3ª e 4 prova - calculo III

Universidade Federal de Campina Grande (UFCG) / Centro de Ciências e Tecnologia (CCT) / Unidade Acadêmica
de Matemática e Estatística (UAME)
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral III (2109105) – Turno: Manhã
Professor(a): __Jaime Alves Barbosa Sobrinho________________ Período: 2010.1
Aluno(a): _____________________________________________________ Nota: ________________
3ª Prova (A) – 21 de Junho de 2010
Questão 1: (2,5 pts) Calcule a integral curvilínea
 F  dr
C
(circulação do campo F), onde F (x,y) = xy i + (x2
+y2)j e C é a curva fechada simples ligando os pontos  1,1 e  2,4 pelo gráfico de y  x 2 e voltando pelo
gráfico de y  x  2 , usando:
a) A definição de integral curvilínea.
b) Usando o Teorema de Green.
c) É F um campo vetorial conservativo? Justifique!
Questão 2: (2,0 pts) Ache a área da superfície
S: parte do gráfico da esfera x 2  y 2  z 2  2 y definida para y  1




Questão 3: (2,5 pts) Seja F ( x, y, z )  ( y 2 cos x)i  (2 ysenx  e 2 z ) j  2 ye 2 z k .
 
a) Mostre que  F  dr independe do caminho (F é conservativo).
C

b) Ache uma função potencial para F .


c) Se F representa um campo de forças (ou um campo elétrico), ache o trabalho realizado por F (ou
diferença de potencial elétrico) ao longo de uma curva unindo os pontos 0,1, 1 a  ,3,2 .
2
2

Questão 4: (2,0 pt) Aplique o teorema da divergência para achar o fluxo de F através de S , onde S é a

 

superfície da região delimitada pelo cone z  x 2  y 2 e pelo plano z  0 e z  1 , e




F ( x, y, z )  ( x 2  z 2 )i  ( y 2  2 xy) j  (4 z  2 yz )k .
Questão
5 (2,0 pts) Use
a integral de superfície no teorema de Stokes para calcular a circulação do campo


 
2 3
F ( x, y, z )  x y i  j  zk , ao redor da curva
C: Interseção entre o cilindro x 2  y 2  4 e o hemisfério x 2  y 2  z 2  16, z  0 ,
orientada no sentido anti-horário quando vista de cima do eixo Z.
OBS: A nota será atribuída até o limite máximo de 10,0 pontos acertados!
– ☺ Estudo, Paciência e Atenção  Boas Provas ♥ –
(Boa Copa e Festas Juninas)
Universidade Federal de Campina Grande (UFCG) / Centro de Ciências e Tecnologia (CCT) / Unidade Acadêmica
de Matemática e Estatística (UAME)
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral III (2109105) – Turno: Manhã
Professor(a): __Jaime Alves Barbosa Sobrinho________________ Período: 2010.1
Aluno(a): _____________________________________________________ Nota: ________________
3ª Prova (B) – 21 de Junho de 2010
Questão 1: (2,5 pts) Calcule a integral curvilínea
 F  dr
C
(circulação do campo F), onde F (x,y) = xy i + (x2
+y2)j e C é a curva fechada simples ligando os pontos  2,4 e 2,4 pelo gráfico de y  x 2 e voltando pela
reta de y  4 , usando:
a) A definição de integral curvilínea.
b) Usando o Teorema de Green.
c) É F um campo vetorial conservativo? Justifique!
Questão 2: (2,0 pts) Ache a área da superfície
S: parte do gráfico da esfera x 2  y 2  z 2  2 x definida para x  1.




Questão 3: (2,5 pts) Seja F ( x, y, z )  ( zy  2 x)i  ( xz  2 yz ) j  ( xy  y 2  3z 2 )k .
 
a) Mostre que  F  dr independe do caminho (F é conservativo).
C

b) Ache uma função potencial para F .


c) Se F representa um campo de forças (ou um campo elétrico), ache o trabalho realizado por F (ou
diferença de potencial elétrico) ao longo de uma curva unindo os pontos 0,1,1 a 1,3,2 .

Questão 4: (2,0 pt) Aplique o teorema da divergência para achar o fluxo de F através de S , onde S é a
superfície da região delimitada pelo cone x  y 2  z 2 e pelo plano x  0 e x  1 , e




F ( x, y, z )  ( x 2  z 2 )i  ( y 2  2 xy) j  (4 z  2 yz )k .
Questão
5 (2,0 pts) Use
a integral de superfície no teorema de Stokes para calcular a circulação do campo

  
2 3
F ( x, y, z )  x z i  yj  k , ao redor da curva
C: Interseção entre o cilindro x 2  z 2  4 e o hemisfério x 2  y 2  z 2  16, y  0 ,
orientada no sentido anti-horário quando vista de cima do eixo Y.
OBS: A nota será atribuída até o limite máximo de 10,0 pontos acertados!
– ☺ Estudo, Paciência e Atenção  Boas Provas ♥ –
(Boa Copa e Festas Juninas)
Universidade Federal de Campina Grande (UFCG) / Centro de Ciências e Tecnologia (CCT) / Unidade Acadêmica
de Matemática e Estatística (UAME)
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral III (2109105) – Turno: Manhã
Professor(a): __Jaime Alves Barbosa Sobrinho________________ Período: 2010.1
Aluno(a): _____________________________________________________ Nota: ________________
4ª Prova (A) – 21 de Junho de 2010
Questão 1: (2,5 pts) Calcule a integral curvilínea
 F  dr
C
(circulação do campo F), onde F (x,y) = y2 i +x2j e
C é a curva fechada simples ligando os pontos  1,0 e 1,0 pelo segmento de reta x = 0 e voltando pelo semicirculo x 2  y 2  1, y  0 , usando:
d) A definição de integral curvilínea.
e) Usando o Teorema de Green.
f) É F um campo vetorial conservativo? Justifique!
Questão 2: (2,0 pts) Use uma parametrização para a superfície do parabolóide x 2  y 2  z  0 abaixo do plano
z  2 , expresse a área da superfície como uma integral dupla e calcule a integral.
Questão 3: (2,0 pts) Considere o campo vetorial F ( x, y, z )  (sen y cos x)i  (cos y sen x) j  k .
a) Justifique que F é um campo vetorial conservativo ou equivalentemente, que a forma diferencial
sen y cos xdx  cos y sen xdy  dz é exata;
b) Ache uma função potencial, f, para o campo F;
c) Calcule a integral  F  dr , onde C é a curva com parametrização r (t )  (1  t , t , t ), t  [0,1] , usando a definição
C
de integral curvilínea;
(0,1,1)
d) Confira o resultado do item c) usando o fato de que
 F  dr  
C
( 0 ,1,1)
(1, 0 , 0 )
F  dr  f ( x, y, z )
.
(1,0,0)

Questão 4: (2,0 pt) Aplique o teorema da divergência para achar o fluxo exterior de F através de S , onde S é a


superfície da esfera x 2  y 2  z 2  36 e F ( x, y, z )  (4 x 3  9 xy2 )i  ( y 3  e y sen z ) j  (4 z 3  e y cos z )k .
Questão
5 (2,5 pts) Use a integral de superfície no teorema de Stokes para calcular o fluxo do rotacional do




campo F ( x, y, z )  x 2 yi  2 y 3 zj  3zk , através da superfície S, na direção da normal exterior n .



r (r ,  )  (r cos  )i  (rsen ) j  rk , 0  r  1, 0    2 .
S: ~
(observar que as coordenadas cartesianas em S satisfazem x 2  y 2  z 2  0 , ou mesmo considerar
~
r ~
r
   r
n
)
~
r ~
r

 r
OBS: A nota será atribuída até o limite máximo de 10,0 pontos acertados!
– ☺ Estudo, Paciência e Atenção  Boas Provas ♥ –
(Boa Copa e Festas Juninas)
Universidade Federal de Campina Grande (UFCG) / Centro de Ciências e Tecnologia (CCT) / Unidade Acadêmica
de Matemática e Estatística (UAME)
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral III (2109105) – Turno: Manhã
Professor(a): __Jaime Alves Barbosa Sobrinho________________ Período: 2010.1
Aluno(a): _____________________________________________________ Nota: ________________
4ª Prova (B) – 21 de Junho de 2010
Questão 1: (2,5 pts) Calcule a integral curvilínea
 F  dr
C
(circulação do campo F), onde F (x,y) = x2y i +y2xj e
C é a é a fronteira da região no primeiro quadrante, compreendida entre os eixos coordenados e o círculo
x 2  y 2  16 com orientação positiva (anti-horária), usando:
a) A definição de integral curvilínea.
b) Usando o Teorema de Green.
c) É F um campo vetorial conservativo? Justifique!
Questão 2: (2,0 pts) Use uma parametrização para a superfície do parabolóide x 2  y 2  z  0 acima do plano
z  2 , expresse a área da superfície como uma integral dupla e calcule a integral.
Questão 3: (2,0 pts) Considere o campo vetorial F ( x, y, z )  ( y sen z )i  ( x sen z ) j  ( xy cos z )k .
a) Justifique que F é um campo vetorial conservativo ou equivalentemente, que a forma diferencial
y sen zdx  x sen xdy  xy cos zdz é exata;
b) Ache uma função potencial, f, para o campo F;
c) Calcule a integral  F  dr , onde C é a curva com parametrização r (t )  (1  t , t , t ), t  [0,1] , usando a definição
C
de integral curvilínea;
(0,1,1)
d) Confira o resultado do item c) usando o fato de que
 F  dr  
C
( 0 ,1,1)
(1, 0 , 0 )
F  dr  f ( x, y, z )
.
(1,0,0)

Questão 4: (2,0 pt) Aplique o teorema da
divergência para achar o fluxo exterior de F através de S , onde S é a




superfície da esfera x 2  y 2  z 2  25 e F ( x, y, z )  (5 x 3  12 xy2 )i  ( y 3  e y sen z ) j  (5 z 3  e y cos z )k .
Questão
5 (2,5 pts) Use a integral
de superfície no teorema de Stokes para calcular o fluxo do rotacional do





campo F ( x, y, z )  y 2 i  z 2 j  xk , através da superfície S, na direção da normal exterior n .



S: r ( ,  )  (2sen cos  )i  (2sen sen ) j  (2cos )k , 0     , 0    2 .
2
2
2
2
(observar que as coordenadas cartesianas em S satisfazem x  y  z  4 , ou mesmo considerar
r r

  
)
n
r r

 
OBS: A nota será atribuída até o limite máximo de 10,0 pontos acertados!
– ☺ Estudo, Paciência e Atenção  Boas Provas ♥ –
(Boa Copa e Festas Juninas)