1,0,1 − A 3,2,0 B 1,1,2 − C 3,2,4 D ⋅=⋅ com = . 1,4,2 − − C

Universidade Federal de Viçosa
Centro de Ciências Exatas e Tecnológicas
Departamento de Matemática
Primeira Lista de Exercícios
MAT 241 – Cálculo III
1. Julgue a veracidade das afirmações abaixo assinalando ( V ) para verdadeiro ou ( F ) para falso.
Justifique sua resposta !
(a) ( ) Se os vetores u = (x,1,3) e v = ( x,−1,−1) são ortogonais, então x = 2 ou x = −2 .
(b) (
) Se u e v têm a mesma norma (comprimento), então u − v e u + v são ortogonais.
(c) ( ) Existe um plano que contém os pontos A(1, 0 , − 1 ) , B( 0 , 2 , 3 ) , C ( − 2 ,1,1 ) e D( 4 , 2 , 3 ) .
(d) ( ) O triângulo determinado pelos pontos, A( 3 , 2 , − 1 ) , B( 2 , − 1,1 ) e C ( 7 , 0 , − 2 ) é um
triângulo retângulo.
(e) (
) Se u ⋅ v = u ⋅ w com u ≠ 0 , então v = w .
(f) ( ) O volume do paralelepípedo que tem um dos vértices no ponto
(g) (
(h) (
(i)
)
)
( )
A(5,4,5) e os três vértices
adjacentes nos pontos B( 4,10,6) , C (1,8,7) e D (2,6,9) é igual a 52.
O ponto A( 7 , 6 , 5 ) pertence ao segmento de reta r : x = 1 + 3 t , y = 2 + 2 t e z = 3 + t ,
onde 0 ≤ t ≤ 1 .
A área do triângulo determinado pelos vetores u = i + j + k e v = −2i + 3 j − k é 4 .
A equação da esfera de centro C ( − 2 , 4 , − 1 ) e tangente ao plano-yz é
x 2 + y 2 + z 2 + 4 x − 8 y + 2 z + 17 = 0.
(j)
( ) O raio da esfera que contém os pontos A(3,1,4) ,
B(0,5,3) e C (4,4,0) e tem seu centro
no plano xy é igual a 3.
2. Sabendo que u = 5 , v = 2 , u ⋅ v = −2 , u ⋅ w = 1 e v ⋅ w = 7 , calcule:
(b) (5u − 4v ) ⋅ (− u + w)
(a) 4u ⋅ ( 2v + 3w)
3. Mostre que para quaisquer vetores u e v , tem-se:
(a) u + v
2
(b) u + v
2
(c) u − v
(d) u + v
+ u−v
2
(
=2 u
2
+ v
= u
2
+ 2u ⋅ v + v
2
2
= u
2
− 2u ⋅ v + v
2
2
− u−v
2
2
)
= 4u ⋅ v
(e) u ⋅ v ≤ u . v
(f) u + v ≤ u + v
4. Sejam u = xi + yj e v = ai + bj . Prove que:
(a) x − a ≤ u − v
(b) y − b ≤ u − v
(c) u − v ≤ x − a + y − b
5. Seja v = ai + bj . Se v = 3 , determine os valores máximo e mínimo que
v+ j
v− j
pode ter.
6. (a) Sejam a e b vetores, com ângulo entre si medindo = 6 , e tais que a ⋅ b = 2 . Determine
a área do triângulo que tem os vetores a e b como lados adjacentes
(b) Se u e v são vetores tais que u + v = 10 e
u − v = 8 , determine u ⋅ v .
7. Sejam a e b vetores unitários tais que a ⋅ b = 2 . Determine (a + b).( a − b) , a + b .
8. Seja v = (1,−5,3) . Determine o vetor w , tal que
w = 10 , e que tem a mesma direção e o
sentido contrário de v .
9. Sejam u e v vetores não nulos. Explicitar o valor de x na igualdade xv = u.
v = 5.
10. Obtenha v tal que v × j = k e
11. Se u, v e w são tais que u + v + w = 0 , mostre que u × v = v × w .
12. Calcule o trabalho realizado pela força F quando seu ponto de aplicação move-se de P a Q .
(a) F = 2i − 5 j + 3k , P = (1,2,−2 ) e Q = (3,−1,1) .
(b) F = −ck , P = (x1 , y1 , z1 ) e Q = (x 2 , y 2 , z 2 ).
13. Verifique se os pontos P1 (1,1,1) , P 2 (0,1,1) , P3 (1,0,1) e P4 (0,1,1) são coplanares.
14. Determine equações paramétricas da reta que passa pelo ponto A(1,5,4) e
(a) é paralela à reta de equações paramétricas x = 1 − t , y = 20 + 2t e z = t .
(b) é paralela à reta determinada pelos pontos B(1,1,1) e C (0,1,−1).
15. Determine a equação do plano
ao plano : x + 3 y − z − 7 = 0 .
que contém os pontos A(2,0,5) e B(0,2,−1) e é perpendicular
16. Escreva as equações paramétricas da interseção dos planos
(a) 2 x + y − z = 0 e x + y + z = 1 ;
(b) x + 2 y = 1 e z = 2 .
17. Determine o ponto de interseção da reta
com cada um dos planos;
(a) x − 2 y + 3 z = 8 ;
(b) 2 x + z = 5 ;
(c) x = 2 .
 x = 1+ t

 y = −2 ; t ∈ IR
z = 4 + 2 t

18. Verifique que a reta
 x = −1 + t

 y = 2 + 3 t ; t ∈ IR
 z = 5t

está contida no plano 2 x + y − z = 0.
19. Verifique que a reta
x = 2 + 2t

 y = 1 + t ; t ∈ IR
 z = 2 + 3t

não intercepta o plano x + y − z = 3.
20. Determine os valores de a , b e d para que o plano ax + by + 3 z = d seja
(a) paralelo ao plano 2 x + y − 5 z = 4 ;
(b) represente o mesmo plano que 2 x + y − 5 z = 4 .
21. Verifique que as retas
 x = 1+ t

r :  y = 2 − t ; t ∈ IR
z = 5 + t

e
 x = −2 + 2 t

s :  y = −5 + 3 t ; t ∈ IR
 z = 2 + 2t

são concorrentes e determine uma equação do plano por elas definido.
22. Determine a distância do ponto A( 2,1,3) a cada um dos planos
(a) x − 2 y + z = 1 ;
(b) x + y − z = 0 ;
(c) x − 5 z = 8 .
23. Sejam P o ponto (1,2,3) e Q o ponto (3,2,1) . Seja v o vetor (1,1,1) . Seja L a reta passando
por P e paralela a v .
(a) Dado um ponto X na reta L , calcule a distância de Q a X (como função do parâmetro t ).
(b) Mostre que existe precisamente um ponto X 0 na reta tal que esta distância atinge um
mínimo.
(c) Mostre que X 0 Q é perpendicular à reta L .
24. Determine:
x = 1 + 5 t

(a) a distância do ponto (5,4,−7) à reta r :  y = 2 − t ; t ∈ IR
 z =t

 x = 1+ 2 t

(b) a distância do ponto (1,2,−1) à reta r :  y = 5 − t ; t ∈ IR
z = − 2 + 3 t

(c) a distância do ponto ( 2,3,5) a cada um dos eixos do sistema de coordenadas.
25. Escreva uma equação do plano que contém o ponto A(1,−2,3) e é perpendicular a cada um dos
planos 2 x + y − z = 2 e x − y − z = 3 .
26. Escreva uma equação do plano paralelo ao eixo z e que contém a interseção dos planos
x+2 y +3 z = 4 e 2 x+ y+ z = 2.
27. Determine a equação da reta r que passa pelo ponto A( 3 , 2 ,1 ) e que é paralela aos planos
e de equações: : x − 2 y + z = 3 e
: 5x − 4 y + z = 1 .
28. Determine o ponto do plano ax + by + cz = d mais próximo da origem.
29. Escreva uma equação do plano paralelo a
2
2
2 x− y+6 z =4
e tangente à esfera
2
x + y + z − 4x + 2 y = 4 .
30. Determine o centro e o raio da circunferência de interseção da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 25 com o
plano 2 x + y + z = 4 .
31. Seja
o plano 2 x + y − z + 1 = 0 e r a reta que contém os pontos A(0,0,2) e B( 2,3,6) .
Determine as equações da reta m que contém o ponto C (1,2,3) , é perpendicular à reta r e
paralela ao plano .
32. Demonstrar que se (a, b, c) é unitário, então a distância da origem ao plano ax + by + cz = d é
d.



2



1+ t 1− t 
33. Prove que existe um plano que contém todos os pontos da forma  t ,
, para todo
,
t > 0.
t
t