DIVISÃO PROPORCIONAL.

20, 12 e 5 respectivamente, pois os produtos
2  30,3  20,5  12 e 12  5 são todas iguais.
DIVISÃO PROPORCIONAL
1. GRANDEZAS DIRETAMENTE
PROPORCIONAIS:
 Dada a sucessão de valores a1 , a 2 , a3 , a 4 ,..... ,


dizemos que estes valores são diretamente
proporcionais aos correspondentes valores da
b1 , b2 , b3 , b4 ,..... quando forem
sucessão


iguais as razões entre cada valor de uma das
sucessões e o valor correspondente da outra.
a1 a 2 a3


 ...........
b1 b2 b3
4. DIVISÃO EM PARTES PROPORCIONAIS:
 O resultado constante das razões obtidas de
duas sucessões de números diretamente
proporcionais é chamado de
Fator de
proporcionalidade.
Exemplo:
Ex1: Os valores 6, 7, 10 e 15, nesta ordem, são
diretamente proporcionais aos valores 12, 14,
20 e 30 respectivamente, pois as razões
6 7 10
15
, ,
e
são todas iguais, sendo
12 14 20
30
1
igual a
o Fator de proporcionalidade da
2
primeira para a Segunda.
 Como se pode observar, as sucessões de
números diretamente proporcionais formam
proporções
múltiplas
(é
a
igualdade
simultânea de três ou mais razões). Assim
sendo, podemos aproveitar todas as técnicas
estudadas no capítulo sobre proporções para
resolver problemas que envolvam grandezas
diretamente proporcionas.
2. GRANDEZAS INVERSAMENTE
PROPORCIONAIS:
 Dada a sucessão de valores a1 , a 2 , a3 , a 4 ,..... ,


todos diferentes de zero, dizemos que estes
valores são inversamente proporcionais aos
correspondentes
valores
da
sucessão
b1 , b2 , b3 , b4 ,..... , todos também diferentes de

3. RELAÇÃO ENTRE PROPORÇÃO INVERSA E
PROPORÇÃO DIRETA:
 Sejam duas sucessões de números, todos
diferentes de Zero. Se os números de uma são
inversamente proporcionais aos números da
outra, então os números de uma delas serão
diretamente proporcionais aos inversos dos
números da outra.
 Esta relação nos permite trabalhar com
sucessões
de
números
inversamente
proporcionais como se fossem diretamente
proporcionais.

zero, quando forem iguais os produtos entre cada
valor de uma das sucessões e o valor
correspondente da outra.
a1  b1  a 2  b2  a3  b3  ........
Exemplo:
Ex1: Os valores 2, 3, 5 e 12, nesta ordem, são
inversamente proporcionais aos valores 30,
CASO 1: DIVISÃO EM PARTES DIRETAMENTE
PROPORCIONAIS
 Dividir um número N em partes diretamente
a, b, c,......... ,
proporcionais aos números
significa encontrar os números
tais que:
A, B, C ,......... ,
A B C
   ........  A  B  C  .....  N
a b
c
Exemplo:
Ex1: Dividir o número 540 em partes proporcionais
aos números: 1, 2 e 3.
Solução:
a b c
abc a b c
  
   
1 2 3
1 2  3 1 2 3
540 a b c
a b c

    90   
6
1 2 3
1 2 3
a
 90 
a  90
1
b
 90 
b  180
2
c
 90 
c  270
3
Respostas: as partes são 90, 180 e 270.
CASO 2: DIVISÃO EM PARTES INVERSAMENTE
PROPORCIONAIS:
 Dividir um número N em partes inversamente
proporcionais a números dados a, b, c,......... ,
significa encontrar os números
tais que:
A, B, C ,......... ,
a  A  b  B  c  C  .........
e

 27 p  270  p 
Exemplo:
Ex1: Dividir o número 6500 em partes inversamente
proporcionais aos números: 2, 3 e 4.
Solução:
1 1
1
, e ;
2 3
4
reduzimos ao mesmo denominador.
6 4
3
,
e
12 12
12
 O problema fica: “Dividir 6500 em partes
proporcionais aos números 6, 4 e 3.
a b c
abc
a b c
  
   
6 4 3
643 6 4 3
6500 a b c
a b c

    500   
13
6 4 3
6 4 3
a
 500 
a  3.000
6
b
 500 
b  2.000
4
c
 500 
c  1.500
3
Respostas: as partes são 3. 000, 2. 000 e 1. 500.
CASO 3: DIVISÃO COMPOSTA DIRETA
 Chamamos de divisão composta direta à
divisão de um número em partes que devem ser
diretamente proporcionais a duas ou mais
sucessões de números dados, cada uma.
 Para efetuarmos a divisão composta direta,
devemos:
1) Encontrar uma nova sucessão onde cada valor
será o produto dos valores correspondentes das
sucessões dadas;
2) Efetuar a divisão do número em partes
diretamente proporcionais aos valores da nova
sucessão encontrada.
Exemplo:
Ex1: Dividir o número 270 em três partes que
devem ser diretamente proporcionais aos
números 2, 3 e 5 e também diretamente
proporcionais aos números
4, 3
e
2,
respectivamente.
Solução:
 Indicando por A, B e C as três partes
procuradas, devemos Ter:
 A será ser proporcional a 2 e 4
 2 4  8  A  8p

B será ser proporcional a 3 e 3
 3 3  9  B  9 p
 5  2  10  C  10 p
A  B  C  270  8 p  9 p  10 p  270 
A  B  C  ......  N
 Invertemos os números: 2,3 e 4 
C será ser proporcional a 5 e 2
270

27
p  10
Então :
A  8 p  8  10 
A  80
B  9 p  9  10 
C  10 p  10  10 
B  90
C  100
 Portanto, as três partes procuradas são: 80, 90 e
100.
CASO 4: DIVISÃO COMPOSTA MISTA
 Chamamos de divisão composta mista à
divisão de um número em partes que devem ser
diretamente proporcionais aos valores de uma
sucessão dada e inversamente proporcionais
aos valores de uma outra sucessão dada.
 Para efetuarmos uma divisão composta mista,
devemos:
1) Inverter os valores da sucessão que indica
proporção inversa, recaindo assim num caso de
divisão composta direta;
2) Aplicar o procedimento explicado anteriormente
para as divisões compostas diretas.
Exemplo:
Ex1: Dividir o número 690 em três partes que
devem ser diretamente proporcionais aos
números 1, 2 e 3 e inversamente proporcionais
aos números 2, 3 e 4, respectivamente.
Solução:
 Invertendo os valores da sucessão que indica
proporção inversa, obtemos:
1 1
,
2 3
e
1
4
 Reduzindo as frações a um denominador comum,
teremos:
6 4
3
,
e
 6,4 e 3
12 12
12
 Então, indicando por A, B e C as três partes
procuradas, devemos Ter:

A será ser proporcional a 1 e 6

B será ser proporcional a 2 e 4

C será ser proporcional a 3 e 3
 1 6  6  A  6 p
 2 4  8  B  8p
 3 3  9  C  9 p
A  B  C  690  6 p  8 p  9 p  690 
 23 p  690  p 
690

23
p  30
Então :
A  6 p  6  30 
A  180
B  8 p  8  30 
C  9 p  9  30 
B  240
C  270
 Portanto, as três partes procuradas são: 180,
240 e 270.
5. REGRA DA SOCIEDADE:
 É uma aplicação da divisão em partes
diretamente proporcionais.
Exemplo:
Ex1: Duas pessoas formam um a sociedade e
lucram R$2.500.000,00 . O primeiro entrou
R$7.000.000,00 e o segundo com
R$5.500.000,00 . Qual o lucro de cada um ?
com
Solução:
 Vamos
dividir
proporcionais
R$2.500.000,00 em partes
R$7.000.000,00 e
a
R$5.500.000,00 .
y
2.500.000
x



7.000.000  5.500.000 7.000.000 5.500.000

y
2.500.000
x



12.500.000 7.000.000 5.500.000

y
25
x



125 7.000.000 5.500.000

y
1
x



5 7.000.000 5.500.00
Então :
1
x
7.000.000

x

5 7.000.000
5
y
1
5.500.000

y

5 5.500.00
5
x  1.400.000,00
y  1.100.000,00