MAT 243 - 2011-II

Universidade Federal de Viçosa
Centro de Ciências Exatas e Tecnológicas
Departamento de Matemática
MAT 241 – Cálculo III (4a Lista de Exercícios)
1. Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral.
1
a) ∫ 0
2
y 2 2
∫ y x y dxdy ;
2
d) ∫ 0 ∫ x
a2 −x2
a
1− y
( x + y ) dydx ; c) ∫ 0 ∫ y −1 e x + y dxdy + ∫ 0 ∫ 0 e x + y dxdy
1
b) ∫− a ∫
− a2 −x2
2
0
1
x 1 + y 3 dydx ; e) ∫ 0 ∫ x e − y dydx ; f) ∫ 0 ∫ y sen x 2 dxdy ; g) ∫ 0 ∫ 2
y
2
Resp. a) 1 / 54 b)
2
1
1
2
4
x sen x dxdy .
0 c) e / 2 + 1 / 2e d) 26 / 9 e) 1 / 2 − 1 / 2e 4 f) (1 − cos 1) / 2 g) sen 4 − 4 cos 4
2. Use uma integral dupla para encontrar o volume do sólido limitado pelos gráficos das equações dadas.
z = xy, z = 0, y = x, x = 1 (primeiro octante); b) x 2 + y 2 + z 2 = a 2 , a > 0 .
1 ,
2
2
2
2
x = 0, x = 2, y ≥ 0 .
c) x + z = 1, y + z = 1 (primeiro octante); d) z =
1+ y2
a)
1 / 8 b) 4π a 3 / 3 c) 2 / 3 d) π
Resp. a)
3
3. Calcule, em coordenadas polares. a) ∫ 0
∫0
9− x 2
2
2 x−x2
4
4 y− y2
xy dydx ; c) ∫ 0 ∫ 0
x 2 dxdy .
arctg y dydx ; b) ∫ 0 ∫ 0
x
Resp. a) 9π / 16 b) 2 / 3 c) 2π
4. Escreva a soma das duas integrais como uma única integral dupla usando coordenadas polares e calcule.
2
2
0
∫ ∫
x
0
2 2
x 2 + y 2 dydx + ∫ 2
∫0
8− x 2
x 2 + y 2 dydx .
Resp.
4 2π / 3
5. Use uma integral dupla em coordenadas polares para encontrar o volume de uma esfera de raio
Resp.
a.
4π a / 3
6. Encontre
3
k de modo que o volume dentro do hemisfério z = 16 − x 2 − y 2 e fora do cilindro x 2 + y 2 = k 2 seja
a metade do volume do hemisfério. Resp.
2 4 − 23 2
x2 y2 z2
4
+ 2 + 2 = 1 , onde a, b, c > 0 . Resp. π abc
2
3
a
b
c
3
2 3
8. Calcule a integral tripla ∫∫∫12 xy z dV na caixa retangular Q = ( x, y , z ) ∈ IR / − 1 ≤ x ≤ 2,0 ≤ y ≤ 3,0 ≤ z ≤ 2
7. Calcule o volume do elipsóide dado por
{
}
Q
Resp. 648.
Q a cunha no primeiro octante seccionada do sólido cilíndrico y 2 + z 2 ≤ 1 pelos planos y = x e x = 0 .
Calcule ∫∫∫ z dV . Resp. 1 .
8
9. Seja
Q
10. Use uma integral tripla para calcular o volume do sólido contido no cilindro
x 2 + y 2 = 9 e entre os planos z = 1 e
x + z = 5 . Resp. 36 π .
4
11. Reescreva a integral ∫ 0
( 4− x ) / 2
∫0
(12 −3 x −6 y ) / 4
∫0
3
dzdydx na ordem dydxdz . Resp.
4
4− z
3 (12 −3 x − 4 z ) / 6
∫ ∫
0
0
∫ dy dx dz .
0
12. Em cada caso, use a mudança de variáveis indicada para calcular a integral dupla dada.
x + y dydx
, x = u , y = uv, R : triângulo com vértices em (0, 0), (4, 0), (4, 4) .
∫∫
x
R
b) ∫∫ y sen xy dydx, x = u / v, y = v, R : região entre os gráficos de xy = 1, xy = 4, y = 1, y = 4 .
R
Resp. a) 32( 2 2 − 1) / 9 b) 3(cos 1 − cos 4)
a)
x2 y2
+
= 1 e a transformação x = au , y = bv . Esboce a região R
a2 b2
Resp. ab
e sua imagem inversa S sob essa transformação, e encontre ∂ ( x, y ) / ∂ (u , v ) .
13. Considere a região R no plano xy dada por
14. Calcule o volume do sólido limitado superiormente pela superfície
z = 16 − x 2 − y 2 e inferiormente pela região
1
sen 4) / 2
4
2
3
15. Calcular, por dupla integração, a área da região acima do eixo x, limitada pela parábola semi-cúbica y = x e a
reta y = x , (a) integrando primeiro em relação a x; (b) integrando primeiro em relação a y . Resp. 1 / 10.
x 2 / 16 + y 2 / 9 ≤ 1 .
elíptica
Resp.
(3 + 2 sen 2 +
16. Achar o volume do sólido limitado pela superfície cilíndrica
x 2 + az = a 2 e os planos x + y = a, y = 0, z = 0.
2a 3 / 3 .
Resp.
17. Descrever a imagem da circunferência
Resp. A circunferência
x 2 + y 2 = a 2 pela transformação T : ( x, y ) → (u , v) = ( x / 4, y ) .
x 2 + y 2 = a 2 é levada na elipse
18. Descrever as imagens das retas
u2
(a 4 )2
19. Calcule o volume acima do cone
x = c pela transformação T : ( x, y ) → (e x cos y, e x seny ) e fazer gráficos.
z 2 = x 2 + y 2 e dentro da esfera x 2 + y 2 + z 2 = z . Resp. π / 8
20. Calcule o volume do sólido compreendido entre os parabolóides
1
v2
= 1.
a2
x = c é levada na circunferência u 2 + v 2 = (e c ) 2 .
Resp. A reta
21. O volume
+
z = 5 x 2 + 5 y 2 e z = 6 − 7 x 2 − y 2 .Resp.
3π
2
V abaixo do parabolóide hiperbólico z = xy e acima de uma região R no plano xy é dado por
2− y
2
y
V = ∫ 0 ∫ 0 xy dx dy + ∫1 ∫ 0 xy dx dy . Esboce a região R no plano xy, expresse V como uma integral dupla na
Resp. 1 / 3 .
qual a ordem de integração é invertida e calcule V .
22. Calcule o volume do sólido que é a imagem de uma bola de raio a pela transformação linear representada pela
1 − 1 1 


3
Resp. 56π a / 3
matriz  0 2 5  .
0 0 7 


23. Calcule ∫∫∫ z dV onde D é o tetraedro de vértices (0, 0, 0), (1,1, 0), (1, 0, 0), (1, 0,1) . Resp. 1 / 24
D
24. Use coordenadas cilíndricas para calcular
2
2
∫∫∫ z x + y dx dy dz,
onde
S é a metade do cone circular reto de
S
vértice
(0, 0, h) e base x 2 + y 2 ≤ a 2 compreendido no lado direito do plano y = 0 .
3
25. Expresse ∫ 0
Resp.
∫0
9− x 2
∫0
9− x 2 − y 2
Resp.
π a 3 h 2 / 60 .
(x 2 + y 2 + z 2 ) 3 dz dy dx em coordenadas esféricas e calcule.
2187π / 2 .
x− y
1
. E se a integração for primeiro em x ? Sugestão: x − y = 2 x − ( x + y ) .
2
( x + y)
27. Achar o volume removido quando se abre um furo de raio a numa esfera de raio 2a , sendo o eixo do furo um
3
diâmetro da esfera.
Resp. 4(8 − 3 3 ) a π / 3 .
dx dy
.
28. Sendo R a região limitada pelas retas y = x, y = 0, x = 1 , calcule a integral dupla ∫∫
2
2 3/ 2
R (1 + x + y )
29. Calcule o volume do sólido S, no primeiro octante, limitado pela esfera r = 4 , pelos planos coordenados, o cone
π
π
Φ=
e o cone Φ = .
6
3
1
26. Prove que ∫ 0
1
∫0
3
dy dx =