Escola Municipal de EnsinoFundamental Rio Grande do Sul 04/03/2013 Máximo divisor múltiplo comum: comum e mínimo Os Números Racionais e Irracionais Vimos anteriormente que o conjunto números racionais é o conjunto denotado Dados dois números naturais m e n, chamaremos de maior divisor comum entre n e m o número natural mdc (m,n) que é obtido pelo produto dos fatores comuns entre m e n. Assim podemos dizer que dois números naturais n e m são primos entre si quando mdc (n,m) = 1. Q 36 18 9 3 1 2 2 3 3 22.32 a ,a b Zeb Z ,b 0 . Mas se tivéssemos a onde a e b são números primos entre si e, b além disso, b 0 , porém os números irracionais não forma têm essa propriedade, sendo assim precisamos saber como escrever um número fracionário em sua forma decimal. Mas antes de aprendermos a escrever um número decimal na sua na forma fracionária e viceversa, vejamos alguns critérios de divisibilidade que facilitarão nosso trabalho. Assim o m.d.c.(120, 36) = 22.3 = 12 Se tivermos, por exemplo, a situação de os números a e b serem primos entre si, o mdc desses dois números será sempre igual a 1. O mínimo múltiplo comum entre m e n, denotado por m.m.c.(m,n) pode ser calculado pelo produto de todos os fatores primos na decomposição de m e n, considerados uma única vez e de maior expoente. Exemplo: Vamos calcular o m.m.c. entre 120 e 36: 120 2 36 2 60 2 18 2 30 2 9 3 15 3 3 3 5 5 1 22.32 3 1 2 .3.5 3 x /x dos por um número expresso na sua forma decimal, por exemplo, 7,454545..., ou 0,1010010001... Como poderíamos afirmar se esses números são racionais ou irracionais? Nosso objetivo agora é encontrar uma forma de responder essa pergunta. Sabemos que os números racionais podem ser expressos em forma de fração irredutível, ou seja, na Exemplo: Vamos calcular o m.d.c. entre 120 e 36. 120 2 60 2 30 2 15 3 5 5 1 23.3.5 Professor Paulo Hollweg Critérios de divisibilidade Vejamos agora alguns critérios de divisibilidade. Divisibilidade por 2 Um número é divisível por 2 quando é par, ou seja, seus possíveis algarismos da unidade são 0, 2, 4, 6 ou 8. Exemplo: 42, 100, 1.445.086 , 8, 354. Divisibilidade por 3 2 Assim o m.m.c (120, 36) = 2 .3 .5 = 360. Um número é divisível por 3 quando a soma dos seus algarismos é divisível por 3. É fácil ver que para obtermos o m.m.c. entre dois números que são primos entre si, basta multiplicarmos esses dois números. Exemplo: 123 (S= 1 + 2 + 3 = 6), 36 (S=3+6=9), 1.478.391 (S=33), 570 (S=5+7+0=12). Obs.: Existe uma relação entre o m.m.c e o m.d.c de dois números naturais a e b. Temos que mmc(a,b).mdc(a,b)=a.b, ou seja, o produto entre o m.m.c e o m.d.c de dois números é igual ao produto entre esses dois números a e b. Se dois números naturais n e m são primos entre si então as razões Divisibilidade por 4 Um número é divisível por 4 quando os dois últimos algarismos formam um número divisível por 4. n m e são ditas irredutíveis, m n Exemplo: 200. caso contrario, n e m possuem fator comum, ou seja, são frações redutíveis, em outras palavras, podem ser simplificadas, eliminando os seus fatores em comum. 956, 844, 1.336, 120, 8.357.916, 752, Divisibilidade por 5 0 ou 5. 1 Um número é divisível por 5 quando termina em Escola Municipal de EnsinoFundamental Rio Grande do Sul 04/03/2013 Exemplo: 475, 800, 1.267.335, 10, 65 Professor Paulo Hollweg Exemplo: 100 - 120 - 1.252.780 - 1.389.731.630 Divisibilidade por 6 Divisibilidade por 11 Um número é divisível por 6 quando é divisível por 2 e 3 ao mesmo tempo. Exemplo: 36, 24, 126, 1476 Um número é divisível por 11 quando a diferença entre as somas dos algarismos de ordem ímpar e de ordem par, a partir da direita for múltipla de 11. Divisibilidade por 7 Exemplo: Para verificarmos se um número dado é divisível por 7, tome o último algarismo e calcule seu dobro. Subtrair esse resultado do número formado pelos algarismos restantes. Se o resultado for divisível por 7 então, o número original também será divisível por 7. S (ordem ímpar) = 7 + 2 + 7 + 7 = 23 Exemplo: 7.973.207 S (ordem par) = 0 + 3 + 9 = 12 Diferença = 11. 238 : 8 x 2 = 16 23 - 16 = 7 : como 7 é divisível por 7 , 238 também é divisível. Dízimas Periódicas 693 I – Conversão de Frações Ordinárias em Números Decimais 3x2=6 69 - 6 = 63 63 Sabemos que para transformarmos uma fração ordinária em um número decimal basta dividirmos o numerador pelo denominador dessa fração. Estudaremos agora as três maneiras como isso ocorre, e para tal transformaremos as frações ordinárias em números decimais. 3x2=6 6 - 6 = 0: como 0 é divisível por 7, 693 também é divisível. Exemplo: 235 5 x 2 = 10 1º Caso: Ao transformarmos a fração 23 - 10 = 13: como 13 não é divisível por 7, 235 também não é divisível. número decimal, encontraremos 0,75 e resto zero. Nesse caso diremos que a fração se converte num número decimal exato, ou numa decimal exata. Divisibilidade por 8 2º Caso: Ao transformarmos a fração Um número é divisível por 8 quando os três últimos algarismos formam um número divisível por 8. Exemplo: 5 3 num número decimal, encontraremos 1,666.... Nesse caso diremos que a fração se converte num número decimal periódico, ou numa dízima periódica. O algarismo 6 que se repete infinitamente é chamado período da dízima. A dízima 1,666... é uma dízima periódica simples, já que, logo após a vírgula vem o período 6. 876.400 - 152 - 245.328.168 Divisibilidade por 9 Um número é divisível por 9 quando a soma dos seus algarismos é divisível por 9. Exemplo: 3 em um 4 3º Caso: Ao transformarmos a fração 36 - 162 - 5463 - 5.461.047 7 12 num número decimal, encontraremos 0,58333... Nesse caso Divisibilidade por 10 diremos que a fração 7 12 se converte num número decimal periódico, ou numa dízima periódica. O número 3 é o período da dízima e o número 58 que o antecede é chamado de parte não periódica, não Um número é divisível por 10 quando termina em 0. 2 Escola Municipal de EnsinoFundamental Rio Grande do Sul 04/03/2013 período ou ante período. A dízima 0,58333... é uma dízima periódica composta, já que após a vírgula vem o ante período 58 e somente após vem o período 3. Exemplo 6: A fração ordinária e irredutível 8/117 se converterá numa Dízima Periódica Simples já que o seu denominador 117 só contém os fatores primos 3 e 13. 3º Caso: Dízima Periódica Composta – Uma fração ordinária e irredutível se transformará numa Dízima Periódica Composta quando seu denominador, além dos fatores primos 2, 5 ou 2 e 5, contiver outros fatores primos quaisquer. O número de ordens, ou casas decimais, do ante período será dado pelo maior expoente dos fatores 2 ou 5. II – Notação de uma Dízima Periódica Uma Dízima Periódica poderá ser representada de três formas diferentes: 0, 272727... 0, (27) 0, 03888... 0, 03(8) Professor Paulo Hollweg 0, 27 0, 038 Exemplo 7: A fração ordinária e irredutível 2/15 se converterá numa Dízima Periódica Composta já que o seu denominador 15 contém além do fator primo 3, o fator primo 5 (15 = 3 x 5). Essa Dízima Periódica Composta terá um ante período com 1 casa decimal, já que o expoente do fator 5 é 1. III – Os Casos da Conversão de Frações Ordinárias em Números Decimais 1º Caso: Número Decimal Exato – Uma fração ordinária e irredutível se transformará numa decimal exata quando seu denominador contiver apenas os fatores primos 2 , 5 ou 2 e 5. O número de ordens, ou casas decimais, será dado pelo maior expoente dos fatores 2 ou 5. Exemplo 8: A fração ordinária e irredutível 75/52 se converterá numa Dízima Periódica Composta já que o seu denominador 52 contém além do fator primo 2, o fator primo 13 (52 = 22 x 13). Essa Dízima Periódica Composta terá um ante período com 2 casas decimais, já que o expoente do fator 2 é 2. Exemplo 1: A fração ordinária e irredutível 7/4 se converterá numa decimal exata já que o denominador 4 só contém o fator primo 2, pois (4=22 ). Essa decimal exata terá 2 casas decimais, já que o expoente do fator 2 é 2. Exemplo 9: A fração ordinária e irredutível 7/680 se converterá numa Dízima Periódica Composta já que o seu denominador 340 contém além dos fatores primos 2 e 5, o fator primo 17 (680 = 23 x 5 x 17). Essa Dízima Periódica Composta terá um ante período com 3 casas decimais, já que o expoente do fator 2 é 3. Exemplo 2: A fração ordinária e irredutível 71/125 se converterá numa decimal exata já que o seu denominador 125 só contém o fator primo 5 (125 =5 3 ). Essa decimal exata terá 3 casas decimais, já que o expoente do fator 5 é 3 IV – Geratriz de uma dizima periódica: Definimos Geratriz de uma dízima periódica como sendo a fração ordinária que originou essa dízima. Exemplo 3: A fração ordinária e irredutível 93/80 se converterá numa decimal exata já que o seu denominador 80 só contém os fatores primos 2 e 5 ( 40 = 24 x 5 ). Essa decimal exata terá 4 casas decimais, já que o expoente do fator 2 é 4. Exemplo 1: 1/3 é a geratriz da dízima periódica simples 0,333... Exemplo 2: 23/30 é a geratriz da dízima periódica composta 0,7666... 2º Caso: Dízima Periódica Simples – Uma fração ordinária e irredutível se transformará numa Dízima Periódica Simples quando seu denominador contiver apenas fatores primos diferente dos fatores primos 2 , 5 ou 2 e 5. V – Geratriz de uma dizima periódica simples: Exemplo 4: A fração ordinária e irredutível 16/9 se converterá numa Dízima Periódica Simples já que o seu denominador 9 só contém o fator primo 3. A geratriz de uma dízima periódica simples é a fração cujo numerador é o período e cujo denominador é formado por tantos “noves” quantos forem os algarismos do período. Se a dízima possuir parte inteira, ela deve ser incluída à frente dessa fração, formando um número misto. Exemplo 5: A fração ordinária e irredutível 43/77 se converterá numa Dízima Periódica Simples já que o seu denominador 77 só contém os fatores primos 7 e 11. 3 Escola Municipal de EnsinoFundamental Rio Grande do Sul 04/03/2013 Exemplo 1: Calcular a geratriz de 0,555... 0,555... casas decimais e se for uma dízima periódica composta determine o número de casas decimais do ante período. 5 9 Exemplo 2: Calcular a geratriz de 1,363636... 1,363636... 36 99 1 1 4 11 15 11 Exemplo 3: Calcular a geratriz de 2,006006006... 2,006006006... 2 006 999 2 2 333 Professor Paulo Hollweg 3 40 01) 6 21 04) 20 02) 11 26 05) 91 13 03) 12 3 56 06) 8 07) 224 17 34 16 08) 23 33 09) 132 25 875 10) 668 333 11) 2n 12 16 30 12) 20 24 32 5p 13). Determine todos os valores possíveis de m,p e q para que a fração VI - Geratriz de uma dizima periódica composta: 56 se converta numa decimal m 2 .5p .7 q exata com três casas decimais. 14). Determine os valores naturais de m e p para a A geratriz de uma dízima periódica composta é a fração cujo numerador é o ante período, acrescido do período e diminuído do ante período e cujo denominador é formado por tantos “noves” quantos forem os algarismos do período, acrescido de tantos “zeros” quantos forem os algarismos do ante período. Se a dízima possuir parte inteira, ela deve ser incluída à frente dessa fração, formando um número misto. fração ordens decimais e tenha o maior valor possível. 15). Que relação deve haver entre a e b de modo que a fração 036 03 900 33 900 16). Determine o valor mínimo da soma dos naturais m+n de modo que a fração 11 300 430 4 990 1 1 426 990 Calcule as geratrizes das dízimas periódicas: 236 165 17) 18) 19) 20) 21) 22) 23) Exemplo 3: Calcular a geratriz de 2,14272727... 2,14272727... 2 1427 14 9900 352 se converta numa 34m.9n dízima periódica composta com 2 algarismos na parte não periódica. Exemplo 2: Calcular a geratriz de 1, 430 . 1, 4303030... 25a seja a geratriz de uma dízima periódica 125b.51 simples. Exemplo 1: Calcular a geratriz de 0,03666... 0, 03666... 37 se converta numa decimal exata com 4 m 4 .25p 2357 1100 Obs.: Para facilitar as operações entre números decimais, toda dízima periódica deve ser convertida em sua fração geratriz e somente aí serem efetuadas as operações necessárias. Fica mais fácil se trabalharmos com todos os números no mesmo formato, ou fracionários ou decimais. 0,555... 2,(36) 1,(09) 5,018018018... 1,04727272... 1,32(4) 1,05(3) 24) 25) 26) 27) 28) 29) 30) Calcule o valor das expressões abaixo: 31) Exercícios: Determine a natureza de cada uma das frações quando convertidas em números decimais. Se a resposta for uma decimal exata, determine o número de 0,444... 0,666... 32) 0,(15) – (0,333...)2 = 4 1,030303... 0,003003003... 2,027027027... 0,0666... 2,06818181... 1,291666... 3,61666... Escola Municipal de EnsinoFundamental Rio Grande do Sul 04/03/2013 33). O quociente Professor Paulo Hollweg (E) 1 dia, 9 horas, 50 minutos e 24 segundos x dos números x = 0,01010101... e y 39). (UFRGS 2002) Os y = 0,1010101010... é: 3 de um dia correspondem 50 a: (A) irracional (B) 10 (C) um inteiro diferente de 10 (D) 0,001 (E) 0,1 34). Se a = 0,333... e b = 0,444..., então a: 1 (A) 1 hora, 4 minutos e 4 segundos (B) 1 hora, 26 minutos e 4 segundos 2a b é igual (C) 1 hora, 26 minutos e 24 segundos (A) 0,222... (B) 0,444... (C)0,666... (D) 0,777... (E) 0,999... 35). O valor de (0,2) 3 (0,16) 2 é: 40). (UFRGS 2001) 0,3 semanas corresponde a: (A)0,0264 (B)0,0336 (A) 2 dias e 11 horas (D) 1 hora, 40 minutos e 4 segundos (E) 1 hora e 44 minutos (C)0,1056 (D)0,2568 (E) 0,6256 (B) 2 dias, 2 horas e 4 minutos 36). A expressão y y x 1 (C) 2 dias, 2 horas e 24 minutos x , para x 0 e y (D) 2 dias e 12 horas 0, equivale a: (A) –y (D) x y x y x (E) 3 dias (B) y x (E) x y y 41). (UFRGS 2008) Se x y 0,060606..., então x+y é igual a: (C) –x (A) 1,01 (D) 37).(UFRGS 1999) A dívida de uma pessoa dobra a cada três meses. Se a dívida está acumulada hoje em 1200 reais, há seis meses atrás a dívida era de: (A) R$ 75,00 (B) 1,11 100 99 (E) 0,949494... (C) 10 9 110 9 Gabarito (B) R$ 150,00 (C) R$ 300,00 (D) R$ 450,00 (E) R$ 600,00 38). (UFRGS 2000) Considerando que um dia equivale a 24 horas, 1,41 dias equivale a: (A) 1 dia, 4 horas e 10 minutos (B) 1 dia, 9 horas e 8 minutos (C) 1 dia, 9 horas, 50 minutos e 4 segundos (D) 1 dia, 9 horas, 50 minutos e 40 segundos 5 33-E 34-B 35-B 36-D 38-E 39-C 40-C 41-D 37-C e