Grafos Conexos - DCCE/Ibilce/Unesp

5 – Grafos Conexos
Considere os grafos abaixo:
G1
v1
G2
v2
v2
v1
É possível achar um caminho entre os vértices v1 e v2?
Definição 1 – Um grafo é dito conexo se existir pelo menos um caminho entre cada par de
vértices do grafo. Caso contrário, o grafo é chamado de desconexo.
O grafo G1 acima é conexo, e o grafo G2 é desconexo.
Componente – cada um dos subgrafos conexos maximais de um grafo desconexo é chamado de
uma componente do grafo. Ou seja, uma componente é um subgrafo conexo que não esteja
estritamente contido em outros subgrafos conexos. (Seja S e S’, tal que S’⊂ S. S’ é maximal em
relação a uma propriedade P quando S’ satisfaz P e não existe S’’ ⊃ S’ que também satisfaz P.)
Dado um grafo qualquer, como determinar se o grafo é conexo?
Teorema 5.1 – Um grafo G(V,A) é desconexo se e somente se seu conjunto de vértices V puder
se particionado em dois conjuntos disjuntos e não vazios, V1 e V2, de forma que não exista uma
aresta com uma extremidade em V1 e outra extremidade em V2.
Prova:
⇒ g é desconexo então existe uma partição de V, V1 e V2, tal que não existe uma aresta com
uma extremidade em V1 e outra extremidade em V2.
Seja G um grafo desconexo. Precisamos encontrar uma partição de V que satisfaça a
propriedade acima. Considere um vértice vi qualquer de V. Forme o conjunto V1 com todos os
vértices de V que estejam ligados a vi pôr um caminho. Com G é desconexo, V1 não contém
todos os vértices de G. Assim os vértices restante formam um conjunto não-vazio V2, e não
existe nenhuma aresta de G com uma extremidade em V1 e outra V2. Assim V1 e V2 formam a
partição desejada.
⇐ Existe uma partição de V, V1 e V2, tal que não existe uma aresta com uma extremidade em
V1 e outra extremidade em V2 então G é desconexo.
Considere dois vértices quaisquer de V, pôr exemplo vi e vj, tais que vi∈V1e vj∈V2. Não
pode existir nenhum caminho entre vi e vj, pois se existisse, haveria uma aresta com uma
extremidade em V1 e outra em V2. Portanto se uma partição existe então o grafo é desconexo.
V2
V1
vj
vi
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Questão: Qual é o número máximo de arestas que um grafo simples com n vértices pode Ter?
Cada vértice pode ser ligado pôr uma aresta a cada um dos outros vértices do grafo, isto é
aos outros (n-1). Isto nos da (n-1) arestas. Com existem n vértices, teremos então n(n-1) arestas.
No entanto, cada aresta interliga dois vértices e portanto esta sendo considerada duas vezes.
Assim, para obtermos o número correto de arestas é necessário dividir o valor que temos até o
momento pôr 2. O número máximo de aresta é então:
n(n-1)/2.
Teorema 5.2 – O número máximo de arestas em um grafo simples com n vértices e k
componentes é dado pôr:
(n-k)(n-k+1)/2
Exemplos:
n=6k=2
a)
componente 1: K4
componente 2 : uma aresta
b) componente 1: K3 componente 2 : K3
c) componente 1: K5 componente 2 : 1 vértice
Exercícios:
1) Desenhe um grafo conexo que se torna desconexo quando qualquer aresta é removida.
2) Mostre que um grafo conexo G se mantém conexo após a remoção de uma aresta aj se e
somente se a aresta pertence a algum circuito de G.
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5.1 - Operações com grafos
União - A união de dois grafos G1(V1,A1) e G2(V2,A2) é um grafo G3(V3, A3) onde:
G3 = G1∪G2,
V3 = V1∪ V2 e A3 = A1 ∪ A2
Interseção - A interseção de dois grafos G1(V1,A1) e G2(V2,A2) é um grafo G3(V3, A3) onde:
G3 = G1 ∩ G2, V3 = V1 ∩ V2 e A3 = A1∩ A2
Obs: Se V3 = ∅, dizemos que a interseção entre G1 e G2, G1 ∩ G2, é vazia.
Pelas definições dadas é fácil verificar que as operações de união e interseção de grafos são
comutativas, isto é:
G1 ∪ G2 = G2 ∪ G1
G1 ∩ G2 = G2 ∩ G1
v1
Exemplo 5.1.1
v1
G1:
v2
G1 ∪ G2:
G1 ∩ G2:
G2:
v3
v2
v3
v4
v6
v5
v5
Decomposição - Um grafo G é dito decomposto em dois subgrafos g1 e g2 se:
g1 ∪ g2 = G e g1 ∩ g2 = grafo nulo.
Ou seja, cada aresta de G pertence a g1 ou a g2. Alguns vértices no entanto podem pertencer aos
dois.
Exemplo 5.1.2
Remoção (ou exclusão) de vértices e arestas - Se aj é uma aresta de G, então G-aj é um
subgrafo de G obtido pela remoção da aresta aj do grafo G.
Se vi é um vértice de G, então G-vi é um subgrafo de G obtido pela remoção do vértice vi do
grafo G. A remoção de um vértice implica na remoção das arestas a ele incidentes.
De maneira similar é possível incluir vértices e arestas em um grafo.
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Exemplo 5.1.3
G
G-(2,6)
G-1
G+(1,4)
4
3
5
2
6
1
Fusão de vértices - A fusão de um par de vértices a e b em um Grafo G é feita substituindo os
dois vértices por um único vértice ab , de tal forma que toda aresta que era incidente no vértice a
e/ou no vértice b passa a ser incidente no novo vértice ab . Assim a fusão de vértices em um
grafo não altera seu número de arestas, apenas diminui o número de vértices.
Contração de vértices - a contração de dois vértices a e b é feita através da fusão dos vértices a
e b e a remoção dos loops e arestas paralelas que são formadas no processo.
Contração de aresta - a contração de uma aresta (a,b) é feita removendo-se a aresta (a,b) e
contraindo os vértices a e b. É denotado por G/(a,b).
Exemplo 5.1.4
1
2
a) fusão dos vértices 1 e 2:
b) contração da aresta (1,2)
6
5
3
4
Exercícios
1) Considere o grafo:
1
i
b
f
c
6
a
h
2
4
j
d
e
5
g
3
a) Considere os caminhos definidos no exercício anterior (tópico Subgrafos). Agrupe os
caminhos obtidos em conjuntos de caminhos arestas disjuntos. Mostre que a união de dois
caminhos aresta-disjuntos entre dois pares de vértices forma um circuito ou é a união de
circuitos.
b) Remova o vértice 5 deste grafo
c) acrescente a aresta (2,7)
d) decomponha este grafo em três subgrafos.
e) contraia a aresta (2,3)
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