Lista 2 (Integrais de linha e Teorema de Green)

Questões de Integrais de Linha e Teorema de Green
1. Calcule a massa de um pedaço de arame cuja forma é descrita pela curva
D
E
!(t) = 6t2 ; 4p2t3 ; 3t4 ; 0 t 1:
e a densidade é (x; y; z) = 6 + jxj : Resp.: 84:
2. Calcule o comprimento da curva
!(t) =
p
Resp.: 2 2
t2 3 p 2
; t ; 2t ;
2
0
t
1:
1:
3. Calcule a área da parte do plano xp+ y = 1 que está no primeiro octante e é limitada acima
2 2
pelo parabolóide z = x2 + y 2 : Resp.
:
3
4. Calcule a área da superfície do cilindro x2 + y 2 = 1 que está acima do plano xy e abaixo do
3
plano x + y + z = 1: Resp.:
+ 2:
2
!
5. Considere o campo vetorial F = hy; x; ez i e a Zcurva C; interseção do parabolóide z =
! !
F d r : Resp.:
4 x2 y 2 com o plano z = 4 x: Calcule a integral
:
2
C
6. Calcule a integral
Z
(ey
xex
x5 ex )dx + (x + y 5 )ey dy
C
em que C é a parte da cuva y = x200 que liga o ponto (0; 0) ao ponto (1; 1) : Resp.: e
7. Calcule a integral
Z
1:
(1 + ln x + ey )dx + (xey + sen3 (y))dy
C
em que C é segmento de reta que liga o ponto (1; 0) ao ponto (e; ) : Resp.: e + e
+1
1
+ :
3
!
!
!
8. Calcule o trabalho realizado pelo campo F (x; y) = x(x2 + y 2 ) i + y(x2 + y 2 ) j para mover
uma partícula ao longo da curva dada por
9x2 + 4y 2 = 36;
do ponto (2; 0) até o ponto (0; 3) : Resp.:
65
:
4
x
0;
,
9. Utilize o Teorema de Green para calcular o trabalho realizado pelo campo
!
F (x; y) =
!
!
3y 5 i + 5y 2 x3 j
para mover uma partícula ao longo da circunferência
x2 + y 2 = 4;
partindo do ponto (2; 0) e retornando a este ponto apenas uma vez. Resp.: 160 :
10. Calcule a integral
Z
(ex + 2xy)dx + (x2 + cos y)dy
C
em que C é a parte da parábola y = x2 de ( 1; 1) até (1; 1) : Resp.: e1
e 1:
11. Utilize o Teorema de Green para calcular o trabalho realizado pelo campo
!
F (x; y) = x4
!
!
3y 4 i + y(1 + 4x3 ) j
para mover uma partícula ao longo do quarto de círculo
x2 + y 2 = 1 com x
do ponto (1; 0) até o ponto (0; 1) : Resp.:
0ey
0;
27
:
10
12. Utilizando o Teorema de Green calcule o trabalho realizado pelo campo
!
F (x; y) =
3y 5 !
5y 2 x3 !
i
+
j:
x2 + y 2
x2 + y 2
para mover uma partícula ao longo da circunferência
x2 + y 2 = 1;
partindo do ponto (1; 0) e retornando a este ponto apenas uma vez (no sentido anti-horário).
5
Resp.:
:
2
13. Aplicando o Teorema de Green, calcule a integral
Z
y
x
dx
dy;
2
2
2
4x + y 2
C 4x + y
em que C é o círculo x2 + y 2 = 4 orientado no sentido anti-horário. Resp.:
: