Morto ou vivo - o Experimento.indd - Matemática multimídia

números
e funções
O experimento
Experimento
Morto ou vivo?
Objetivos da unidade
1. Reforçar conceitos de múltiplos e divisores;
2. Obter a quantidade de divisores de um número natural.
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Secretaria de
Educação a Distância
Ministério da
Ciência e Tecnologia
Ministério
da Educação
Governo Federal
O experimento
Morto ou vivo?
Sinopse
Neste experimento, a classe desenvolverá uma atividade para estudar o
conceito de divisibilidade. Nela, aprenderão como calcular a quantidade
de divisores de um número e, com isso, descobrirão uma característica
importante que define os quadrados perfeitos, pois eles são os únicos
números que possuem uma quantidade ímpar de divisores.
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Conteúdos
Conjuntos, Lógica e Números: Divisibilidade;
Combinatória: Princípio Fundamental da Contagem.
Objetivos
1. Reforçar conceitos de múltiplos e divisores;
2. Obter a quantidade de divisores de um número natural.
Duração
Uma aula dupla.
Introdução
O Morto ou Vivo é uma brincadeira antiga
na qual crianças seguem o comando de
um chefe: quando o chefe diz “vivo”, todos
ficam de pé e, quando o chefe diz “morto”,
todos ficam sentados.
Neste experimento, os alunos desen­
vol­verão uma atividade muito parecida
com essa brincadeira. O chefe será um
dos alunos, enquanto os outros serão nume­
rados e obedecerão aos seguintes comandos:
quando o chefe disser um número, os alunos
cuja numeração for um múltiplo do número
dito deverão alterar seu estado (sentar-se
ou se levantar).
Com a brincadeira, os alunos estudarão
o conceito de divisores e múltiplos. Também
aprenderão como se calcula a quantidade
de divisores de um número a partir de sua
fatoração e, com isso, descobrirão uma parti­
cularidade sobre aqueles números que são
quadrados perfeitos!
Morto ou vivo?
O Experimento 2 / 9
E;nf[h_c[dje
Material necessário
Lápis;
Borracha;
Caderno.
fig. 1
Cehjeekl_le5
O jogo
Escolha um líder dentre um grupo de alunos e numere o restante de a .
Considerando que os alunos iniciarão a
brincadeira sentados, proponha a seguinte
brincadeira:
Quando o líder falar um número, todos
os alunos que possuem números múltiplos
dele alterarão sua posição.
Há uma alternativa
para o desenvolvimento
deste experimento:
fazê-lo usando cartões
numerados. Veja o Guia
do Professor!
Quando dizemos “alterar a posição”,
queremos dizer que, se o aluno estiver em
pé, ele deve se sentar; e, se o aluno estiver
sentado, ele deve se levantar.
Preparação
É provável que não dê para executar o experimento em sala de aula por conta do espaço.
Por conta disso, sugerimos levar os alunos
para um espaço amplo onde seja possível
a realização da atividade. Peça para que
levem lápis, caderno e borracha.
Assim que o local estiver definido, divida
a classe em grupos de 10 alunos (ou mais)
e entregue uma Folha do Aluno para cada
grupo. Depois, peça para que eles nomeiem
A quantidade de alunos
por grupo é importante
para o desenvolvimento
do experimento. Faça com
que cada grupo tenha,
no mínimo, 10 alunos.
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) % /
um aluno do grupo para ser o líder e
numerem os outros componentes de a ,
sendo a quantidade de pessoas
no grupo.
Para facilitar, peça para eles se
identificarem de alguma maneira, como, por
exemplo, escrevendo seu número em uma
folha de caderno.
fig. 2
Como deixar apenas
um número vivo?
Nesta etapa, os alunos apenas farão uma
atividade de familiarização com o jogo.
Seguindo a regra – os múltiplos do número
falado pelo líder deverão alterar sua posição
– eles deverão resolver um problema como
este:
Cehjeekl_le5
etapa
'
Questão para os alunos
Quais números devo falar para que apenas
fique em pé?
o aluno de número
Essa pergunta também está presente
na Folha do Aluno. Os alunos deverão
preencher a lacuna segundo um número
de sua escolha, ou seja, está a seu critério
o número com o qual os alunos farão
o problema.
Como exemplo, faremos o problema
com o número 3 em um grupo de 10 alunos
(sem considerar o líder). Para solucioná-lo,
é possível seguir o seguinte raciocínio:
Se preferir, cada grupo
pode receber um número
diferente para a solução
da questão.
Início
fig. 3
Para o aluno de número 3 ficar em pé, é
preciso ditar o comando 3. Com isso, todos
os números múltiplos de três se levantarão:
3, 6 e 9.
E;nf[h_c[dje
* % /
3:
fig. 4
Já que nosso objetivo é deixar apenas
o número 3 em pé, precisamos pensar uma
nova estratégia para os outros se sentarem.
No grupo de 10 alunos que temos, o 6 é
múltiplo apenas dele mesmo, o que significa
que se o comando 6 for enunciado, ele,
e apenas ele, se sentará.
6:
fig. 5
Novamente, como no grupo de 10 alunos
apenas o 9 é múltiplo dele mesmo, basta
Cehjeekl_le5
que o comando 9 seja acionado. Assim,
o aluno de número 9 se senta e o problema
é solucionado!
9:
fig. 6
etapa
Morto ou vivo?
(
Nesta etapa, seguindo a regra do jogo, o líder
deve falar todos os números de a . Antes
de iniciar a brincadeira, lance o seguinte
desafio aos grupos:
Desafio
Ao final da brincadeira, quais são os números
dos alunos que ficarão em pé?
E;nf[h_c[dje
+ % /
?
fig. 7
Quando terminarem a atividade, os grupos
deverão responder às seguintes perguntas
presentes na Folha do Aluno:
Questão para os alunos
1. Quais são os números dos alunos que
ficaram em pé?
2. O que define se alguém fica sentado ou
em pé?
3. Qual é o número do aluno que se levantou
e se sentou mais vezes?
4. Responda novamente às perguntas anteriores
considerando a classe inteira, ou seja,
alunos.
Os números dos alunos que ficarão em pé
são quadrados perfeitos. Além disso, o que
define quem fica em pé é o número de vezes
que a pessoa altera sua posição: para alguém
ficar em pé, é necessário alterar a posição
um número ímpar de vezes e, para alguém
Cehjeekl_le5
!
Estamos considerando
que todos os alunos
iniciaram a brincadeira
sentados.
ficar sentado, é necessário alterar a posição
um número par de vezes.
Ajude os grupos a perceber que a quantidade de vezes que o aluno altera sua posição
é igual à quantidade de divisores positivos
do seu número. Com isso, podemos concluir
que o aluno que se levantou e se sentou mais
vezes é aquele que possui uma quantidade
maior de divisores. Ademais, o que define se
alguém fica em pé ou sentado é a quantidade
ímpar ou par de divisores.
Incentive a discussão
entre os alunos do grupo
antes de falar da quantidade de divisores!
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Logo que os alunos terminarem a Etapa 2,
retorne para a sala de aula e faça o
Fechamento. Peça para que os grupos
verifiquem as anotações que fizeram e digam
os números dos alunos que ficaram em pé.
Essas informações devem ser anotadas na
lousa.
Também é importante relembrar que todos
os números são quadrados perfeitos e o que
define se alguém fica em pé ou sentado é
a quantidade ímpar ou par de divisores do
número. Com isso, é possível concluir da
seguinte maneira:
Os números que são quadrados perfeitos,
e apenas eles, possuem uma quantidade
ímpar de divisores.
E;nf[h_c[dje
, % /
Abaixo segue a demonstração desse
resultado a partir de um método utilizado
para calcular a quantidade de divisores
de um número natural. Essa prova é muito
importante para que os alunos entendam
os conceitos envolvidos.
Quantidade de divisores
Primeiramente, como calcular a quantidade
de divisores de um número qualquer, 8400,
por exemplo. Para isso, fatoramos o número
para saber como expressá-lo na forma de
multiplicação de fatores primos.
8400 2
4200
2
2100
3
700
7
100
5
20
5
4
2
2
2
1
Os fatores primos dos divisores de
um número são também os fatores primos
desse número. Portanto, no nosso exemplo,
formaremos um divisor quando usarmos
os fatores primos 2, 3, 5 e 7 com expoentes
específicos: para o fator 2, o expoente pode
assumir cinco valores (0, 1, 2, 3 ou 4); para
os fatores 3 e 7, o expoente pode assumir
dois valores (0 ou 1); e para o fator 5, o expoente pode assumir três valores (0, 1 ou 2).
Cehjeekl_le5
Agora, usando o Princípio Fundamental
da Contagem, temos:
opções para escolha dos expoentes e,
portanto, 60 divisores para 8400.
Podemos utilizar o mesmo procedimento
para descobrir o número de divisores de
qualquer número inteiro positivo. Deste
modo, temos que:
A quantidade de divisores positivos de
um número natural é igual ao produto
dos expoentes dos números primos que
aparecem em sua fatoração, adicionando
a cada um deles uma unidade.
Quando um número tem uma quantidade
ímpar de divisores?
A multiplicação citada acima terá um resultado ímpar apenas quando todos os seus
termos forem ímpares. Para isso, o valor
do expoente deverá ser par, já que lhe será
adicionada uma unidade.
Os números que apresentam todos os
expoentes pares são chamados quadrados
perfeitos e, deste modo, obtemos o resultado
anterior:
Os números quadrados perfeitos, e apenas
eles, possuem um número ímpar de
divisores.
E;nf[h_c[dje
- % /
Maior quantidade de divisores
Como vimos anteriormente, o número
que se levantou e se sentou mais vezes é
o que possui o maior número de divisores.
Para verificar tal fato, não há regra prática
disponível: a única forma é calcular a quantidade de divisores de cada número e,
depois, compará-las.
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. % /
Ficha técnica
Autoras
Maria Lúcia Bontorim de Queiroz,
Claudina Izepe Rodrigues e
Eliane Quelho Frota Rezende.
Coordenação de redação
Rita Santos Guimarães
Redação
Thaisa Aluani
Projeto gráfico
Preface Design
Ilustrador
Lucas Ogasawara de Oliveira
Fotógrafo
Augusto Fidalgo Yamamoto
Universidade Estadual
de Campinas
Reitor
José Tadeu Jorge
Vice-Reitor
Fernando Ferreira da Costa
Grupo Gestor
de Projetos Educacionais
(ggpe – unicamp)
Coordenador
Fernando Arantes
Gerente Executiva
Miriam C. C. de Oliveira
Revisores
Matemática
Antônio Carlos Patrocínio
Língua Portuguesa
Carolina Bonturi
Pedagogia
Ângela Soligo
Matemática Multimídia
Coordenador Geral
Samuel Rocha de Oliveira
Coordenador de Experimentos
Leonardo Barichello
Instituto de Matemática,
Estatística e Computação
Científica (imecc – unicamp)
Diretor
Jayme Vaz Jr.
Vice-Diretor
Edmundo Capelas de Oliveira
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