UMA ABORDAGEM DE GEOMETRIA NÃO EUCLIDIANA NO

UMA ABORDAGEM DE GEOMETRIA NÃO EUCLIDIANA NO
ENSINO MÉDIO: CONTRIBUIÇÕES PARA O ENSINO DE
MATEMÁTICA
Wanderley Pivatto Brum – [email protected]
Universidade Regional de Blumenau, mestrando no PPGECIM.
Blumenau – SC.
Elcio Schuhmacher - [email protected]
Universidade Regional de Blumenau, coordenador do PPGECIM.
Blumenau – SC.
Resumo: Este trabalho está sendo desenvolvido a partir de uma proposta de ensino para a
disciplina de Matemática, tratando – se dos conteúdos referentes à Geometria Euclidiana
estudada no Ensino fundamental e Médio e da Geometria Não – Euclidiana pouco abordada
pelos professores em sala de aula. O trabalho desencadeia – se dentro de uma perspectiva de
integração entre esses conteúdos, partindo do princípio de que havendo abalroada entre
essas geometrias, mereceria certa atenção, uma vez que os conhecimentos geométricos
euclidianos fundamentaram soluções e se mostraram eficientes para a compreensão dos
problemas de ciências naturais até o século XIX. Esses conhecimentos evoluíram, e surgiram
alternativas para a geometria de Euclides: as Geometrias não – Euclidianas advindas do
desenvolvimento teórico da Matemática e da Computação no século XX. Esta proposta está
sendo pesquisada obedecendo a uma unidade de ensino envolvendo uma turma de segundo
ano do ensino médio de uma escola da rede pública de Santa Catarina. Busca – se neste
trabalho, proporcionar aos alunos um entendimento referente à Geometria Não – Euclidiana,
a partir de estratégias de ensino definidas, com respectivas atividades desenvolvidas e suas
reflexões, balizada pelo aporte teórico da aprendizagem significativa de David Ausubel e
colaboradores. Espera - se desta investigação, que o aluno consiga relacionar o
conhecimento sobre geometria não euclidiana com seu cotidiano, compreendendo os
diferentes modelos geométricos que o cerca.
Palavra – Chave: Matemática, Geometria não euclidiana, Aprendizagem significativa.
1
INTRODUÇÃO
Uma viagem ao mundo da geometria permite – nos ter uma visão da importância dessa
parte da Matemática que tanto contribuiu com seus axiomas, teoremas, postulados e com sua
propriedade de explicar coisas simples, do dia – a – dia, dos objetos que nos rodeiam. Como
seria magnífico poder voltar ao tempo, na época de Euclides, para vislumbrar a riqueza das
suas contribuições deixadas para a humanidade ou participar dos encontros secretos dos
pitagóricos. No entanto o desejo de retornar a Europa no fim do século XIX é maior, a
oportunidade de ser um espectador de um dos momentos marcantes da história da Matemática
é algo incomparável. A imaginação passa ter um lugar de destaque em minha mente, é poder
fazer parte da revolução da história da Geometria, é entender e aplaudir grandes matemáticos
da época que descobriram por assim dizer, a geometria não euclidiana.
Contudo nossa viagem precisa chegar ao fim, não um fim em si mesmo, mas um novo
caminho precisa ser trilhado, convergindo para os dias atuais, para dentro da escola, olhando
para nossos alunos e relatar toda essa experiência vivida a muito tempo atrás, apresentando
momentos inesquecíveis a cada um deles, que o ensino de geometria não euclidiana não é um
assunto fora de sua realidade, e sim que faz parte do seu cotidiano, do contexto de mundo que
ele vive.
Que momentos seriam estes para despertar a disposição do aluno a aprender geometria
não euclidiana? Qual o ponto de partida para o ensino dessa geometria? Talvez lançando em
sala situações problemas que desperte o interesse do aluno, que faça transitar em seus
conhecimentos ou situações do seu cotidiano. Poderia ser esta pergunta: Duas retas paralelas
tem ponto em comum? Ou qual a menor distância entre dois pontos? Vivemos sobre uma
superfície quase que totalmente esférica, e isto por muito tempo provocou medo nos
navegadores, acreditando eles que ao fim do horizonte os navios eram engolidos por algo que
não podiam explicar e que simplesmente as embarcações desapareciam.
A busca por estudantes que pensam como os antigos navegadores, ou seja, que a
representação geométrica de nosso planeta é uma folha retangular ou um plano e não uma
esfera é bastante simples. Os estudantes de Física, por exemplo, ao representar o
comportamento da gravidade sobre os seres humanos, apresentam modelos euclidianos,
desconsiderando a forma de nosso planeta. Parece um bom ponto de partida para introduzir o
estudo da geometria não euclidiana, apresentando aos estudantes um roteiro de viagem dos
sonhos sem escala, na história da geometria.
A geometria é um dos temas mais interessantes para serem explorados pelos professores,
por constituir - se de uma riqueza em ilustrações, por possibilitar resoluções diversas com
criatividade e por fim, atraindo os alunos para uma interação com o conhecimento nas
construções e interpretações de problemas do cotidiano. Arriscamos a dizer que a geometria é
a disciplina que possibilita com maior ênfase a capacidade de desenvolvimento cognitivo.
O estudo da Geometria deve possibilitar aos alunos o desenvolvimento da
capacidade de resolver problemas práticos do quotidiano, como, por exemplo,
orientar-se no espaço, ler mapas, estimar e comparar distâncias percorridas,
reconhecer propriedades de formas geométricas básicas, saber usar diferentes
unidades de medida (OCEM, 2006, p.75).
A geometria está presente em tudo que se imagina; na natureza, nas navegações, nos
sistemas de localização por GPS, nas aulas de geografia ao tratar sobre o planeta Terra, na
Física para compreensão do comportamento da luz no espaço. Com tantos exemplos citados,
como é possível a geometria não euclidiana estar ausente dos planos de ensino de
Matemática? Acreditamos que a apresentação de situações cujas resoluções necessitem de
conhecimentos geométricos não euclidianos, a partir de um resgate histórico desta nova
geometria, configuram, os materiais ideais para o objetivo a qual estamos dispostos, uma
possível aprendizagem significativa sobre geometria não euclidiana no ensino médio. A
geometria estudada por Riemann e Lobachevsky, aproximará o aluno da geometria que ele
caminha e vive. Nosso ponto inicial é a geometria euclidiana, que por muito tempo, conseguiu
cumprir seu papel na matematização da realidade, para enfim, irmos ao encontro dessa nova
geometria.
Partindo dessa breve apresentação sobre geometria, entendendo que o aluno deve ser o
elemento ativo na construção do conhecimento, o trabalho está sentado sobre o aporte teórico
de David Paul Ausubel, Joseph Donald Novak e Helen Hanesian, na década de 1960.
Entendemos ser possível desenvolver o que os autores denominam de uma aprendizagem
significativa, quando os estudantes processam uma reorganização de suas arquiteturas
conceituais já estabelecidas em sua mente. Ou seja, os conceitos operam conexões mentais
que podem levar a transformações que se entende como aprendizagem (AUSUBEL et al.,
1980).
É importante afirmarmos que para um novo conhecimento ser significativo segundo a
concepção ausubeliana, é preciso ser funcional, ou seja, que o aluno utilize este conhecimento
de forma não arbitrária e não literal, evitando a aprendizagem mnemônica,
descontextualizada, sem relacionar com alguma informação relevante na estrutura cognitiva.
O professor enquanto mediador neste processo deve ter compreensão que o aluno não é uma
tábula rasa, um depósito de informações, mas sim, um indivíduo socialmente constituído e
que carrega consigo, uma quantidade de conhecimentos cotidianos sobre geometria, e usar
isto para ser o ponto inicial da construção da nova informação é fundamental na teoria
ausubeliana. O fator isolado mais importante que influencia a aprendizagem é aquilo que o
aprendiz já conhece, descubra o que ele sabe e baseie nisso seus ensinamentos (AUSUBEL et
al, 1980).
Se o aluno tem conhecimentos sobre geometria euclidiana e noções sobre
tridimensionalidade, nada mais evidente do que se aproveitar destas informações para iniciar
o estudo sobre geometria não euclidiana, conceituando, diferenciando da geometria de
Euclides e especificando singularidades, propriedades e a sua importância para a Matemática
contemporânea. Aprender uma nova geometria não significa descartar a geometria euclidiana,
mas pelo contrário, resgatá – la, e partindo desse pressuposto, espera - se nesse trabalho por
parte dos alunos, um considerável relacionamento com o conhecimento sobre geometria não
euclidiana na resolução de problemas do seu cotidiano, compreendendo as diferenças
existentes entre geometria esférica, hiperbólica e euclidiana, proporcionando momentos de
discordância ou conflito na sua estrutura cognitiva.
A geometria é considerada atualmente como o alicerce essencial da Matemática, porém a
forma como é transmitida nas escolas, através de problemas descontextualizados, por métodos
de repetição, sem relacionar com o seu cotidiano, parece não manifestar nos alunos grande
interesse para apropriar – se desse conhecimento. Os efeitos colaterais para essa situação é a
ausência de condições para o surgimento de indicadores em uma possível aprendizagem
significativa. A aprendizagem repetitiva refere - se a situações nas quais simplesmente se
estabelece associações arbitrárias, não relacionando os conhecimentos prévios com o novo
conteúdo apresentado (COLL et al, 2007).
A inexistência de uma abordagem sobre o ensino de geometria não euclidiana no ensino
médio evidencia que os professores em geral, negligenciam os conhecimentos cotidianos dos
alunos ou obedecem a determinado livro didático como fonte única de conhecimento,
mostrando assim a fragilidade de um sistema de ensino que privilegia resultados abstratos,
propedêuticos e sem relação com o cotidiano do estudante.
Por se tratar de um assunto pouco conhecido entre os professores do ensino médio, as
evidências mostram que entre outros fatores que inviabilizam a introdução de geometria não
euclidiana no ensino escolar, está a complexidade matemática exigida por este tema, tornando
está área bastante técnica até mesmo no meio acadêmico. Porém, a história da educação nos
mostra que muitos temas já foram considerados de difícil abordagem na escola e atualmente
passeiam sem qualquer questionamento pelos nossos currículos. Parece - nos que o
assunto de geometria apresenta - se como mais um degrau que devemos subir. A realidade é
que a geometria em sua plenitude é deixada em segundo plano, e entre muitas razões está sua
ofuscada presença no currículo escolar.
Diante dessa realidade e evidenciando a problemática, surgi à luz do nosso conhecimento
à seguinte pergunta problema: Quais contribuições uma abordagem de Geometria não
Euclidiana, fundamentada na aprendizagem significativa, pode proporcionar para o ensino de
Matemática em sala de aula?
2
JUSTIFICATIVA DA EXECUÇÃO DO TRABALHO
O interesse em trabalhar no ramo da Matemática deve – se, a formação acadêmica do
pesquisador e professor, que possui graduação em Matemática e especialização nesse ramo.
Outro fator considerável dá – se pela investigação por parte do mesmo pela história da
Matemática com ênfase nas contribuições que a geometria euclidiana proporcionou por
muitos séculos, fornecendo respostas aos problemas em geral. Pontualmente, a escolha pelo
estudo da geometria não euclidiana, seu surgimento no cenário da comunidade científica, as
repercussões e as críticas de filósofos da época, seus atores principais, Riemann e
Lobachevsky e o caminho construído para a possibilidade de integração com a geometria de
Euclides, tema pertencente ao programa curricular na disciplina de Matemática, no segundo
ano do ensino médio.
Outro ponto importante para a escolha do tema é a experiência e os anos trilhados na
educação do pesquisador e professor, lecionando Matemática e Física para o ensino
fundamental e médio, identificando nesta caminhada as dificuldades apresentadas pelos
alunos ao abordar o tema de geometria. Partindo dessas considerações, com intenção de
superar estas dificuldades e promover uma possível aprendizagem significativa no ensino de
geometria não euclidiana, emergiu a necessidade de uma investigação nessa dissertação.
A escolha pelo segundo ano do ensino médio se justifica pelo fato de que nesta série, o
estudo da geometria euclidiana passa a ser observado com um olhar mais crítico no que
concernem os postulados de Euclides, permitindo a inserção ao estudo de geometria não
euclidiana com um enfoque que almeje um ensino mais efetivo, contextualizado e
significativo para o estudante. Desse modo, a apresentação desta nova geometria possui
diversas razões para ser exposta, destacando a importância desse conhecimento por pertencer
ao corpo da programação curricular enquanto estudo tridimensional ou espacial,
possibilitando assim, uma compreensão de problemas ou realização de atividades de
investigação além da geometria euclidiana.
Não podemos deixar de referir que, ao tratar sobre geometria não euclidiana, os aspectos
históricos relatam um amálgama de modelos explicativos, podendo de certa forma, identificar
os conhecimentos prévios dos alunos sobre o assunto abordado, o que colabora diretamente
para um estudo mais significativo entre essas geometrias. Os estudos sobre geometria não
euclidiana permitem uma compreensão mais ampla do modelo geométrico que estamos
localizados, proporcionando uma abordagem por meio de uma linguagem mais concisa e
universal. Entretanto, atualmente, os estudantes de uma forma geral, observam breves
registros sobre Euclides encontrados em livros didáticos, e utilizam – se dessas informações
para resolver diversos problemas que se encontram de forma descontextualizada, prontos e
acabados, desconsiderando toda uma riqueza para solucionar problemas cotidianos.
As pessoas não desenvolvem o pensar geométrico ou o raciocínio visual sem
conhecimentos prévios sobre geometria e, sem essa habilidade, elas dificilmente
conseguirão resolver as situações de vida que forem geometrizadas; também não
poderão se utilizar da Geometria como fator altamente facilitador para a
compreensão e resolução de questões de outras áreas de conhecimento humano
( LORENZATO, 1995, p. 5).
É compreensível que crianças e adultos utilizem – se dos conhecimentos deixados por
Euclides, até mesmo por que seus registros por muito tempo resolveram diversos problemas
matemáticos, como uma forma de compreender o mundo que os cerca. É importante apontar
que em geral, após quase dois mil anos, os alunos do ensino fundamental estudam tópicos de
geometria, encharcados de noções prévias puramente euclidianas, sendo que o professor, por
estar inserido em um sistema que o sobrecarrega com rotinização e institucionalização, não
consegue construir uma ponte para além dos muros da escola, onde encontram - se modelos
geométricos que pertencem ao seu mundo e do aluno.
Direcionando nosso olhar para o ensino médio, os alunos do segundo ano revisam
conteúdos de geometria, mas novamente de forma euclidiana, desconsiderando a existência de
outras geometrias como hiperbólica e esférica, não percebendo que diversas situações
apresentadas em sala de aula e no cotidiano, são modeladas por estas representações
geométricas, ocorrendo assim, o mesmo equívoco que no ensino fundamental. Entende - se
que uma discussão acerca dos conteúdos de geometria apresentados em sala de aula merece
atenção, uma vez que estes traduzem em parte a ideologia do autor, contribuindo para um
pensamento propedêutico, pronto e acabado. O ensino de modo geral está doente, em que o
aluno não é solicitado a pensar de forma criativa, não elaborar conclusões, devendo - se
simplesmente memorizar o conteúdo (MOLINA, 1987, p. 34).
As grandes dificuldades encontradas por parte dos alunos em se apropriar do
conhecimento cientifico, são decorrentes das mudanças educativas ocorridas nos últimos
anos. Tanto os professores quantos os alunos, não conseguem fazer distinção entre os
conteúdos apresentado nos livros de forma arbitrária, daqueles conhecimentos necessários
para solucionar problemas da realidade. Isto é devido em sua grande totalidade, a uma
abordagem de ensino que apresenta os conceitos de forma hermética, acabada e pouco
contextualizada por parte dos professores, colocando como pano de fundo os conhecimentos
prévios dos alunos, dando ênfase simplesmente aos problemas apresentados nos livros
didáticos com modelos com suas respectivas respostas.
Ao confrontar suas ações cotidianas com as produções teóricas, é necessário rever as
práticas e as teorias que as informam, pesquisar a prática e produzir novos
conhecimentos para a teoria e a prática de ensinar. Assim, as transformações das
práticas docentes só efetivarão se o professor ampliar sua consciência sobre a
própria prática, a de sala de aula e da escola como um todo, o que pressupõe os
conhecimentos teóricos e críticos sobre a realidade (DELIZOICOV et al., 2009,
p.13).
A crítica aponta para uma aprendizagem mecânica, baseado na transmissão, recepção e
repetição de atividades, não favorecendo a participação ativa do estudante, apresentando o
conhecimento de forma unilateral, pragmática e com total falta de criticidade,
desconsiderando assim, o que a história da geometria nos revelou durante séculos.
Espera – se que ocorra uma catarse nos professores ao tratar de conhecimento ciêntífico e
suas implicações na história da humanidade, levando a tona que a abordagem de
conhecimento através de atividades repetitivas e assépticas, serão armazenadas na estrutura
cognitiva do estudante de maneira arbitrária, não contribuindo para a identificação de
possíveis indicadores de uma aprendizagem significativa. A escola constitui uma agressão ao
ego do aluno, devido às poucas satisfações intrínsecas que oferece a aprendizagem mecânica,
arbitrária e memorística (NOVAK, et al. 1984 ). Contudo, quanto mais se relaciona o novo
conteúdo de maneira substancial e não arbitrária com algum aspecto da estrutura cognitiva
prévia que lhe for relevante, mais próximo se está da aprendizagem significativa. Quanto
menos se estabelece esse tipo de relação, mais próxima se está da aprendizagem mecânica ou
repetitiva (AUSUBEL, et al., 1980).
Os pesquisadores apontam para uma necessidade de diálogo entre professor e aluno
tratando sobre fatos importantes ocorridos na história da geometria. Esse movimento
facilitaria a identificação dos conhecimentos prévios dos estudantes, desta forma, a história da
geometria nos revelada no século XIX, ganha representatividade e destaque nas aulas de
Matemática, por apresentar - se como alternativa a geometria de Euclides e isto, é um fato que
o professor não pode ignorar em sala de aula.
3
BASES DA TEORIA DA APRENDIZAGEM SIGNIFICATIVA
A teoria da aprendizagem significativa foi formulada inicialmente pelo psicólogo norte
americano David Paul Ausubel. As ideias de Ausubel, cujas formulações iniciais são dos anos
60, encontram-se entre as primeiras propostas psico - educativas em sua obra “Psicologia
Educacional”, recebendo colaborações em 1980 de Joseph Donald Novak e Helen Hanesian,
acerca de fatores sociais, cognitivos e afetivos na aprendizagem.
[...] é essencial levar – se em consideração as complexidades provenientes da
situação de classe de aula, estes por sua vez, incluem a presença de muitos alunos de
motivação, prontidão e aptidões desiguais; as dificuldades de comunicação entre
professor e aluno; as características particulares de cada disciplina que esta sendo
ensinada; e as características das idades dos alunos (AUSUBEL, et al., 1980, p. 5).
Basicamente a ideia central de aprendizagem significativa apresentada pelos autores é
uma reorganização da estrutura cognitiva, isto é, um processo pelo qual uma nova informação
se relaciona com um aspecto relevante da estrutura do conhecimento do indivíduo. Para uma
aprendizagem ser significativa são necessárias duas condições: o aluno precisa ter uma
disposição para aprender: se o indivíduo quiser memorizar o conteúdo arbitrária e
literalmente, então a aprendizagem será mecânica. A aprendizagem significativa pressupõe
que o estudante manifeste uma disposição para a aprendizagem, ou seja, disposição para
relacionar – se de forma não arbitrária e substantiva ao novo conhecimento (AUSUBEL, et
al., 1980).
Em segundo, o conteúdo escolar a ser aprendido tem que ser potencialmente
significativo, ou seja, deve estar relacionado à estrutura cognitiva do aluno, portanto, devem
estar disponíveis em sua estrutura cognitiva subsunçores adequados. A teoria ausubeliana não
estabelece uma dicotomia entre aprendizagem significativa e mecânica, mas sim como um
continuum, vindo a esclarecer como ocorre esse movimento da aprendizagem escolar.
A aprendizagem significativa ocorre quando há um processo de interação no qual os
conceitos mais relevantes e inclusivos (subsunçores) integram com o novo material a ser
aprendido. A aprendizagem significativa caracteriza - se por uma interação entre os aspectos
específicos e relevantes da estrutura cognitiva e as novas informações, por meio das quais
essas adquirem significado e são integradas a uma estrutura hierárquica altamente organizada
de subsunçores de maneira não - arbitrária e não - literal.
Para que a aprendizagem significativa ocorra de fato, não é suficiente que as novas
informações sejam simplesmente relacionadas (de forma não arbitrária e
substantiva) a ideias correspondentemente relevantes no sentido abstrato do termo, é
também necessário que o conteúdo ideacional relevante esteja disponível na
estrutura cognitiva de um determinado aluno (AUSUBEL, et al., 1980, p.37).
A aprendizagem significativa deve preponderar em relação a uma aprendizagem de
associações arbitrárias, encerradas em si mesma, organizacionalmente isoladas, mecânica,
pressupondo a existência prévia de conceitos subsunçores. Um subsunçor é entendido como
sendo um conceito já existente na estrutura cognitiva, capaz de servir de ancoradouro a uma
nova informação, de modo que esta adquira significado para o estudante.
Evidenciar uma aprendizagem significativa não é uma tarefa simples. Verificar se uma
aprendizagem ocorreu, simplesmente perguntando ao estudante os atributos de um conceito
ou proposição é arriscado, haja vista a possibilidade de respostas mecanicamente
memorizadas serem respondidas. Para evidenciar a ocorrência de uma aprendizagem
significativa, é necessária uma compreensão no domínio dos significados que apresentam – se
de forma clara, precisa, diferenciados e transferíveis.
Ao buscar – se indicativos de uma aprendizagem significativa, através das alternativas
propostas por Ausubel e seus colaboradores, o ponto mais importante é partir dos
conhecimentos que os alunos trazem para dentro da sala de aula. Se tivéssemos que reduzir
toda a psicologia educacional a um único princípio diríamos que o fator singular mais
importante que influencia a aprendizagem é aquilo que o aprendiz já sabe, descubra isso e
baseie – se nisso seus ensinamentos.
A percepção de uma aprendizagem significativa se consolida por meio de um processo
que é considerado dinâmico e não unilateral, estático, no qual o estudante carregado de
interconexões mentais e saberes, torna – se peça fundamental nesse movimento de construção
do conhecimento, contudo se o estudante deseja memorizar de forma arbitrária e literal, o
processo de aprendizagem com seu conhecimento será mecânico e sem significado.
A aprendizagem significativa pressupõe que o aluno manifeste uma disposição para
aprendizagem significativa – ou seja, uma disposição para relacionar, de forma não
arbitrária e substantiva, o novo material a sua estrutura cognitiva – e que o novo
material à sua estrutura cognitiva – e que o material aprendido seja potencialmente
significativo – principalmente incorporável a sua estrutura do conhecimento através
de uma relação não arbitrária e não literal (AUSUBEL, et al., 1980, p. 38).
Nesse olhar, o aprendiz está em condições de decidir se quer aprender significativamente
ou deseja recorrer à memorização automatizada de definições e conceitos sem a compreensão
do significado das palavras. Assim, uma das razões para o surgimento de uma aprendizagem
automática e sem significado por parte dos alunos, surge a partir de experiências mal
sucedidas. Por exemplo, se o estudante deseja aprender o teorema das retas paralelas,
afirmando que duas retas são paralelas no plano quando não tem ponto em comum, ele irá
memorizar na sua estrutura cognitiva este conceito, muitas vezes pressionados em demonstrar
bons resultados, porém, não poderá ser aprendida significativamente, a menos que o estudante
saiba previamente a existência de outros modelos geométricos para estudar o comportamento
dessas retas, levando em consideração a estrutura enquanto geometria de mundo que ele vive
atuando sobre o mesmo.
Se desejarmos testar um determinado conhecimento pedindo ao estudante o relato de
atributos essenciais de uma proposição, ele poderá apresentar respostas mecanicamente
memorizadas, portanto, entendemos que as avaliações devem ser constituídas de linguagem
diferente da comumente utilizada no material de aprendizagem.
Os testes de compreensão devem no mínimo ser apresentado num contexto um
pouco diferente daquele em que o material de aprendizagem foi originalmente
encontrado. Talvez a maneira mais simples de se fazer isto seja solicitar ou escolher
os elementos característicos de um conceito ou proposição a partir de uma lista
contendo aqueles elementos tanto dos conceitos quanto das proposições correlatas
(AUSUBEL, et al., 1980, p. 122).
Para evitar, portanto, uma possível simulação significativa, a sugestão é a utilização de
avaliações que contenham exercícios de relacionamento, onde o aprendiz tenha que relacionar
ideias semelhantes ou apresentar ao aprendiz, uma situação nova por meio de solução de
problemas, que sejam novos e não familiares, requerendo máxima transformação, requerendo
outras capacidades e qualidades, assim como poder de raciocínio, flexibilidade, improvisação
e astúcia tática.
É importante salientar que a procura de sinais de aprendizagem significativa utilizando
questionamento verbal, avaliações escritas, de assimilação de conceitos anteriores ou de
resolução de problemas, há de ter - se em mente a possibilidade do aparecimento de respostas
mecanicamente memorizadas. Para tentar impedir a roupagem memorística em detrimento de
uma aprendizagem significativa, as avaliações devem conter questões e problemas escritos de
forma diferente da qual os estudantes estão habituados, devendo exigir respostas que
proporcionem uma grande modificação do conhecimento apresentado
4 PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS QUE ESTÃO SENDO UTILIZADOS
NA PESQUISA
O objetivo principal deste trabalho é elaborar, desenvolver e analisar uma proposta de
ensino referente à Geometria não Euclidiana, utilizando – se de uma unidade de
aprendizagem, apoiada na teoria da aprendizagem significativa, proposta por David P.
Ausubel, Joseph D. Novak e Helen Hanesian, na década de 1960. A unidade de aprendizagem
é um modo de planejamento, elaboração, organização e realização de atividades, constituída
dialogicamente no ambiente de sala de aula (GALIAZZI, 2004). Esta pesquisa, com
abordagem qualitativa, está sendo realizada em uma classe de 15 alunos da segunda série do
ensino médio, numa escola do município de Tijucas da rede pública de ensino do estado de
Santa Catarina.
Para iniciar este trabalho, identificaremos os conhecimentos prévios dos estudantes
utilizando – se de um pré - teste aplicado antes do desenvolvimento do processo de ensino
sobre o tema. O pré – teste está sendo direcionado identificarmos subsunçores existentes na
estrutura cognitiva dos estudantes referente a conhecimentos de geometria não euclidiana.
A elaboração do pré – teste elege assuntos considerados pertinentes para a abordagem da
Geometria não euclidiana: retas paralelas, menor distância entre dois pontos, soma das
medidas dos ângulos internos de um triângulo, axiomas, postulados, triângulos e
quadriláteros. Por tratar – se de um tema que não é muito familiar para os estudantes,
decorrente da falta de abordagem no ensino médio, poderá ocorrer a utilização de organizador
prévio com o intuito de manipular a estrutura cognitiva do estudante, a fim de facilitar a
aprendizagem significativa. Os organizadores prévios devem servir de âncora para a nova
aprendizagem e levem ao desenvolvimento de conceitos subsunçores que facilitem a
aprendizagem subsequente. São materiais introdutórios apresentados antes do próprio material
a ser assimilado (AUSUBEL, et al., 1980). O organizador que será apresentado constitui – se
de texto com assuntos familiares aos alunos sobre geometria euclidiana, balizado por
situações cuja geometria utilizada é não euclidiana.
Para iniciar o assunto, será escolhido um vídeo com duração de 28 minutos, abordando
temas sobre geometria. O professor pesquisador orientará os alunos a anotarem alguns relatos
do vídeo que estivesse relacionado com os seguintes conceitos: retas paralelas, menor
distância entre dois pontos, soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo, axiomas,
postulados, triângulos e quadriláteros. A partir das anotações realizadas pelos estudantes, será
solicitada a leitura destas frases. A medida que elas serão apresentadas, o professor as anotará
na lousa, iniciando a explanação dos conceitos de geometria não euclidiana.
De posse das frases, seus conceitos e seus verbos de ligação, os estudantes começarão a
construção de mapas conceituais a partir das abordagens descritas anteriormente, com a
participação e organização dos alunos. Para a construção dos mapas conceituais, neste
primeiro momento, os alunos trabalharão sem o auxílio do professor, utilizando – se de seus
subsunçores e das frases disponíveis na lousa. Em outra aula, os estudantes continuarão a
elaboração de seu mapa conceitual, sendo mediado pelo professor com relação às dúvidas
surgidas na formação de conexões conceituais.
Em outro momento, o professor explorará os postulados de Euclides, mostrando por meio
de materiais educacionais, que o quinto postulado euclidiano não ocorre em determinadas
geometrias. Aproveitando este momento, apresentará por meio de um texto, fatos históricos
que levaram a uma revolução na Matemática ocorrida no século XIX. Para finalizar, será
aplicado um pós – teste com situações problema, levando o estudante a utilizar de
conhecimentos sobre geometria não euclidiana para resolve – los.
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RESULTADOS ESPERADOS NA PESQUISA
Os resultados esperados na investigação ao tratar sobre geometria não euclidiana com
estudantes do ensino médio é possibilitar uma visualização das diferenças entre a geometria
euclidiana, geometria hiperbólica, geometria esférica e geometria táxi através da
contextualização e investigação além de trazer à luz, discussões com os alunos sobre a
existência de outras geometrias com o intuito de oportunizar, descobrir e analisar sua
importância na nossa vida atual.
Esperamos também que os alunos compreendam conceitos geométricos básicos, de forma
que conheçam as dimensões geométricas da geometria euclidiana e de geometrias não
euclidianas, por meio da visualização e experimentação de materiais manipuláveis,
entendendo que conhecer Geometria é ter possibilidades de intervir na mudança do espaço
onde o estudante circula e vive.
6
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
AUSUBEL, D.P.; NOVAK, J.D.; HANESIAN. Psicologia Educacional. Rio de Janeiro:
Interamericana, 1980.
COLL, C.; MARCHESI, A,; PALACIOS, J. Desenvolvimento psicológico e educação:
psicologia da educação escolar. 2ª ed. Porto Alegre: Artmed, 2007.
DELIZOICOV, D.; ANGOTTI, J. A.; PERNAMBUCO, M. M. Ensino de Ciências:
fundamentos e métodos. São Paulo: Cortes, 2009.
GALIAZZI, M.C. Construindo Caleidoscópios: organizando unidades de aprendizagem.
Ijuí: Unijuí, 2004.
LORENZATO, Sérgio. Porque não ensinar geometria. Revista da Sociedade Brasileira de
Educação Matemática. São Paulo, v.1, n. 4, p.5, mar/agos. 1995.
MOLINA, O. Quem engana quem? São Paulo: Papirus, 1987.
NOVAK, J.D.; GOWIN, B.. Aprender a Aprender. Lisboa: Plátano, 1984.
ORIENTAÇÕES CURRICULARES PARA O ENSINO MÉDIO. Ciências da natureza,
matemática e suas tecnologias. Secretaria de Educação Básica. Brasília: Ministério da
Educação, Secretaria de Educação Básica, 2006.
A NON-EUCLIDEAN GEOMETRY APPROACH IN HIGH SCHOOL:
CONTRIBUTIONS TO THE TEACHING OF MATHEMATICS
Abstract: This paper is being developed from a proposal for teaching the discipline of
mathematics, dealing with - if the contents with respect to Euclidean geometry studied in
Elementary and Middle Geometry and Non - Euclidean rarely addressed by teachers in the
classroom. The triggers work - within a perspective of integration of these contents, assuming
that there is involved in a collision between these geometries, it deserves some attention, since
the Euclidean geometric knowledge grounded solutions and proved effective in understanding
the problems of science natural until the nineteenth century. This knowledge evolved, and
there were alternatives to Euclidean geometry: the geometries do not - coming from the
Euclidian theoretical development of Mathematics and Computer Science in the twentieth
century. This proposal is being investigated following a teaching unit involving a class of
second year of high school in a public school in Santa Catarina. Search - this work was to
provide students with an understanding not relating to Geometry - Euclidean, from teaching
strategies defined, with their activities and their reflections, guided by theoretical meaningful
learning of David Ausubel et al. Wait - is this investigation that the student can relate
knowledge about non-Euclidean geometry with their daily lives, understanding the different
geometric models that surrounds it.
Key - Word: Mathematics, non - Euclidean geometry, Learning significant.