Resolução

Universidade do Algarve
Campeonato de Matemática SUB12
2005/2006
Problema 11 – Frente a frente
Três rãs verdes e três rãs amarelas estão empoleiradas em pedras, junto a
uma nascente.
As rãs querem inverter posições, isto é, as rãs verdes querem passar para as
pedras do lado direito, enquanto as rãs amarelas querem passar para as
pedras do lado esquerdo.
Cada uma das rãs pode ocupar uma pedra livre, imediatamente à sua frente,
ou saltar por cima de outra rã de cor diferente para uma pedra livre. As rãs não
podem andar para trás.
Qual o menor número de movimentos que são necessários para trocarem de
posições?
RESOLUÇÃO
Às vezes, deparamos com problemas que, à primeira vista, parecem muito difíceis. Nessas
alturas, é bom começar por resolver um problema idêntico, mas mais simples. Foi isso que
aconteceu com a Ana Sofia Belchior, da EB23 nº1 de Elvas. Vejamos o que ela tem para nos
dizer:
«Como este problema era difícil resolvi começar por colocar 1 rã de cada lado.
Foi fácil inverter as posições, precisei apenas de 3 movimentos. Movimentei 1.º a
rã amarela depois tive que movimentar a verde e finalmente movimentei a
amarela. Decidi então tentar com 2 rãs de cada lado. Ao fim de algumas
tentativas, consegui inverter as posições das rãs fazendo apenas 8 movimentos.
Comecei por movimentar uma rã amarela depois movimentei 2 rãs verdes, a
seguir 2 amarelas, a seguir 2 verdes e finalmente uma amarela. Ao todo
efectuei 8 movimentos.
Campeonato de Matemática SUB12 - www.fct.ualg.pt/matematica/5estrelas/sub12
Depois fiz com 3 rãs de cada lado:
- Posição Inicial
- 1º movimento
- 2º movimento
- 3ºmovimento
- 4º movimento
- 5º movimento
- 6º movimento
- 7º movimento
- 8º movimento
- 9º movimento
- 10º movimento
- 11º movimento
- 12º movimento
- 13º movimento
- 14º movimento
Campeonato de Matemática SUB12 - www.fct.ualg.pt/matematica/5estrelas/sub12
- 15º movimento
Com 3 rãs de cada lado, comecei por movimentar 1.º uma amarela, a seguir 2
verdes, a seguir 3 amarelas, a seguir 3 verdes, a seguir 3 amarelas, a seguir 2
verdes e finalmente uma amarela. Os primeiros 3 movimentos e os últimos 3
movimentos são iguais aos que fiz quando tinha 2 rãs de cada lado. Só que
como eram mais rãs tive que efectuar mais movimentos.
Quando era 1 rã fiz 3 movimentos, quando eram 2 rãs fiz 8 movimentos e
quando eram 3 rãs fiz 15.
1(rã) x3=3
2(rãs)x4=8
3(rãs)x5=15
Obtive produtos muito curiosos.
Agora já era fácil porque para saber quantos movimentos são necessários
basta multiplicar o n.º de rãs pela soma desse número com 2.
1X(1+2)=3
2X(2+2)=8
3X(3+2)=15».
Se a Ana Sofia estiver certa, para movimentar oito rãs (4 de cada lado), serão precisos 24
(4X6)movimentos. Terá ela razão?
Campeonato de Matemática SUB12 - www.fct.ualg.pt/matematica/5estrelas/sub12