Resumos de Mecânica Aplicada

−−→ −→
− e a direcção da resultante, se
• tem norma MO · λ→
R
não nulo,
ESTÁTICA
Para que um sistema de forças esteja em equilíbrio (seja
• é nulo se o invariante escalar o for,
equivalente a zero) é nessário que:
−
→ X−
→ −
→
• ocorre no eixo central.

R =
Fi = 0


i
O eixo central é o conjunto dos pontos Q que satisfazem:
−−→ X −−→ −
→ −
→


M
=
OPi × Fi = 0
 O
→ −−→
−
i
→
−
R × MO
λ∈R
Q=O+
→ 2 + λR,
−
kRk
onde o ponto O é um ponto arbitrário e Pi é o ponto de
→
−
aplicação da força Fi (note-se que se o momento resulCálculo de momentos de forças:
tante em O for nulo, sê-lo-á em todos os pontos).
Quando um sistema está em equilíbrio, também o estão
as suas partes, que podem estudar-se separadamente.
• Produto externo (definição geral)
−−→ −−→ −
→
MO = OP × F
−−→
−−→ −
→
kMO k = kOP kk F k sin θ
−−→ −
→
onde θ é o ângulo entre OP e F .
→ −−→
−
Os vectores R e MO designam-se elementos de redução
do sistema de forças no ponto O.
Dois sistemas de forças dizem-se estaticamente equivalentes se tiverem os mesmos elementos de redução em
todos os pontos do espaço.
• Braço da força
−−→
→
−
kMO k = k F kb,
Fórmula de progação de momentos:
−−→
b = kOP k sin θ
b é a distância do ponto O à linha de acção da força.
−−→ −−→ −
→ −−→
MQ = MO + R × OQ
• Componente perpendicular
−−→
−−→ −−−→
−
→ k
kMO k = kOP kkF−
OP ⊥
O momento de um sistema de forças não varia ao longo
da direcções paralelas ao vector principal.
−−−→
−
→ é a componente de F na direcção peronde F−
OP ⊥
−−→
penficular a OP .
Propriedade projectiva:
−−→ −−→ −−→ −−→
MQ · QO = MO · QO
ESFORÇOS
Os esforços são as forças que, ao seccionar uma peça
linear e descartar uma parte, aplicadas na secção substituem o efeito da parte descartada na parte restante.
Decompõem-se da seguine forma (peça segundo z):
Um sistema tem dois invariantes:
→
−
• invariante vectorial, R
−−→ −
→
• invariante escalar, MO · R
−
→
F =
Casos de redução:
e. transverso
e. transverso
z }| {
→
Vx −
ex
z }| {
→
Vy −
ey
e. flector
+
e. flector
e. normal
z}|{
→
+ N−
ez
e. torsor
{
z}|{
−
→ z }|→{ z }|−
→
M = Mx −
ex + My →
ey + T −
ez
−−→ −
→
• MO · R 6= 0 – sistema é equivalente a força+binário;
não existe qualquer ponto em que o momento se No caso plano (peça segundo z, forças em yOz e moanule
mentos segundo x):
−−→ −
→
→
−
→
→
• MO · R = 0
F =V−
ey + N −
ez
−
→
→
−
→
−
→
−
M = M ex
– R 6= 0 – sistema é equivalente a força única
que passa no eixo central; o momento é nulo
no eixo central
Convenção de esforços:
→
−
– R =0
V
M
−−→ −
(+)
→
∗ MO = 0 – sistema em equilíbrio
N
N
−−→ −
→
∗ MO 6= 0 – sistema é equivalente a binário
V
O momento mínimo:
1
M
• linhas são componentes dos vectores da base antigas nas nova;
Regras dos esforços:
dN
= −q
dz
dV
= −p
dz
dM
=V
dz
B
Z
NB = N A −
q dz
Z
• colunas são componentes dos vectores da nova
base na antiga;
A
B
VB = VA −
p dz
• o módulo das linhas ou das colunas é unitário;
A
Z
B
MB = M A +
• o produto interno entre 2 linhas ou 2 colunas é nulo;
V dz
A
• det A = 1 para transformações directas (−1 c.c.).
REFERENCIAIS MÓVEIS
É necessário incluir nos diagramas de esforços:
Ω = AȦt
→ →
−
→
−̇
e = Ω ×−
e
• máximos e mínimos relativos (incl. troços de grau 0);
i
i
→
P →
δ−
w
= ẇi −
ei
δt
• grau das curvas, se for superior a 1;
• tangentes pararelas à barra.
t
−
→
Ω = Ω32 Ω13 Ω21
P −̇
→ →
−
wi →
ei = Ω × −
w
→
−
→ →
−
δ
w
→
−̇
w =
+ Ω ×−
w
δt
onde Ω é a matriz das velocidades angulares no referen→
−
→
cial móvel, Ω o seu vector dual, −
ei os vectores de base
→
−
do referencial móvel e w um vector arbitrário cujas componentes no referencial móvel são wi .
CINEMÁTICA
Generalidades
−
→
→
v = −̇
x
−
→
→
→
a = −̈
x = −̇
v
Posição, velocidade e aceleração:
an = v 2 /ρ
ω = v/ρ
−
→
→+−
→
x =−
x
r
0
→ →
−
δ
→
→
−
→+ r +−
Ω ×−
r
v = −̇
x
0
δt
→ →
−
2−
→ →
→ δ→
−
→ −
−
r
→
−
→ + δ r + −̇
→
r
a = −̈
x
Ω ×−
r + 2Ω ×
+ Ω × Ω ×−
0
2
δt
δt
onde ω é a velocidade angular, ρ o raio de curvatura e an
a componente da aceleração normal à trajectória.
Coordenadas polares
−
→
−
→
−
→
→
x = r→
er
v = ṙ−
er + rθ̇−
eθ
→
−
→
→
e
a = r̈ − rθ̇2 −
e + rθ̈ + 2ṙθ̇ −
r
→ é a posição da origem do referencial móvel no
onde −
x
0
→
referencial fixo e −
r é a posição da partícula no referencial móvel.
θ
Nos casos particulares dos movimento rectilíneo radial
(θ̇ = 0) e circular (ṙ = 0) tem-se:
CORPOS RÍGIDOS Nos corpos rígidos, as partículas estão solidárias com o referencial móvel e, portanto,
→
−
→
→
−
→
−
v = ṙ−
er
a = r̈−
er
m. rectilíneo radial
δ→
r
δt = 0.
→
−
→
−
→
−
→
→
−
2−
v = rθ̇ eθ a = −rθ̇ er + rθ̈ eθ m. circular
→ −
−
Ω =→
ω
−
−
→ −
→ −−→
Coordenadas curvilíneas
v→
P = vO + ω × OP
−
−
→ −
→ −−→ −
→
→ −−→
−
v2 −
a→
→
→
−
→
−
→
−
→
−
P = aO + α × OP + ω × ω × OP
ω = θ̇
v = ṡ et
a = v̇ et + en
ρ
→
→
onde −
α = −̇
ω é o vector aceleração angular.
MUDANÇAS DE REFERENCIAL
Há um paralelo entre os campos de velocidades e cam−
→ −
→
→
→
→
→
[Ai,j ] = −
ei · −
ej 0 = cos(−
ei ∧ −
ej 0 )
pos de forças, com −
v a fazer o papel de M e →
ω a fazer
→
−
o papel de R .
→
−
→
→
−
→
x = A−
x0
x 0 = At −
x
→
→
→
O invariante vectorial é −
ω e o invariante escalar é −
v0 · −
ω,
X = AX0 At
X0 = At XA
onde O é um ponto arbitrário do corpo rígido.
onde as quantidades com plica dizem respeito às coorPropriedade projectiva (Q e O pontos arbitrários do corpo
denadas dos tensores expressas no novo referencial.
rígido):
−−→ −
−
→ −−→
Propriedades de A (matriz dos co-senos directores):
v→
Q · QO = vO · QO
2
TENSORES DE INÉRCIA O tensor de inércia IO em O
de um corpo rígido é dado por
Z
→
→
→
→
IO =
[(−
r ·−
r )δ − −
r ⊗−
r ] dm
Os pontos Q do eixo helicoidal instantâneo satisfazem:
Q=O+
−
→
ω ×−
v→
O
→
+ λ−
ω,
ω2
λ∈R
M
O eixo helicoidal instantâneo denomina-se eixo instantâ- As componentes do tensor num referencial ortonormado
neo de rotação caso não haja translação instantânea.
centrado em O agrupam-se na matriz de inércia IO :

 O
O
O
Ixx
−Pxy
−Pxz
Casos de redução:
O
O
O
Iyy
−Pyz
IO = −Pxy
O
O
O
−Pxz −Pyz
Izz
→
−
• −
v→
O · ω 6= 0 – rotação e translação instantâneas
As componentes diagonais designam-se por momentos
de inércia e calculam-se integrando o quadrado da distância ao respectivo eixo:
Z
Z
O
2
2
O
Ixx =
(y + z ) dm Iyy =
(x2 + z 2 ) dm · · ·
→
−
• −
v→
O · ω =0
→
−
−
– →
ω =
6 0 – rotação instantânea, velocidade nula
no eixo instantâneo de rotação
→
– −
ω =0
M
→
−
∗ −
v→
O = 0 – translação instantânea
→
−
∗ −
v→ 6= 0 – repouso instantâneo
M
Os simétricos das componentes não diagonais
designam-se por produtos de inércia:
Z
Z
Z
O
O
O
Pxy =
xy dm Pxz =
xz dm Pyz =
yz dm
O
→
A velocidade mínima −
v−
min ocorre no eixo helicoidal instantâneo e é dada por:
M
M
M
O
O
xy plano de simetria ⇒ Pxz
= Pyz
=0
→ −→
−
→= −
→·−
→
−
−
v−
v
λ
P
min
ω λ→
ω
O
O
xz plano de simetria ⇒ Pxy
= Pyz
=0
O
O
yz plano de simetria ⇒ Pxy
= Pxz
=0
→
→
Caso plano O invariante escalar −
v ·−
ω é nulo e exis→
−
tem portanto pontos onde v = 0 (no eixo instantâneo de
rotação, que tem a direccção perpendicular ao plano).
O momento de inércia Iλ de um corpo rígido em relação
a um eixo arbitrário λ é dado por:
Z
Iλ =
d2λ dm
São válidas as seguintes igualdades:
M
→ −
−
→
Iλ = λ t IO λ ,
→
−
k−
v→
P k = k ω kR
−−→
−−→
−
→
a→ = −
a→ + −
α × OP − ω 2 OP
se O ∈ λ
onde dλ é a distância ao referido eixo. O raio de giração
Kλ de um corpo rígido em relação ao eixo λ é definido:
r
onde R é a distância do ponto P ao eixo instantâneo de
Iλ
rotação e o O, P pontos arbitrários do corpo rígido.
Kλ =
M
Conhecida a velocidade em dois pontos do corpo rígido,
a intersecção do eixo instantâneo de rotação com o plano Caso plano A matriz de inércia é então
pode ser encontrada na intersecção das rectas perpen O

O
Ixx
−Pxy
0
diculares a essas duas velocidades e contidas no plano.
O
O

Iyy
0
IO = −Pxy
A este ponto chama-se centro instantâneo de rotação.
O
O
0
0
Ixx + Iyy
DINÂMICA
Z
Z
Z
−
→
O
2
O
2
O
O centro de massa xG de um sistema de partículas de
Ixx =
y dm Iyy =
x dm Pxy =
xy dm
M
M
M
massa total M é dado por:
P
n
1 X −
−
x→
mi →
xi
G =
M i=1
O
ou
1
−
x→
G =
M
Z
O
A quantidade Pxy
anula-se se o eixo dos xx ou eixo dos
yy forem eixos de simetria.
−
−
ρ(→
x )→
x dV
M
O
Frequentemente só importa a componente Izz
da matriz:
t
t
O
·z
IO 0 0 z = 0 0 Izz
consoante a distribuição é discreta (n partículas) ou contínua (corpo rígido, densidade ρ).
3
Teorema dos eixos paralelos Sejam IO e IG as compo- Analogamente, se G for o centro de massa de um corpo
nentes do mesmo tensor de inércia de um corpo rígido rígido e estivermos a trabalhar no referencial do corpo
em referenciais centrados, respectivamente, em O e G rígido (só aí a matriz de inércia IG é constante):
tal que G é o centro de massa do corpo e os eixos de um
−
→
→
G−
M ext
referencial são paralelos aos do outro. Então:
G =I α
−
→
−
→ −
→
IO = IG + M [(−
r→
G · rG ) δ − rG ⊗ rG ]
ENERGIA CINÉTICA A energia cinética T de um sis−−→
−
→
onde rG = OG, δ é a matrix identidade e ⊗ operador tema de partículas é
t
→
−
→
n
bx by bz . Desenvoltal que −
a ⊗ b = ax ay az
X
1
T =
mi vi2
vendo:
2
i=1
O
G
Ixx
= Ixx
+ M d2Gx
O
G
Iyy
= Iyy
+ M d2Gy
···
O
G
Pxy
= Pxy
+ M xG yG
O
G
Pyz
= Pyz
+ M y G zG
···
e de um corpo rígido é
T rot
T transl
T mista
z
}|
{
z }| {
}|
{ 1
z
1
→
−
→
→
−
−
→
→
−
O−
2
T = M vO + vO · ω × M rG + ω · I ω
2
2
onde dGx é a distância de G ao eixo dos xx e xG a ordenada de G.
Se o ponto O for fixo (O ≡ F ) ou se for o centro de massa
QUANTIDADES DE MOVIMENTO Define-se o mo→
−
(O ≡ G), temos, respectivamente:
mento angular P de um sistema de partículas e mo−→ −
1→ F −
mento angular LO (→
ri é a posição da partícula i em relaω
ω ·I →
T = T rot = −
ção ao ponto arbitrário O):
2
1
1 → G→
2
n
n
T = T transl + T rot = M vG
ω ·I −
ω
+ −
→ X −
−
−→ X −
2
2
→
−
→
→
→
−
P =
m v = Mv
L =
r ×m v
i i
G
O
i=1
i
i i
i=1
Em corpos rígidos:
Z
→
−
→
−
P =
v dm = M −
v→
G
No caso plano, T rot simplifica para:
T rot =
−→
→
LO = IO −
ω
1 F 2
I ω
2 zz
M
Teorema das Forças Vivas O trabalho τ1→2 realizado
se O for um ponto fixo ou o centro de massa (caso con−→
pelas forças que actuam num sistema no caminho 1 → 2
−
→
−
→
trário adicionamos a LO o termo M rG × vO ).
é dado por
τ1→2 = T2 − T1
Teoremas das quantidades de movimento
em que Ti é a energia cinética do sistema no instante i.
→
−
−→
→ext
−
−
→
dP
dLO
Se as forças que realizam trabalho forem conservativas,
F =
M ext
O =
então τ1→2 não depende da trajectória e podemos definir
dt
dt
→
−
→
−
uma função V que satisfaz F ext = − ∇V (energia poten→
−
−
→
se O for ponto fixo ou CM, onde F ext e M ext
são
os
eleO
cial). Neste caso, o Teorema das Forças Vivas exprime a
mentos de redução no ponto O.
Lei da Conservação da Energia Mecânica Total:
Na forma impulsional:
Z t2
→ext
−
−
→ −
→
F dt = P2 − P1
Z
T 1 + V1 = T 2 + V 2
MUDANÇAS DE VARIÁVEL
t1
t2
−−→ext
−−→ −−→
MO dt = LO2 − LO1
POLARES
t1
(x, y) = (ρ cos θ, ρ sin θ)
dA = ρ dρ dθ
→
−
−−→
onde Pi é o momento linear total no instante i e LOi é o
momento angular total no ponto O e instante i.
ESFÉRICAS
Lei de Newton Como se pode deduzir dos teoremas
das quantidades de movimento:
(x, y, z) = (ρ cos θ sin φ, ρ sin θ sin φ, ρ cos φ)
dV = ρ2 sin φ dρ dθ dφ
− ext
→
F = M−
a→
G
4