Nível 3 - Ibilce

Nível 3
Instruções para a realização da Prova
Leia com muita atenção!
Prova da segunda fase
Caro Aluno,
Parabéns pela sua participação na décima segunda edição da Olimpíada de Matemática de São José do Rio Preto! Lembre-se de que uma Olimpíada é diferente de uma
prova escolar. Muitas vezes, as questões que você vai ‘enfrentar’ não serão compreendidas
na primeira leitura. Leia-as novamente para entender perfeitamente o que se pede. Depois,
pense..... Bem-vindo ao mundo dos desafios !!! Não importa a quantidade de questões que
vai acertar ou errar ao final da prova. Cada exercício que você conseguir resolver representa
uma vitória. Dos erros, você poderá tirar várias lições e, com certeza, passará a entender
um pouco mais dessa apaixonante ciência que é a Matemática. Desejamos a todos uma boa
prova. Atenciosamente,
Comissão Organizadora
Instruções:
· O tempo de duração da prova é de três horas.
· Esta é uma prova de múltipla escolha. Cada questão é seguida por cinco alternativas
(a, b, c, d, e). Somente uma delas é correta.
· Marque as opções no quadro de respostas da folha em anexo, utilizando caneta azul ou
preta.
Por exemplo, para marcar a opção B na questão 10:
10)
A
B
C
D
E
Realização:
Departamento de Matemática do Ibilce - Unesp, São José do Rio Preto.
SOMA - Sociedade dos Matemáticos.
Apoio:
CNPq - Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico.
AOBM - Associação Olimpíada Brasileira de Matemática.
Diretoria Regional de Ensino de São José do Rio Preto.
Secretaria Municipal de Educação de São José do Rio Preto.
O gabarito estará disponível no site www.mat.ibilce.unesp.br/olimpiada
das 20 horas de 31/05/2016 (terça-feira).
OMRP
a partir
RASCUNHO
Gabarito
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
Alternativa D
Alternativa C
Alternativa A
Alternativa A
Alternativa D
Alternativa E
Alternativa C
Alternativa C
Alternativa B
Alternativa B
Alternativa B
Alternativa B
Alternativa A
Alternativa D
Alternativa A
Alternativa D
Alternativa A
Alternativa A
Alternativa D
Alternativa E
Alternativa D
Alternativa E
Alternativa A
Alternativa C
Alternativa B
21 de Maio de 2016
1.
r
n
6.
8.
9.
10.
11.
12.
A famosa Conjectura de Goldbach diz que todo número inteiro par maior que 2 pode ser escrito como a
soma de dois números primos. Por exemplo, 16 pode
ser representado por 5 + 11 ou, ainda, por 3 + 13. Considerando todas as possíveis representações de 126,
qual a maior diferença entre os dois primos que a formam?
a)
b)
c)
d)
e)
7.
2.
3.
4.
5.
6.
16.
18.
20.
24.
36.
o
d
e
Q
U
E
S
T
Õ
E
S
Para realizar um trabalho de Ciências, Zé da Álgebra
construiu três viveiros e colocou, em cada um, etiquetas com os números I, II e III. Em um dos viveiros
colocou apenas joaninhas; em outro viveiro, colocou
apenas aranhas e, no último viveiro, colocou o mesmo
número de joaninhas e de aranhas. No viveiro número I havia 56 patas, no número II havia 54 patas e no
número III, 48 patas. Sabendo que cada joaninha tem
6 patas e cada aranha tem 8 patas, a associação correta
está representada em:
a) viveiro I: aranhas, viveiro II: joaninhas e viveiro III:
joaninhas e aranhas.
b) viveiro I: joaninhas, viveiro II: joaninhas e aranhas
e viveiro III: aranhas.
c) viveiro I: aranhas, viveiro II joaninhas e aranhas: e
viveiro III: joaninhas.
d) viveiro I: joaninhas, viveiro II: aranhas e viveiro III:
joaninhas e aranhas.
e) viveiro I: joaninhas e aranhas, viveiro II: joaninhas
e viveiro III: aranhas.
19.
20.
39.
40.
41.
Uma grande empresa tem 84 funcionários e sabe-se
que cada funcionário fala pelo menos uma das línguas,
português ou inglês. Além disso, 20% dos que falam
português também falam inglês, e 80% dos que falam
inglês também falam português.
Quantos funcionários falam as duas línguas?
a)
b)
c)
d)
e)
5.
e
Numa balança de dois pratos vê-se que dois cones e
uma bola pesam o mesmo que um cubo; também uma
bola e um cubo pesam o mesmo que três cones. Um
único cone pesa o mesmo que quantas bolas?
a)
b)
c)
d)
e)
4.
d
O módulo da diferença entre n e 10 é menor do que 1.
Quantos inteiros n existem nessas condições?
a)
b)
c)
d)
e)
3.
a
Dois lados de um quadrilátero medem, respectivamente, 1 e 4. Uma de suas diagonais, de comprimento 2, divide o quadrilátero em dois triângulos isósceles. Qual é
o perímetro do quadrilátero?
a)
b)
c)
d)
e)
2.
C
Há 50 bolas numa caixa, sendo algumas brancas, outras, azuis e outras, vermelhas. O número de bolas
brancas é onze vezes o número de bolas azuis. Há menos bolas vermelhas do que brancas, mas há mais bolas
vermelhas do que azuis. Há quantas bolas vermelhas a
menos do que bolas brancas na caixa?
a)
b)
c)
d)
e)
8.
2.
11.
19.
22.
30.
Ana Lítica vai fazer uma escalada em uma parede com
a forma de um triângulo isósceles, ABC, de base BC,
como indicado na figura a seguir. O lado BC mede
4 metros, e o ângulo BÂC no topo da parede mede 20°.
Ana começou a subir a parede no ponto B e está a subir
em zig-zag, de B para D e de D para E, de tal forma que
em cada dos percursos anda 4 metros. Quando chega
ao ponto E, a que distância está do ponto de partida?
a)
b)
c)
d)
e)
2 metros.
33 metros.
4 metros.
42 metros.
43 metros.
80.
88.
92.
100.
112.
Olimpíada de Matemática de Rio Preto - OMRP
3
21 de Maio de 2016
9.
C
a
d
e
As cidades A, B e C são interligadas, duas a duas, por
estradas. A estrada que vai de C até A tem o mesmo
comprimento que a estrada que vai de C até B. No
meio do caminho, na estrada entre A e C fica um posto
de gasolina. Zé da Álgebra está em B e quer ir ao posto
de gasolina abastecer seu carro. Consultando o mapa,
observa que, indo por C, a viagem é de 18 km, e que,
por A é de 14 km. Opta, então, pelo caminho mais curto. Quantos quilômetros ele percorre até chegar a A?
a)
b)
c)
d)
e)
4.
8.
12.
14.
18.
r
n
o
d
e
Q
U
E
S
T
Õ
E
S
12. Na figura a seguir, o triângulo DFG é equilátero e as
retas t e s são paralelas. O ângulo assinalado com x tem
medida igual a:
a)
b)
c)
d)
e)
30°.
40°.
45°.
50°.
60°.
10. O número de quadrados perfeitos que dividem 2016 é:
a)
b)
c)
d)
e)
3.
5.
6.
12.
15.
13. A sequência de números t1, t2, t 3, ... está definida por
 t1 = 2
tn – 1 , para todo n natural. O valor de t 2016 é

 tn + 1 = t + 1
n
igual a:
a) – 3.
11. O quadro a seguir deve ser completado apenas por números naturais, de modo que, se em dois retângulos
consecutivos estão escritos os números m e n, então no
retângulo que está abaixo desses dois retângulos iniciais deve estar escrito a soma de m com n, isto é:
Que número deve estar escrito no retângulo com a letra
X?
1
b) – .
2
1
c) .
3
d) 2.
e) 3.
14. Na figura a seguir, podem-se contar vários triângulos.
Quantos desses triângulos contêm pelo menos um *
em seu interior?
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
7.
8.
9.
10.
12.
2.
3.
4.
5.
6.
Olimpíada de Matemática de Rio Preto - OMRP
4
21 de Maio de 2016
C
a
d
e
15. Em uma sala de aula há 20 alunos. A professora de
Matemática escolheu um dia do ano em que estamos
(2016), que não era o dia do aniversário de nenhum
dos alunos, e pediu, nesse dia, a cada um de seus alunos que calculasse a soma do ano em que nasceu com
sua idade. Em seguida, a professora somou os 20 resultados encontrados pelos alunos e encontrou o valor
40 312. Dos 20 alunos da sala, quantos ainda não tinham feito aniversário até esse dia?
a)
b)
c)
d)
e)
8.
9.
11.
14.
15.
r
n
o
d
U
E
S
T
Õ
E
S
a)
b)
c)
d)
e)
9.
12.
13.
15.
17.
20. Na figura abaixo, ABCD é um retângulo:
A
3
6
B
6
10
9
x
9
I. (1 + n + n + n ) é um quadrado perfeito.
II. (1 + n3 + n6 + n9) é um número composto.
III. (1 + n3 + n6 + n9) é um número par.
Apenas I.
Apenas I e II.
Todas são verdadeiras.
Apenas II.
Apenas II e III.
17. Sejam A e B dois números inteiros e positivos. Dizemos que A é “filhote” de B, se A < B, A é divisor de
B e, além disso, a soma dos algarismos de A é igual à
soma dos algarismos de B.
Por exemplo, 12 é “filhote” de 300, pois 12 < 300, 12
é um divisor de 300 e ainda, 1 + 2 = 3 + 0 + 0.
Quantos filhotes tem o número 2016?
a)
b)
c)
d)
e)
Q
19. Ana Lítica tinha uma quantidade de doces. Ao distribuí-los igualmente entre cinco amigos, ela ainda ficou
com três doces. Essa quantidade é um número múltiplo
de 6 que está entre 65 e 100. Determine a soma de seus
algarismos:
16. Se n é um inteiro positivo, qual(is), das seguintes afirmações sobre o número (1 + n3 + n6 + n9) é (são) sempre verdadeira(s)?
a)
b)
c)
d)
e)
e
11.
13.
14.
16.
10.
18. Resolva, em IN, o sistema abaixo.
D
C
Os números representam as áreas dos quatro quadriláteros formados internamente no retângulo ABCD.
Determine x.
a)
b)
c)
d)
e)
36.
32.
24.
18.
15.
21. Consideremos 48 bolas repartidas em três montes, A,
B e C de maneira que do monte A, passemos para B a
quantidade de bolas que há em B; logo em seguida, do
monte B passemos para C a quantidade de bolas que
há em C; e, depois, passemos de C para A a quantidade
de bolas que há em A. No final, todos os montes têm a
mesma quantidade de bolas. Quantas bolas havia inicialmente em A?
a)
b)
c)
d)
e)
16.
19.
20.
22.
30.
 x  (y + z) = 35
 y  (x + z) = 27
 z  (x + y) = 32
Suas soluções naturais são as medidas dos lados de um
triângulo. Determine sua área.
a)
b)
c)
d)
e)
6.
9.
11.
13.
14.
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C
a
d
e
r
n
o
d
e
Q
U
E
S
T
Õ
E
S
22. O número (102 + 103 + ...... + 102016 ) 2016 possui no
final
a)
b)
c)
d)
e)
4 064 256 zeros.
2 033 135 zeros.
2 016 zeros.
1 000.000 zeros.
4 032 zeros.
23. Chico das Contas escreveu, em sucessão, todos
os números de 1 a 2016, em ordem, um ao lado do
outro. Assim, formou um número muito grande,
12345678910 ........ 20152016. Qual o seu algarismo
central?
a)
b)
c)
d)
e)
1.
3.
5.
7.
9.
24. Maicon Binatória classificou seus livros através de
uma chave com três letras, utilizando em ordem alfabética: AAA, AAB, AAC, ..., AAZ, ABA, ABB, etc.
Considerando o alfabeto de 26 letras e que ele tem
2203 livros, qual foi o último código que ele utilizou?
a)
b)
c)
d)
e)
CFR.
CHJ.
DGS.
DFH.
DEP.
25. No triângulo ABC, da figura a seguir, AD é uma me^ é 30° e a medida de
diana. A medida do ângulo ABC
^ é 45°. Qual a medida do ângulo DAC?
^
ADC
a)
b)
c)
d)
e)
45°.
30°.
25°.
20°.
15°.
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