Equações paramétricas da reta e do plano

Universidade Federal de Sergipe
Departamento de Matemática
Sexta Lista
Prof.: José Anselmo da Silva Santos
Equações Paramétricas da Reta e do Plano
Período: 2012-01
1◦ ) Escreva a equação do plano que contém o ponto A(1, 2, 3) e é perpendicular ao vetor ~v = (2, −1, 3).
2◦ ) Escreva a equação do plano que contém os pontos A(0, 0, 0), B(0, 1, 2) e C(3, 1, 0).
3◦ ) Escreva uma equação do plano paralelo ao eixo-z e que contém os pontos P (0, 1, 2) e Q(0, −2, 0).
4◦ ) Escreva a equação do plano tangente a esfera x2 + y 2 + z 2 = 3 no ponto A(1, 1, 1).
5◦ ) Se α : 2x − 3y + 5z = 0 e β : 3x + 2y − z = 0. Determine:
(a) o ângulo entre estes planos, ](α, β);
(b) as equações paramétricas da intersecção entre estes planos, α ∩ β.

 x=1+t
y = 2 − 2t . Determine:
6◦ ) Considere o plano α : 2x − 3y + z = 1 e a reta r :

z=t
(a) o ângulo entre o plano α e reta r, ](α, r);
(b) a intersecção entre o plano α e a reta r.
7◦ ) Escrever as equações paramétricas da intersecção dos planos α : 2x + y − z = 0 e β : x + y + z = 1.

 x = 1 + 2t
y = 2 − 3t .
8◦ ) Determine a distância do ponto P0 (2, 3, −5) a reta r :

z=t
9◦ ) Determine os valores de a, b e c para que o plano α : ax + by + cz = d seja paralelo ao plano
definido pela equação β : 2x + y − 5z = 4.
10◦ ) Escreva as equações do plano que contém o ponto P0 (1, −2, 3) e que seja perpendicular a cada um
dos planos α : 2x + y − z = 2 e β : x − y − z = 3.

 x = −3 + t
y = 1 − t sobre o plano α :
Determine as equações paramétricas da projeção da reta r :

z = 3 − 2t
2x − y + 2z = 1.

 x = 1 + 2t
◦
y = 1 − 2t e que
11 ) Escreva as equações paramétricas e cartesiana do plano que contém a reta r :

z = 2 − 5t
seja perpendicular ao plano α : 4x − 5y + 2z = 5.
12◦ ) Determine o ângulo entre as retas

 x = 1 + 2t
y = 1 − 2t
r:

z = 2 − 5t
e
1

 x = 1 + 2t
y = 1 − 2t
s:

z = 2 − 5t
13◦ ) Determine o ângulo entre os planos α : 2x − y + 3z = 5 e α : x − y + 8z = 3
14◦ ) Dados os pontos A(2, 1, 1), B(3, −1, 1), A(5, 2, 4) e A(3, −2, 4),
(a) determine o conjunto de todos os pontos equidistantes de AB e de C;
(b) determine o circuncentro do triângulo ∆(ABC).
15◦ ) Determine o simétrico do ponto P (1, 2, 3), com relação:
(a) ao ponto P (3, 1, 1);

 x = 1 − 2t
y=t
(b) a reta r :

z =2−t
(c) ao plano 2x − 2y + 3z = 2.
2