1
ri
≥
1
2m
(m+1)
, para todo
i = 1, . . . , m. Então, podemos tomar x1 , . . . , xm tais que
1
1
1
= 2m + , para i = 1, ..., m.
ri
xi
m+1
Utilizando a Desigualdade de Hölder para somas mistas (Teorema 1.2) e a Desigualdade
de Bohnenblust-Hille acima (Teorema 3.4), temos
55
3. Aplicações da Desigualdade de Hölder com normas mistas

n
X



n
X
· · ·
i1 =1
m
|T (ei1 , . . . eim )|rm
im =1
! m+1
2m
n
X
≤
2m
|T (ei1 , . . . eim )| m+1


.
i1 ,...,im =1

n
X
|T (ei1 , . . . eim )|
2m
m+1
1
.n x1
! xm−1
x
n
X
· · ·
i1 =1
! m+1
2m
n
X
=
 rr1  r11
2


···

! rm−1
r
m
1xm
 xx1  x11
2


···

im =1
+···+ x1
m
i1 ,...,im =1
m
1
≤ Cm ||T || .n p .n x1
= Cm ||T || .n
+···+ x1
m
m
− m+1
+ r1 +···+ r1
p
2
m
1
.
2mp
Agora suponha que (ri , p) ∈ (0, mp+p−2m
] × [2m, ∞] para todo i = 1, . . . , m. Sejam
x1 , . . . , xm tais que
1
=
ri
1
+
2mp
mp+p−2m
1
, para todo i = 1, . . . , m.
xi
Usando a Desigualdade de Hölder para somas mistas (Teorema 1.2) e a Desigualdade
de Hardy-Littlewood / Praciano-Pereira ([6, Theorem 2], temos


n
n
X
X 
···

i1 =1
≤
! rm−1
r
m
rm
|T (ei1 , . . . eim )|
 rr1  r11
2

··· 
im =1
n
X
|T (ei1 , . . . eim )|
2mp
mp+p−2m
! mp+p−2m
2mp
=

n
X 
.
···
i1 ,...,im =1
n
X

i1 =1
|T (ei1 , . . . eim )|
2mp
mp+p−2m
! mp+p−2m
2mp
1
.n x1
n
X
! xm−1
x
m
xm
1
 xx1  x11
2

··· 
im =1
+···+ x1
m
i1 ,...,im =1
1
K
≤ Dm,r,p
||T || .n x1
K
||T || .n
= Dm,r,p
+···+ x1
m
2m−mp−p
+ r1 +···+ r1 .
2p
m
1
Vamos agora obter a otimalidade do expoente acima. Utilizando a Desigualdade generalizada de Kahane-Salem-Zygmund, (Teorema 3.2), obtém-se por indução que,



n
X
i1 =1

· · ·
n
X
! rm−1
r
m
|A(ei1 , . . . , eim )|rm
im =1
56
 rr1  r11
2
1

+···+ r1

m.
···
 = n r1
3. Aplicações da Desigualdade de Hölder com normas mistas
para toda forma m-linear A : `np × · · · × `np −→ K.
Suponhamos então que o resultado
seja válido para algum expoente s > 0, isto é,


n
X 
···

i1 =1
 rr1  r11
2

· · ·   ≤ Cm ||T || .ns .
! rm−1
r
n
X
m
|T (ei1 , . . . eim )|rm
im =1
Considere o operador T = A que satisfaça o Teorema 3.2. Uma vez que p ≥ 2 , segue
que
1
n r1
+···+ r1
m
m+1
−m
2
p
≤ Cm ||A|| ns ≤ Cm ns+
Ou seja, temos
1
n r1
+···+ r1
≤ Cm ns+
m
m+1
−m
2
p
.
E daı́,
1
n r1
1
r1
Fazendo n → ∞, obtemos
+···+ r1 −s− m+1
+m
2
p
m
+ ··· +
1
rm
−s−
≤ Cm .
m+1
2
+
m
p
≤ 0. Consequentemente,
1
mp + p − 2m
1
+ ··· +
≤s+
r1
rm
2p
Logo,
1
1
2m − mp − p
+ ··· +
+
≤s
r1
rm
2p
2m
, 2] × [2, 2m] para todo
Portanto, o expoente é ótimo. (b). Suponha que (ri , p) ∈ [ m+1
i = 1, . . . , m. Pelo teorema 3.8, uma vez que 2 ≤ p ≤ 2m segue que
n
X
! 21
|T (ei1 , . . . , eim )|2
K
≤ Dm,r,p
||T || .n
2m−p
2p .
.
i1 ,...,im =1
Fazendo r = 2 no Teorema 3.8 (item a), obtemos,
! 21
n
X
2
|T (ei1 , . . . , eim )|
K
||T || .nmax{
≤ Dm,r,p
4m+2mp−2mp−2p
,0}
4p
K
≤ Dm,r,p
||T || .nmax{
4m−2p
,0}
4p
i1 ,...,im =1
Como 2 ≤ p ≤ 2m, então max
n
X
n
o
4m−2p
,0
4p
=
4m−2p
4p
=
2m−p
2p
e segue que
! 21
2
|T (ei1 , . . . , eim )|
i1 ,...,im =1
57
≤
K
Dm,r,p
.
||T || .n
2m−p
2p .
.
3. Aplicações da Desigualdade de Hölder com normas mistas
1
ri
Agora, como
≥ 12 , para i = 1, ..., m, consideremos x1 , . . . , xm tais que
1
1
1
= + , para todo i = 1, ..., m.
ri
2 xi
Novamente, aplicando a Desigualdade de Hölder para somas mistas em espaços `p
(Teorema 1.2), temos


n
n
X
X 
···

i1 =1
m
rm
|T (ei1 , . . . eim )|
! 21

n
X

n
X 
.
···
|T (ei1 , . . . , eim )|2
i1 ,...,im =1
=
 rr1  r11
2

··· 
im =1
n
X
≤
! rm−1
r
i1 =1
! 21
|T (ei1 , . . . , eim )|2
1
.n x1
n
X
! xm−1
x
m
1xm
 xx1  x11
2

··· 
im =1
+···+ x1
m
i1 ,...,im =1
K
≤ Dm,r,p
||T || .n
K
= Dm,r,p
||T || .n
2m−p
2p
1
1
x1 +···+ xm
2m−p
−m
+ r1 +···+ r1
2p
2
m
1
m
K
= Dm,r,p
||T || .n p
K
= Dm,r,p
||T || .n
.n
− m+1
+ r1 +···+ r1
2
1
m
max{ 2m−mp−p
+ r1 +···+ r1 ,0}
2p
m
1
.
Para mostrarmos a otimalidade, suponhamos então que o resultado seja válido para
algum expoente s > 0, ou seja,



n
X

· · ·
i1 =1
n
X
! rm−1
r
m
|T (ei1 , . . . eim )|rm
 rr1  r11
2

K
· · ·   ≤ Dm,r,p
||T || .ns ,
im =1
para toda forma m-linear T : `np × · · · × `np −→ K e todo inteiro positivo n. Pelo
Teorema 3.2, temos

n

X 
···

i1 =1
n
X
! rm−1
r
m
rm
|A(ei1 , . . . eim )|
 rr1  r11
2
1

+···+ r1
m,
· · ·   = n r1
im =1
onde A : `np × · · · × `np −→ K é uma forma m-linear que satisfaz o Teorema 3.2. E daı́,
1
n r1
+···+ r1
m
K
≤ Dm,r,p
||A|| ns ≤ Cm ns+
58
m+1
−m
2
p
.
3. Aplicações da Desigualdade de Hölder com normas mistas
Assim como no item (a), obtemos
m m+1
1
1
s≥
−
+ + ··· +
= max
p
2
r1
rm
2m − mp − p
1
1
+ + ··· +
,0 .
2p
r1
rm
2mp
, ∞) × [2m, ∞) para todo i = 1, . . . , m. Neste
Agora suponha que (ri , p) ∈ [ mp+p−2m
caso, como
1
ri
≤
1
2mp
mp+p−2m



n
X
, pela inclusão canônica em espaços `p ,

· · ·
i1 =1
m
|T (ei1 , . . . eim )|rm
 rr1  r11
2


···

im =1
n
X
≤
! rm−1
r
n
X
|T (ei1 , . . . , eim )|
2mp
mp+p−2m
! mp+p−2m
2mp
i1 ,...,im =1
≤ C ||T || .n0
=
K
Dm,r,p
||T || .n
o
n
+ r1 +···+ r1 ,0
max 2m−mp−p
2p
m
1
.
Neste caso, garantimos a otimalidade
de modooimediato, pois a desigualdade não seria
n
válida se trocássemos n
max
2m−mp−p
+ r1 +···+ r1 ,0
2p
m
1
por ns , com s < 0.
Uma versão interessante da Desigualdade de Hardy-Littlewood generalizada ocorre
quando
1
mp + p − 2m
1
+ ··· +
>
.
s1
sm
2p
Para tanto, será necessário o auxı́lio de um lema.
Lema 3.10. Sejam r1 , . . . , rm ∈ (0, 2], m ≥ 2 um inteiro positivo e p ≥ 2m. Se
1
1
mp + p − 2m
+ ··· +
>
,
r1
rm
2p
então existem s1 , . . . , sm ∈
h
i
p
,2
p−m
tal que sj ≥ rj para todo j = 1, . . . , m e
1
1
mp + p − 2m
+ ··· +
=
.
s1
sm
2p
Demonstração. Como p ≥ 2m, temos
1<
p
≤ 2.
p−m
Iremos dividir nossa prova em dois casos:
59
3. Aplicações da Desigualdade de Hölder com normas mistas
Primeiro caso. Suponha que rj0 ≤
p
p−m
para algum j0 . Neste caso, definamos
sj = 2 para todo j 6= j0
e
p
.
p−m
sj0 =
Segundo caso. Agora, suponha que rj >
p
p−m
para todo j = 1, . . . , m. Vamos definir
para todo j = 1, . . . , m,
sj = rj + δj
com δ1 ≥ 0, . . . , δm ≥ 0 definidos da seguinte forma: (1) Defina δ1 > 0 tal que (1a)
p
s1 := r1 + δ1 ∈ ( p−m
, 2], com
1
mp + p − 2m
1
+ ···
=
r1 + δ1
rm
2p
se isso é possı́vel, neste caso sj := rj para todo j = 2, . . . , m; (1b) Defina δ1 := 2 − r1 ,
p
caso contrário (2) Defina δ2 > 0 tal que (2a) s2 := r2 + δ2 ∈ ( p−m
, 2] com
1
1
mp + p − 2m
1
+
···
=
r1 + δ1 r2 + δ2
rm
2p
se isso é possı́vel, neste caso sj := rj para todo j = 3, . . . , m; (2b) δ2 := 2 − r2 , caso
contrário. O processo para em algum estágio ou pode continuar até o caso m − 1. Se
precisarmos do caso m − 1, então podemos definir ((m − 1) a) : Defina δm−1 > 0 tal
p
que sm−1 := rm−1 + δm−1 ∈ ( p−m
, 2] e
1
1
1
mp + p − 2m
+ ··· +
+
=
.
r1 + δ1
rm−1 + δm−1 rm
2p
Note que isso será possı́vel, pois para δm−1 = 2 − rm−1 temos
1
1
1
1
1
+ ··· +
+
= (m − 1) +
r1 + δ1
rm−1 + δm−1 rm
2
rm
1
p−m
< (m − 1) +
2
p
mp + p − 2m
=
2p
60
(3.2)
3. Aplicações da Desigualdade de Hölder com normas mistas
e será possı́vel ajustar δm−1 > 0 (menor que 2 − rm−1 ) de tal maneira que
1
1
1
mp + p − 2m
+ ··· +
+
=
.
r1 + δ1
rm−1 + δm−1 rm
2p
De 3.2 temos
1
1
1
mp + p − 2m
+ ··· + +
<
2
2 rm
2p
(3.3)
e do caso (m − 2) segue que
1
1
1
1
mp + p − 2m
+ ··· + +
+
>
2
2 rm−1 rm
2p
(3.4)
de 3.3 e 3.4 nós concluı́mos com um argumento análogo ao do Valor Intermediário que
existe δm−1 > 0 tal que rm−1 + δm−1 < 2 e
1
1
mp + p − 2m
1
1
+
=
+ ··· + +
.
2
2 rm−1 + δm−1 rm
2p
Com isso, podemos escolher então
sj = 2 para todo j = 1, . . . , m − 2
sm−1 = rm−1 + δm−1
sm = rm .
Teorema 3.11. Seja m ≥ 2 um inteiro. Se (rj , p) ∈ [1, 2] × [2m, ∞] para todo j =
K
1, . . . , m, então existe uma constante Dm,r,p
≥ 1(não dependendo de n) tal que

n

X 
···

i1 =1
n
X
! rm−1
r
m
|T (ei1 , . . . eim )|rm
 rr1  r11
2

··· 
im =1
max{ 2m−mp−p + 1 +···+ 1 ,0}
2p
r1
rm
K
≤ Dm,r,p
.n
||T || ,
para toda forma m-linear T : `np × · · · × `np −→ K e todo inteiro positivo n. Além disso,
o expoente
2m−mp−p
2p
+
1
r1
+ ··· +
1
rm
é ótimo.
Demonstração. Suponha que
1
1
mp + p − 2m
+ ··· +
>
.
r1
rm
2p
61
3. Aplicações da Desigualdade de Hölder com normas mistas
Pelo lema anterior, existem s1 , . . . , sm ∈
tais que
i
h
p
,2
p−m
com si ≥ ri , para todo i = 1, . . . , m
1
1
mp + p − 2m
+ ··· +
=
.
s1
sm
2p
Com isso, considere x1 , . . . , xm tais que
1
1
1
= + , com i = 1, . . . , m.
ri
si x i
Assim, usando a Desigualdade de Hölder com normas mistas (Teorema 1.2) e o Teorema
3.6 , temos


n
n
X
X 
···

i1 =1

m

n
i1 =1
|T (ei1 , . . . eim )|
n
X
n
! sm−1
s
m
sm
|T (ei1 , . . . eim )|
 ss1  s11
2

··· 
im =1

n
X
X 
×
···
i1 =1
1
K
Dm,s,p
 xx1  x11
2

··· 
! xm−1
x
m
1xm
im =1
K
≤ Dm,s,p
||T || .n x1
≤
rm
 rr1  r11
2

··· 
im =1
X 
≤
···

! rm−1
r
||T || .n
+···+ x1
m
1
+···+ r1 −
r1
m
1
K
≤ Dm,s,p
||T || .n r1
1
K
≤ Dm,s,p
||T || .n r1
1
+···+ s1
s1
m
+···+ r1 −( mp+p−2m
)
2p
m
+···+ r1 +( 2m−mp−p
)
2p
m
o
n
max 2m−mp−p
+ r1 +···+ r1 ,0
2p
K
= Dm,s,p
||T || .n
1
m
.
Vejamos agora a otimalidade do expoente. Suponhamos que a desigualdade seja válida
para algum s > 0, isto é,



n
X
i1 =1

· · ·
n
X
! rm−1
r
m
|T (ei1 , . . . eim )|rm
 rr1  r11
2

K
s

···
 ≤ Dm,s,p ||T || .n ,
im =1
para toda forma m−linear T : `np × · · · × `np −→ K. Pela Desigualdade de KahaneSalem-Zygmund, (Teorema 3.2), sabemos que
62
3. Aplicações da Desigualdade de Hölder com normas mistas

n

n
X
X 
···

i1 =1
! rm−1
r
m
|A(ei1 , . . . eim )|rm
 rr1  r11
2
1

+···+ r1
m,
· · ·   = n r1
im =1
para toda forma m−linear A : `np × · · · × `np −→ K. Consequentemente,
1
n r1
+···+ r1
m
K
K
≤ Dm,r,p
||A|| ns ≤ Dm,r,p
ns+
m+1
−m
2
p
.
Com isso,
1
1
m m+1
−
+ + ··· +
p
2
r1
rm
2m − mp − p
1
1
=
+ + ··· +
.
2p
r1
rm
s≥
Por hipótese,
1
mp + p − 2m
1
+ ··· +
>
r1
rm
2p
logo
2m − mp − p
1
1
> 0.
+ + ··· +
2p
r1
rm
Consequentemente,
2m − mp − p
1
1
+ + ··· +
2p
r1
rm
1
2m − mp − p
1
+ + ··· +
= max
,0 .
2p
r1
rm
s≥
Portanto, o expoente max
n
2m−mp−p
2p
+
1
r1
+ ··· +
o
1
,0
rm
é ótimo. O caso em que
1
1
mp + p − 2m
+ ··· +
≤
r1
rm
2p
é exatamente a versão generalizada de Hardy-Littlewood. (Teorema 3.6).
3.3
Aplicações da Desigualdade de Hölder interpolativa
No capı́tulo 1, exibimos um corolário imediato da Desigualdade de Hölder com
normas mistas. Do ponto de vista da teoria de interpolação, o resultado não é muito
complicado, mas extremamente importante nas aplicações tão quanto a própria Desigualdade de Hölder. No contexto multilinear por exemplo, as desigualdades clássicas de
63
3. Aplicações da Desigualdade de Hölder com normas mistas
Bonhenblust-Hille e a Hardy-Littlewood ganharam outros patamares com a descoberta
deste resultado. De maneira surpreendente, conseguimos demonstrar estas desigualdades por meio da interpolação dos expoentes. Mostraremos alguns casos particulares e
os casos mais gerais são análogos.
Exemplo 3.1. Consideremos o caso m = 2 na Desigualdade de Bonhenblust-Hille,
mais conhecida como Desigualdade
constante
C2K
4
3
de Littlewood. Ela nos assegura que existe uma
≥ 1 tal que
! 34
N
X
|T (ei1 , ei2 )|
4
3
≤ C2 . ||T || ,
i1 ,i2 =1
para toda aplicação bilinear T : c0 × c0 −→ K e todo inteiro positivo N . No caso em
√
que K = R já é conhecido que C2 = 2.
Utilizando o corolário de Hölder, o expoente
4
3
pode ser obtido por meio de múltipla
interpolação dos expoentes da seguinte desigualdade

N
X
N
X

i1 =1
! qq1  q11
2
q2
|T (ei1 , ei2 )|
≤ C. ||T ||

i2 =1
com (q1 , q2 ) = (1, 2) e (2, 1). Pelo corolário, q (1) = (1, 2) e q (2) = (2, 1). E daı́,
1 1
4, 4
3
= θ1 .
3
1
1
,
q1 (1) q2 (1)
+ θ2 .
1
1
,
q1 (2) q2 (2)
.
Ou seja,
1 1
4, 4
3
3
= θ1 .
1 1
,
1 2
+ θ2 .
1 1
,
2 1
, onde θ1 + θ2 = 1.
Reorganizando, obtemos o seguinte sistema linear:
1
4
3
1
4
3
= θ1 +
=
θ1
2
θ2
2
Resolvendo o sistema, encontramos θ1 = θ2 =
Hölder (1.3) temos
64
.
+ θ2
1
.
2
Assim, aplicando o corolário de
3. Aplicações da Desigualdade de Hölder com normas mistas

N
X
N
X

i1 =1
! qq1  q11
2
|T (ei1 , ei2 )|q2

i2 =1

N
X
≤

i1 =1

N
X
×

i1 =1
N
X
(1)
! qq1 (1)
2
|T (ei1 , ei2 )|q2 (1)
i2 =1
N
X
 q 1(1) θ1
1





 q 1(2) θ2
1


 .


(2)
! qq1 (2)
2
|T (ei1 , ei2 )|q2 (2)
i2 =1
Isto significa mais precisamente que,

N
X
N
X

i1 =1
! 43 . 34  34
4
|T (ei1 , ei2 )| 3

i2 =1
N
X
N
X
1 
! 21  11 2  N
  X
|T (ei1 , ei2 )|2   . 
N
X
i1 =1
i2 =1
i1 =1
i2 =1


≤ 
1
! 21  12 2

|T (ei1 , ei2 )|1   .
No entanto, a Desigualdade de Khinchine nos fornece que

N
X
N
X
i1 =1
i2 =1

! 21 
|T (ei1 , ei2 )|2
≤
√
2. ||T || .
Por outro lado, pelo Teorema 3.3, temos

N
X
N
X

i1 =1
! 12  12
|T (ei1 , ei2 )|1

N
X
 ≤
i2 =1
N
X
i2 =1
Khinchine
≤
! 21  11
|T (ei1 , ei2 )|2

i1 =1
√
2. ||T || .
Por conseguinte,

N
X
N
X
i1 =1
i2 =1

! 43 . 34  34
4
|T (ei1 , ei2 )| 3
 ≤
=
65
√
21 √
21
2. ||T || .
2. ||T ||
√
2. ||T || .
3. Aplicações da Desigualdade de Hölder com normas mistas
Logo,
! 34
N
X
4

def
|T (ei1 , ei2 )| 3
N
X
N
X
i1 =1
i2 =1
=
i1 ,i2 =1
! 34 . 34  34
4
 ≤
|T (ei1 , ei2 )| 3
√
2. ||T || .
Exemplo 3.2. Analisemos o caso m = 3 da Desigualdade de Bohnenblust-Hille. Ela
nos diz que existe uma constante C3K ≥ 1 tal que, para toda aplicação 3-linear T :
c0 × c0 × c0 −→ K,
N
X
! 32
|T (ei1 , ei2 , ei3 )|
3
2
≤ C3 . ||T || ,
i1 ,i2 ,i3 =1
para todo inteiro positivo N .
De maneira análoga, o expoente
3
2
pode ser obtido por meio de múltipla interpolação
dos expoentes
(q1 , q2 , q3 ) = (1, 2, 2) , (2, 1, 2) e (2, 2, 1) ou
4 4
4
4
4 4
(q1 , q2 , q3 ) =
, ,2 ,
, 2,
e 2, ,
3 3
3
3
3 3
na desigualdade
q


N
N
X X

i1 =1
i2 =1
N
X
! qq2  q12
 q1
1
3
|T (ei1 , ei2 , ei3 )|q3
 

≤ C. ||T || .
i3 =1
Antes de aplicarmos o corolário de Hölder, vejamos algumas consequências da Desigualdade de Khinchine que serão fundamentais na demonstração deste caso.
Proposição 3.12. Seja T : c0 × c0 × c0 −→ K aplicação 3-linear limitada. Então:


N
N
N
X X X
|T (ei , ej , ek )|2

i=1
j=1
k=1
66
! 21 .2  12 .1

 11
√ 2

 ≤ ( 2) ||T || .
3. Aplicações da Desigualdade de Hölder com normas mistas
Demonstração. Aplicando a Desigualdade de Khinchine para p = 1, obtemos


N
N
N
X X X
|T (ei , ej , ek )|2

i=1
j=1
! 21 .2  12 .1
 11



k=1

 11
 11 .1
 1
1
Z N
N
X −1 m−1  X

≤  (A1 )
rj (tj ).rk (tk ).T (ei , ej , ek )  dtj .dtk 
i=1
0
j,k=1
Z1 X
N N
N
X
X
m−1
T
(e
,
r
(t
)e
,
= (A−1
)
r
(t
)e
)
i
j j j
k k k dtj .dtk
1
j=1
k=1
0 i=1
N N
N
X
X
X
√ m−1
sup
T
(e
,
≤ ( 2)
r
(t
)e
,
r
(t
)e
)
i
j j j
k k k tj ,tk ∈ [0,1] i=1
j=1
k=1
N
N
X
X
√ m−1
sup T (.,
rj (tj )ej ,
rk (tk )ek ) . ||(ei )||w,1
≤ ( 2)
tj ,tk ∈ [0,1] j=1
k=1
N
N
X
X
√
rk (tk )ek .||(ei )||w,1
≤ ( 2)m−1 ||T || .
rj (tj )ej .
| {z }
j=1
k=1
1
|
{z
}
{z
}
|
1
1
√
= ( 2)m−1 ||T || .
Ou seja,


N
N
N
X X X
|T (ei , ej , ek )|2

i=1
j=1
! 21 .2  12 .1

 11
√ 2

 ≤ ( 2) ||T || .
k=1
Neste caso, como m = 3, obtemos o resultado almejado, isto é,


N
N
N
X X X
|T (ei , ej , ek )|2

i=1
j=1
! 21 .2  12 .1

 11
√ 2

 ≤ ( 2) ||T || .
k=1
Com essa ferramenta em mãos, inúmeras desigualdades semelhantes a esta podem
ser obtidas permutando os ı́ndices i, j, k. Um procedimento análogo utilizando a Desigualdade de Khinchine garante que


N
N
N
X X X
|T (ei , ej , ek )|2

i=1
k=1
j=1
67
! 21 .2  12 .1

 11
√ 2

 ≤ ( 2) ||T || .
3. Aplicações da Desigualdade de Hölder com normas mistas
Com isso, podemos obter as seguintes desigualdades que iremos utilizar como ferramentas para estimar outras mais complicadas.


N
N
N
X X X
|T (ei , ej , ek )|2

j=1
k=1

N
N
N
X X X
|T (ei , ej , ek )|2

i=1

N
N
N
X X X
|T (ei , ej , ek )|2




N
X

i=1
j=1
N
X
N
X

j=1
k=1
√ 2

 ≤ ( 2) ||T ||
(3.5)
! 21 .2  12 .1

 11
√ 2

 ≤ ( 2) ||T ||
(3.6)
k=1

k=1

 11
i=1

j=1
! 21 .2  12 .1
! 21 .2  12 .1

! 21 .2  12 .1
|T (ei , ej , ek )|2

 11
√ 2

 ≤ ( 2) ||T ||
(3.7)
 11
√ 2

 ≤ ( 2) ||T || .
(3.8)
i=1
A partir dessas desigualdades, queremos estimar a seguinte:



N
X

N
X
N
X

j=1
i=1
! 21 .1  11 .2
|T (ei , ej , ek )|2

 21

 .
k=1
Em (3.9), aplicando o Teorema 3.3 para os ı́ndices i, j temos:



N
X

N
X
N
X

i=1
j=1



≤
N
X
! 21 .1  11 .2
|T (ei , ej , ek )|2


k=1
N
X
N
X

j=1

 12
i=1
! 21 .2  21 .1
|T (ei , ej , ek )|2

 11
√
≤ ( 2)2 . ||T || .
por 3.6


k=1
Portanto,
1

1 2

1  1 .2
!
.1
2
N
N
N
√ 2
X X X
2
 
|T (ei , ej , ek )|

 ≤ ( 2) . ||T || .
i=1
j=1
k=1
68
(3.9)
3. Aplicações da Desigualdade de Hölder com normas mistas
Vejamos agora a seguinte desigualdade:
1

1 2

1  2 .2
!
.2
1
N
N
N
√ 2
X X X
1
 
|T (ei , ej , ek )|

 ≤ ( 2) . ||T || .
i=1
j=1
k=1
Aplicando 3.3 para os ı́ndices j, k obtemos:
1

1 2

1  2 .2
!
.2
1
N
N
N
X X X
1
 
|T (ei , ej , ek )|


i=1
j=1


k=1
N
N
N
X X X
≤
|T (ei , ej , ek )|2
i=1
k=1
! 21 .1  11 .2

 12

 .
j=1
Novamente, aplicando 3.3 para i, k temos:


N
N
N
X X X
|T (ei , ej , ek )|2

i=1
k=1


! 21 .1  11 .2



j=1
N
N
N
X X X
≤
|T (ei , ej , ek )|2
k=1
 12
i=1
! 21 .2  12 .1

 11
Por( 3.7)


≤
√
( 2)2 . ||T || .
j=1
E daı́,

1

! 11 .2  12 .2 2
N
N
N
√ 2
X X X
 
|T (ei , ej , ek )|1

 ≤ ( 2) . ||T || .
i=1
j=1
k=1
Dessa forma, a Desigualdade de Khinchine nos assegura que

N

X 
···

i1 =1
N
X
! qm−1
q
m
|T (ei1 , . . . , eim )|qm
 qq21  q11
√

· · ·   ≤ ( 2)m−1 ||T || ,
im =1
com
(q1 , . . . , qm ) = (1, 2, . . . , 2) .
Usando o Teorema 3.3, é possı́vel obter as mesmas estimativas para os expoentes
(q1 , . . . , qm ) = (2, 1, . . . , 2) , . . . , (2, 2, . . . , 1) .
69
3. Aplicações da Desigualdade de Hölder com normas mistas
Voltemos então ao exemplo. Aplicando o corolário de Hölder (1.3) com
q (1) = (1, 2, 2)
q (2) = (2, 1, 2)
q (3) = (2, 2, 1)
segue que


N
N
N
3
X X X
|T (ei , ej , ek )| 2

i=1
j=1
! 32 . 23  32 . 32
 23



k=1

 q11(k) θk
 qq1 (k)

q2 (k)
!
2 (k)
q3 (k)
3  X
N
N
N

Y




X X
q3 (k)


≤
|T
(e
,
e
,
e
)|
 .



i j k



i=1
j=1
k=1
k=1
Assim,



N
X

N
X
N
X

i=1
j=1
! 32 . 23  32 . 23
 23
3
|T (ei , ej , ek )| 2



k=1


1 1 θ1

2 2
!
2
N
N
N
X
X
X

2


 
≤ 
|T (ei , ej , ek )|


i=1
j=1
k=1

1 θ2
2 2

1 1
!
2
N
N
N
X
X

X
2

 

.
|T
(e
,
e
,
e
)|


i
j
k


i=1
j=1
k=1

1 θ3
2 2

2 2
!
1
N
N
N
X
X

X
1

 

. 
|T (ei , ej , ek )|
 
 .
i=1
j=1
k=1
70
3. Aplicações da Desigualdade de Hölder com normas mistas
Pelos resultados anteriores,
N
X

! 23
|T (ei , ej , ek )|

N
N
N
3
X X X
=
|T (ei , ej , ek )| 2
3
2
! 32 . 23  32 . 23
def
i=1
i,j,k=1
j=1

 23


k=1
θ1 θ2 θ3
√ 2
√ 2
√ 2
≤
2 . ||T ||
2 . ||T ||
2 . ||T ||
.
.
.
Como θ1 + θ2 + θ3 = 1 segue que,
N
X
! 32
|T (ei , ej , ek )|
3
2
≤
√ 2
2 . ||T || .
i,j,k=1
Vejamos o caso geral da Bohnenblust-Hille com o auxı́lio do corolário de Hölder
interpolativo. A desigualdade nos diz que dado inteiro m ≥ 1, existe uma constante
K
≥ 1 tal que
Cm
! m+1
2m
∞
X
|T (ei1 , . . . eim )|
2m
m+1
≤ Cm . ||T || ,
i1 ,...,im =1
Para toda aplicação m−linear contı́nua T : c0 × · · · × c0 −→ K. De fato, consi2m
, ∀ i = 1, . . . , m e seja q (k) =
deremos r = (r1 , . . . , rm ) ∈ (0, ∞]m , com ri = m+1
2m−2
, . . . , 2, . . . , 2m−2
, com 2 nak−ésima posição,
k = 1, . . . , N . Considerando
θk = m
m
1
, para todo k, podemos escrever r11 , . . . , r1m na envoltória convexa de q11(k) , . . . , qm1(k) ,
m
para k = 1, . . . , N . Ou seja,
1
2m
m+1
= (m − 1) .
1 1
1 1
. 2m−2 + . .
m m
m 2
Aplicando o corolário (1.3) obtemos,



∞
X

· · ·
i1 =1
∞
X
! rm−1
r
m
|T (ei1 , . . . eim )|rm
 rr1  r11
2


···

im =1


N
∞

Y X 
≤

· · ·
i =1
k=1
1
∞
X
! qm−1 (k)
qm (k)
|T (ei1 , . . . eim )|
im =1
71
qm (k)
 q11(k) θk
 qq1 (k)
(k)
2





···
 .


3. Aplicações da Desigualdade de Hölder com normas mistas
Com o auxı́lio do teorema 3.3 e a Desigualdade de Khinchine, temos
! m+1
2m
∞
X
|T (ei1 , . . . eim )|
2m
m+1
i1 ,...,im =1
≤
N
Y
k=1



∞
X

· · ·
i1 =1
∞
X
! 21 . 2m−2
m
|T (ei1 , . . . eim )|2
im =1
≤ (Cm . ||T ||)θ1 +···θN
= Cm . ||T || .
72
m θk
 2m−2

···

Apêndice
Com o intuito de tornar o trabalho mais completo, dedicaremos esta seção para
demonstrar alguns resultados que foram cruciais durante o seu desenvolvimento. Além
disso, como mencionamos no capı́tulo 1, exibiremos o nosso principal resultado conhecido como Desigualdade de Hölder com normas mistas envolvendo o espaço das funções
mensuráveis. Neste resultado, o leitor perceberá que a ideia da prova é exatamente a
mesma que foi mostrada no referido capı́tulo para o espaço de sequências, á exceção
de pequenas modificações.
Teorema 3.13. (Desigualdade de Hölder com normas mistas ) Sejam r =
(r1, · · · , rm ) ∈ (0, +∞]m e p(1) = (p1 (1), ...pm (1)), · · · , p(N ) = (p1 (N ), · · · pm (N )) ∈
(0, +∞]m tal que
1
1
1
=
+ ... +
, para j = 1, ..., m.
rj
pj (1)
pj (N )
(3.10)
Se fk ∈ Lp(k) (X), para k = 1, ..., N , então f1 f2 · · · fN ∈ Lr (X) e, além disso,
||f1 f2 · · · fN ||r ≤ ||f1 ||p(1) · · · ||fN ||p(N )
Demonstração. Procederemos usando indução sobre m. Por simplicidade de notação,
consideraremos apenas o caso em que p (k) ∈ (0, ∞)m , para k = 1, . . . , N . Note
que para m = 1, temos a versão clássica da Desigualdade de Hölder. Analisemos o
caso m = 2. Sejam fk (x1 , x2 ) ∈ L(p1 (k),p2 (k)) (X), k = 1, ..., N funções mensuráveis,
r = (r1 , r2 ) ∈ (0, ∞]2 e
1
1
1
=
+ ···
r1
p1 (1)
p1 (N )
1
1
1
=
+ ···
r2
p2 (1)
p2 (N )
(3.11)
(3.12)
Para todo x1 fixo, por hipótese, f1 (x1 , ·) ∈ Lp2 (1) (X2 ) , . . . , fN (x1 , ·) ∈ Lp2 (N ) (X2 ).
Por 3.12 e pela Desigualdade de Hölder, segue que (f1 (x1 , ·) · · · fN (x1 , ·)) ∈ Lr2 (X2 )
73
3. Aplicações da Desigualdade de Hölder com normas mistas
e, além disso,
||f1 (x1 , ·) · · · fN (x1 , ·)||r2 ≤ ||f1 (x1 , ·)||p2 (1) · · · ||fN (x1 , ·)||p2 (N ) .
Ou seja,
 r1

2
Z
r2
|f1 (x1 , ·) · · · fN (x1 , ·)| dµ2 

X2
1

 p 1(1)

 p (N
)
2
2
Z
Z
p
(1)
p
(N
)
≤  |f1 (x1 , ·)| 2 dµ2 
· · ·  |fN (x1 , ·)| 2 dµ2 
.
X2
X2
Definamos gk : X1 −→ K por
 p 1(k)

2
Z
p2 (k)
|fk (x1 , ·)|
gk (x1 ) = 
def
= ||fk (x1 , ·)||p2 (k)
dµ2 
X2
com k = 1, ..., N . Ou seja, gk ∈ Lp1 (k) (X1 ). Elevando ambos os membros da desigualdade a r1 , integrando em X1 , e em seguida elevando ambos os membros a
obtemos,

Z


X1
 r1

 rr1
1
2
Z
 |f1 (x1 , ·) · · · fN (x1 , ·)|r2 dµ2  dµ1 

X2
 
 r1

 p r(1)
 p r(N
1
1
1
)
2
2
Z Z
Z
 

≤
|f1 (x1 , ·)|p2 (1) dµ2 
· · ·  |fN (x1 , ·)|p2 (N ) dµ2 
dµ1  .
X1
X2
X2
Ou seja,

 rr1

Z

||f1 · · · fN ||(r1 ,r2 ) = 
X1
Z

2
|f1 (x1 , ·) · · · fN (x1 , ·)|r2 dµ2 
 r1
1

dµ1 
X2


r1
 r1
 p 1(k)
1
2
Z Y
Z
N




≤
|fk (x1 , ·)|p2 (k) 
dµ2  dµ1 

X1 k=1
X2
 "
 r1

 r1
# r1
1
1
Z Y
Z
N
r1




=
gk (x1 ) dµ1
=
[g1 (x1 ) · · · gN (x1 )] dµ1
.
X1
k=1
X1
74
1
r1
3. Aplicações da Desigualdade de Hölder com normas mistas
Uma vez que cada função mensurável gk (x1 ) ∈ Lp1 (k) (X1 ), k = 1, ..., N , podemos então
aplicar a Desigualdade de Hölder usando (3.11)
 r1

1
Z
r
1
 [g1 (x1 ) · · · gN (x1 )] dµ1 
X1
 p 1(1)

Z
≤

1
p
Z
|g1 (x1 )|p1 (1) dµ1 
|gN (x1 )|p1 (N ) dµ1 
···
X1
1
1 (N )
.
X1
Logo,



Z

X1
 r1
 rr1

Z
1
2
|f1 (x1 , ·) · · · fN (x1 , ·)|r2 dµ2 

dµ1 
X2

 r1
1
Z
r
1
≤  [g1 (x1 ) · · · gN (x1 )] dµ1  .
X1
Por conseguinte,



Z

X1
 r1
 rr1

Z
1
2
|f1 (x1 , ·) · · · fN (x1 , ·)|r2 dµ2 

dµ1 
X2
 p11(k)
(k)

 pp1 (k)
2
Z Z
N
Y
 

p2 (k)

|fk (x1 , ·)|
dµ2
dµ1 
.
≤


k=1
X1
X2
Pela definição de norma mista obtemos:
||f1 · · · fN ||(r1 ,r2 ) ≤ ||f1 ||(p1 (1),p2 (1)) · · · ||fN ||(p1 (N ),p2 (N )) .
Logo,
||f1 · · · fN ||r ≤ ||f1 ||p(1) · · · ||fN ||p(N ) .
Dadas f1 ∈ Lp(1) , . . . , fN ∈ Lp(N ) , suponhamos por hipótese, que o resultado seja
válido para m − 1. Mostremos que o mesmo é válido para m. Fixemos x1 ∈ X1 . Pela
definição dos espaços Lp (X) com norma mista, segue que
def
fkx1 = fk (x1 , ·, · · · , ·) ∈ L(p2 (k),...,pm (k)) (X) , para k = 1, ..., N .
Aplicando a Desigualdade de Hölder com a equação 3.10, para j = 2, . . . , m, pela
75
3. Aplicações da Desigualdade de Hölder com normas mistas
hipótese de indução garantimos que
(f1x1 · · · fNx1 ) ∈ L(r2 ,...,rm ) (X) ,
e, além disso,
||f1x1
· · · fNx1 ||(r2 ,...,rm )
≤
N
Y
||fk (x1 , ·, · · · , ·)||(p
.
2 (k),...,pm (k))
k=1
Ou seja,





Z
|f1x1 · · · fNx1 |rm dµm 
 
· · ·
X2
2
3
m
Z
 r1
 rr2
 rm−1
r


···

dµ2 

(3.13)
Xm




Z
N Z
Y

  
|fkx1 |pm (k) dµm 
≤
 · · ·

k=1
X2
 p21(k)
 pp2 (k)
(k)
pm−1 (k)
pm (k)
3


dµ2 


···

Xm
Definamos gk : X1 −→ K, k = 1, ..., N por,


(k)
 pm−1
p (k)

Z
Z 
  
gk (x1 ) =  · · ·
|fkx1 |pm (k) dµm 

X2
 p21(k)
 pp2 (k)
(k)
3
m


dµ2 


···

Xm
def
= ||fkx1 ||(p2 (k),...,pm (k)) .
Com isso,





Z
X2
 rr2
 rm−1
r

Z
 
· · ·
3
m
|f1x1 · · · fNx1 |rm dµm 

···
 r1
2

dµ2 

Xm
≤ g1 (x1 ) · · · gN (x1 ) = |g1 (x1 ) · · · gN (x1 )| .
Elevando ambos os membros da desigualdade 3.13 a r1 , integrando em X1 , e em seguida
76
3. Aplicações da Desigualdade de Hölder com normas mistas
elevando ambos os membros a



1
r1
obtemos,
X1
X2


dµ1 


dµ2 


···
1
2
3
m
Z
Z Z
   
|f1x1 · · · fNx1 |rm dµm 
  · · ·

 r1
 rr1
 rr2
 rm−1
r

Xm
 r1

1
Z
≤
r1
|g1 (x1 ) · · · gN (x1 )| dµ1 
.
X1
Note que para cada k = 1, ..., N , cada função mensurável gk (x1 ) ∈ Lp1 (k) (X1 ). Então,
aplicando a Desigualdade de Hölder com (3.11) temos o seguinte:

Z "Y
N

X1
 r1
#r1
1
dµ1 
gk (x1 )
1
 p 1(1)
 p (N


)
1
1
Z
Z
p
(1)
p
(N
)
≤  |g1 (x1 )| 1 dµ1 
· · ·  |gN (x1 )| 1 dµ1 
.
k=1
X1
X1
Isto significa mais precisamente que,



Z
Z Z
   
|f1x1 · · · fNx1 |rm dµm 
  · · ·

X1
X2


N Z
Y

≤


k=1 X
1

···


dµ1 


dµ2 

Xm


Z
Z 
  
|fkx1 |pm (k) dµm 
 · · ·

X2
3
Xm
1



dµ1 


m

···

 p 1(k)
 pp12 (k)
(k)
 pp2 (k)
(k)
(k)
 pm−1
p (k)

1
2
3
m
 r1
 rr1
 rr2
 rm−1
r



dµ2 

.
Portanto, pela definição de norma mista, segue que,
||f1 · · · fN ||r = ||f1 · · · fN ||(r1 ,...,rm )
≤ ||f1 ||(p1 (1),...,pm (1)) · · · ||fN ||(p1 (N ),...,pm (N ))
= ||f1 ||p(1) · · · ||fN ||p(N ) .
Lema 3.14. Seja 1 < p < ∞,
(xn )∞
n=1
∈
`w
p
(E) ,
(αn )∞
n=1
∈ `p∗
n
X
e Sn =
αi xi . Então
def
i=1
∞
∞
w
(Sn )∞
n=1 converge. Quando p = 1, o mesmo ocorre para (xn )n=1 ∈ `1 (E) e (αn )n=1 ∈ c0 .
Demonstração. Para tanto, vamos usar o critério de Cauchy para séries. Considere
77
3. Aplicações da Desigualdade de Hölder com normas mistas
m, n ∈ N. Para n > m temos:
n
X
def α i xi .
||Sn − Sm || = i=m+1
Pelo teorema de Hahn-Banach , sabemos que
n
X
αi xi = sup ϕ
ϕ∈BE0 i=m+1
n
X
!
α i xi .
i=m+1
A linearidade de ϕ nos garante que
||Sn − Sm || = sup ϕ
ϕ∈BE 0 n
X
!
αi xi = sup
ϕ∈BE0
i=m+1
!
n
X
|αi ϕ (xi )| .
i=m+1
Pela Desigualdade de Hölder,
sup
ϕ∈BE 0
n
X
!
|αi ϕ (xi )|
≤
i=m+1
n
X
!
|αi |p∗
. sup
ϕ∈BE 0
i=m+1
≤
n
X
! p1
1
p∗
!
1
p∗
|αi |p∗
X
|ϕ (xn )|p
n
. ||(xn )∞
n=1 ||p,w .
i=m+1
como
(αn )∞
n=1
n
X
∈ `p∗ , pelo critério de Cauchy Sn =
αi xi converge.
i=1
Vejamos o caso p = 1. Como (αn )∞
n=1 ∈ c0 , para todo > 0, existe N ∈ N tal que
|αn | < , ∀n ≥ N .
Com isso, considerando n > m > N temos
n
X
def ||Sn − Sm || = α i xi .
i=m+1
78
3. Aplicações da Desigualdade de Hölder com normas mistas
Pelo Teorema de Hahn-Banach
n
X
αi xi = sup ϕ
ϕ∈BE’ n
X
i=m+1
i=m+1
n
X
≤ sup
ϕ∈BE ’
!
αi xi |αi ϕ (xi )|
i=m+1
n
X
≤ sup |αi | sup
i≥m+1
ϕ∈BE ’
≤ sup |αi | sup
i≥m+1
ϕ∈BE ’
|ϕ (xi )|
i=m+1
∞
X
|ϕ (xi )|
i=1
≤ ||(xn )∞
n=1 ||1,w .
Ou seja,
(Sn )∞
n=1
é de Cauchy em E, e portanto, converge. Logo, Sn =
n
X
αi xi converge.
i=1
Lema 3.15. A correspondência u → (uen )n define um isomorfismo isométrico de
L `p∗ , E em `w
p (E) quando 1 < p < ∞. Para p = 1, o isomorfismo isométrico é
de L (c0 , E) em `w
1 (E).
Demonstração. Consideremos inicialmente o caso 1 < p < ∞. Seja Ψ : L `p∗ , E −→
`w
p (E) a correspondência definida por
Ψ (u) = (uen )n .
Note que Ψ é claramente linear, pois, dados u1 , u2 ∈ L `p∗ , E e λ ∈ K temos:
Ψ (u1 + λu2 ) = ((u1 + λu2 ) en )n
= ((u1 en ) + (λu2 en ))n
= (u1 en )n + λ (u2 en )n
def
= Ψ (u1 ) + λΨ (u2 ) .
Agora, vamos mostrar que Ψ está bem definida. De fato, observe que (en )n ∈ `w
`
∗
p
p
0
e ||(en )n ||p,w = 1, uma vez que dado ϕ ∈ `p∗ , é sempre possı́vel enxergá-lo como uma
sequência (ϕ (en ))n em `p através da identificação natural existente entre os referidos
espaços. E daı́,
∞
X
def
|ϕ (en )|p = ||ϕ (en )||pp
n=1
79
isometria
=
||ϕ||p < ∞.
3. Aplicações da Desigualdade de Hölder com normas mistas
Além disso, dado f ∈ E 0 note que,
∞
X
|f (uen )|p =
n=1
∞
X
|(f ◦ u) (en )|p < ∞,
n=1
0
f
u
onde a finitude é possı́vel pelo fato de que (f ◦ u) : `p∗ −→ E −→ K ∈ `p∗ e
w
(en )n ∈ `w
p `p∗ . Decorre daı́ que (f (uen ))n ∈ `p , isto é, (uen )n ∈ `p (E). Logo, Ψ está
bem definida.
w
Vejamos a sobrejetividade de Ψ. Considere x = (xn )∞
n=1 ∈ `p (E) e o operador
u : `p∗ −→ E definido por
u ((αn ))∞
n=1 =
X
α n xn .
n
O lema anterior (3.14) nos garante que u está bem definido. Claramente u é linear,
pois, tomando (αn )n , (βn )n ∈ `p∗ e λ ∈ K obtém-se:
u ((αn )n + (λβn )n ) = u ((αn + λβn )n )
X
=
(αn + λβn ) xn
n
=
X
=
X
αn xn + λβn xn
n
X
αn xn + λ βn xn
n
n
def
= u (αn ) + λu (βn ) .
Além disso, u é limitado, pois,
||u ((αn ))∞
n=1 ||
!
X
X
X
ϕ∈E 0
Hahn-Banach
αn xn = sup αn ϕ (xn ) .
= αn xn =
sup ϕ
ϕ∈BE 0 ϕ∈BE 0 n
n
n
No entanto, pela desigualdade triangular tem-se que,
X
X
sup αn ϕ (xn ) ≤ sup
|αn ϕ (xn )| .
ϕ∈BE0 n
ϕ∈BE 0 n
Como (αn )n ∈ `p∗ e (ϕ (xn ))n ∈ `p , aplicando a Desigualdade de Hölder segue que
! p1
sup
ϕ∈BE 0
X
|αn ϕ (xn )| ≤ ||(αn )|| ∗ . sup
p
n
ϕ∈BE 0
X
n
= ||(αn )||p∗ . ||(xn )||p,w .
80
|ϕ (xn )|p
3. Aplicações da Desigualdade de Hölder com normas mistas
Ou seja,
||u (αn )|| ≤ ||(αn )|| ∗ . ||(xn )||p,w .
p
Com isso, concluı́mos que u ∈ L `p∗ , E e que Ψ (u) = x, determinando a sobrejetividade de Ψ. Para concluirmos a demonstração, verificaremos que Ψ preserva a norma.
De fato,
def
||Ψ (u)|| = ||(uen )n ||p,w = sup ||(ϕ (uen )n )||p
H-Banach
=
ϕ∈BE 0
sup
sup |φ (ϕ (uen )n )| .
ϕ∈BE 0 φ∈B
(`p )0
Como (`p )0 e `p∗ são isometricamente isomorfos, isto nos permite que,
sup sup |φ (ϕ (u.en )n )| = sup
ϕ∈BE 0 φ∈
(`p )
Pelo lema anterior, (3.14),
sup
ϕ∈BE 0 (αn )n ∈B`
0
k
X
p∗
X
α
ϕ
(ue
)
n
n .
n
αn uen converge. Pela continuidade de ϕ e pela definição
n=1
de u, tem-se,
X
α
ϕ
(ue
)
n
n = |ϕ (u (αn ))| .
n
Com isso,
X
sup |ϕ (u. (αn ))|
sup sup αn ϕ (u.en ) = sup
ϕ∈BE0 (αn )n ∈B` ∗
ϕ∈BE 0 (αn )n ∈`p∗
n
p
=
sup |ϕ (u. (αn ))|
sup
(αn )n ∈B`p∗ ϕ∈BE 0
H-Banach
=
sup
||u. (αn )||
(αn )n ∈B`p∗
def
= ||u|| .
Consequentemente, ||Ψ (u)|| = ||u|| e Portanto, Ψ é isometria.
Tratemos agora o caso p = 1. Seja
Ψ : L (c0 , E) −→ `w
1 (E)
definido por
Ψ (u) = (u.en )n
Análogo ao caso anterior, é fácil ver que Ψ é linear. Note que Ψ está bem definida,
81
3. Aplicações da Desigualdade de Hölder com normas mistas
pois, dado ϕ ∈ E 0 temos,
X
|ϕ (uen )| =
X
n
|ϕ ◦ u (en )| < ∞
n
u
ϕ
onde a finitude é justificada pelo lema (3.14), já que ϕ ◦ u : c0 −→ E −→ K ∈ (c0 )0
w
e (en )n ∈ `w
1 (c0 ). Ou seja, (uen )n ∈ `1 (E), caracterizando a boa definição de Ψ.
w
Constatemos que Ψ é sobrejetiva e limitada. De fato, seja x = (xn )∞
n=1 ∈ `1 (E) e
considere u ∈ L (c0 , E) definido por
u ((αn )∞
n=1 ) =
X
αn xn .
n
Novamente pelo lema (3.14), garantimos que u está bem definido. Além disso,
!
X
X
H-Banach
α
x
ϕ
α
x
)||
=
=
sup
||u ((αn )∞
n n
n n n=1
n
ϕ∈BE 0 n
!
X
≤ sup
|αn ϕ (xn )|
ϕ∈BE 0
n
!
≤ ||(αn )∞
n=1 ||c0 . sup
ϕ∈BE 0
X
|ϕ (xn )|
n
def
∞
= ||(αn )∞
n=1 ||c0 . ||(xn )n=1 ||1,w
assegurando que u é limitado, Ψ (u) = x e que Ψ é sobrejetiva. Agora, vejamos que Ψ
preserva a norma.
||Ψ (u)||1,w = ||(uen )||1,w
X
X
|ϕ ◦ u (en )|
= sup
|ϕ (uen )| = sup
ϕ∈BE 0
ϕ∈BE 0
n
X ϕ ◦ u
= ||u|| . sup
(en )
||u||
ϕ∈BE 0 n
X
≤ ||u|| . sup
|Φ (en )|
Φ∈B(c
def
=
0
0)
n
||u|| . ||(en )∞
n=1 ||1,w
= ||u||
82
n
3. Aplicações da Desigualdade de Hölder com normas mistas
Por outro lado,
||Ψ (u)||1,w = ||(uen )||1,w
X
= sup
|ϕ (uen )| = sup ||ϕ (uen )||1 .
ϕ∈BE 0
ϕ∈BE 0
n
Usando o fato conhecido de que (`1 )0 = `∞ e o teorema de Hahn-Banach obtemos,
X
|βn ϕ (uen )|
sup ||ϕ (uen )||1 = sup sup ϕ∈BE 0
ϕ∈BE 0 (βn )∈`∞
n
X
c0 ⊂`∞
|βn ϕ (uen )|
≥ sup sup ϕ∈BE 0 (βn )∈c0
n
!
X
βn u (en ) = sup sup ϕ
ϕ∈BE 0 (βn )∈c0
n
!
X
βn u (en ) = sup sup ϕ
(βn )∈c0 ϕ∈BE 0
n
X
H-Banach
=
sup βn u (en )
(βn )∈c0 n
!
X
βn en = sup u
(βn )∈c0 n
def
= ||u|| .
Portanto,
||Ψ (u)|| = ||u|| .
83
Referências Bibliográficas
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