1 Universidade Estadual de Santa Cruz

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Universidade Estadual de Santa Cruz
Departamento de Ciências Exatas e Tecnológicas
Especialização em Matemática - Estruturas Algébricas
Profa .: Elisangela Farias e Sérgio Motta
FUNÇÕES
Sejam X e Y conjuntos. Uma função de X em Y é um terno (f; X; Y ), f : X ! Y ,
sendo f uma relação de X para Y satisfazendo:
(a) Dom(f ) = X,
(b) Se (x; y) 2 f e (x; z) 2 f então y = z:
[Dizemos que função é uma regra que a cada elemento x 2 X, associa um único
elemento y 2 Y . ]
Em notação,
f :X !Y
x 7 ! f (x) = y
Dizemos que y é a imagem de x sob f e que x é a imagem inversa de y sob f.
O conjunto Y é dito contra-domínio da função e não necessariamente coincide com o
conjunto das imagens da função.
Quando é dada uma lei x 7 ! f (x) = y que associa aos elementos de X elementos
de Y; para termos certeza que esta lei de…ne uma função f : X
! Y; devemos veri…car que
efetivamente a cada elemento de X é associado um único elemento de Y: Deve-se mostrar que
se a = b; então f (a) = f (b): Além disso, deve-se garantir ainda que D(f ) = fx 2 X; 9y 2 Y :
f (x) = yg = X:
Exemplos e Contraexemplos
Exemplo 0.1. A função f : X ! X, que ao elemento x associa o próprio x; recebe o
nome de função identidade de X, e é denotada por IdX :
2
Exemplo 0.2. Seja f : X
! Y uma função tal que 9b 2 Y com f (x) = b para todo
x 2 X. Esta aplicação é a função constante.
Exemplo 0.3. Toda função s : N
! A é chamada sequência em A: Costuma-se
escrever sn ao invés de s(n):
Exemplo 0.4. Seja A um conjunto. Uma função qualquer
f :A
A !A
é chamada de operação em A.
Dizemos que a operação é comutativa se f (a; b) = f (b; a); 8(a; b) 2 A
A:
A operação é dita associativa se para todos os elementos a; b; c 2 A se tem f (a; f (b; c)) =
f (f (a; b); c):
Um elemento e 2 A é dito elemento neutro para a operação f se para todo elemento
a 2 A se tem f (a; e) = f (e; a) = a:
Se f possui um elemento neutro e; então um elemento a 2 A é dito simetrizável se
existe b 2 A tal que f (a; b) = f (b; a) = e:
Exemplo 0.5. Seja g : R ! R dada por x 7 !
p
x: Esta regra não é uma função pois
D(g) = R+ 6= R
Exemplo 0.6. Seja g : R
p
! R dada por x 7 !
1
x2 : Esta regra não é uma
função pois D(g) = [ 1; 1] 6= R e existem dois correspondentes para um mesmo valor de x:
Exemplo 0.7. Seja f : R ! R de…nida por f (x) = [x] para todo x 2 R em que [x]
denota o maior inteiro menor ou igual a x: Esta é chamada função maior inteiro.
Exemplo 0.8. Seja A um subconjunto de um conjunto não vazio X: Então a relação
f(x; y) 2 X
f0; 1g; y = 1 se x 2 A e y = 0 se x 2 X
Ag
dá origem a uma função de X em f0; 1g, conhecida como função característica de A :
: X ! f0; 1g
8
< 1 se x 2 A;
A
A (x)
=
: 0 se x 2 X
;
A; .
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Imagens e Imagens Inversas de Conjuntos
Seja f : X ! Y uma função, e sejam A e B subconjuntos de X e Y; respectivamente.
(a) A imagem de A sob f , que denotamos por f (A) é o conjunto de todas as imagens f (x) tais
que x 2 A
f (A) = ff (x); x 2 Ag
(b) A imagem inversa de B sob f , que denotamos por f
imagens dos elementos y 2 B
f
1
1
(B) é o conjunto de todas as pré-
(B) = fx; f (x) 2 Bg
0.1 Teorema. Seja f : X ! Y uma função. Então
(a) f (;) = ;
(b) f (fxg) = ff (x)g
(c) Se A
B
X; então f (A)
(d) Se C
D
Y , então f
1
(C)
f (B)
f
1
(D)
0.2 Teorema. Seja f : X ! Y uma função e seja fA g;
2 I uma família de subconjuntos
de X. Então
(a) f ([
2I A
)=[
2I f (A
)
(b) f (\
2I A
)
\
2I f (A
)
Exemplo 0.9. Sejam X = fa; bg, Y = fcg; I = f1; 2g; A1 = fag; A2 = fbg e seja
! Y a função constante f (a) = f (b) = c: Então f (A1 \ A2 ) = f (;) = ; e f (A1 ) \
f :X
f (A2 ) = fcg:
0.3 Teorema. Seja f : X ! Y uma função e seja fB g;
2 I uma família de subconjuntos
de Y . Então
([
2I B
)=[
2I f
1
(\
2I B
)=\
2I f
1
(a) f
1
(b) f
1
(B )
(B )
Seja f : X ! X uma função e A um subconjunto de X; A
X: Podemos de…nir uma
nova função g : A ! Y com a mesma lei f; isto é, g(x) = f (x) para 8x 2 A
X: Esta função
é chamada de restrição de f a A e é denotada por f jA
Seja A
X: A função identidade x 7 ! x; pode ser vista como a aplicação A ! X,
que é chamada inclusão, e é as vezes denotada por A ,! X:
4
Se B
X eC
Y então toda aplicação g : B ! C tal que g(x) = f (x); 8x 2 X; é
chamada prolongamento de f ao conjunto B.
Exemplo 0.10. Consideremos a função f : R
! R dada por f (x) =
1
; 8x
x
2 R:
Se A = f2; 4; 6; :::g; então f jA = f(2; 12 ); (4; 14 ); :::g é a restrição de f ao conjunto dos números
pares maiores que zero.
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< 0; se x = 0
A função g : R ! R dada por g(x) =
: f (x); se x 2 R
;
é um prolongamento
.
(ou extensão) de f ao conjunto R:
p
x2 + y 2 : Seja R(R C) e
p
seja g : R ! R+ dada por g(x) = jxj: Neste caso, g = f jR pois f (x) = f (x + 0i) = x2 + 02 =
Exemplo 0.11. Seja f : C ! R+ dada por f (x + yi) =
jxj = g(x); 8x 2 R:
Exemplo
0.12. Seja f : Q ! Q dada por x 7 ! x2 : Seja agora g : R ! R dada
8
< f (x) se sex 2 Q; ;
: Então g é uma extensão de f ao conjunto R: Sejam agora
por g(x) =
: x se x 2 R Q; .
S = fx; x 2 Q e 0 6 x 6 1g e h : S ! S(ouQ) dada por x 7 ! x2 : Então h é uma restrição
de f a S:
Funções Injetoras, Sobrejetoras e Bijetoras
0.4 Definição. Uma função f : X ! Y é injetora quando satisfaz:
se x1 ; x2 2 X e f (x1 ) = f (x2 ) então x1 = x2
0.5 Definição. Uma função f : X ! Y é sobrejetora se satisfaz:
se y 2 Y; então existe ao menos um x 2 X tal que f (x) = y:
Em outras palavras, f : X
! Y é sobrejetora se e somente se f (X) = Y , isto é, o
conjunto imagem de X sob f é igual ao contradomínio da função.
Exemplo 0.13. A função f : Z ! Z dada por x 7 ! x + 3 é injetora e sobrejetora.
Exemplo 0.14. A função f : R ! [ 1; 1]; dada por f (x) = sen(x) é sobrejetora mas
não é injetora.
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Exemplo 0.15. A função f : R ! R; dada por f (x) = sen(x) não é sobrejetora nem
injetora.
Exemplo 0.16. A função f : R
! Q; dada por f (x) = [x] não é sobrejetora nem
injetora.
Exemplo 0.17. A função f : R ! Z; dada por f (x) = [x] é sobrejetora mas não é
injetora.
Exemplo 0.18. A função f : R
! R dada por f (x) = x2 não é injetora nem
sobrejetora. Mas,
Exemplo 0.19. A função f : R ! R+ dada por f (x) = x2 é sobrejetora.
0.6 Definição. Uma função f : X ! Y é chamada uma bijeção (ou correspondência um-aum) se for simultaneamente injetora e sobrejetora.
Isto signi…ca que, dado um elemento y 2 Y , existe um único elemento x 2 X tal que
f (x) = y
0.7 Teorema. Seja f : X ! Y uma função injetora e seja fA g;
subconjuntos de X. Então f (\
2I A
)=\
2I f (A
2 I uma família de
)
0.8 Definição. Sejam X; Y; W e sejam as funções f : X
! Y e g : Y
! W: Podemos
de…nir uma nova função h : X ! W com a regra h(x) = g(f (x)): A função h é chamada de
função composta de g com f e é denotada por g f: Temos portanto, por de…nição que
(g f )(x) = g(f (x)):
Exemplo 0.20. Consideremos as funções f : R
! R+ dada por f (x) = x2 e g :
R+ ! Z dada por g(x) = [x] + 1. Então g f : R ! R dada por x 7 ! [x2 ] + 1; é a função
composta de g com f .
Exemplo 0.21. Sejam f : R ! R+ tal que f (x) = 2x e g : R+ ! R tal que
p
g(x) = x: A aplicação composta de g com f é g f : R ! R é dada por (g f )(x) =
p
p
g(f (x)) = f (x) = 2x :
Neste caso, observando os domínios e contradomínios de f e g, percebemos que podemos
também considerar a função composta de f com g : f g : R+ ! R+ por (f g)(x) = f (g(x)) =
p
p
f ( x) = 2 x
6
Observemos daí que em geral g f 6= f
g:
0.9 Teorema. A composição de funções é associativa. Isto signi…ca: sejam X; Y; W; V conjuntos e sejam as funções f : X ! Y; g : Y
! W; h : W
! V: Então
h (g f ) = (h g) f:
0.10 Teorema. Sejam X; Y; W conjuntos f : X
! Y; g : Y
! W funções. Se f e g são
injetoras, então g f é injetora. Se f e g são sobrejetoras, então g f é sobrejetora.
Podemos daí a…rmar que se f e g são bijetoras, então g f também é bijetora.
0.11 Definição. Seja f : X ! Y uma função. Uma função inversa para f é uma função
g:Y
! X tal que
g f = idX e f
g = idY
Na primeira igualdade, dizemos que g é inversa à esquerda de f. Na segunda, dizemos que g é
um inversa de f à direita.
0.12 Teorema. Se existe uma função inversa para f; então ela é única, e denotamos-a por
f
1
:
Logo, por de…nição, a aplicação inversa f
Para todo x 2 X e y 2 Y;
f
1
1
(f (x)) = x e f (f
é caracterizada pela seguinte propriedade:
1
(y)) = y
0.13 Teorema. Uma função é sobrejetora se e somente se ela admite inversa à direita.
0.14 Teorema. Uma função é injetora se e somente se ela admite inversa à esquerda.
0.15 Teorema. Seja f : X ! Y uma bijeção. Então f
0.16 Teorema. Seja f : X
uma função inversa.
1
: X ! Y é também uma bijeção.
! Y uma função. Então f é bijetora se, e somente se, f tem
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Exercícios
1) Sejam f : X ! Y e g : Y
! Z funções. Demonstre:
a) Se g f é injetora, então f é injetora.
b) Se g f é injetora e f é sobrejetora, então g é injetora.
c) Se g f é sobrejetora, então g é sobrejetora.
d) Se g f é sobrejetora e g é injetora, então f é sobrejetora.
2) Apresente um contraexemplo que mostre que g f ser bijetora não implica que g e
f também o sejam.
3) Demonstre que se f : X
funções g : Y
!Z eh:Y
! Y é sobrejetora, então para todo conjunto Z e todas
! Z, g f = h f ) g = h:
4) Demonstre que se f : X
funções g : Z ! X e h : Z ! X, f
! Y é injetora, então para todo conjunto Z e todas
g=f
h ) g = h:
5) A recíproca dos resultados nos dois últimos exercícios acima é válida? Prove ou
apresente contraexemplos.
OBS.: Esta apostila têm como objetivo orientar o decorrer da aula, onde os conceitos e resultados aqui descritos serão devidamente desenvolvidos, explicados e exempli…cados,
sendo portanto imprescindível o acompanhamento da aula para que esta apostila seja, de fato,
elucidativa.
Referência Bibliográ…ca:
Dean. Elementos de Álgebra Abstrata. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e cientí…cos
Editora S.A.,1974
Domingues e Iezzi. Álgebra Moderna. São Paulo: Atual, 1982.
Hefez, Abramo. Curso de Álgebra, vol1. Rio de Janeiro:IMPA,CNPq,1993.
Lang, Serge. Álgebra para Graduação. Rio de Janeiro: Editora Ciência Moderna Ltda,
2008.