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Estatística – Notas de Aulas
ESTATÍSTICA
Notas de Aulas
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
1
2
Estatística – Notas de Aulas
SUMÁRIO
1
CONCEITOS BÁSICOS ...............................................................................................
5
1.1 Estatística
1.2 Estatística Descritiva
1.3 Estatística Inferencial
1.4 População
1.5 Amostra
1.6 Variável
1.7 Séries Estatísticas
2
APRESENTAÇÃO DE DADOS ...................................................................................
7
2.1 Apresentação Tabular
2.2 Apresentação Gráfica
3
DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIAS .......................................................................
11
3.1 Dados Brutos
3.2 Rol
3.3 Amplitude Total
3.4 Número de Classes
3.5 Amplitude de Classe
3.6 Intervalo de Classe
3.7 Freqüência Simples
3.8 Freqüência Acumulada
3.9 Freqüência Relativa
3.10 Ponto Médio de Classe
3.11 Representações Gráficas
4
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL OU DE POSIÇÃO ..................................
17
4.1 Média Aritmética
4.2 Mediana
4.3 Moda
4.4 Relação entre Média, Mediana e Moda
4.5 Percentil
4.6 Decil
4.7 Quartil
5
MEDIDAS DE DISPERSÃO ........................................................................................
26
5.1 Amplitude
5.2 Desvio Médio
5.3 Variância
5.4 Desvio Padrão
5.5 Coeficiente de Variação
6
ASSIMETRIA E CURTOSE .......................................................................................
6.1 Coeficiente de Assimetria
6.2 Coeficiente de Curtose
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32
3
Estatística – Notas de Aulas
7
TEORIA DA PROBABILIDADE ................................................................................
36
7.1 Teoria dos Conjuntos
7.2 Técnicas de Contagem
7.3 Introdução à Probabilidade
8
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS ........................................................................................
47
8.1 Tipos de Variáveis Aleatórias
8.2 Função de Probabilidade
8.3 Função Densidade de Probabilidade
8.4 Expectância
8.5 Variância
8.6 Distribuição Conjunta
8.7 Independência
8.8 Função Distribuição Acumulada
9
MODELOS DE PROBABILIDADE PARA VARIÁVEIS DISCRETAS ................
56
9.1 Distribuição Uniforme
9.2 Distribuição de Bernoulli
9.3 Distribuição Binomial
9.4 Distribuição Geométrica
9.5 Distribuição de Pascal
9.6 Distribuição de Poisson
9.7 Distribuição Hipergeométrica
9.8 Distribuição Multinomial
10
MODELOS DE PROBABILIDADE PARA VARIÁVEIS CONTÍNUAS ...............
61
10.1 Distribuição Uniforme
10.2 Distribuição Normal
10.3 Distribuição Gama
10.4 Distribuição Exponencial
10.5 Distribuição de Weibull
10.6 Distribuição Qui-Quadrado
10.7 Distribuição t, de Student
10.8 Distribuição F, de Fisher
10.9 Aproximação da Distribuição Binomial pela Normal
11
INTRODUÇÃO À INFERÊNCIA ESTATÍSTICA ....................................................
11.1 Estimadores e Estatísticas
11.2 Estimadores Eficientes
11.3 Estatísticas Suficientes
11.4 Família Exponencial
11.5 Método da Máxima Verossimilhança
11.6 Distribuição Amostral da Média
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67
4
Estatística – Notas de Aulas
12
INTERVALOS DE CONFIANÇA ...............................................................................
12.1 Intervalo de Confiança para a Média
74
12.2 Intervalo de Confiança para a Diferença de Médias
12.3 Intervalo de Confiança para a Proporção
12.4 Intervalo de Confiança para a Diferença de Proporções
12.5 Intervalo de Confiança para a Variância
12.6 Determinação do Tamanho de uma Amostra
13
CONTROLE ESTATÍSTICO DE PROCESSO (CEP) ..............................................
81
13.1 Conceitos
13.2 Diagrama de Pareto
13.3 Diagrama de Ishikawa
13.4 Gráfico de Controle para Média e Amplitude
13.5 Capabilidade
13.6 Gráficos de Controle para Amplitudes Móveis
13.7 Gráficos de Controle por Atributos
14
TEORIA DA DECISÃO ESTATÍSTICA ....................................................................
99
13.1 Teste de Hipótese
13.2 Teste de Hipótese para a Média
13.3 Teste de Hipótese para a Diferença de Médias
13.4 Teste de Hipótese para a Proporção
13.5 Teste de Hipótese para a Diferença de Proporções
15
ANÁLISE DA VARIÂNCIA (ANOVA) ......................................................................
105
14.1 ANOVA para um Fator
14.2 ANOVA para dois Fatores
16
TESTE QUI-QUADRADO ...........................................................................................
113
15.1 Teste de Bondade de Ajustamento
15.2 Teste de Independência de Variáveis
17
TESTES NÃO PARAMÉTRICOS ...............................................................................
116
17.1 Teste do Sinal
17.2 Teste U, de Wilcoxon, Mann e Whitney
17.3 Teste H, de Kruskal – Wallis
18
ANÁLISE DE CORRELAÇÃO E DE REGRESSÃO ...............................................
121
16.1 Coeficiente de Correlação
16.2 Análise de Regressão Linear
16.3 Método dos Mínimos Quadrados
16.4 Modelo Exponencial
16.5 Modelo Potência
16.6 Modelo Logarítmico
APÊNDICE 1 – Estatística Básica Utilizando o R
..................................................
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136
Estatística – Notas de Aulas
1.
5
CONCEITOS BÁSICOS
1.1 Estatística
A Estatística compreende os métodos científicos utilizados para coleta, organização, resumo,
apresentação e análise, ou descrição, de dados de observação. Também abrange métodos utilizados para
tomadas de decisões sob condições de incerteza.
1.2 Estatística Descritiva
Inclui as técnicas empregadas para coleta e descrição de dados. Também é empregada na análise
exploratória de dados.
1.3 Estatística Inferencial
É utilizada para tomar decisões a respeito de uma população, geralmente utilizando dados de
amostras. Uma vez que tais decisões são tomadas sob condições de incerteza, faz-se necessário o uso de
conceitos relativos à Teoria da Probabilidade.
1.4 População
Um dos conceitos fundamentais na Estatística, é empregado para designar um conjunto de
indivíduos que possuem pelo menos uma característica, ou atributo, em comum. Alguns autores
empregam o termo universo para referir-se a uma população.
1.5 Amostra
Refere-se a qualquer subconjunto de uma população. A amostragem é uma das etapas mais
importantes na aplicação de métodos estatísticos, envolvendo aspectos como determinação do tamanho da
amostra, metodologia de formação e representatividade da amostra com relação à população.
1.6 Variável
É usada para atribuição dos valores correspondentes aos dados observados. É importante
ressaltar que os dados em questão não são necessariamente numéricos, uma vez que podem dizer respeito
a atributos qualitativos observados na população. Por esta razão costuma-se classificar as variáveis nas
categorias definidas a seguir.
1.6.1 – Variável Numérica. Também chamada variável quantitativa, é utilizada para representação de
dados numéricos, ou quantitativos.
1.6.1.1 – Variável Numérica Discreta. Variável cujo domínio é um conjunto enumerável. Geralmente
corresponde a dados de contagem. Exemplo: Número de defeitos em um componente, total de unidades
defeituosas em uma amostra.
1.6.1.2 – Variável Numérica Contínua. Variável cujo domínio é um conjunto não enumerável. Refere-se a
dados de mensuração. Exemplo: Diâmetro de um eixo, peso de um recém-nascido.
1.6.2 – Variável Qualitativa. É utilizada para representação de atributos. Pode ser dicotômica, ou
binária, quando assume apenas dois possíveis valores, ou politômica, também referida como multinomial,
quando pode assumir mais de dois possíveis valores.
1.6.2.1 – Variável Qualitativa Categórica. É empregada para representar categorias, ou classes, às quais
pertencem as observações registradas. Exemplo: Cor dos olhos, sexo.
1.6.2.2 – Variável Qualitativa Ordinal. Utiliza-se este tipo de variável em situações nas quais presume-se
a necessidade de uma ordem, crescente ou decrescente, para os resultados. Exemplo: Grau de
escolaridade, categoria salarial.
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6
Estatística – Notas de Aulas
1.7 – Séries Estatísticas
Uma série estatística consiste basicamente de um conjunto de valores observados para diferentes
categorias de uma variável. As séries estatísticas são classificadas em três categorias, apresentadas a
seguir.
1.7.1 – Série Temporal. A variável de interesse refere-se a um período de tempo.
Exemplo 1.7.1 – A tabela a seguir mostra o faturamento, em milhões de reais, da empresa fictícia ABC
durante o ano de 20XY.
Mês
Faturamento
Tabela 1.1 – Faturamento mensal (R$ 1000000) da empresa ABC (20XY).
Jan Fev Mar Abr Mai Jun
Jul Ago Set Out Nov
0,95 1,03 1,12 1,24 1,02 0,92 0,84 0,78 0,72 0,65 0,68
Dez
0,82
Total
10,77
Fonte: Dados fictícios.
1.7.2 – Série Geográfica. Aqui a variável estudada é o local.
Exemplo 1.7.2 – A tabela a seguir mostra o faturamento, em milhões de reais, da empresa fictícia ABC
durante o ano de 20XY, nas respectivas regiões de atuação.
Tabela 1.2 – Faturamento (R$ 1000000) da empresa ABC (20XY), por região.
Grande Interior Interior
Porto
Interior Campo
Região
Cuiabá
Curitiba
do PR
de SC
Alegre
do RS
Grande
Faturamento
2,75
2,58
1,82
1,42
0,80
0,75
0,70
Total
10,77
Fonte: Dados fictícios.
1.7.3 – Série Específica.
Exemplo 1.7.3 - A tabela a seguir mostra o faturamento, em milhões de reais, da empresa fictícia ABC
durante o ano de 20XY, especificado por produto.
Produto
Faturamento
Tabela 1.3 – Faturamento (R$ 1000000) da empresa ABC (20XY), por produto.
Rolamento
Mancal
Óleo
Junta
Válvula
Retentor
3,48
1,84
1,75
1,45
1,25
1,00
Total
10,77
Fonte: Dados fictícios.
1.7.4 – Séries Combinadas. Na prática, é comum combinar séries estatísticas com o objetivo de
aumentar, ou detalhar, as informações disponíveis.
Exemplo 1.7.4 – O quadro a seguir mostra o faturamento da empresa ABC por produto e região, isto é,
uma combinação de uma série geográfica e uma série específica.
Quadro 1.1 – Faturamento (R$ 1000000) da empresa ABC, por produto e região.
Produto
Região
Total
Rolamento Mancal Óleo Junta Válvula Retentor
Grande Curitiba
0,89
0,46
0,45 0,37
0,32
0,26
2,75
Interior do PR
0,83
0,44
0,42 0,35
0,30
0,24
2,58
Interior de SC
0,59
0,31
0,30 0,25
0,21
0,16
1,82
Porto Alegre
0,45
0,24
0,23 0,19
0,16
0,15
1,42
Interior do RS
0,26
0,14
0,13 0,11
0,09
0,07
0,80
Campo Grande
0,24
0,13
0,12 0,10
0,09
0,07
0,75
Cuiabá
0,22
0,12
0,10 0,08
0,08
0,10
0,70
3,48
1,84
1,75 1,45
1,25
1,00
10,77
Total
Fonte: Dados fictícios.
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
7
Estatística – Notas de Aulas
2.
APRESENTAÇÃO DE DADOS
A apresentação de dados pode ser efetuada através de dois modos, tabular ou gráfico, não
mutuamente exclusivos. Para esta tarefa deve-se ter em mente o objetivo da apresentação, no que diz
respeito ao nível de detalhamento e ao tipo de informação que se deseja extrair dos dados em questão. A
apresentação tabular permite obter informações mais detalhadas, enquanto a apresentação gráfica permite
uma compreensão mais rápida a respeito do comportamento da variável observada.
2.1 – Apresentação Tabular
Em primeiro lugar, é importante frisar que os termos “tabela” e “quadro” são utilizados para
designar objetos distintos. O primeiro designa o arranjo de dados na forma de grade com laterais abertas,
enquanto o segundo termo é empregado para designar arranjos em grades com laterais fechadas,
conforme a Figura 2.1.
Variável
Valores
Variável
Valores
Total
Total
Figura 2.1 – Formatos de tabela e quadro.
Independente do formato escolhido, uma tabela deve conter três elementos:
1 – Cabeçalho. Deve conter o máximo de informações sobre os dados apresentados
2 – Corpo. De dimensões variáveis, é o espaço destinado à apresentação propriamente dita dos dados.
3 – Rodapé. Deve conter a fonte dos dados e outras informações necessárias à compreensão.
2.1.1 – Tabela Simples.
É o tipo mais comum de tabela, utilizado para representar os valores correspondentes a uma série
estatística. A disposição pode ser feita tanto por colunas como por linhas.
Exemplo 2.1 – Exemplo de tabela simples. Dados dispostos em linha.
Mês
Faturamento
Tabela 1.1 – Faturamento mensal (R$ 1000000) da empresa ABC (20XY).
Jan Fev Mar Abr Mai Jun
Jul Ago Set Out Nov
0,95 1,03 1,12 1,24 1,02 0,92 0,84 0,78 0,72 0,65 0,68
Fonte: Dados fictícios.
Exemplo 2.2 - Exemplo de tabela simples. Dados dispostos em coluna.
Tabela 2.1 – Número de
beneficiários de planos privados
de saúde, em milhões, no período
2000 – 2006.
Ano Beneficiários (milhões)
2000
34,5
2001
34,3
2002
35,0
2003
36,2
2004
38,8
2005
41,6
2006
44,7
Fonte: Jornal Folha de São Paulo. 4/6/2007
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
Dez
0,82
Total
10,77
8
Estatística – Notas de Aulas
2.1.2 – Tabela de Dupla Entrada. É utilizada para representar dados de duas séries combinadas.
Exemplo 2.3 – Exemplo de tabela de dupla entrada.
Tabela 2.2 – Faturamento (R$ 1000000) da empresa ABC, por produto e região.
Produto
Região
Total
Rolamento Mancal Óleo Junta Válvula Retentor
Grande Curitiba
0,89
0,46
0,45 0,37
0,32
0,26
2,75
Interior do PR
0,83
0,44
0,42 0,35
0,30
0,24
2,58
Interior de SC
0,59
0,31
0,30 0,25
0,21
0,16
1,82
Porto Alegre
0,45
0,24
0,23 0,19
0,16
0,15
1,42
Interior do RS
0,26
0,14
0,13 0,11
0,09
0,07
0,80
Campo Grande
0,24
0,13
0,12 0,10
0,09
0,07
0,75
Cuiabá
0,22
0,12
0,10 0,08
0,08
0,10
0,70
3,48
1,84
1,75 1,45
1,25
1,00
10,77
Total
Fonte: Dados fictícios.
2.1.3 – Tabela de Múltiplas Entradas. É utilizada na representação de dados correspondentes a mais de
duas séries.
Exemplo 2.4 – Exemplo de tabela de múltipla entrada.
Tabela 2.3 – Unidades vendidas por região e por semestre.
Produto
Rolamento
Mancal
Região
1o Semestre 2o semestre 1o Semestre 2o semestre
Sul
38
24
18
14
Sudeste
26
20
14
12
Centro Oeste
16
18
8
17
80
62
40
43
Total
Total
94
72
59
225
Dados Fictícios.
2.2 – Apresentação Gráfica
Para a apresentação gráfica deve-se levar em consideração o tipo de série estatística estudada e o,
também, o tipo de variável observada, quantitativa ou qualitativa. Também é possível combinar as duas
formas de apresentação, tabular e gráfica. Os principais tipos de gráficos são:
2.2.1 – Gráfico Linear. É utilizado principalmente para representar séries temporais.
Exemplo 2.5
Tabela 1.1 – Faturamento mensal (R$ 1000000) da empresa ABC (20XY).
Jan Fev Mar Abr Mai Jun
Jul Ago Set Out Nov
0,95 1,03 1,12 1,24 1,02 0,92 0,84 0,78 0,72 0,65 0,68
Fonte: Dados fictícios.
Faturam ento da Em presa ABC
R$ 1000000,00
Mês
Faturamento
1,5
1
0,5
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Meses
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
10
11
12
Dez
0,82
Total
10,77
9
Estatística – Notas de Aulas
2.2.2 – Gráfico Setorial. É utilizado para representar séries geográficas ou específicas.
Exemplo 2.6
Tabela 1.2 – Faturamento (R$ 1000000) da empresa ABC (20XY), por região.
Grande Interior Interior
Porto
Interior Campo
Região
Cuiabá
Curitiba
do PR
de SC
Alegre
do RS
Grande
Faturamento
2,75
2,58
1,82
1,42
0,80
0,75
0,70
Total
10,77
Fonte: Dados fictícios.
Faturamento por Região
Grande Curitiba
Cuiabá; 0,7
Interior do PR
Campo Grande; 0,75
Grande Curitiba; 2,75
Interior de SC
Interior do RS; 0,8
Porto Alegre
Porto Alegre; 1,42
Interior de SC; 1,82
Interior do RS
Interior do PR; 2,58
Campo Grande
Cuiabá
2.2.3 – Gráfico de Colunas. Pode ser utilizado no lugar do gráfico setorial.
Exemplo 2.7 – Os dados da Tabela 1.2 poderiam ser representados através do gráfico a seguir.
Faturamento por Região
3
2,5
2
1,5
1
0,5
0
Grande
Curitiba
Interior do PR Interior de SC
Porto Alegre
Interior do RS Campo Grande
Cuiabá
2.2.4 – Gráfico de Colunas Superpostas. É utilizado para representar os dados de tabelas de dupla
entrada.
Exemplo 2.8 – Representação dos dados da Tabela 2.2.
Faturamento por Produto e por Região (%)
100%
90%
80%
70%
60%
50%
40%
30%
20%
10%
0%
Retentor
Válvula
Junta
Óleo
Mancal
Grande
Curitiba
Interior do
PR
Interior de
SC
Porto
Alegre
Interior do
RS
Campo
Grande
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Cuiabá
Rolamento
10
Estatística – Notas de Aulas
2.2.5 – Gráfico de Colunas Justapostas. È utilizado para representar dados de tabelas de dupla entrada.
Faturam ento por Produto e por Região
1
0,8
Rolamento
0,6
Mancal
0,4
Óleo
0,2
Junta
Válvula
0
Grande Interior do Interior de
Curitiba
PR
SC
Porto
Alegre
Interior do Campo
RS
Grande
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Cuiabá
Retentor
11
Estatística – Notas de Aulas
3.
DISTRIBUIÇÕES DE FREQÜÊNCIAS
As distribuições de freqüências são usadas principalmente para a apresentação de grandes
conjuntos de dados.
3.1 – Dados Brutos
É a designação para um conjunto de dados não ordenados.
3.2 – Rol
É um conjunto de dados ordenados.
Exemplo 3.1 – Teores de ácido palmítico (%) observados em 120 amostras de óleos vegetais, utilizadas
em um estudo para comparar as características de óleos obtidos a partir de diferentes fontes.
3,8
3,9
4,1
4,5
4,6
4,8
4,8
4,8
4,9
5
5,1
5,1
5,1
5,1
5,1
5,2
5,4
5,4
5,5
5,6
5,7
5,9
5,9
5,9
6
6
6
6
6,1
6,1
6,1
6,1
6,1
6,2
6,2
6,2
6,2
6,2
6,2
6,2
6,2
6,2
6,2
6,3
6,4
6,4
6,4
6,5
6,6
6,7
6,7
6,8
7
7,2
7,5
7,6
7,7
8
8
8,2
8,3
8,3
9,3
9,4
9,6
9,7
9,7
9,7
9,8
9,8
9,8
9,9
10
10
10
10,1
10,2
10,4
10,4
10,5
10,5
10,5
10,5
10,5
10,5
10,7
10,8
10,8
10,9
10,9
10,9
10,9
11
11
11
11
11,1
11,1
11,1
11,1
11,2
11,2
11,3
11,4
11,4
11,5
11,5
11,5
11,5
11,6
11,6
11,9
11,9
12,2
12,2
12,2
13
13
13,1
13,1
Fonte: Brodnjak – Vončina et al. (2005)
3.3 – Amplitude Total (R)
É a diferença entre o valor máximo e o valor mínimo observados no conjunto de dados, isto é:
R = x ( n ) − x (1)
(3.1)
Exemplo 3.2 – Para o conjunto de dados do exemplo anterior a amplitude total é R = 13,1 – 3,8 = 9,3
3.4 – Número de Classes (k)
Pode ser determinado arbitrariamente ou de acordo com a expressão a seguir, denominada fórmula de
Sturges, onde n é o número de observações, ou tamanho da amostra.
k = 1 + 3,3 log n
(3.2)
Exemplo 3.3 – Uma distribuição de freqüências para os dados do Quadro 3.1, de acordo com a fórmula de
Sturges, terá
k = 1 + 3,3 log( 120 ) =
3.5 – Amplitude de Classe (h)
Pode ser calculada por
h=
R
k
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(3.3)
12
Estatística – Notas de Aulas
Exemplo 3.4 – Para os dados dos exemplos anteriores, a amplitude de classe é
h =
9 ,3
≅
8
3.6 – Intervalo de Classe
Os limites de cada classe podem ser definidos de quatro modos distintos, mostrados a seguir.
1.
Intervalo “exclusive – exclusive”:
2.
Intervalo “inclusive – exclusive”:
3.
Intervalo “inclusive – inclusive”:
4.
Intervalo “exclusive – inclusive”:
Exemplo 3.5 – Para os dados utilizados como exemplo até agora, as classes e intervalos são:
Tabela 3.1 – Distribuição de freqüências para os teores
(%) de ácido palmítico observados em amostras de
óleos vegetais.
Classe Teores de Ácido Palmítico Observações
1
3,8 |-- 5,0
9
2
5,0 |-- 6,2
24
3
6,2 |-- 7,4
21
4
7,4 |-- 8,6
8
5
8,6 |-- 9,8
6
6
9,8 |-- 11,0
24
7
11,0 |-- 12,2
21
8
12,2 |-- 13,4
7
120
Total (N)
3.7 – Freqüência Simples (fi)
A freqüência simples da i–ésima classe é igual ao número do observações pertencentes à mesma.
Exemplo 3.6 – Na distribuição do exemplo anterior: f1 = 9 , f2 = 24 , ... , f8 = 4.
3.8 – Freqüência Acumulada
i
A freqüência acumulada crescente da i–ésima classe é dada por:
faci = ∑ f j
(3.4)
j =1
Exemplo 3.7 – A freqüência acumulada crescente da quarta classe, na distribuição mostrada na Tabela
3.1, é: fac4 = 9 + 24 + 21 + 8 = 62.
k
A freqüência acumulada decrescente da i–ésima classe é dada por:
fad i = ∑ f j
(3.5)
j =i
Exemplo 3.8 – Para a quarta classe da distribuição anterior, a freqüência acumulada decrescente é dada
por: fad4 = 8 + 6 + 24 + 24 + 4 = 66.
3.9 – Freqüência Relativa (fri)
A freqüência relativa da i–ésima classe é dada por:
fr i =
∑
j =1
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
(3.6)
fi
k
f
j
Estatística – Notas de Aulas
13
Exemplo 3.9 – As freqüências relativas para distribuição da Tabela 3.1 são
Tabela 3.2 – Distribuição de freqüências simples e relativas para os teores (%) de
ácido palmítico observados em amostras de óleos vegetais.
Classe Teores de Ácido Palmítico Observações Freqüências Relativas
1
3,8 |-- 5,0
9
0,0750
2
5,0 |-- 6,2
24
0,2000
3
6,2 |-- 7,4
21
0,1750
4
7,4 |-- 8,6
8
0,0667
5
8,6 |-- 9,8
6
0,0500
6
9,8 |-- 11,0
24
0,2000
7
11,0 |-- 12,4
21
0,1750
8
12,4 |-- 13,6
7
0,0583
120
1,0000
Total (N)
3.10 – Ponto Médio de Classe (Xi)
O ponto médio da i–ésima classe é dado por:
Xi =
LI i + LS i
2
(3.7)
onde LIi e LSi são os limites inferior e superior da classe, respectivamente.
Exemplo 3.10 – As classes da distribuição da Tabela 3.1 têm os seguintes pontos médios:
Classe
1
2
3
4
5
6
7
8
Tabela 3.3 – Distribuição de freqüências simples e
pontos médios de classe para os teores (%) de ácido
palmítico observados em amostras de óleos vegetais.
Teores de Ácido Palmítico Observações Pontos Médios (Xi)
3,8 |-- 5,0
9
4,4
5,0 |-- 6,2
24
6,2 |-- 7,4
21
7,4 |-- 8,6
8
8,6 |-- 9,8
6
9,8 |-- 11,0
24
11,0 |-- 12,2
21
12,2 |-- 13,4
7
12,8
120
Total (n)
3.11 – Representações Gráficas
As distribuições de freqüências podem ser representadas através de três tipos de gráficos, não
mutuamente exclusivos.
3.11.1 – Histograma
É um gráfico de colunas justapostas, onde a largura da base de cada coluna representa o intervalo de
classe correspondente e a altura representa a freqüência simples da referida classe.
Exemplo 3.11 – A Figura 3.1 mostra o histograma da distribuição mostrada na Tabela 3.1.
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
14
Estatística – Notas de Aulas
30
25
20
15
10
5
0
3,8 - 5,0
5,0 - 6,2
6,2 - 7,4
7,4 - 8,6
8,6 - 9,8
9,8 - 11,0
11,0 - 12,2
12,2 - 13,4
Figura 3.1 – Histograma da distribuição de freqüências de teores de ácido palmítico.
3.11.2 – Polígono de Freqüências
É definido por uma linha poligonal cujos vértices são definidos pelos pontos médios e pelas freqüências
das classes representadas.
Exemplo 3.12 – O polígono de freqüências para a distribuição anterior é mostrado na Figura 3.2.
30
Freqüências
25
20
15
10
5
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Classes
Figura 3.2 – Polígono de freqüências da distribuição de teores de ácido palmítico.
3.11.3 – Curva de Freqüências
Exemplo 3.13 – A curva de freqüências para a distribuição dos exemplos anteriores é mostrada na Figura
3.3.
30
25
20
15
10
5
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Figura 3.3 – Curva de freqüências para a distribuição de teores de ácido palmítico.
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
15
Estatística – Notas de Aulas
3.12 – Exercícios
O Quadro 3.1 mostra 150 valores correspondentes ao comprimento da sépala, observados em flores de
três espécies: íris virginica, íris setosa e íris versicolor, para um estudo cujo é a comparação das
diferenças entre as dimensões observadas para cada um dos três grupos.
Quadro 3.1 – Comprimentos (mm) das sépalas
observadas em 150 exemplares de flores íris.
43
46
44
46
50
54
50
49
56
58
44
46
47
48
44
45
48
49
56
56
55
55
51
55
57
58
61
61
59
60
46
47
50
50
48
49
50
51
56
58
55
56
56
57
60
64
62
63
62
63
48
48
51
51
49
50
52
53
59
59
57
58
57
57
64
65
63
64
63
64
49
49
51
51
50
50
55
57
60
61
60
60
58
58
65
67
64
67
65
67
50
50
52
52
51
51
63
64
61
61
60
63
61
62
68
72
69
72
67
67
51
54
54
54
52
54
65
66
62
63
66
67
63
63
73
76
72
74
68
69
54
58
57
57
55
55
69
70
64
67
67
68
65
71
77
77
77
79
69
77
Fonte: Fisher (1936).
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
Calcular a amplitude total.
Calcular o número de classes para construir uma distribuição de freqüências.
Calcular a amplitude de cada classe.
Determinar os intervalos e limites de classes.
Distribuir as freqüências.
Calcular as freqüências acumuladas.
Calcular os pontos médios.
Traçar o histograma.
Resposta:
Classe
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Comprimento (mm)
43 |-- 47
47 |-- 51
51 |-- 55
55 |-- 59
59 |-- 63
63 |-- 67
67 |-- 71
71 |-- 75
75 |-- 79
Total
Flores
9
23
faci
9
32
fadi
150
141
150
6
fri
0,0600
0,1533
28
150
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
Ponto médio
45
49
53
57
Estatística – Notas de Aulas
16
30
25
20
15
10
5
0
Figura 3.4 – Histograma para os dados do Quadro 3.1.
Referências
Brodnjak – Vončina, D., Kodba, Z., Novič, M., Multivariate data analysis in classification of
vegetable oils characterized by the content of fatty acids. Chemometrics and Intelligent Laboratory
Systems 75, pp. 31-43, 2005.
Fisher, R. A., The use of multiple measurements in taxonomic problems. Annals of Eugenics 7, pp.
179-178, 1936.
Johnson, R. A., Wichern, D. W., Applied multivariate statistical analysis. 2nd. Ed. New Jersey: PrenticeHall International, Inc., 1988.
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
17
Estatística – Notas de Aulas
4.
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL OU DE POSIÇÃO
São medidas utilizadas principalmente para a descrição de dados. Neste caso o que se deseja
encontrar são os valores representativos do conjunto de dados, de modo a resumir ao máximo as
observações sobre os dados em questão. As principais medidas de posição são a média aritmética, a
mediana e a moda. As definições, e algumas propriedades, destas medidas são brevemente descritas a
seguir.
4.1 – Média Aritmética ( x )
dada por
Seja um conjunto de dados {x1 , x2 , ... , xn }. A média aritmética, ou simplesmente “média”, é
n
∑x
x =
i =1
i
(4.1)
n
Exemplo 4.1 – Seja o conjunto {2 , 4 , 3 , 5 , 6 , 2 , 5}. Então a média aritmética é:
x =
2 + 4 + 3+ 5+ 6 + 2 + 5
= 3 , 8571 .
7
OBS: A notação x é empregada para representar a média de uma amostra de valores. A média da
população costuma ser representada pela letra grega µ (“mi” ou “mu”).
4.1.1 – Propriedades da Média Aritmética:
P1: Se uma constante k é somada a cada valor do conjunto, então a média será acrescida de k.
Exemplo 4.2 – Se todos os valores do conjunto do exemplo 3.1 forem aumentados em 5, a média será
8,8571.
P2: Se cada valor do conjunto é multiplicado por uma constante k, então a média também será
multiplicada pelo mesmo valor.
Exemplo 4.3 – Se todos os valores do conjunto do exemplo 3.1 forem multiplicados por 5, a média será
19,2855.
P3: Seja
d i = xi − x o desvio do i – ésimo valor em relação à média aritmética. Então
n
∑d
i =1
i
= 0.
4.1.2 – Média Aritmética Ponderada
Para dados agrupados em distribuições de freqüências calcula-se a média ponderada, sendo que a
freqüência observada para cada valor é o peso do mesmo. Então, se um conjunto de n valores foi
agrupado em k classes, com pontos médios X1 , X2 , ... , Xk , e freqüências simples f1 , f2 , ... , fk ,
respectivamente, então a média aritmética é dada por:
k
x =
∑
X i fi
i =1
k
∑
i =1
fi
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
(4.2)
18
Estatística – Notas de Aulas
Exemplo 4.4 – O teor médio de ácido palmítico, para os dados da Tabela 3.1, é dado por:
Classe
1
2
3
4
5
6
7
8
Teores de Ácido Palmítico (%)
3,8 |-- 5,0
5,0 |-- 6,2
6,2 |-- 7,4
7,4 |-- 8,6
8,6 |-- 9,8
9,8 |-- 11,0
11,0 |-- 12,2
12,2 |-- 13,4
Total (n)
x =
120
Observações (fi)
9
24
21
8
6
24
21
7
120
Xi
4,4
5,6
Xi fi
39,6
11,6
12,8
89,6
≅
OBS: Se a média para os 120 valores fosse obtida diretamente do conjunto, através da fórmula (4.1), o
valor encontrado seria 8,40.
4.2 – Mediana ( ~
x)
É o valor que ocupa a posição central em um conjunto de dados, quando organizados em ordem
crescente. Se a quantidade de valores é ímpar, a mediana, ou valor mediano, é simplesmente o valor
central. Se a quantidade de valores é par, a mediana é a média dos dois valores centrais.
Exemplo 4.5 – Seja o conjunto {2 , 2 , 3 , 5 , 5 , 6 , 7 , 7 , 9 , 9 , 10}. Neste caso a mediana é
~
x = 6.
Exemplo 4.6 – Seja o conjunto {0 , 1 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 5 , 6 , 6 , 7 , 8}. Aqui a mediana é dada pela média
dos dois valores centrais, isto é, ~
x = (4 + 5)/2 = 4,5.
4.2.1 – Mediana para dados agrupados em distribuições de freqüências
Para dados agrupados em distribuições de freqüências pode-se utilizar para o cálculo da mediana
a expressão:
~
x = LI
~
x
n
 − fca
+ 2
 fme



h


(4.3)
onde:
LIx = limite inferior da classe que contém o valor mediano, isto é, da classe cuja freqüência
acumulada crescente é igual ou imediatamente superior a n / 2.
fca = freqüência acumulada crescente da classe anterior à classe que contém o valor mediano.
fme = freqüência simples da classe que contém o valor mediano.
h = amplitude da classe que contém o valor mediano.
Exemplo 4.7 – O teor mediano de ácido palmítico, para os dados da Tabela 3.1, é dado por:
Classe
1
2
3
4
5
6
7
8
Teores de Ácido Palmítico (%)
3,8 |-- 5,0
5,0 |-- 6,2
6,2 |-- 7,4
7,4 |-- 8,6
8,6 |-- 9,8
9,8 |-- 11,0
11,0 |-- 12,2
12,2 |-- 13,4
Total (n)
Observações (fi)
9
24
21
8
6
24
21
7
120
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
faci
9
33
54
62
19
Estatística – Notas de Aulas
n
= 60 (Então a mediana pertence à 4ª. classe).
2
LIx = 7,4
fca = 54
fme = 8
h = 8,6 – 7,4 = 1,2
Substituindo na expressão (4.3):
OBS: Se a mediana fosse obtida a partir da definição, diretamente do conjunto de dados, o valor
encontrado seria 8,25.
4.3 - Moda
A moda, ou valor modal, de um conjunto de dados é o valor com maior freqüência individual. É
importante ressaltar que o valor modal pode não existir, além disto, caso exista, pode não ser único. Neste
último caso, diz-se que o conjunto é bimodal, trimodal, etc.
Exemplo 4.8 – O valor modal para o conjunto de observação dos teores de ácido palmítico é 6,2, cuja
freqüência é 10.
3,8
3,9
4,1
4,5
4,6
4,8
4,8
4,8
4,9
5
5,1
5,1
5,1
5,1
5,1
5,2
5,4
5,4
5,5
5,6
5,7
5,9
5,9
5,9
6
6
6
6
6,1
6,1
6,1
6,1
6,1
6,2
6,2
6,2
6,2
6,2
6,2
6,2
6,2
6,2
6,2
6,3
6,4
6,4
6,4
6,5
6,6
6,7
6,7
6,8
7
7,2
7,5
7,6
7,7
8
8
8,2
8,3
8,3
9,3
9,4
9,6
9,7
9,7
9,7
9,8
9,8
9,8
9,9
10
10
10
10,1
10,2
10,4
10,4
10,5
10,5
10,5
10,5
10,5
10,5
10,7
10,8
10,8
10,9
10,9
10,9
10,9
11
11
11
11
11,1
11,1
11,1
11,1
11,2
11,2
11,3
11,4
11,4
11,5
11,5
11,5
11,5
11,6
11,6
11,9
11,9
12,2
12,2
12,2
13
13
13,1
13,1
Para dados agrupados em distribuições de freqüências, a moda pode ser calculada através da fórmula dada
por:
Mo = LI
mod

∆1
+ 
∆
 1 + ∆
2

h

onde:
LImod = limite inferior da classe modal, isto é, a de maior freqüência simples.
∆1 = (freqüência simples da classe modal menos a freqüência simples da classe anterior).
∆2 = (freqüência simples da classe modal menos a freqüência simples da classe posterior).
h = amplitude da classe modal.
Exemplo 4.9 – Calcular a moda para a distribuição de freqüências dos teores de ácido palmítico.
A distribuição de freqüências é dada na tabela a seguir.
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
(4.4)
20
Estatística – Notas de Aulas
Classe
1
2
3
4
5
6
7
8
Teores de Ácido Palmítico (%)
3,8 |-- 5,0
5,0 |-- 6,2
6,2 |-- 7,4
7,4 |-- 8,6
8,6 |-- 9,8
9,8 |-- 11,0
11,0 |-- 12,2
12,2 |-- 13,4
Total (n)
Observações (fi)
9
24
21
8
6
24
21
7
120
Neste caso as classes 2 e 6 têm a mesma freqüência. Então a distribuição obtida é bimodal, conforme se
pode notar na Figura 3.3, com a curva de freqüências para este conjunto de dados. As respectivas modas
são:
Primeiro valor modal:
LImod = 5,0
∆1 = 24 – 9 = 15
∆2 = 24 – 21 = 3
h = 6,2 – 5,0 = 1,2

Substituindo na fórmula (4.4): Mo = 5 ,0 + 
.
1
 15 + 3  ( 1 ,2 ) =


Segundo valor modal:
LImod = 9,8
∆1 = 24 – 6 = 18
∆2 = 24 – 21 = 3
h = 11,0 – 9,8 = 1,2
Substituindo na fórmula (4.4):
OBS: É importante chamar a atenção para o fato de que nenhum dos valores coincide com o real valor
modal, que é igual a 6,2.
Comentário
Nos exemplos anteriores é possível observar que as medidas calculadas para um conjunto de
dados podem apresentar discrepância quando calculadas através de abordagens distintas. Para a
distribuição de freqüências dos teores (%) de ácido palmítico observados em amostras de óleos vegetais,
por exemplo, a média aritmética foi calculada como 8,54, para os dados agrupados, e 8,40 para os dados
apenas ordenados. O mesmo ocorre com a mediana, que, por definição, é 8,25. Entretanto, para os
mesmos dados, quando agrupados, a mediana é igual a 8,30. Para o cálculo da moda a diferença é ainda
mais gritante, pois foram encontrados dois valores, 6,0 e 10,8, para a moda. Contudo, é fácil perceber que
o valor em questão é igual a 6,2.
Este tipo de ocorrência deve ser levado em consideração quando se opta pela apresentação, e
tratamento, de dados na forma de distribuições de freqüências. O fácil acesso a programas
computacionais e aplicativos pode tornar dispensável a construção de distribuições de freqüências,
especialmente quando o interesse do estudo restringe-se aos resultados obtidos para as diferentes medidas
aqui estudadas. Neste caso, a distribuição de freqüências pode ser usada apenas como meio de
apresentação dos dados.
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
Estatística – Notas de Aulas
21
4.4 – Relação entre Média, Mediana e Moda
A relação entre os valores encontrados para a média, para a mediana e para a moda indica o tipo
de assimetria da distribuição de freqüências. Aqui entende-se por assimetria o grau de desvio dos dados
em relação ao centro da distribuição.
Figura 4.1 – Assimetria positiva (Mo < ~
x < x ).
x > x ).
Figura 4.2 – Assimetria negativa (Mo > ~
22
Figura 4.3 – Distribuição simétrica (normal) (Mo = ~
x = x ).
Na prática é comum obter distribuições de freqüências cujas medidas não apresentam nenhum dos
comportamentos descritos, e ilustrados, nas Figuras 4.1 a 4.3. Neste caso recomenda-se excluir a moda
nas relações mostradas acima, isto é, comparar apenas a média e a mediana.
4.5 - Percentil
O valor mediano é aquele que divide um conjunto de dados ordenados em duas partes iguais. Da
mesma forma, também pode ser útil discriminar valores correspondentes a uma determinada
percentagem. Este tipo de situação ocorre, por exemplo, quando se deseja determinar a renda familiar que
define os 10% mais ricos em uma sociedade.
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
22
Estatística – Notas de Aulas
Para determinar certo percentil em um conjunto de dados é suficiente ordenar estes mesmos
dados e localizar o elemento correspondente à fração desejada, de modo análogo ao usado para
determinar a mediana.
Exemplo 4.10 – Seja o conjunto de dados mostrado no Quadro 4.1. O 90o percentil é o valor que separa
90% dos exemplares com menor largura dos 10% com a maior largura. Então, considerando que o
conjunto tem n = 150 observações, basta separar os 15 últimos elementos, que são justamente os
pertencentes à última coluna. Neste caso o 90o percentil é igual a 37. Isto significa que 90% dos
exemplares apresentam largura inferior a 37 mm.
Quadro 4.1 – Larguras (em mm) das sépalas
observadas em 150 exemplares de flores íris.
20 25 27 28 30 30 31 32 34 37
22 25 27 28 30 30 31 32 34 37
22 25 27 29 30 30 31 33 34 37
22 25 28 29 30 30 31 33 34 38
23 26 28 29 30 30 32 33 34 38
23 26 28 29 30 30 32 33 35 38
23 26 28 29 30 30 32 33 35 38
23 26 28 29 30 30 32 33 35 38
24 26 28 29 30 31 32 34 35 38
24 27 28 29 30 31 32 34 35 39
24 27 28 29 30 31 32 34 35 39
25 27 28 29 30 31 32 34 36 40
25 27 28 30 30 31 32 34 36 41
25 27 28 30 30 31 32 34 36 42
25 27 28 30 30 31 32 34 36 44
Fonte: Fisher (1936).
Para dados agrupados em distribuições de freqüências pode-se utilizar a fórmula dada por:
P p = LI
P
 pn

 100 − fca 
+ 
h
fP




(4.5)
onde:
LIP = limite inferior da classe que contém o p–ésimo percentil, isto é, da classe cuja freqüência
acumulada crescente é igual ou imediatamente superior a pn / 100.
fca = freqüência acumulada crescente da classe anterior à classe que contém o p–ésimo percentil.
fP = freqüência simples da classe que contém o p–ésimo percentil.
h = amplitude da classe que contém o p–ésimo percentil.
Exemplo 4.11 – Calcular o 90o percentil e o 10o percentil para os dados da distribuição de freqüências dos
dados mostrados na Tabela 3.1.
Classe
1
2
3
4
5
6
7
8
Teores de Ácido Palmítico (%)
3,8 |-- 5,0
5,0 |-- 6,2
6,2 |-- 7,4
7,4 |-- 8,6
8,6 |-- 9,8
9,8 |-- 11,0
11,0 |-- 12,2
12,2 |-- 13,4
Total (n)
Observações (fi)
9
24
21
8
6
24
21
7
120
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
faci
9
33
54
62
68
92
113
Estatística – Notas de Aulas
23
Neste caso: p = 90. Então 90 × 120 = . O valor procurado pertence à ......... classe, que tem freqüência
100
acumulada crescente igual a ............
LIP = 11,0
fca = 92
fP = 21
h = 12,2 – 11,0 = 3,0
Substituindo na fórmula 4.5:
O cálculo do 10o percentil é deixado como exercício.
4.6 - Decil
Esta medida é aplicada quando de deseja dividir um conjunto de dados ordenados em dez partes
iguais. Não é difícil perceber que:
D1 = P10
D2 = P20
D3 = P30
...
D9 = P90
Exemplo 4.12 – Para os dados do Quadro 4.1, o quarto decil corresponde ao valor que separa quatro
décimos, ou 40% dos valores. Para n = 150 observações, isto representa 60 valores, ou as quatro
primeiras colunas. Então D4 = 30.
4.7 - Quartil
Esta medida divide um conjunto de dados ordenados em quatro partes iguais. Também é fácil
perceber que:
Q1 = P25
Q2 = P50
Q3 = P75
Exemplo 4.13 – Para os dados do Quadro 4.1, o terceiro quartil é valor que separa o conjunto em duas
partes, uma correspondente a 75% dos valores e outra correspondente a 25% dos valores. Como o
conjunto possui 150 observações, e ¾ de 150 correspondem a 112,5, o elemento procurado é a média do
112o e do 113o valores. Então o Q3 = 33 (verifique no próprio quadro !)
4.8 - Exercícios
4.8.1) O Quadro 3.1 foi utilizado para construir uma distribuição de freqüências no Exercício 3.12.
Calcular, para a distribuição de freqüências obtida:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
Média.
Mediana.
Moda.
Comparar os resultados obtidos com os reais valores.
Estudar a assimetria da distribuição.
Calcular o 10o e o 90o percentís.
Calcular o 1o e o 4o quartís.
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
24
Estatística – Notas de Aulas
Respostas: O quadro original é dado a seguir.
Quadro 3.1 – Comprimentos (mm) das sépalas
observadas em 150 exemplares de flores íris.
43
44
46
47
44
44
46
48
50
56
54
55
50
51
49
57
56
61
58
59
46
46
48
50
45
48
49
50
56
56
55
55
55
56
58
60
61
62
60
62
47
48
50
51
49
49
51
52
58
59
56
57
57
57
64
64
63
63
63
63
48
49
51
51
50
50
53
55
59
60
58
60
57
58
65
65
64
64
64
65
49
50
51
52
50
51
57
63
61
61
60
60
58
61
67
68
67
69
67
67
50
51
52
54
51
52
64
65
61
62
63
66
62
63
72
73
72
72
67
68
54
54
54
57
54
55
66
69
63
64
67
67
63
65
76
77
74
77
69
69
58
57
55
70
67
68
71
77
79
77
Fonte: Fisher (1936).
A distribuição de freqüências obtida é dada na tabela a seguir (complete).
Classe
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Comprimento (mm)
43 |-- 47
47 |-- 51
51 |-- 55
55 |-- 59
59 |-- 63
63 |-- 67
67 |-- 71
71 |-- 75
75 |-- 79
Total
Flores
9
23
28
23
16
6
150
faci
9
51
79
99
122
fadi
150
141
118
fri
0,0600
0,1533
0,1267
Ponto médio
45
49
53
144
150
1) Média: x = 59,03 mm.
2) Mediana: ~
x = 58,43 mm.
3) Moda: Mo = 57,12 mm.
4) x = 59,42 mm.
4.8.2) O Quadro 4.1 mostra os valores observados para as larguras (mm) das sépalas observadas nos 150
exemplares mencionados nos exemplos anteriores.
1)
2)
3)
4)
5)
Construir uma distribuição de freqüências para os dados observados.
Calcular a largura média.
Calcular a largura mediana.
Calcular a largura modal.
Comparar os valores obtidos a partir da distribuição de freqüências com os valores obtidos
diretamente no conjunto de dados.
6) Estudar a assimetria da distribuição.
7) Calcular o 10o e o 90o percentís.
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
25
Estatística – Notas de Aulas
Quadro 4.1 – Larguras (em mm) das sépalas
observadas em 150 exemplares de flores íris.
20 25 27 28 30 30 31 32 34 37
22 25 27 28 30 30 31 32 34 37
22 25 27 29 30 30 31 33 34 37
22 25 28 29 30 30 31 33 34 38
23 26 28 29 30 30 32 33 34 38
23 26 28 29 30 30 32 33 35 38
23 26 28 29 30 30 32 33 35 38
23 26 28 29 30 30 32 33 35 38
24 26 28 29 30 31 32 34 35 38
24 27 28 29 30 31 32 34 35 39
24 27 28 29 30 31 32 34 35 39
25 27 28 29 30 31 32 34 36 40
25 27 28 30 30 31 32 34 36 41
25 27 28 30 30 31 32 34 36 42
25 27 28 30 30 31 32 34 36 44
Fonte: Fisher (1936).
Respostas:
1) A distribuição de freqüências fica:
Classes
1
2
3
4
5
6
7
8
Largura (mm)
20 |-- 23
23 |-- 26
26 |-- 29
29 |-- 32
32 |-- 35
35 |-- 38
38 |-- 41
41 |--| 44
Total
Exemplares
4
15
28
47
31
13
9
3
150
2) A largura média é: x = 31,02 mm.
3) A largura mediana é:
~
x = 30,78 mm.
4) A largura modal é: Mo = 30,63 mm.
50
40
30
20
10
0
20 - 23
23 - 26
26 - 29
29 - 32
32 - 35
35 - 38
38 - 41
Figura 4.4 – Histograma para os dados do Quadro 4.1.
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
41 - 44
26
Estatística – Notas de Aulas
5.
MEDIDAS DE DISPERSÃO
A principal utilidade das medidas de tendência central, quando calculadas para determinado conjunto
de dados, é a determinação de valores característicos ou típicos deste conjunto. Entretanto, a informação
fornecida por tais medidas é incompleta, se não for acompanhada de alguma informação sobre a
variabilidade dos dados. Esta informação é obtida através do cálculo de medidas de dispersão, ou
variabilidade.
5.1 – Amplitude Total
Seja um conjunto de dados ordenados {x(1) , x(2) , ... , x(n) }, onde x(1) e x(n) representam o valor
mínimo e o valor máximo, respectivamente, do conjunto. A amplitude total é dada por:
R = x ( n ) − x (1)
(5.1)
Exemplo 5.1 – A amplitude total para o conjunto de dados do Quadro 4.1 é: R = 44 – 20 = 24 mm.
Quadro 4.1 – Larguras (em mm) das sépalas
observadas em 150 exemplares de flores íris.
20 25 27 28 30 30 31 32 34 37
22 25 27 28 30 30 31 32 34 37
22 25 27 29 30 30 31 33 34 37
22 25 28 29 30 30 31 33 34 38
23 26 28 29 30 30 32 33 34 38
23 26 28 29 30 30 32 33 35 38
23 26 28 29 30 30 32 33 35 38
23 26 28 29 30 30 32 33 35 38
24 26 28 29 30 31 32 34 35 38
24 27 28 29 30 31 32 34 35 39
24 27 28 29 30 31 32 34 35 39
25 27 28 29 30 31 32 34 36 40
25 27 28 30 30 31 32 34 36 41
25 27 28 30 30 31 32 34 36 42
25 27 28 30 30 31 32 34 36 44
Fonte: Fisher (1936).
5.2 – Desvio Médio
Seja um conjunto de dados {x1 , x2 , ... , xn }, não necessariamente ordenados. Então o desvio
médio dos valores do conjunto em relação à sua média é dado por:
n
D =
∑
i =1
xi − x
(5.2)
n
Exemplo 5.2 – O Quadro 5.1 mostra os teores (%) de vanádio encontrados em uma amostra de sete
estratos de óleo cru extraídas de solo do tipo “Wilhelm sandstone”.
Quadro 5.1 – Teores de vanádio.
Estrato
1
2
3
4
5
6
Teor (%) 3,9 2,7 2,8 3,1 3,5 3,9
7
2,7
Fonte: Johnson e Wichern (1988)
A média é x = 3 , 2286 . O desvio médio é: D = 3 ,9 − 3 ,2286
+ ... + 2 ,7 − 3 ,2286
7
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
=
27
Estatística – Notas de Aulas
Para uma distribuição de freqüências com k classes, com freqüências simples f1 , ... , fk , e pontos
médios X1 , ... , Xk , respectivamente, o desvio médio é dado por:
k
∑
D =
X i − x fi
i =1
k
∑
(5.3)
fi
i =1
Exemplo 5.3 – O desvio médio para a distribuição de freqüências dos dados da Tabela 3.1 é calculado
como:
A média é x =
Classe
1
2
3
4
5
6
7
8
Teores de Ácido Palmítico (%)
3,8 |-- 5,0
5,0 |-- 6,2
6,2 |-- 7,4
7,4 |-- 8,6
8,6 |-- 9,8
9,8 |-- 11,0
11,0 |-- 12,2
12,2 |-- 13,4
Total (n)
Observações (fi)
9
24
21
8
6
24
21
7
120
faci
9
33
54
62
Então
5.3 – Variância
Seja um conjunto de dados {x1 , x2 , ... , xn }, não necessariamente ordenados. Assim como o
desvio médio, a variância é gerada a partir das diferenças dos valores do conjunto de dados em relação à
média do mesmo. Entretanto, é necessário ter em mente a natureza dos dados estudados, mais
especificamente, se os mesmos constituem uma população ou uma amostra. Para o primeiro caso, e
representando a média populacional por µ , a variância é dada por:
n
σ
∑ (x
=
2
i =1
− µ
i
)2
.
n
(5.4)
A fórmula acima pode ser facilmente transformada para uma expressão mais simples, dada por:
n
σ
2
∑
=
x i2
i =1
n
− µ
.
2
(5.6)
Quando o conjunto de dados {x1 , x2 , ... , xn } representa uma amostra, calcula-se o estimador
corrigido para a variância amostral, dado por
n
s =
∑ (x
i =1
2
i
− x)
2
n −1
.
(5.7)
2
O estimador acima também costuma ser representado por σˆ , e a fórmula (5.7) pode ser transformada
para
n
s2 =
∑
i =1
x i2
n −1
−
nx 2
n −1
.
Exemplo 5.4 – Calcular a variância para a amostra de teores de vanádio, mostrados no Quadro 5.1.
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
(5.8)
28
Estatística – Notas de Aulas
Quadro 5.1 – Teores de vanádio.
Estrato
1
2
3
4
5
6
Teor (%) 3,9 2,7 2,8 3,1 3,5 3,9
7
2,7
Fonte: Johnson e Wichern (1988)
A média é x = 3 , 2286 . Então, usando a fórmula (5.8):
s2 =
3 ,9 2 + 2 ,7 2 + ... + 2 ,7 2 ( 7 )( 3 ,2286 2 ) .
−
=
7 −1
7 −1
Para uma distribuição de freqüências com k classes, com freqüências simples f1 , ... , fk , e pontos
médios X1 , ... , Xk , respectivamente, a variância populacional é dada por:
k
σ
2
∑X
=
i =1
k
∑
i =1
2
i
fi
− µ2
.
(5.9)
fi
Para dados amostrais, o estimador corrigido é dado por
k
s
2
=
∑
i =1
X
2
i
fi
n −1
nx 2 .
n −1
−
(5.10)
Exemplo 5.5 – Calcular a variância amostral para os dados da distribuição de freqüências dos dados da
Tabela 3.1.
Classe
1
2
3
4
5
6
7
8
Teores de Ácido Palmítico (%)
3,8 |-- 5,0
5,0 |-- 6,2
6,2 |-- 7,4
7,4 |-- 8,6
8,6 |-- 9,8
9,8 |-- 11,0
11,0 |-- 12,2
12,2 |-- 13,4
Total (n)
Observações (fi)
9
24
21
8
6
24
21
7
120
faci
9
33
54
62
Então, usando a fórmula (5.10):
Quando não tem à disposição uma planilha de cálculo, ou mesmo uma calculadora adequada,
pode-se reduzir o esforço para calcular a variância. Isto é possível através das fórmulas (5.12) e (5.13),
obtidas a partir das fórmulas (5.9) e (5.10), respectivamente. Para tanto basta efetuar a substituição de
variável dada por:
X i = A + hd i .
(5.11)
Efetuada a substituição nas fórmulas (5.9) e (5.10), após convenientes manipulações algébricas obtém-se
as fórmulas dadas por:
σ
2
 k

2
 ∑ di fi 
2  i =1
= h
−

 k

 ∑ fi

 i = 1

di fi 
∑
i =1

k

fi 
∑
i =1

k
2






Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
(5.12)
29
Estatística – Notas de Aulas
s2
2
 k
 k

 ∑ di fi 
 ∑ d i2 f i

= h 2  i =1
−  i =1
 n −1
n ( n − 1)








(5.13)
Nas fórmulas acima:
A = ponto médio de uma classe de referência escolhida arbitrariamente (em geral escolhe-se a classe
modal, isto é, a que possui a maior freqüência simples).
h = amplitude de classe (deve ser igual para todas as classes).
di = desvio da i-ésima classe em relação à classe escolhida como classe de referência.
k
n = ∑ fi .
i =1
Exemplo 5.6 – Calcular a variância amostral para a distribuição de freqüências do exemplo anterior.
Escolhendo, arbitrariamente, a quarta classe como classe de referência:
Classe
1
2
3
4
5
6
7
8
Teores de Ácido Palmítico (%)
3,8 |-- 5,0
5,0 |-- 6,2
6,2 |-- 7,4
7,4 |-- 8,6
8,6 |-- 9,8
9,8 |-- 11,0
11,0 |-- 12,2
12,2 |-- 13,4
Total (n)
Lembrando que h = 1,2 e n = 120:
Observações (fi)
9
24
21
8
6
24
21
7
120
faci
9
33
54
62
5.3.1 – Método Breve para o Cálculo da Média Aritmética
A substituição (5.15) aplicada à fórmula da média, permite a seguinte transformação:
k
k
x =
∑X
i =1
k
∑
i =1
fi
i
↔
x = A+h
fi
∑d
i =1
k
i
∑
i =1
fi
(5.14)
fi
A fórmula (5.14) também é conhecida como Método Breve para o cálculo da média.
5.4 – Desvio Padrão
È dado pela raiz quadrada da variância. Deste modo, para o cálculo do desvio padrão, deve-se
levar em consideração a natureza dos dados. È a medida de dispersão mais utilizada para a descrição de
dados, juntamente com a média aritmética.
Seja o conjunto de dados {x1 , x2 , ... , xn }, não necessariamente ordenados. Se o conjunto
representa uma população, o desvio padrão é dado por:
n
σ =
∑x
i =1
n
2
i
− µ2 .
Se o conjunto representa uma amostra, o estimador corrigido é dado por:
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
(5.15)
30
Estatística – Notas de Aulas
n
∑x
s=
i =1
2
i
n −1
nx 2
n −1
−
.
(5.16)
Exemplo 5.7 – Calcular o desvio padrão para os dados do Quadro 5.1.
Quadro 5.1 – Teores de vanádio.
Estrato
1
2
3
4
5
6
Teor (%) 3,9 2,7 2,8 3,1 3,5 3,9
7
2,7
Fonte: Johnson e Wichern (1988)
A média é x = 3 , 2286 . Então, usando a fórmula (5.16):
s =
3 ,9 2 + ... + 2 ,7 2
(7)(3,2286
−
7 −1
7 −1
)2
= .
5.4.1 – Desvio Padrão para Dados Agrupados em Distribuições de Freqüências
Para uma distribuição de freqüências com k classes, com freqüências simples f1 , ... , fk , e pontos
médios X1 , ... , Xk , respectivamente, o desvio padrão populacional é dado por:
k
∑
σ =
X i2 f i
i =1
k
∑
i =1
−µ2
.
(5.17)
.
(5.18)
fi
O estimador corrigido para o desvio padrão amostral é dado por:
k
∑X
s=
i =1
2
i
fi
n −1
−
nx 2
n −1
Para o cálculo do desvio padrão através das fórmulas (5.17) e (5.18) também é possível efetuar a
mesma substituição de variável aplicada ao cálculo da variância. Neste caso as duas fórmulas são
transformadas para:
k
σ = h
∑d
i =1
2
i
fi
k
∑
i =1
fi


−



k
∑d
i =1
k
∑
i =1

fi 


fi 

i
2
,
(5.19)
.
(5.20)
e
k
s= h
∑
i =1
d i2 f i
n −1
 k

 ∑ di fi 

−  i =1
n ( n − 1)
2
5.5 – Coeficiente de Variação
É definido como a razão entre o desvio padrão e a média, isto é
CV =
s
x
Exemplo 5.8 – Calcular o coeficiente de variação para os dados do Quadro 5.1.
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
(5.21)
31
Estatística – Notas de Aulas
CV =
0 , 5323
= 0 ,1649 .
3 , 2286
5.6 – Exercícios
5.6.1) Seja a distribuição de freqüências dos dados do Quadro 3.1, ou seja:
Classe
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Comprimento (mm)
43 |-- 47
47 |-- 51
51 |-- 55
55 |-- 59
59 |-- 63
63 |-- 67
67 |-- 71
71 |-- 75
75 |-- 79
Total
Flores
9
23
19
28
20
23
16
6
6
150
faci
9
32
51
79
fadi
150
141
118
99
fri
0,0600
0,1533
0,1267
0,1867
Ponto médio
45
49
53
57
150
6
0,0400
77
Calcular:
1) O desvio padrão.
2) O coeficiente de variação.
5.6.2) Repetir o exercício anterior para os dados da distribuição de teores de ácido palmítico.
Classe
1
2
3
4
5
6
7
8
Teores de Ácido Palmítico (%)
3,8 |-- 5,0
5,0 |-- 6,2
6,2 |-- 7,4
7,4 |-- 8,6
8,6 |-- 9,8
9,8 |-- 11,0
11,0 |-- 12,2
12,2 |-- 13,4
Total (n)
Observações (fi)
9
24
21
8
6
24
21
7
120
Respostas: Desvio padrão: s = 2,6515 ; Coeficiente de variação: CV = 0,3123.
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
Estatística – Notas de Aulas
6.
32
ASSIMETRIA E CURTOSE
Assimetria é o afastamento de uma distribuição em relação a um valor central. Curtose é o
achatamento de uma distribuição.
6.1 – Coeficiente de Assimetria
Já foi visto que uma distribuição de freqüências pode ser assimétrica positiva, negativa ou
simétrica, neste caso também chamada distribuição normal. Os três casos são ilustrados nas figuras a
seguir.
Figura 4.1 – Assimetria positiva (Mo < ~
x < x ).
x > x ).
Figura 4.2 – Assimetria negativa (Mo > ~
22
Figura 4.3 – Distribuição simétrica (normal) (Mo = ~
x = x ).
O coeficiente de assimetria de Pearson mede o afastamento que caracteriza o tipo de assimetria.
Este coeficiente é dado por:
ass =
3( x − ~
x)
.
s
Exemplo 5.1 – Calcular o coeficiente de assimetria para os dados do Quadro 5.1.
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
(6.1)
33
Estatística – Notas de Aulas
Depois de ordenados, os valores ficam:
Quadro 5.1 – Teores de vanádio (ordenados)
Estrato
(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)
Teor (%) 2,7 2,7 2,8 3,1 3,5 3,9 3,9
Fonte: Johnson e Wichern (1988)
~
x = 3,1. Então:
A média é x = 3,2286 e o desvio padrão é s = 0,5323. A mediana é
ass =
3 ( 3 , 2286 − 3 ,1)
= 0 , 7248 .
0 , 5323
6.2 – Coeficiente de Curtose
O coeficiente de curtose mede o achatamento de uma distribuição de freqüências, em
comparação com uma distribuição normal. Na prática só é calculado para distribuições simétricas, ou
muito aproximadamente simétricas. O coeficiente percentílico de curtose é dado por:
C =
P75 − P25
2 ( P90 − P10 )
.
(6.2)
Para uma distribuição normal, o coeficiente de curtose é C = 0,263. Se o valor calculado para C é inferior
a 0,263, diz-se que a distribuição é leptocúrtica (alongada). Se o valor é superior a 0,263, diz-se que a
distribuição é platicúrtica (achatada). As três situações são ilustradas nas Figuras 6.1, 6.2 e 6.3.
70
60
50
40
30
20
10
0
Figura 3.1 – Distribuição leptocúrtica.
45
40
35
30
25
20
15
10
5
0
Figura 3.2 – Distribuição mesocúrtica.
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
Estatística – Notas de Aulas
34
30
25
20
15
10
5
0
Figura 3.3 – Distribuição platicúrtica.
A caracterização do tipo de curtose auxilia na avaliação da dispersão dos dados do conjunto.
Uma distribuição leptocúrtica possui dispersão baixa, enquanto uma distribuição platicúrtica possui
dispersão elevada, tomando como referência a dispersão verificada em uma distribuição normal.
6.3 – Exercícios
6.3.1) Seja a distribuição de freqüências para os dados do Quadro 4.1. Isto é,
Classes
1
2
3
4
5
6
7
8
Largura (mm)
20 |-- 23
23 |-- 26
26 |-- 29
29 |-- 32
32 |-- 35
35 |-- 38
38 |-- 41
41 |--| 44
Total
Exemplares
4
15
28
47
31
13
9
3
150
Calcular:
1) O coeficiente de assimetria de Pearson.
2) O coeficiente percentílico de curtose.
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
35
Estatística – Notas de Aulas
EXERCÍCIOS DE REVISÃO
O Quadro 6.1 contém os teores de ácido oléico observados em 120 observações de óleos vegetais.
22,3
22,7
22,8
22,9
23,1
23,1
23,2
23,2
24
24,1
24,1
24,4
24,4
24,4
24,5
24,5
24,6
24,6
24,7
24,9
25,1
25,1
25,2
25,3
25,3
25,3
25,5
25,6
25,7
25,7
25,8
25,8
25,9
26
26
26,1
26,1
26,4
26,5
26,7
26,8
27
27,1
27,1
27,1
27,2
27,4
27,8
28,3
28,3
28,3
29,1
29,4
29,5
29,6
29,6
29,8
29,9
30,3
30,4
30,4
31
31,1
31,1
31,1
31,1
31,1
31,7
31,7
31,8
31,8
32,1
32,6
32,9
33,6
33,6
33,9
34
34,4
34,5
34,8
34,9
35
35
35
35,2
35,2
35,2
35,4
35,8
37,4
37,7
38,4
39,3
39,7
40,1
41,4
43
43,3
45,7
52,2
53,2
54,6
55,5
55,9
56,6
57,2
58
58,2
59
59,1
59,2
59,2
59,3
61,6
61,8
62,6
64,9
77,8
80,6
1)
2)
3)
4)
5)
6)
Construir uma distribuição de freqüências para os dados.
Traçar o histograma.
Calcular a média aritmética.
Calcular a mediana.
Calcular a moda.
Tanto a mediana como a moda podem ser obtidas diretamente no Quadro 6.1. Comparar os
valores encontrados pela observação direta com os valores obtidos pelas fórmulas, nos exercícios
4 e 5.
7) Calcular o desvio padrão.
8) Estudar a assimetria da distribuição.
9) O cálculo do coeficiente de curtose é justificado para este conjunto de dados ? Por quê ?
Algumas respostas:
1) Amplitude total: R = 58,3; Número de classes: k = 1 + 3,3log(120) = 8 ; Amplitude de classe
(R/n) : h = 7,3.
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
36
Estatística – Notas de Aulas
7.
TEORIA DA PROBABILIDADE
As mais freqüentes aplicações da estatística envolvem processos de tomada de decisões sob
condições de incerteza. Este tipo de situação ocorre, por exemplo, em processos de inspeção de qualidade.
Aqui o tomador de decisões deve decidir, após inspecionar uma amostra, se um lote de certo produto está
conforme parâmetros de qualidade previamente definidos. Outra situação bastante freqüente é o
desenvolvimento de novos medicamentos, ou terapias, nas pesquisas médicas. Neste caso a decisão a ser
tomada refere-se à eficácia do medicamento, ou terapia. A lista de aplicações dos conceitos relacionados à
incerteza é ampla, envolvendo as mais variadas áreas, tais como Engenharia, Economia, Administração e
Medicina, para citar apenas algumas. Nestes casos a incerteza decorre de fatores como tamanho da
amostra, representatividade da mesma e método de inspeção, eficácia do método de diagnóstico,, entre
outros. Esta incerteza é tratada pela estatística com o auxílio da teoria da probabilidade. Na seqüência
apresenta-se uma breve revisão dos principais conceitos envolvidos no estudo desta teoria.
7.1 – Teoria dos Conjuntos
7.1.1 – Conjunto.
É o termo empregado para designar uma lista, ou coleção, bem definida de elementos. Um
conjunto é representado por letra maiúscula, enquanto seus elementos são representados por letras
minúsculas. Se um elemento x pertence a um conjunto C, escreve-se x ∈ C . Caso contrário, x ∉ C .
Diz–se que um conjunto A está contido em outro conjunto B, se todos os elementos de A
pertencem também ao conjunto B. Neste caso escreve-se A ⊂ B , ou B ⊃ A . A negação para a
primeira representação é A ⊄ B .
Há duas formas de se representar um conjunto. Pode-se listar os seus elementos ou utilizar uma
representação gráfica conhecida como Diagrama de Venn. Seja por exemplo o conjunto C, de todos os
resultados observáveis no lançamento de um dado. Então:
C={1,2,3,4,5,6}
1
2
3
4
5
6
Se um conjunto V não possui quaisquer elementos, diz-se que o mesmo é vazio. Neste caso podese representar como V = { } ou V = Ø.
7.1.2 – Operações com Conjuntos
Sejam A, B e C três conjuntos arbitrários. São definidas as seguintes operações:
7.1.2.1 – União
A união deA e B é o conjunto formado por todos os elementos que pertencem a A ou a B.
A ∪ B = {x : x ∈ A ∨ x ∈ B} .
Exemplo 7.1 – Seja os conjuntos A = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} e B = {7,8,9,10,11,12}. Então a união de A e B
resulta no conjunto A ∪ B = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12} .
7.1.2.2 – Intersecção
A intersecção dos conjuntos A e B é o conjunto formado por todos os elementos que pertencem a
A e a B.
A ∩ B = {x ∈ A ∧ x ∈ B} .
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
Estatística – Notas de Aulas
37
Exemplo 7.2 – A intersecção dos conjuntos A e B do exemplo anterior resulta no conjunto
A ∩ B = {7,8,9} .
7.1.2.3 – Diferença
A diferença dos conjuntos A e B é o conjunto de elementos de que pertencem ao conjunto A, mas
não ao conjunto B.
A \ B = { x : x ∈ A ∧ x ∉ B} .
Se A ⊂ B , diz-se que B \ A é o complemento de A em relação a B.
B
A
Exemplo 7.3 – A diferença dos conjuntos A e B dos exemplos anteriores resulta no conjunto
A \ B = {1,2,3,4,5,6} .
Exemplo 7.4 – Sejam os conjuntos X = {2,3,4,5,6,7} e Y = {4,5,6}. Então o complemento de Y em relação
a X é X \ Y = {2,3,7}.
7.1.3 – Conjuntos Finitos e Enumeráveis
Diz-se que um conjunto A é finito quando é formado por n elementos, onde n é um número
inteiro positivo. Diz-se que um conjunto é enumerável quando é possível atribuir uma seqüência aos seus
elementos.
Exemplo 7.5 – Seja X o conjunto de todos os possíveis resultados observáveis no lançamento de um dado.
Neste caso, X = {1,2,3,4,5,6} é finito e enumerável.
Exemplo 7.6 – Seja I o conjunto de todos os números reais compreendidos entre 0 e 1. Então o conjunto
dado por I = {x : 0 < x < 1} não é finito e nem enumerável.
Exemplo 7.7 – Seja P o conjunto de todos os números inteiros positivos ímpares. Então o conjunto dado
por P = {1,3,5,...} é infinito e enumerável.
7.1.4 – Produto Cartesiano
Sejam dois conjuntos, A e B. O produto cartesiano de A e B, representado por A × B é o conjunto
de todos os pares ordenados (x , y) onde x pertence a A e y pertence a B.
A × B = {( x, y ) : x ∈ A ∧ y ∈ B}
Exemplo 7.8 – Sejam os conjuntos A = {2,4,6} e B = {5,7}. Então o produto cartesiano é o conjunto dado
por A × B = {(2,5) , (2,7) , (4,5) , (4,7) , (6,5) , (6,7)}.
7.1.5 – Classes
Há situações nas quais os elementos de um conjunto também são conjuntos. Seja por exemplo o
conjunto dos números naturais, IN. O subconjunto de todos os múltiplos de 7 forma um conjunto. Seja um
conjunto A. Uma classe de A é um conjunto de subconjuntos de A.
Exemplo 7.9 – Seja o conjunto A = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}. Algumas classes de A são dadas por:
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
38
Estatística – Notas de Aulas
[{1,3,5,7,9} , {2,4,6,8,10} , {1,2,3,4}] , [{1,3,5} , {7,9} , {2,4} , {6,8,10}] , [{1},{3},{5},{7},{9}].
7.1.5.1 – Classe Indexada
Em algumas situações utiliza-se a expressão classe indexada de conjuntos, cuja notação
geralmente é { Ai : i ∈ I } . Neste caso deseja-se esclarecer que a cada elemento i de I corresponde um
conjunto A i . O conjunto I é chamado conjunto dos índices, e os conjuntos A i são os conjuntos indexados
por I. Quando I é subconjunto do conjunto IN, dos números naturais, a classe indexada {A1 , A2 , ... } é
chamada seqüência de conjuntos.
O conjunto de elementos, cada um dos quais pertencente a pelo menos um conjunto A i , é
chamado união dos A i , e pode ser representado por U i∈I Ai .
O conjunto de elementos, cada um dos quais pertencente a todos os conjuntos A i , é chamado
intersecção dos A i , e pode ser representado por I i∈I Ai .
7.1.6 – Partição
Seja um conjunto A. Uma partição é uma classe de subconjuntos disjuntos e não vazios do
conjunto A.
Exemplo 7.10 – Seja o conjunto A = {2,3,4,5,7,8,9}. Uma partição de A é, por exemplo, [{2,3,4} , {5,7} ,
{8,9}]. Por outro lado, a classe [{2,3,4} , {4,5,7} , {8,9}] não é uma partição, pois o elemento “4”
pertence a dois subconjuntos.
7.1.7 – σ – Álgebra
Sejam um conjunto A e uma classe A não vazia de subconjuntos de
U i∈I Ai . Diz-se que A é
uma σ – álgebra se:
1.
2.
O complemento de qualquer conjunto de A pertence a A.
A união de um número finito, e enumerável, de conjuntos de A pertence a A.
7.2 – Técnicas de Contagem
De acordo com o princípio fundamental da contagem, se um procedimento pode ser executado
de m modos possíveis, e um segundo procedimento pode ser executado de n modos possíveis, então o
número de modos pelos quais é possível executar os dois procedimentos é m.n .
Exemplo 7.11 – Seja um experimento que consiste em lançar um dado e, na seqüência, uma moeda. Então
o número de possíveis resultados é 6.2 = 12.
Exemplo 7.12 – Quantas placas com três letras seguidas de quatro algarismos podem ser confeccionadas,
sabendo que nenhuma placa possui quatro algarismos iguais a zero ?
Neste caso pode-se considerar que há 26 letras disponíveis (incluindo k, w e y) e 10 algarismos, 0 , ... , 9.
Como nenhuma placa pode ter quatro algarismos iguais a zero, para a última posição há nove algarismos
possíveis. Então o total de placas possíveis é:
7.2.1 – Fatorial
Seja n um número inteiro positivo. O fatorial de n é dado por:
n! = n( n − 1)( n − 2)...1 .
É possível demonstrar que 0 ! = 1.
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
(7.1)
39
Estatística – Notas de Aulas
Exemplo 7.13 – 5 ! = 5.4.3.2.1 = 120 ; 8 ! / 6 ! = (8.7.6 !) / 6 ! = 8.7 = 56.
Fórmula de Stirling: Para n muito grande pode-se obter uma aproximação dada por:
! ~√2
(
)2
7.2.2 – Coeficiente Binomial
Sejam dois números inteiros positivos n e p, tais que p ≤ n. Então o coeficiente binomial de n
sobre p é dado por:
n 
n!
  =
p ! (n − p )!
 p
.
(7.2)
7!
7!
7 . 6 . 5! 7 . 6
42
Exemplo 7.14 –  7  =
 5  5! ( 7 − 5 )! = 5! 2! = 5! 2 . 1 = 2 . 1 = 2 = 21
 
Propriedades:
P1:  n  = 1 .
0
 
n
P 2:   = n .
1 
 
P3:  n  = 1 .
n
 
n
n
P4: Se p + q = n , então   =   .
 p q
   
7.2.3 – Permutação
A disposição dos elementos de um conjunto seguindo certa ordem é chamada permutação. O
total de permutações que pode efetuar com n elementos é dado por
Pn = n !
.
(7.3)
Exemplo 7.15 – Seja o conjunto X = {2,4,6}. As possíveis permutações com os três elementos são: 246 ,
426 , 462 , 264 , 624 , 642. Total: 3 ! = 3.2.1 = 6.
7.2.4 – Arranjo
Sejam n elementos. Uma permutação de p, p ≤ n, destes elementos, de acordo com determinada
ordem, é denominada arranjo. O número de arranjos de n elementos, tomados p a p, é dado por:
An , p =
n!
(n − p )!
.
(7.4)
Exemplo 7.16 – Sejam os algarismos 1 , 2 , ... , 8 , 9. Quantos números com três dígitos podem ser
formados a partir dos algarismos dados ?
A9 , 3 =
9! 9 .8 .7 .6!
=
= 9 .8 .7 = 504 .
6!
6!
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
40
Estatística – Notas de Aulas
OBS: Alguns autores não fazem distinção entre permutação e arranjo, preferindo utilizar apenas a
primeira expressão.
7.2.5 – Permutação com Repetição
Há situações nas quais alguns dos n elementos com os quais deseja-se efetuar um arranjo são
iguais. Então, se n1 , n2 , ... , nr são iguais, o número de permutações é dado por:
n!
n1! n 2 !... n r !
.
(7.5)
Exemplo 7.17 – De quantos modos é possível arranjar as letras da palavra PARANÁ ?
6!
6 .5 .4 .3 !
=
= 120
3!
3!
7.2.6 – Combinação
Sejam n elementos. Uma disposição de p, p ≤ n, destes elementos, sem levar em consideração a
ordem, é denominada combinação. O número de combinações de n elementos, tomados p a p, é dado por:
n 
C n , p =   .
 p
(7.6)
Exemplo 7.18: Sejam os algarismos 1 , 2 , ... , 8 , 9. Quantas combinações com três dígitos podem ser
formadas a partir dos algarismos dados ?
Neste caso considera-se que 567 e 675, por exemplo, são uma só combinação, já que a ordem é
irrelevante. Então o total de combinações é dado por:
C 9 ,3 =
9!
9 . 8 . 7 . 6!
=
= 84 .
3 ! 6 ! 3 . 2 . 1 . 6!
7.2.7 – Exercícios
7.2.7.1) Arme e efetue:
a)
6!
e)
n
 
1 
b) 8 !
8 
 
6
8 
d)  
 2
c)
n
 
0
n 

g) 
 n −1
f)
7.2.7.2) Uma loteria consiste em 60 números, numerados de 1 a 60, entre os quais o apostador deve
escolher seis. De quantos modos é possível escolher os seis números ?
7.2.7.3) Quantos anagramas é possível formar com as letras da palavra ESTATÍSTICA ?
7.2.7.4) Um baralho completo possui 52 cartas, divididas em quatro grupos iguais (naipes). Deste baralho
são retiradas cinco cartas. Quantos resultados são possíveis ?
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
Estatística – Notas de Aulas
41
7.2.7.5) Sejam os algarismos 1 , 2 , ... , 8 , 9. Quanto números com três dígitos podem ser formados a
partir dos algarismos dados ?
7.3 – Introdução à Probabilidade
As origens da teoria da probabilidade remontam a meados do século 17. Os conceitos
fundamentais, como probabilidade e esperança matemática, surgiram nas correspondências trocadas
entre Pascal e Fermat, e que geralmente tratavam de jogos de azar. De acordo com Gnedenko (1962), as
questões então levantadas não faziam parte do escopo da matemática da época. O desenvolvimento da
teoria da probabilidade, observado nos séculos subseqüentes, foi impulsionado em grande parte pelas
necessidades das ciências naturais. A abordagem matemática, caracterizada pelo rigor formal, teve início
em meados do século 19, prolongando-se até meados do século 20. Ainda de acordo com Gnedenko
(1962), as muitas definições de probabilidade podem ser subdivididas em três grupos:
1.
2.
3.
Definições de probabilidade matemática como uma medida do “grau de certeza” do
observador.
Definições que reduzem o conceito de probabilidade à noção de “igual verossimilhança”.
Definições que tomam como ponto de partida a frequência relativa de ocorrência de um
evento em um grande número de observações.
Embora não haja uma definição formal para o termo probabilidade, pode-se entender que o
mesmo designa o estudo de experimentos aleatórios, isto é, experimentos cujos resultados estão sujeitos
ao acaso. Alguns conceitos necessários ao referido estudo são apresentados a seguir.
7.3.1 – Espaço Amostral e Evento
Seja um experimento aleatório realizado sob condições fixas. Chama-se espaço amostral do
experimento o conjunto Ω de todos os resultados observáveis para o experimento. Chama-se evento a
qualquer subconjunto E, de Ω. Vale lembrar que um espaço amostral pode conter mais de um evento.
Neste caso é possível combinar eventos através de operações com conjuntos, isto é:
1.
2.
Evento união: A ∪ B .
Evento intersecção: A ∩ B .
3.
Evento complementar: A
C
(só ocorre quando A não ocorre).
Exemplo 7.19 – Um exemplo de experimento aleatório é o lançamento de um dado. Neste caso o espaço
amostral correspondente é o conjunto Ω = {1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6}. Um exemplo de evento é o subconjunto de
Ω dado por E = {2 , 4 , 6}, que corresponde ao resultado “número par”.
Exemplo 7.20 – Imagine-se que um experimento aleatório consiste em registrar o tempo t, em horas, entre
falhas apresentadas por determinado equipamento. Então Ω = {t ∈ IR ; 0 < t}. Não é difícil perceber que
este espaço amostral contém resultados claramente impossíveis. Entretanto, na definição de um espaço
amostral, deve-se ter a preocupação de definir um conjunto que contenha todos os possíveis resultados
para o experimento aleatório em questão. Neste sentido, a escolha do conjunto acima é bastante adequada.
7.3.1.1 – Eventos Mutuamente Exclusivos
Sejam A e B eventos de um espaço amostral Ω. Diz-se que A e B são eventos mutuamente
exclusivos se, e somente se, A e B são disjuntos. De outra forma, dois eventos são mutuamente exclusivos
quando não possuem nenhum resultado em comum.
Exemplo 7.21 – O espaço amostral associado ao lançamento de um dado é Ω = {1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6}. Não é
difícil perceber que os eventos A = {número par} = {2 , 4 , 6} e B = {número ímpar} = {1 , 3 , 5} são
mutuamente exclusivos.
7.3.2 – Enfoques
Para a formalização do conceito de probabilidade pode-se adotar um de três enfoques:
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
42
Estatística – Notas de Aulas
7.3.2.1 – Enfoque Clássico
Também conhecido como “definição clássica” de probabilidade, estabelece que, se Ω é um
espaço amostral finito, então a probabilidade de qualquer evento E, contido em Ω, é dada por
P(E ) =
# (E )
# (Ω )
.
(7.8)
Exemplo 7.22 – Dois dados são lançados simultaneamente. Qual a probabilidade de que a soma dos
resultados seja “5” ?
Espaço amostral: Ω = {(1 , 1) , ... , (1 , 6) , (2 , 1) , ... , (2 , 6) , ... , (6 , 6)}
#( Ω ) = 36
Evento: E = {(1 , 4) , (2 , 3) , (3 , 2) , (4 , 1) #( E ) = 4
Então a probabilidade é dada por: ( ) = = = 0,1111
7.3.2.2 – Enfoque Relativo
De acordo com este enfoque, a probabilidade de um evento E é dada pela razão entre o total de
ocorrências do evento e o total de observações. De outra forma, a probabilidade de ocorrência é igual à
proporção de “sucessos”. Neste caso o cálculo da probabilidade está baseado na coleta de observações,
razão pela qual este enfoque também é denominado enfoque empírico.
Exemplo 7.23 – Se, numa entrevista com 200 eleitores, observou-se que 120 pretendem votar em
determinado candidato, então a probabilidade encontrar um eleitor daquele candidato é p = 0,6.
7.3.2.3 – Enfoque Subjetivo
Também chamado personalístico, é baseado no “grau de crença” na ocorrência do evento em
questão. Atualmente, é muito aplicado à tomada de decisões em finanças e mercado de capitais, por
exemplo.
7.3.3 – Axiomas de Probabilidade
A1: Para qualquer evento E de um espaço amostral Ω: 0 ≤ P(E) ≤ 1.
A2: P(Ω) = 1.
A3: Se A e B são eventos mutuamente exclusivos, então P ( A ∪ B ) = P ( A) + P ( B ) .
7.3.4 – Teoremas de Probabilidade
T1: P ( A ) = 1 − P ( A) .
T 2 : A ⊂ B ⇒ P ( A) ≤ P ( B ) .
T 3 : P ( A \ B ) = P ( A) − P ( A ∩ B ) .
T4: P ( A ∪ B ) = P ( A) + P ( B ) − P ( A ∩ B ) .
C
7.3.5 – Espaço de Probabilidade
Seja Ω um espaço amostral finito, isto é, Ω = {e1 , e2 , ... , en }. Um espaço de probabilidade é o
conjunto P = {p1 , p2 , ... , pn } , obtido ao associar-se a cada ei ∈ Ω um valor pi ∈ IR, denominado
probabilidade de ei , e tal que:
1.
0 ≤ pi , i = 1 , ... , n.
2.
∑p
n
i =1
i
= 1.
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
43
Estatística – Notas de Aulas
Exemplo 7.24 – Uma moeda é lançada três vezes, com o objetivo de observar o número de “caras”,
representado por k.
Espaço amostral: Ω = {0 , 1 , 2 , 3}
Probabilidades: P(k = 0) = ⅛ ; P(k = 1) = ⅜ ; P(k = 2) = ⅜ ; P(k = 3) = ⅛ .
Então o espaço de probabilidade é: P = { ⅛ , ⅜ , ⅜ , ⅛ }.
Exemplo 7.25 – Um dado é lançado sucessivamente até obter o número 6. O número de lançamentos é
representado por x.
Espaço amostral: Ω = {1 , 2 , 3 , ... , ∞}
Probabilidades: P(x = 1) = 1/6 ; P(x = 2) = (5/6)(1/6) ; P(x = 3) = (5/6)2(1/6) ; ... ; P(x = n) = (5/6)n (1/6)
Espaço de probabilidade: P = {1/6 , 5/36 , 5/216 , ... }.
7.3.6 – Eventos Mutuamente Exclusivos
Diz-se que dois eventos A e B são mutuamente exclusivos, ou disjuntos, quando não possuem
resultados em comum. Então
( ⋂ ) = 0.
Exemplo 7.26 – Um dado é lançado ao acaso. Sejam os eventos P = {2 , 4 , 6} e I = {1 , 3 , 5}. Neste caso
P (número par) e I (número ímpar) são mutuamente exclusivos.
7.3.6 – Eventos Independentes
Sejam A e B dois eventos de um espaço amostral Ω, observados em seqüência. Diz-se que ambos
são independentes quando a ocorrência, ou não, do primeiro não afeta a probabilidade de ocorrência do
outro. Neste caso:
( ⋂ ) = ( ). ( )
(7.9)
Exemplo 7.27 – Um dado é lançado duas vezes. Qual a probabilidade de obter os resultados 4 e 5 ?
P (4 ∩ 5) =
1 1
1 .
=
6 6
36
7.3.7 – Eventos Dependentes e Probabilidade Condicional
Sejam A e B dois eventos de um espaço amostral Ω. Diz-se que ambos são dependentes quando a
ocorrência, ou não, do primeiro afeta a probabilidade de ocorrência do segundo evento. Neste caso:
( ⋂ ) = ( ). ( | )
(7.10)
OBS: P(B | A) significa probabilidade de ocorrência de “B após a ocorrência de A”, ou “dado que A
ocorreu”.
Exemplo 7.28 – Uma urna contém seis bolas brancas e quatro bolas vermelhas. São retiradas duas bolas,
sem reposição. Sejam os eventos B1 , bola branca na primeira retirada, e V2 , bola vermelha na segunda
retirada. Neste caso, para calcular a probabilidade de V2 deve-se levar em consideração o resultado da
primeira retirada, isto é:
P (V 2 | B 1 ) =
6 4
4
=
10 9
15
ou
P (V 2 | V 1 ) =
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
4 3
2
=
10 9
15
44
Estatística – Notas de Aulas
A probabilidade condicional de um evento B ocorrer após a ocorrência de um evento A é dada
por:
P (B | A) =
P(A ∩ B) .
P ( A)
(7.11)
Exemplo 7.29 – De todos os compradores de certo modelo de automóvel, 60% solicitam ar condicionado,
40% solicitam freios ABS e 30% solicitam ar condicionado e freios ABS. Sejam os eventos representados
por: A = {ar condicionado} e B = {freios ABS}. Então tem-se que:
P( A ) = 0,6 P( B ) = 0,4 P( A ∩ B ) = 0,3
Supondo que um cliente tenha solicitado freios ABS, a probabilidade de solicitar ar condicionado é:
( | )=
0,3
= 0,75
0,4
7.3.7.1 – Comentário
É importante ressaltar que eventos mutuamente exclusivos e eventos independentes não são
necessariamente o mesmo tipo de evento. A primeira expressão é utilizada para situações nas quais
apenas um dos eventos pode ocorrer, excluindo qualquer possibilidade de ocorrência do outro. A segunda
expressão é utilizada quando a ocorrência de um dos eventos não tem qualquer efeito sobre a ocorrência
do outro.
7.3.8 – Teorema da Probabilidade Total
Seja um espaço amostral Ω e sejam A1 , A2 , ... , An partições de Ω, isto é, Ai ∩ Aj = Ø e a união
de todos os Ai é o próprio espaço Ω. Seja B um evento qualquer de Ω.
A1
A2
A3
A4
...
A5
An
B
Então a probabilidade de B é dada por:
P(B) =
n
∑ P( A )P(B | A ) .
i
i =1
(7.12)
i
Exemplo 7.30 – Uma indústria adquire certo componente de três fornecedores, A, B e C. O primeiro é
responsável por 40% da produção e o segundo é responsável por 25% da produção. A proporção de
defeituosos é de 2% para o fornecedor A, 5% para o fornecedor B e 4% para o fornecedor C. Qual a
probabilidade de uma unidade selecionada ao acaso ser defeituosa ?
7.3.9 – Teorema de Bayes
Seja um espaço amostral Ω e sejam A1 , A2 , ... , An partições de Ω, isto é, Ai ∩ Aj = Ø e a união
de todos os Ai é o próprio espaço Ω. Seja B um evento qualquer de Ω. Então, para qualquer i = 1 , ... , n:
P ( Ai | B ) =
P ( Ai ) P ( B | Ai )
n
∑ P(A
j =1
j
.
)P(B | A j )
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
(7.13)
Estatística – Notas de Aulas
45
Exemplo 7.31 – Sejam os dados do exemplo anterior. Se uma peça é defeituosa, qual a probabilidade de
ter sido entregue pelo fornecedor C ?
7.4 – Exercícios
7.4.1) Um caixa contém 12 unidades de certo componente, sendo três defeituosas. São retiradas três
unidades ao acaso, e sem reposição. Seja X o número de unidades defeituosas obtidas neste experimento
aleatório. Determinar os espaços amostral e de probabilidades.
7.4.2) Dois dados são lançados. Calcular a probabilidade de:
a) Obter dois números diferentes.
b) O segundo resultado ser menor que o primeiro.
c) Pelo menos um dos resultados ser 2.
7.4.3) São escolhidos ao acaso, em seqüência e sem reposição, dois números de 0 a 9. Se a soma é par,
qual a probabilidade de que os dois números sejam ímpares ?
7.4.4) Uma caixa contém quatro bolas brancas e seis bolas pretas. Quatro bolas são retiradas, sem
reposição. Qual a probabilidade de que três sejam pretas ?
7.4.5) Um jogador tem na mão quatro cartas de paus. Se ele deve receber mais duas cartas, qual a
probabilidade de:
a) Ambas serem de paus ?
b) Pelo menos uma ser de paus ?
7.4.6) Um lote de 20 unidades de um componente contém quatro unidades defeituosas. Escolhe-se
aleatoriamente uma amostra de cinco unidades do lote. Qual a probabilidade de que a amostra contenha
duas unidades defeituosas ?
7.4.7) Uma loja tem no estoque 12 furadeiras da marca X, das quais duas operam em 220 V, 15 furadeiras
da marca Y, das quais três operam em 220 V e oito furadeiras da marca Z, das quais apenas uma opera em
220 V. Uma furadeira é escolhida ao acaso.
a) Qual a probabilidade de ser da marca X e operar em 220 V ?
b) Se opera em 220 V, qual a probabilidade de ser da marca X ?
7.4.8) Em uma escola, 70% dos alunos são do sexo masculino. Sabe-se também que 20% dos rapazes
usam óculos, o mesmo ocorrendo com 30% das moças. Se um nome é escolhido ao acaso e verifica-se
que usa óculos. Qual a probabilidade de ser uma moça ?
7.4.9) Uma urna contém duas bolas vermelhas e três bolas amarelas. Retira-se uma bola da urna e, na
sequência, coloca-se uma bola da outra cor. Em seguida retira-se outra bola da urna. Qual a probabilidade
desta segunda bola ser amarela ?
7.4.10) Entre os compradores de certo modelo de câmera fotográfica digital, 65% adquirem um cartão de
memória. Além disto, 45% dos compradores adquirem uma bateria sobressalente. Sabe-se, também, que
30% dos clientes adquirem os dois itens. Supondo que um cliente selecionado aleatoriamente tenha
comprado uma bateria sobressalente, qual a probabilidade de comprar um cartão de memória ?
7.4.11) Uma loja comercializa televisores de três marcas distintas. Os aparelhos da marca X respondem
por 50% das vendas, enquanto 30% são da marca Y e 20% são da marca Z. Todos os fabricantes
oferecem um ano de garantia para peças e mão de obra. Sabe-se que 25% dos aparelhos da marca X
necessitam de reparos durante o período de garantia, o mesmo ocorrendo com 20% dos aparelhos da
marca Y e com 10% dos aparelhos da marca Z.
a)
Qual a probabilidade de que um comprador adquira um televisor da marca X que necessite de
reparos durante a garantia ?
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
46
Estatística – Notas de Aulas
b) Se um cliente retorna à loja com um aparelho que necessita de reparos durante a garantia, qual a
probabilidade de que seja da marca Y ?
c) Se um cliente retorna à loja com um aparelho que necessita de reparos durante a garantia, qual a
probabilidade de que não seja da marca Z ?
Respostas
7.4.1) Ω = {0 , 1 , 2 , 3} P(X = 0) = (9/12)(8/11)(7/10) = 504/1320 = 0,3818
P(X = 1) = 0,4909 P(X = 2) = 0,1228 P(X = 3) = 0,0045
P = {0,3818 ; 0,4909 ; 0,1228 ; 0,0045}
7.4.3) Se a soma é par, os dois números ou são pares ou são ímpares.
Ω = {(0,1) , ... , (0,9) , (1,0) , (1,2) , ... , (1,9) , (2,0) , (2,1) , (2,3) , ... , (2,9) , ... , (9,0) , ... , (9,8)}
Soma Par = {(0,2) , ... , (0,8) , (1,3) , ... , (1,9) , (2,4) , ... , (2,8) , (3,1) , ... , (3,9) , ... , (9,1) , .... , (9,7)}
Ímpares = {(1,3) , (1,5) , (1,7) , (1,9) , (3,1) , (3,5) , (3,7) , (3,9) , (5,1) , ... , (5,9) , ... , (9,1) , .... , (9,7)}
#( Ω ) = 90
#( Soma Par ) = 40
#( Ímpares ) = 20
P( Ímpares | Soma Par ) = 20/40 = ½
7.4.5) a) Se o jogador tem quatro cartas de paus, há 48 cartas na mesa, sendo nove de paus. Então o total
de possíveis resultados é dado por  48  = 1128 . Se há nove cartas de paus, então o total de resultados
 2 


com duas cartas de paus é dado por  9  = 36 . Então p = 36 / 1128 = 0,0319.
2
 
7.4.8) O diagrama de árvore fica
Usa óculos
0,20
Rapaz
0,70
0,80
Não usa óculos
Usa óculos
0,30
0,30
Moça
0,70
Não usa óculos
P( Moça | Usa óculos) = 0,09 / 0,23 = 0,3913.
7.4.10) Sejam as probabilidades:
P(M) = probabilidade de adquirir um cartão = 0,65. P(B) = probabilidade de adquirir uma bateria = 0,45
P(M ∩ B) = probabilidade de adquirir cartão e bateria = 0,30
Então: P(M | B) = P(M ∩ B) / P(B) = 0,30 / 0,45
7.4.11)
a) P( X ∩ R) = P( X ). P( R | X ) = (0,5).(0,25)
b) P( Y | R ) = P( Y ∩ R) / P( R ) = [(0,3)(0,2)] / (0,205)
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
47
Estatística – Notas de Aulas
8.
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS
Sejam um espaço amostral Ω e um espaço de probabilidade P, associados a um experimento
aleatório. Uma variável aleatória X no espaço de probabilidade é uma função real X(ω): Ω → IR definida
em Ω e tal que [X ≤ x] é um evento aleatório para qualquer x real.
Exemplo 8.1 – Um lote contém 20 unidades de um componente, sendo quatro defeituosas. São retiradas
quatro peças e X representa o número de unidades defeituosas entre as quatro retiradas. Neste caso a
variável X assume seus valores no conjunto Ω = {0 , 1 , 2 , 3 , 4}. O espaço de probabilidade P é dado por
P = {0,3756 ; 0,4623 ; 0,1486 ; 0,0132 ; 0,0002}.
x
P( X = x)
0
0,3756
As probabilidades acima são dadas por:
1
0,4623
2
0,1486
3
0,0132
P ( X = 0) =
4
0,0002
Total
1
16 15 14 13
43680
=
= 0 ,3756
20 19 18 17 116280
P ( X = 1) = 4
16 15 14 4
= 0 , 4623
20 19 18 17
P ( X = 2) = 6
P ( X = 3) = 4
16 4 3 2
= 0 ,0132
20 19 18 17
P ( X = 4) =
16 15 4 3
= 0 ,1486
20 19 18 17
4 3 2 1
= 0 , 0002
20 19 18 17
Propriedades
Sejam X e Y variáveis aleatórias em um espaço Ω. Então:
P1: (X + Y )(ω) = X(ω) + Y(ω)
P2: (kX )(ω) = kX (ω)
P3: (X + k )(ω) = X(ω) + k
P4: (XY )(ω) = X (ω) Y (ω)
8.1 – Tipos de Variáveis Aleatórias
São considerados dois tipos de variáveis aleatórias, discreta e contínua, ambos definidos a
seguir.
8.1.1 – Variável Aleatória Discreta
Seja X uma variável aleatória definida no espaço amostral Ω. Diz-se que X é uma variável
aleatória discreta (v.a.d.) se assume um número finito, ou enumerável, de valores. De outro modo, X é
discreta se existe um conjunto enumerável {x1 , x2 , ... , xn }, contido em IR, tal que X(ω) ∈ {x1 , ... , xn },
para qualquer ω ∈ Ω.
Exemplo 8.2 – A variável aleatória X do exemplo anterior é discreta.
8.1.2 – Variável Aleatória Contínua
Seja X uma variável aleatória definida no espaço amostral Ω. Diz-se que X é uma variável
aleatória contínua (v.a.c.) se assume seus valores em um intervalo de números reais.
Exemplo 8.3 – Seja t a variável aleatória que representa o tempo entre duas falhas consecutivas
apresentadas por um equipamento. Neste caso t é uma variável aleatória contínua, e Ω = {t ∈ IR ; 0 ≤ t }.
8.2 – Função de Probabilidade
Seja X uma variável aleatória discreta no espaço amostral Ω, tal que X(ω) ∈ {x1 , x2 ,... , xn },
para qualquer ω ∈ Ω. Diz-se que p (x) é uma função de probabilidade (f.p.) de X se:
1.
p (xi ) = P( X = xi ).
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
48
Estatística – Notas de Aulas
2.
p(xi ) ≥ 0 .
3.
∑ p( x ) = 1
n
i =1
i
Exemplo 8.4 – Seja X a v.a.d. que indica o total de resultados iguais a 6, obtidos em cinco lançamentos de
um dado. Então X ∈ {0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5}. As probabilidades são dadas por:
P(X = 0) = C5 , 0 (1/6)0 (5/6)5 = 0,4019
P(X = 1) = C5 , 1 (1/6)1 (5/6)4 = 0,4019
x
Não é difícil verificar que: 1) P ( X = x ) = p ( x ) = C 5 , x  1   5 
5− x
6 6
3)
6
∑
i =1
.
2)
...
p( xi ) ≥ 0 .
x
5− x
 5  1  i  5  i
     
=
 x i  6   6 
8.3 – Função Densidade de Probabilidade
Seja X uma variável aleatória contínua em um espaço amostral Ω. Diz-se que f (x) é uma função
densidade de probabilidade (f.d.p.) se:
1.
f ( xi ) ≥ 0 .
x2
∫ f ( X ) dX
2. P ( x1 ≤ X ≤ x 2 ) =
x1
+∞
3.
∫ f ( X )dX = 1
−∞
Exemplo 8.5 – Sejam uma v.a.c. X , 0 ≤ X e a função f ( X ) = e – X . A função dada é uma f.d.p., pois:
1.
f ( xi ) ≥ 0
x2
∫e
2. P ( x1 ≤ X ≤ x 2 ) =
−X
dX = − e − x 2 + e − x1 .
x1
+∞
3.
∫e
−X
dX = − e − X
0
+∞
0
=1
8.4 – Expectância
A expectância, também chamada esperança, valor esperado ou valor médio, de uma variável
aleatória X é dada por:
1. E ( X ) = µ =
X
2. E ( X ) = µ =
X
n
∑
i =1
+∞
x i p ( x i ) , se X é uma variável aleatória discreta.
∫ Xf
( X ) dX , se X é uma variável aleatória contínua.
−∞
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
(8.1)
(8.2)
49
Estatística – Notas de Aulas
Propriedades
Sejam X e Y variáveis aleatórias definidas em um mesmo espaço amostral Ω, k um número real. Então:
P1: E(kX ) = kE(X )
P2: E(X + k) = E( X ) + k
P3: E(X + Y ) = E(X ) + E(Y ) P4: E(XY) = E(X)E(Y)
Exemplo 8.6 – Seja X a variável aleatória do exemplo 8.1. Então a sua expectância é calculada como:
x
P( X = x)
xP(X = x)
0
0,3756
0
1
0,4623
0,4623
2
0,1486
0,2972
3
0,0132
0,0396
4
0,0002
0,0008
Total
1
0,7999
E (X ) = 0,7999
Exemplo 8.7 – Sejam a variável aleatória e a função densidade de probabilidade dadas no exemplo 8.5.
Então:
E( X ) =
∞
∫ xe
−x
dx = .
0
8.5 – Variância
A variância de uma variável aleatória X é dada por:
1. Var [ X ] = σ
2
=
n
∑ [x
i =1
2. Var [ X ] = σ
2
=
i
− E ( X )] 2 p ( x i ) , se X é uma variável aleatória discreta.
(8.3)
+∞
∫ [ X − E ( X )]
2
f ( X ) dX , se X é uma variável aleatória contínua.
(8.4)
−∞
Propriedades
Sejam X e Y variáveis aleatórias definidas em um mesmo espaço amostral Ω, k um número real. Então:
P2: Var(kX) = k2 Var(X)
P1: Var(X + k) = Var(X) .
A variância também pode ser calculada através da fórmula:
Var [ X ] = E ( X 2 ) − [ E ( X )] 2 .
Na fórmula (8.5): E ( X 2 ) =
n
∑x
i =1
2
i
p ( x i ) , para v.a.d. e E ( X 2 ) =
(8.5)
+∞
∫X
2
i
f ( X ) dX , para v.a.c..
−∞
Exemplo 8.8 – Seja X a variável aleatória do exemplo 8.1. Então a sua variância é calculada como:
x
P( X = x)
x2 P(X = x)
0
0,3756
0
1
0,4623
0,4623
2
0,1486
0,5944
3
0,0132
0,1188
4
0,0002
0,0032
Total
1
1,1787
Então: Var[X] = 1,1787 – (0,7999)2 = 0,5389.
Exemplo 8.9 – Sejam a variável aleatória e a função densidade de probabilidade dadas no exemplo 8.5.
Então:
E( X
Logo, Var[X] = 2 – 12 = 1.
2
)=
∞
∫x
2
e − x dx =
0
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
50
Estatística – Notas de Aulas
8.6 – Função Distribuição Acumulada
Seja uma variável aleatória X, discreta ou contínua, definida no espaço amostral Ω, e tal que
X(ω) ∈ {x1 ,... , xn }, para qualquer ω ∈ Ω. Chama-se função de distribuição acumulada a função dada
por:
i
1. F ( x i ) =
∑ f ( x ) . Se X é uma variável aleatória discreta.
2. F ( x ) =
∫
i
j =1
x
f ( t ) dt . Se X é uma variável aleatória contínua.
−∞
Em qualquer dos casos:
P1: se a ≤ b, então F(a) ≤ F(b).
P 2:
lim F ( x ) = 0
x → −∞
lim F ( x ) = 1 .
e
x → +∞
Exemplo 8.10 – Seja X a variável aleatória do exemplo 8.1.
x
P( X = x)
x2 P(X = x)
0
0,3756
0
1
0,4623
0,4623
2
0,1486
0,5944
3
0,0132
0,1188
4
0,0002
0,0032
Total
1
1,1787
F(3) = P(X ≤ 3) = 0,3756+ 0,4623 + 0,0132 = 0,9997.
Exemplo 8.11 – Sejam a variável aleatória e a função densidade de probabilidade dadas no exemplo 8.5.
Então:
3
F (3) =
∫e
−x
dx = − e − x | 30 = − e − 3 + e 0 = 0 , 9502 .
0
8.7 – Distribuição Conjunta
Sejam duas variáveis aleatórias, X e Y, definidas em um espaço amostral Ω, e com os
contradomínios X(ω) = {x1 , ... , xn } e Y(ω) = {y1 , ... , ym }. Seja também o produto cartesiano dado por:
X (ω ) × Y (ω ) = {( x1 , y1 ),..., ( x n , y m )} .
Chama-se distribuição conjunta, ou função de probabilidade conjunta de X e Y a função definida por:
H ( xi , y j ) = P ( X = xi ;Y = y j )
.
Se X e Y são variáveis aleatórias discretas:
1. H ( x i , y j ) ≥ 0 .
2.
n
m
i =1
j =1
∑∑
H (xi , y j ) = 1 .
3. P ( X = x i ; Y = y j ) = H ( x i , y j ) .
Se X e Y são variáveis aleatórias contínuas:
1. H ( X , Y ) ≥ 0 .
2.
+∞ +∞
∫ ∫ H ( X , Y ) dXdY
= 1.
−∞−∞
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
(8.6)
51
Estatística – Notas de Aulas
3. P ( x ≤ X ≤ x ; y ≤ Y ≤ y ) =
1
2
1
2
x2 y2
∫ ∫ H ( X , Y ) dYdX
x1 y 1
Para a função (8.6) há um espaço de probabilidades. Tais probabilidades podem ser apresentadas
em tabelas, ou quadros, de dupla entrada.
Tabela 8.1 – Distribuição de Probabilidade Conjunta.
Y
y1
y2
...
ym
H(x1 , y1)
H(x1 , y2)
...
H(x1 , ym)
H(x2 , y1)
H(x2 , y2)
...
H(x2 , ym)
...
...
...
...
H(xn , y1)
H(xn , y2)
...
H(xn , ym)
g(y1)
g(y2)
...
g(ym)
X
x1
x2
...
xn
Total
Total
f(x1)
f(x2)
...
f(xn )
1
Na Tabela 8.1 as funções f e g são chamadas distribuições marginais, e são definidas por:
1. f ( x i ) =
2. f ( x ) =
m
∑ H ( xi , y j )
g( y j ) =
j =1
+∞
∫ H ( x, y)dy
g ( y) =
−∞
n
∑ H (x , y
i
i =1
j
) , para X e Y discretas.
+∞
∫ H ( x, y)dx
, para X e Y contínuas.
−∞
8.8 – Independência de Variáveis
Sejam X e Y duas variáveis aleatórias definidas em um espaço amostral Ω, com os
contradomínios X(ω) = {x1 , ... , xn } e Y(ω) = {y1 , ... , ym }, e com distribuição conjunta H(xi , yj). Diz-se
que X e Y são variáveis aleatórias independentes se, e somente se:
H ( xi , y j ) = f ( xi ) g ( y j ) .
Exemplo 8.12 – Um experimento aleatório consiste em lançar uma moeda e retirar uma carta de um
baralho. Sejam as variáveis aleatórias X , resultado observado na moeda(0 = cara e 1 = coroa), e Y , naipe
da carta retirada (1 = paus, 2 = ouro, 3 = copas, 4 = espada). Então o espaço de probabilidades é:
X
0
1
Total
Y
1
⅛
⅛
¼
2
⅛
⅛
¼
3
⅛
⅛
¼
4
⅛
⅛
¼
Total
½
½
1
Neste caso as variáveis são independentes, pois H(xi , yj) = f(xi )g(yj ).
8.8.1 – Expectância
Sejam X e Y duas variáveis aleatórias definidas em um espaço amostral Ω, com os
contradomínios X(ω) = {x1 , ... , xn } e Y(ω) = {y1 , ... , ym }, e com distribuição conjunta H(xi , yj). A
expectância do produto de X e Y é dada por:
n
1. E ( XY ) = µ XY =
∑x
2. E ( XY ) = µ XY =
∫ ∫ XYH ( X , Y ) dXdY
i =1
+∞ +∞
i
y j H ( x i , y j ) , se X e Y são variáveis aleatórias discretas.
, se X e Y são variáveis aleatórias contínuas.
−∞− ∞
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(8.7)
(8.8)
52
Estatística – Notas de Aulas
8.8.2 – Covariância
Sejam X e Y duas variáveis aleatórias definidas em um espaço amostral Ω, e com os
contradomínios X(ω) = {x1 , ... , xn } e Y(ω) = {y1 , ... , ym }, e com expectâncias µX e µY , respectivamente.
Além disto, considere-se que a distribuição conjunta das duas variáveis é H(xi , yj). Então a covariância
de X e Y é dada por:
Cov ( X , Y ) =
Cov ( X , Y ) =
n
m
i =1
j =1
∑ ∑ [x
i
− µ X ][ y j − µ Y ] H ( x i , y j ) , para X e Y discretas.
+∞ +∞
∫ ∫ (X − µ
X
)(Y − µ Y ) H ( X , Y ) dXdY , para X e Y contínuas.
(8.9)
(8.10)
− ∞− ∞
A covariância também pode ser calculada por:
Cov ( X , Y ) = E ( XY ) − E ( X ) E (Y ) .
(8.11)
Na fórmula (8.11) as expectâncias são dadas por:
E(X ) =
+∞
∫
Xf ( X ) dX
E (Y ) =
e
−∞
+∞
∫ Yg (Y ) dY
−∞
8.8.3 – Correlação
Sejam X e Y duas variáveis aleatórias definidas em um espaço amostral Ω, e com os
contradomínios X(ω) = {x1 , ... , xn } e Y(ω) = {y1 , ... , ym }, e com variâncias σ2X e σ2Y, respectivamente.
O coeficiente de correlação de X e Y é a medida da relação linear entre as duas variáveis, e é dado por:
ρ ( X ,Y ) =
Cov ( X , Y )
σ
2
X
.
(8.12)
σ Y2
O coeficiente de correlação ρ pertence ao intervalo real [– 1 ; 1] . Se ρ = 1 ou ρ = – 1, a relação é perfeita,
e neste caso Y = aX + b , onde a e b são números reais. Quanto maior a independência entre as variáveis
X e Y, mais próximo de zero é o valor de ρ.
Exemplo 8.13 – Sejam x e y variáveis aleatórias contínuas com distribuição conjunta dada por:
a)
b)
c)
d)
6
&
(!, ") = #5 (! + " )0 ≤ ! ≤ 10 ≤ " ≤ 1
0()*+(+ ,-á-/+
Determinar as funções distribuições marginais.
Calcular E( x ) e E( y ).
Calcular a expectância do produto.
Calcular a covariância.
8.9 – Exercícios,
8.9.1) Seja x uma variável aleatória contínua, e seja a função dada por:
1
 x ,0 ≤ x ≤ 3
f (x) =  k
 0 , outro caso .
a)
b)
c)
d)
e)
Se f é uma função densidade de probabilidade, qual o valor de k ?
Qual a expectância ?
Qual a variância ?
Calcular P(1 ≤ x ≤ 2).
Calcular a função de distribuição acumulada.
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53
Estatística – Notas de Aulas
8.9.2) Seja X uma variável aleatória discreta, com a distribuição de probabilidade mostrada no quadro a
seguir.
X
0
1
2
3
4
5
P(X) 0,12 0,24 0,28 0,18 0,10 0,08
a) Qual a expectância ?
b) Qual a variância ?
c) Calcular P(0 ≤ x ≤ 3).
8.9.3) Seja X uma variável aleatória contínua com função densidade de probabilidade dada por:
 k , a ≤ x ≤ b.
f (x) = 
 0 , outro caso .
a)
b)
c)
d)
Qual o valor de k ?
Quanto vale a expectância ?
Quanto vale a variância ?
Obter a função distribuição acumulada.
8.9.4) Seja X uma variável aleatória discreta. Verificar que Var[X] = E[X 2] – {E[X]}2.
8.9.5) Uma caixa contém 10 unidades de um componente, das quais três são defeituosas. Deve-se testar as
unidades até encontrar duas defeituosas. Seja x o número de testes necessários.
a) Obter a distribuição de probabilidades para x.
b) Calcular a expectância e a variância para x.
8.9.6) Sejam duas variáveis aleatórias contínuas x e y, 0 ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ y ≤ 1 , com distribuição de
probabilidade conjunta dada por:
f ( x, y ) = ke 2 x − y .
a) Qual o valor de k ?
b) Calcular a expectância.
c) Calcular a covariância.
8.9.7) Sejam duas v.a.’s contínuas x e y com f.d.p. conjunta dada por:
f (x, y) =
2
k (2 x + 3 y ) , 0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ 1 .
5
a) Calcular a expectância.
b) Calcular a covariância.
8.9.8) (Devore, J.L.) Seja x, 0 ≤ x, a v.a.c. que representa a tensão de vibração (psi), em uma palheta de
turbina a certa velocidade em um túnel de vento. O artigo “Blade fatigue life assesment with application
to VAWTS”, publicado no Journal of Solar Energy Engineering (1982), propõe a distribuição de Rayleigh,
cuja f.d.p. é dada por:
f ( x | θ) =
a)
b)
c)
d)
e)
 x2
k
 −
x
exp
2
θ2
 2θ



Qual o valor de k ?
Calcular a expectância para x.
Calcular a variância para x.
Calcular a função distribuição acumulada.
A mediana de x é ~
x tal que P[x ≤ ~
x ] = 0,5. Calcular a mediana para esta variável aleatória.
8.9.9) Seja x uma variável aleatória contínua com função densidade de probabilidade dada por:
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54
Estatística – Notas de Aulas
f (x) =
a)
b)
c)
d)
1 2 −x
x e
k
,0 ≤ x.
Qual o valor de k ?
Quanto vale a expectância ?
Quanto vale a variância ?
Obter a função distribuição acumulada.
8.9.10) Sejam x e y duas v.a.`s discretas com distribuição conjunta dada no quadro a seguir.
x
0
1
2
a)
b)
c)
d)
0
0,10
0,08
0,06
y
1
0,04
0,20
0,14
2
0,02
0,06
0,30
Verificar se as duas variáveis são independentes.
Calcular a expectância e a variância para x.
Idem para y.
Calcular o coeficiente de correlação para x e y.
8.9.11) Um jogo consiste em lançar uma moeda duas vezes. Se der uma “cara”, o jogador ganha R$ 1,00.
Se der duas “caras”, o jogador recebe R$ 2,00. Se não der “cara”, o jogador perde R$ 4,00. Este jogo
pode ser considerado como favorável ao jogador ?
8.9.12) Um automóvel custa R$ 45000,00. Sabe-se que em anos anteriores a taxa de roubo deste mesmo
automóvel foi de 2%. Neste caso, qual o valor “justo” do prêmio de um seguro contra roubo ?
8.9.13) Seja X uma variável aleatória que pode assumir os valores {– 1 , 0 , 1} com as probabilidades
dadas no quadro a seguir. Seja Y = X 2.
X
–1 0 1
P(X) ¼ ¼ ½
a)
b)
c)
d)
Obter a distribuição de probabilidades para a variável Y.
Obter a distribuição conjunta de probabilidades.
Calcular a expectância e a variância para X.
Idem para Y.
8.9.14) O quadro a seguir mostra a classificação de 980 eleitores estadunidenses distribuídos conforme a
cor e a opção partidária.
Cor
Branco
Negro
Total
Democrata
103
341
444
Opção
Independente
15
105
120
Neutro
11
405
416
Fonte: Agresti (2002).
a)
b)
c)
d)
e)
Obter a distribuição de probabilidades para a variável “cor”.
Obter a distribuição conjunta de probabilidades.
Calcular a expectância e a variância para “cor”.
Idem para a variável “opção”.
As duas variáveis em questão são independentes ?
Respostas
b
8.9.3) a)
∫ kdx = kx
a
b
a
= k (b − a) = 1 ⇒ k =
1
b−a
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Total
129
851
980
55
Estatística – Notas de Aulas
b
b
b) E [ x ] =
x
1  x2 
1 b2 − a2
a+b
dx
=
=
=


∫a b − a
b − a  2 a b − a
2
2
b
b
c) E [ x 2 ] =
Var [ x ] =
x2
1  x3 
1 b 3 − a 3 b 2 + ab + a 2
dx
=
=
=
∫a b − a
b − a  3  a b − a
3
3
b 2 + ab + a 2
b 2 + 2 ab + b 2
(b − a ) 2
−
=
3
4
12
8.9.5)
X
P(X)
8.9.10)
2
0,0667
3
0,1167
4
0,0150
5
0,1667
a) Ω = {1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6}
6
0,1667
7
0,1500
8
0,1167
b) X(ω) = {2 , 4 , 6 , 8 , 10 , 12}
9
0,2015
Y(ω) = {0 , 1}
c)
Y
0
1
Total
d) X e Y não são independentes.
X
2
0
1/6
1/6
4
0
1/6
1/6
e) E[X] = 7
6
0
1/6
1/6
8
1/6
0
1/6
10
0
1/6
1/6
Total
12
1/6
0
1/6
Var[X] = 11,6667
2/6
4/6
1
f) E[Y] = 0,6667 Var[Y] = 0,2222
8.9.12) Neste caso, o “jogo” é honesto se P(ser roubado).Valor = P(não ser roubado).Prêmio
Então: (0,02)(45000) = (0,98)(Prêmio) → Prêmio = 918,37
Referências:
Gnedenko, B.V., Theory of Probability. Chelsea Publishing Company. 1962.
Agresti, A., Categorical Data Analysis. John Wiley & Sons, Inc. 2002.
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56
Estatística – Notas de Aulas
9.
MODELOS DE PROBABILIDADE PARA VARIÁVEIS DISCRETAS
Certos problemas práticos são bastante adequados à utilização de variáveis aleatórias discretas.
Em tais situações, a compreensão da natureza destas variáveis é requisito fundamental para a formulação
de modelos probabilísticos associados a este tipo de variável. Os principais modelos probabilísticos para
variáveis aleatórias discretas, também chamados distribuições, são apresentados na seqüência.
9.1 – Distribuição Uniforme Discreta
Seja uma variável aleatória discreta X, que assume os valores x1 , x2 , ... , xk . Diz-se que X tem
distribuição uniforme discreta se, e somente se, para todo i = 1 , 2 , ... , k:
P ( X = xi ) =
1
k
.
(9.1)
A expectância e a variância são dadas por:
k
E(X ) =
∑
i =1
xi
k
(9.2)
e
Var ( X ) =
1 k 2 1 k

x i − (∑ x i ) 2 
∑

k  i =1
k i =1

(9.3)
A função de distribuição acumulada é dada por
F ( x) =
n( x )
.
k
(9.4)
Na fórmula (9.4), n(x) é número de elementos xi ≤ x.
Exemplo 9.1 – Seja X a variável aleatória que representa o resultado observado no lançamento de um
dado. Neste caso:
X
P(X)
1
1/6
2
1/6
3
1/6
4
1/6
P ( X = xi ) =
5
1/6
6
1/6
1
6
9.2 – Distribuição de Bernoulli
Para definir este modelo é conveniente apresentar um experimento aleatório conhecido como
experimento de Bernoulli. Este experimento consiste na observação de sucessivos eventos, que
apresentam as seguintes propriedades:
1.
2.
3.
Apenas dois resultados são admitidos: sucesso ou insucesso.
A probabilidade p, de sucesso, é constante ao longo do experimento.
Cada evento é independente.
Seja X uma variável aleatória discreta que assume os valores 0 (zero) ou 1 (um), conforme o
resultado de um evento em um experimento de Bernoulli seja insucesso ou sucesso, sendo p a
probabilidade de sucesso. Nestas condições, diz-se que X tem distribuição de Bernoulli com parâmetro p.
O modelo de probabilidade correspondente é dado por:
P ( X = x ) = p x (1 − p ) 1 − x .
(9.5)
Também se utiliza a notação X ~ Ber(p). A expectância e a variância são dadas, respectivamente, por:
E(X ) = p
(9.6)
Var ( X ) = p (1 − p )
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
(9.7)
57
Estatística – Notas de Aulas
A função de distribuição acumulada é dada por:
0 , x < 0

F ( x ) = 1 − p , 0 ≤ x < 1
1 , 1 ≤ x

.
(9.8)
Exemplo 9.2 – Um experimento aleatório consiste em lançar um dado e observar o seu resultado. Seja X a
variável aleatória que vale 1, se o resultado é “6”, e 0 em outro caso. Neste caso a probabilidade de
sucesso é p = 1/6. Então o modelo correspondente é dado por:
x
1 5
P ( X = x) =    
6 6
1− x
.
9.3 – Distribuição Binomial
Seja X uma variável aleatória que indica o número de sucessos observados em n eventos de um
experimento de Bernoulli, com probabilidade p de sucesso. Então diz-se que X tem distribuição binomial
com parâmetros n e p, e modelo de probabilidade dado por:
n
f ( x n , p ) =   p x (1 − p ) n − x
x
.
(9.9)
A notação para X é X ~ b(n , p). A expectância e a variância são respectivamente:
E ( x ) = np
Var ( x ) = np (1 − p )
(9.10)
(9.11)
A função distribuição acumulada é dada por:
F ( x n, p) =
x
∑ f (y n , p )
y=0
Exemplo 9.3 – A proporção de não conformidade de certo componente é 8%. Ao se inspecionar um lote
de 12 unidades deste componente, qual a probabilidade de se encontrar três unidades não conformes ?
Exemplo 9.4 – No exemplo anterior, o número esperado de unidades defeituosas, e a variância, são:
9.4 – Distribuição Geométrica
Seja X uma variável aleatória discreta que indica o número de observações de um experimento
de Bernoulli até a ocorrência de um sucesso, com probabilidade p, isto é, o número de tentativas até se
obter um sucesso. Neste caso, diz-se que x tem distribuição geométrica, com parâmetro p. O modelo
probabilístico é dado por:
f ( x ) = p (1 − p ) x −1
.
(9.12)
A expectância e a variância são dadas por:
E (x) =
1
p
(9.13)
Var ( x ) =
1− p
p2
(9.14)
Exemplo 9.5 – A proporção de não conformidade de certo componente é 8%. Ao se inspecionar um lote
de 12 unidades deste componente, qual a probabilidade de se encontrar uma unidade defeituosa apenas na
quarta observação ?
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58
Estatística – Notas de Aulas
9.5 – Distribuição de Pascal, ou Binomial Negativa
Seja x uma variável aleatória discreta que indica o número de observações de um experimento de
Bernoulli, com probabilidade p de sucesso, até a ocorrência de n sucessos. Aqui diz-se que x segue
distribuição de Pascal, ou binomial negativa, cujo modelo é dado por:
 x − 1 n
 p (1 − p ) x − n
f ( x p , n ) = 
 n − 1
.
(9.15)
A expectância e a variância são dadas por:
E (x) =
n
p
(9.16)
Var ( x ) =
n (1 − p )
p2
(9.17)
Exemplo 9.6 – A proporção de não conformidade de certo componente é 8%. Ao se inspecionar um lote
de 12 unidades deste componente, qual a probabilidade de se ter que inspecionar cinco unidades para
encontrar duas não conformes ?
9.6 – Distribuição Hipergeométrica
Seja um conjunto com N elementos e k ocorrências de determinado evento. Seja um subconjunto
com n elementos, extraídos do conjunto citado. Se x é a variável aleatória discreta que indica o número de
ocorrências no subconjunto, então diz-se que x tem distribuição hipergeométrica, com parâmetros N, k e
n, e o seu modelo probabilístico é:
N −k

n− x
f (x) = 
N

n
 k 
  
 x 



.
(9.18)
A expectância e a variância são:
E ( x) =
nk
N
 k  1 − k  N − n 
Var ( x ) = n   


 n  n  N − 1 
(9.19)
(9.20)
Exemplo 9.7 – Em um lote de 20 motores há dois defeituosos. São retiradas cinco unidades para inspeção.
Qual a probabilidade de se encontrar uma unidade defeituosa entre as cinco retiradas para inspeção ?
9.7 – Distribuição Multinomial
Seja um experimento aleatório executado n vezes, com k possíveis resultados, e probabilidades
p1 , p2 , ... , pk . Sejam X1 , X2 , ... , Xk as variáveis aleatórias discretas que indicam o total de ocorrências
de cada uma das k respostas, e tais que X1 + X2 + ... + Xk = n. Aqui diz-se que X tem distribuição
multinomial, ou polinomial. O modelo de probabilidade é dado por:
P ( X 1 = x 1 ,..., X k
 k

 ∑ xi  ! k
x
i =1

= xk ) =  k
pi i
∏
i =1
∏ xi !
.
(9.21)
i =1
A expectância e a variância são dadas por:
E ( X i ) = np i
(9.22)
Var ( X i ) = np i (1 − p i )
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(9.23)
59
Estatística – Notas de Aulas
Exemplo 9.8 – Na inspeção de qualidade de um produto são utilizadas quatro categorias para
classificação: conforme, aproveitável, reciclável e refugado. As probabilidades de pertencer a cada um
dos grupos são, respectivamente: p1 = 0,70 , p2 = 0,15 , p3 = 0,10 e p3 = 0,05. Em um lote de 10 unidades,
qual a probabilidade de se encontrar seis unidades conformes, duas aproveitáveis, uma reciclável e uma
refugada ?
9.8 – Distribuição de Poisson
Um experimento aleatório é chamado Experimento de Poisson quando consiste em observar as
ocorrências de determinado evento ao longo de um intervalo contínuo subdividido em pequenos
intervalos, de acordo com as seguintes propriedades:
1.
O numero de sucessos em determinado intervalo independe do número de sucessos em
qualquer outro intervalo.
A probabilidade de sucesso em um intervalo é proporcional ao comprimento deste mesmo
intervalo.
A probabilidade de mais de um sucesso em um intervalo muito pequeno é desprezível.
2.
3.
Seja x a variável aleatória discreta que indica o número de sucessos observados em um intervalo
de um experimento de Poisson. Neste caso diz-se que X tem distribuição de Poisson com parâmetro λ, e o
modelo de probabilidade é dado por:
f (x λ ) =
e −λ λ x
x!
.
(9.24)
A expectância e a variância são dadas por:
E ( x) =
∞
∑x
x=0
∞
∞
∞
∞
e −λ λx
λx
λx
λ ( x −1) +1
λ ( x −1)
= e −λ ∑ x
=e − λ ∑
= e −λ ∑
= λe −λ ∑
= λ e −λ e λ = λ
x!
x
!
(
x
−
1
)!
(
x
−
1
)!
(
x
−
1
)!
x =1
x =1
x =1
x =1
Var ( X ) = λ
(9.26)
2
3
OBS: Para as deduções acima convém lembrar que e λ = 1 + λ + λ + λ + ...
2!
3!
Exemplo 9.9 – O número médio de clientes atendidos por um terminal é de 12 por hora. Qual a
probabilidade de se ter que atender cinco clientes em meia hora ?
1h → 12
1
h→ λ
2
λ=6
Exemplo 9.10 – No exemplo anterior, qual a probabilidade de se ter que atender no mínimo quatro
clientes em 15 minutos?
Em aplicações práticas que envolvem experimentos de Poisson, geralmente o intervalo
considerado pode ser de tempo, de comprimento, de área ou de volume. As aplicações práticas desta
distribuição incluem o controle de qualidade, a teoria das filas e o processamento de sinais, entre outras.
9.9 – Exercícios
9.9.1) Um aeroporto registra em média oito pousos a cada período de seis horas. Qual a probabilidade de
registrar dois pousos em uma hora ?
9.9.2) Um procedimento de inspeção de qualidade consiste em retirar para inspeção duas unidades de
cada lote de 20 unidades. Se nenhuma das duas unidades é defeituosa, o lote é aprovado. Supondo que um
lote contenha duas unidades defeituosas, qual a probabilidade de ser aprovado ?
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
Estatística – Notas de Aulas
60
9.9.3) A proporção de não conformidade de um produto é igual a 6%. Qual a probabilidade de uma
amostra de 15 unidades apresentar duas não conformes ?
9.9.4) No exercício anterior, qual a probabilidade de que se tenha que inspecionar quatro unidades até
encontrar uma defeituosa ?
9.9.5) No processo de fabricação de um produto, a taxa de rejeição é de 20%. A empresa recebe uma
encomenda de oito unidades do produto. Qual o número esperado de unidades que a empresa deve
fabricar para atender a encomenda?
9.9.6) No exercício anterior, se o custo de cada unidade fabricada é R$ 400,00, qual o custo esperado para
atender à encomenda ?
9.9.7) Uma instituição financeira classifica os clientes em três grupos de risco de inadimplência: Alto
risco, médio risco e baixo risco. Um levantamento apontou que 6% dos clientes pertencem ao primeiro
grupo, 12% ao segundo e 82% ao terceiro. Qual a probabilidade de um grupo de 15 clientes apresentar
um cliente do primeiro grupo, dois do segundo e 12 do terceiro ?
9.9.8) Certo tipo de cabo é vendido em rolos de 50m. Verificou-se que cada rolo apresenta em média duas
imperfeições. Qual a probabilidade de um segmento de 10m apresentar uma falha ?
9.9.9) A proporção de não conformidade de um produto é de 4%. O produto é comercializado em
embalagens com 12 unidades. Uma embalagem é rejeitada se for encontrada mais de uma unidade não
conforme. Qual a probabilidade de que, em uma encomenda de dez embalagens, no máximo duas sejam
rejeitadas ?
9.9.10) No exercício anterior, se cada embalagem rejeitada representa um custo de R$ 5,00 para o
fabricante, qual o custo esperado para uma encomenda de 1000 embalagens ?
9.9.11) Uma linha de produção, trabalhando continuamente, apresenta em média duas falhas a cada oito
horas. Cada falha implica em uma interrupção de 20 minutos. Ao receber uma encomenda que demanda
16 horas de trabalho, a empresa reserva 18 horas para a tarefa. Qual a probabilidade de que o prazo seja
suficiente ?
9.9.12) Uma rede de auto-atendimento possui 12 unidades, que operam oito horas por dia. Em média são
atendidos dois clientes por hora. Qual a probabilidade de que, em um intervalo de 15 minutos, oito
unidades estejam ocupadas ?
9.9.13) Uma empresa vende em média duas unidades de um produto por dia. Quantas unidades devem ser
mantidas em estoque, a fim de atender todos os eventuais pedidos?
9.9.14) A p.n.c. de certo componente é 6%. Deve-se compor uma amostra com cinco unidades não
conformes. Qual a probabilidade de que se deva inspecionar no mínimo 10 unidades para encontrar as
cinco desejadas ?
Respostas:
9.9.2) P(X = 0) = 0,8053 (X é o número de unidades defeituosas entre as duas retiradas para inspeção).
9.9.4) P(X = 4) = 0,0498 (X é o número de unidades inspecionadas até que se encontre a defeituosa).
9.9.6) Custo esperado = 400 × E(X) = 400 × 10 = 4000,00.
9.9.8) P(X = 1) = 0,2681
9.9.10) Custo esperado = (5,00) × (1000) × P(rejeição) = 404,50
9.9.12) A probabilidade de um terminal atender um cliente em um intervalo de 15 minutos é p = 0,3033.
Então a probabilidade de que oito dos doze terminais estejam ocupados é P(X = 8) = 0,0084.
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61
Estatística – Notas de Aulas
10. MODELOS DE PROBABILIDADE PARA VARIÁVEIS CONTÍNUAS
Assim como as variáveis aleatórias discretas, as variáveis aleatórias contínuas podem ser de
grande utilidade na abordagem de problemas práticos. Os principais modelos probabilísticos para
variáveis aleatórias contínuas são apresentados na seqüência. Estes modelos também são denominados
funções densidades de probabilidades, e podem envolver mais de um parâmetro.
10.1 – Distribuição Uniforme Contínua
Seja uma variável aleatória contínua X, que assume seus valores no intervalo I = ]0 , θ[. Diz-se X
tem distribuição uniforme no intervalo I, o que se denota por X ~ U(0 , θ), se a função densidade de
probabilidade de X é dada por:
θ − 1 , 0 < x < θ
f (x |θ ) = 
 0 , outro caso .
(10.1)
A função (10.1) também pode ser representada por:
f (x | θ ) =
Na forma (10.2):
1
θ
.
I ( 0 ,θ ) ( x )
1 , 0 < x < θ
I ( 0 ,θ ) ( x ) = 
 0 , outro caso
(10.2)
.
(10.3)
A expectância e a variância são dadas por:
E[ X ] =
θ
2
θ2
Var [ X ] =
(10.5)
12
(10.6)
10.2 – Distribuição Normal
Diz-se que uma variável aleatória contínua X tem distribuição normal, com parâmetros µ e σ2, o
que se denota por X ~ N(µ , σ2), quando a função densidade de probabilidade de X é dada por:
f ( x | µ ,σ 2 ) =
 1 (x − µ )2 
exp  −

σ2
2π
 2

1
σ
.
(10.7)
A expectância e a variância são:
E[ X ] = µ
Var[ X ] = σ 2
(10.8)
(10.9)
A probabilidade de X pertencer ao intervalo I = [x1 , x2] é dada por:
P ( x1 ≤ X ≤ x 2 ) =
x2
∫ f ( x | µ ,σ
2
) dx .
x1
A integral acima não pode ser calculada analiticamente, e exige o uso de algum método de integração
numérica. Este problema pode ser resolvido, em parte, pela distribuição normal padronizada, ou padrão.
Inicialmente efetua-se a mudança de variável:
z=
x−µ
σ
.
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(10.10)
Estatística – Notas de Aulas
62
Demonstra-se, neste caso, que a variável z, definida por (10.10), também tem distribuição normal, com
média igual a zero e variância igual a um. A função densidade de probabilidade é dada por:
φ (z) =
 z2  .

exp  −
2π
 2 
1
(10.11)
Figura 10.1 – Gráfico da distribuição normal padrão.
Desta forma:
x − µ .
x −µ
P ( x1 ≤ X ≤ x 2 ) = P  1
≤ z ≤ 2

σ
σ


(10.12)
O valor para a expressão (10.12) corresponde à área limitada por z1 , z2 e pelo gráfico da função. Esta área
pode ser encontrada com o auxílio da Tabela da distribuição normal padrão, que fornece a área entre z = 0
e z = zc .
Exemplo 10.1 – Seja uma v.a.c. X, tal que X ~ N(12 , 4).
a)
Calcular P(12 ≤ X ≤ 13,5)
z(12) = 0 e z(13,5) = 0,75. Então P(12 ≤ X ≤ 13,5) = Área(0 ≤ z ≤ 0,75) =
b) Calcular P(10,5 ≤ X ≤ 12)
z(12) = 0 e z(10,5) = – 0,75. Então P(10,5 ≤ X ≤ 12) = Área(- 0,75 ≤ z ≤ 0) = Área(0 ≤ z ≤ 0,75) =
c)
Calcular P(10,7 ≤ X ≤ 13,7)
z(10,7) = – 0,65 e z(13,7) = 0,85. Então P(10,7 ≤ X ≤ 13,7) = Área(– 0,65 ≤ z ≤ 0,85).
P(10,7 ≤ X ≤ 13,7) = Área(– 0,65 ≤ z ≤ 0) + Área(0 ≤ z ≤ 0,85) =
10.3 – Distribuição Gama
Diz-se que uma v.a.c. X, 0 ≤ X, tem distribuição gama quando a sua função densidade de
probabilidade é dada por:
f (x | α , β ) =
β α α −1 − β x .
x e
Γ (α )
Em (10.13), Γ(α) = (α – 1)!
A expectância e a variância são dadas por:
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(10.13)
63
Estatística – Notas de Aulas
E[ x] =
+∞
∫
0
x
βα
βα
x α − 1 e − β x dx =
Γ (α )
Γ (α )
+∞
∫x
α
e − β x dx
0
Fazendo βx = t :
(10.14)
Var [ x ] =
α .
β2
(10.15)
10.4 – Distribuição Exponencial
Seja um experimento aleatório de Poisson, conforme descrito em (9.8). Seja T a variável
aleatória que representa o intervalo entre dois sucessos. Neste caso diz-se que T tem distribuição
exponencial com parâmetro λ, o que se denota por T ~ Exp(λ). A função densidade de probabilidade é
dada por:
 0,t <0

.
f ( t | λ ) =  1 − λt
e
,
0
≤
t
 λ
(10.16)
A expectância e a variância são dadas por:
E[T ] = λ
Var[T ] = λ 2
(10.17)
(10.18)
Exemplo 10.2 – Sabe-se que a vida útil média de um componente segue uma distribuição exponencial
com parâmetro λ = 600. Qual a probabilidade de que uma unidade deste componente dure mais de 800
horas ?
P (800 < T ) =
+∞
∫
800
t
t
−
1 − 600
1
+∞
e
dt =
( − 600 ) e 600 | 800
= 0 , 2636 .
600
600
Exemplo 10.3 – Uma v.a.c. T tem distribuição exponencial com parâmetro λ = 4. Determinar um valor t
para T tal que P(t < T) = 0,95.
1
P(x < T ) =
4
+∞
∫e
x
−
t
4
t
−
1
dt = ( − 4 ) e 4
4
+∞
= 0 ,95 ⇒ x = 0 , 205 .
x
Na prática, é comum que o interesse na ocorrência de um evento modelado por uma distribuição
exponencial resuma-se apenas à primeira ocorrência, com relação a um dado instante T. Deste modo, é
mais conveniente utilizar o modelo dado por:
P (t ≤ T ) = 1 − e − λ
.
(9.19)
ou
P (T < t ) = e − λ
.
(9.20)
Exemplo 9.4 – Um equipamento apresenta em média cinco falhas por ano. Iniciando-se a contagem em
uma data qualquer, qual a probabilidade de que a primeira falha ocorra dentro de um período de seis
meses ?
12 meses → 5 falhas
6 meses → λ
=>
λ = 2,5
P( t ≤ 6 meses) = 1 – e – 2,5 = 1 – 0,0821 = 0,9179.
Na engenharia da qualidade, a distribuição exponencial é muito utilizada em estudos de Confiabilidade,
como modelo da variável aleatória contínua tempo de falha, ou tempo entre falhas, de um equipamento,
ou sistema. Neste caso o parâmetro λ representa o tempo médio até a primeira, ou próxima, falha. O
principal inconveniente da utilização deste modelo reside no fato de considerar o tempo médio como
sendo constante, isto é, sem levar em conta o envelhecimento do equipamento. Na realidade, é muito mais
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Estatística – Notas de Aulas
64
razoável supor que a taxa de falhas aumenta com o tempo ou, de outro modo, que o tempo médio entre
duas falhas consecutivas diminui com o tempo de utilização do equipamento. Um modelo mais adequado
para o estudo da Confiabilidade é o modelo, ou distribuição, de Weibull, mostrado a seguir.
10.5 – Distribuição de Weibull
Diz-se que uma v.a.c. x , 0 ≤ x, tem distribuição de Weibull, com parâmetros λ e β, quando a sua
função densidade de probabilidade é dada por:
f ( x | λ , β ) = λβ x β −1 exp( − λ x β ) .
(10.19)
Na forma (10.19) 0 ≤ λ, mensurado na mesma unidade da v.a.c. x, é o parâmetro de escala. Isto significa
que variações em seu valor, enquanto o valor do parâmetro β é mantido constante, causam a compressão
ou expansão do gráfico, conforme a Figura 10.2.
Figura 10.2 – Variações do gráfico da Distribuição de Weibull para λ = 0,09 e λ = 0,06 ; com β constante.
O parâmetro 0 ≤ β , adimensional, é o parâmetro de forma. Variações em seu valor, mantendo-se λ
constante, provocam alterações na forma da função, conforme a Figura 10.3.
Figura 10.3 – Variações do gráfico da Distribuição de Weibull para β = 1,5 e β = 0,5, com λ constante.
A expectância e a variância são dadas por:
E[ X ] = λ
−
1
β

1
Γ  1 + 
β

(10.20)
Var [ X ] =
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(10.21)
65
Estatística – Notas de Aulas
A função distribuição acumulada é dada por:
0 x < 0

  x
F (x | λ, β ) = 
1
−
exp
 − 

  β




λ



0≤ x
Algumas aplicações freqüentes da distribuição de Weibull incluem a estimação do tempo de
falha de componentes e equipamentos e a modelagem de emissões de poluentes por motores a combustão
interna. Esta distribuição também é largamente utilizada na Engenharia de Confiabilidade.
10.6 – Distribuição Qui-Quadrado (χ2)
Diz-se que uma v.a.c. x, 0 ≤ x, tem distribuição Qui-Quadrado (χ2), com φ graus de liberdade,
quando a sua função densidade de probabilidade é dada por:
ϕ
12
 
ϕ
x
−1 −
2
f ( x) =   x 2 e 2 .
ϕ 
Γ 
2
(10.22)
Aqui se utiliza a notação X ~ χ2φ . A expectância e a variância são dadas por:
E[ X ] = ϕ
Var[ X ] = 2ϕ
(10.23)
(10.24)
10.7 – Distribuição t, de Student
Sejam duas variáveis aleatórias contínuas, z ~ N(0 , 1) e U ~ χ2φ . Então a v.a.c. t, dada por
t =
z
,
U
ϕ
tem distribuição t, de Student com ν graus de liberdade. A expectância e a variância são dadas por:
E [t ] = 0
ϕ
ϕ −2
Var [t ] =
(10.23)
(10.24)
10.8 – Distribuição F, de Fisher
Sejam U e V duas variáveis aleatórias contínuas, tais que U ~ χ2ν e V ~ χ2η . Então a variável
aleatória W, definida por
W =
U
,
V
tem função densidade de probabilidade dada por:
ν + η 
Γ

 2   ν
f (W ) =
ν   η  η
Γ  Γ   
2 2



ν
ν −2
2
W

ν
 1 +
η

2



.
ν +η
2
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(10.25)
66
Estatística – Notas de Aulas
A expectância e a variância são dadas por:
E [W ] =
η
η −2
(10.26)
Var [W ] =
2η 2 (ν + η − 2 )
ν (η − 2 ) 2 (η − 4 )
(10.27)
10.9 – Aproximação da Distribuição Binomial pela Normal
Seja x uma variável aleatória discreta com distribuição binomial de parâmetros n e p. Para
valores muito grandes de n é possível substituir a distribuição binomial pela distribuição normal, quando
se deseja calcular determinada probabilidade, como P(x ≤ k), por exemplo. Neste caso basta calcular o
escore reduzido para x, dado por:
zx =
x C − np
np (1 − p )
.
(10.28)
Na fórmula (10.28), xC = k – 0,5 para calcular P(k ≤ x), e xC = k + 0,5 para calcular P(x ≤ k). Na prática
esta aproximação é adequada para np ≥ 10 e n(1 – p) ≥ 10.
Exemplo 10.4 – A proporção de não conformidade de certo componente é igual a 4%. Em um lote de 500
unidades, qual a probabilidade de se encontrar no máximo 30 unidades não conformes ?
P(X ≤ 30) = P(XC ≤ 30,5) ; µ = (500)(0,04) = 20 ; σ2 = (500)(0,04)(0,96) = 19,2 ; σ = 4,3816.
O escore reduzido é zx = 2,39. Então P(X ≤ 30) = área(zx ≤ 2,39) = 0,5 + 0,4916 = 0,9915.
10.10 – Exercícios
10.10.1) Uma variável aleatória X é normalmente distribuída, com média igual a 5 e variância igual a 4.
Calcular as probabilidades:
a) P(5 ≤ X ≤ 7,5)
b) P(4,5 ≤ X ≤ 7,5)
c) P(5,8 ≤ X ≤ 8,5)
d) P(6,5 ≤ X )
e) P(X ≤ 7,5)
f) P(X ≤ 4,5)
10.10.2) Os diâmetros dos tubos produzidos por uma máquina são normalmente distribuídos, com média
igual a 49,7 mm e desvio padrão igual a 0,18 mm. Um cliente rejeita qualquer unidade com diâmetro
superior a 50,2 mm. Qual a probabilidade de uma unidade ser rejeitada ?
Resposta: 0,0027
10.10.3) O peso líquido dos potes de margarina de certa marca é normalmente distribuído, com média
igual a 500 g e desvio padrão igual a 8 g. Um cliente rejeitou 15% de um lote, alegando que o peso
líquido era inferior ao seu limite de tolerância. Quanto vale este limite ?
10.10.4) Um aeroporto registra em média cinco aterrissagens por hora. Qual a probabilidade de que o
intervalo entre duas aterrissagens seja superior a 20 minutos ?
Resposta: 0,1889
10.10.5) No exercício anterior, qual a probabilidade de que o intervalo de tempo seja inferior a 15
minutos?
10.10.6) Seja T uma variável aleatória contínua tal que T ~ Exp(λ). Verificar que E[T] = λ e Var[T] = λ2.
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Estatística – Notas de Aulas
67
10.10.7) Seja X uma variável aleatória contínua com distribuição de Weibull, de parâmetros α e β.
Encontrar a expectância e a variância de X.
10.10.8) O tempo médio até a ocorrência da primeira falha em um componente é igual a 500 horas. O
fabricante oferece uma garantia de 200 horas. Qual a probabilidade de que a primeira falha ocorra dentro
deste prazo ?
Resposta: 0,3297
10.10.9) Seja uma variável aleatória X, tal que X ~ N(µ , σ2). Calcular:
a)
P(X ≤ µ + σ)
b) P(X ≤ µ + 2σ)
c)
P(µ – σ ≤ X ≤ µ + σ)
d) P(µ – 3σ ≤ X ≤ µ + 3σ)
10.10.10) Seja X uma variável aleatória contínua tal que X ~ χ27 . Determinar xc tal que:
a)
P(X ≤ xc ) = 0,95
b) P( xc ≤ X ) = 0,95
c)
P( xc ≤ X ) = 0,025
10.10.11) Uma empresa aérea registra um índice de 8% de desistência para determinado vôo. Para
compensar o prejuízo a empresa, que utiliza um avião com capacidade para 150 passageiros, costuma
vender 155 passagens. Qual a probabilidade de que haja excesso de lotação (overbooking) ?
Resposta: 0,0096
10.10.12) O tempo médio até a ocorrência da primeira falha em um componente é igual a 500 horas. O
fabricante oferece uma garantia de 200 horas. Um equipamento utiliza oito unidades deste componente.
Qual a probabilidade de no máximo duas unidades apresentarem defeito no prazo de garantia ?
10.10.13) Seja t uma v.a.c. com distribuição exponencial. Determinar a função distribuição acumulada.
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68
Estatística – Notas de Aulas
11. INTRODUÇÃO À INFERÊNCIA ESTATÍSTICA
Seja X uma variável aleatória, contínua ou discreta, com função densidade de probabilidade, ou
função de probabilidade dada por f (x | θ), onde θ é o parâmetro desconhecido. A inferência estatística é
o nome dado ao problema que tem por objetivo especificar um ou mais valores para θ, tendo como base
um conjunto de valores observados para a variável aleatória X.
Exemplo 11.1 – Seja X uma variável aleatória discreta, com distribuição de Bernoulli. Então a função de
probabilidade de X é:
f ( x | θ ) = θ x (1 − θ ) 1 − x .
Neste caso, o parâmetro desconhecido é θ.
11.1 – Estimadores e Estatísticas
Seja uma variável aleatória X. Uma amostra aleatória de tamanho n da distribuição de X é uma
seqüência x1 , x2 , ... , xn de n variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas (i.i.d.) com
função densidade, ou de probabilidade, f (x | θ). A função densidade, ou de probabilidade, conjunta é dada
por:
f ( x 1 , x 2 ,..., x n | θ ) =
n
∏
i =1
f ( xi | θ )
.
(11.1)
A função (11.1) também é denominada função de verossimilhança de θ correspondente à amostra:
 x1 
x 
X =  2.
 ... 
 
xn 
A função de verossimilhança é dada por:
L (θ ; X ) =
n
∏
f (xi | θ )
.
(11.2)
i =1
Uma estatística é qualquer função da amostra, e que não depende de parâmetros desconhecidos.
Exemplo 11.2 – Seja X = [ x1 , ... , xn ]T uma amostra aleatória de uma variável aleatória X ,com f.d.p., ou
f.p., dada por f (x | θ). São exemplos de estatísticas:
a) X = 1
n
n
∑
i =1
xi .
b) X (1) = min( x1 ,..., x n ) .
Chama-se espaço paramétrico o conjunto Θ, no qual θ assume seus valores.
Exemplo 11.3 – Seja a variável aleatória X do exemplo 11.1. Neste caso o espaço paramétrico é o
conjunto Θ = {θ ; 0 ≤ θ ≤ 1}.
Um estimador para θ é qualquer estatística que assuma valores no espaço paramétrico Θ. Em
alguns casos o objetivo é a estimação de uma função g(θ). Então qualquer estatística que assume valores
apenas no conjunto de possíveis valores para g(θ) é um estimador para a função.
O erro quadrático médio (EQM) de um estimador θˆ é dado por:
EQM [θˆ ] = Var [θˆ ] − B 2 [θˆ ] .
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(11.3)
69
Estatística – Notas de Aulas
Na fórmula (11.3), B [θˆ ] = E [θˆ ] − θ é o viés, ou vício, do estimador. Se E [θˆ ] = θ , diz-se que o
estimador é não viciado, ou não viesado. Neste caso EQM [θˆ ] = Var [θˆ ] . Também, se lim B [θˆ ] = 0 ,
n→∞
diz-se que o estimador é assintoticamente não viesado.
Exemplo 11.4 – Seja X = [x1 , x2 , ... , xn]T uma amostra aleatória da variável aleatória X, tal que E[X] = µ
e Var[X] = σ2. Neste caso:
1
E[ X ] = E 
n
Então X = 1
n
n
∑
i =1
n
∑x
i =1
i
 1  n
 1
 = n E ∑ xi  = n

 i =1 
n
∑ E[ x
i =1
i
]= µ.
x i é um estimador não viesado para µ.
11.2 – Estimadores Eficientes
Seja θˆ o estimador para um parâmetro desconhecido θ. A eficiência do estimador em questão é
dada por:
e [θˆ ] =
LI [θ ]
Var [θˆ ]
.
(11.4)
Na fórmula (11.4), LI[θ] é o limite inferior da variância dos estimadores não viesados de θ. Se e [θˆ ] = 1 ,
diz-se que o estimador é eficiente.
11.3 – Estatísticas Suficientes
Seja X = [x1 , x2 , ... , xn]T uma amostra aleatória da variável aleatória X, com f.d.p., ou f.p., dada
por f(x| θ). Quando se utiliza uma estatística para resumir as informações a respeito do parâmetro
desconhecido θ, deve-se evitar que haja perda de informação. Neste sentido, se existe uma estatística,
dada por T = T(x1 , x2 , ... , xn), que contém toda a informação fornecida por X, diz-se que T é uma
estatística suficiente para estimar θ. Diz-se que a estatística T = T(x1 , x2 , ... , xn) é suficiente para θ,
quando a distribuição condicional de x1 , ... , xn dado T é independente de θ.
11.3.1 – Critério da Fatoração de Neyman
Seja X = [x1 , x2 , ... , xn]T uma amostra aleatória da variável aleatória X, com f.d.p., ou f.p., dada
por f(x| θ), e função de verossimilhança L(θ ; X). Então a estatística T = T(x1 , x2 , ... , xn) é suficiente para
θ se, e somente se:
L (θ ; X ) = h ( x 1 ,..., x n ) g θ (T ( x 1 ,..., x n )) .
(11.5)
Na expressão (11.5), h é uma função que depende apenas de X e gθ depende de θ e de X apenas através de
T.
Exemplo 11.5 – Seja X = [x1 , x2 , ... , xn]T uma amostra aleatória da variável aleatória discreta X, com
distribuição de Poisson, isto é, X ~ P(θ). Então:
L (θ ; X ) =
n
∏
f (xi | θ )
i =1
L( θ ; X ) =
e − θ θ x1 e − θ θ x n
...
=
x1 !
xn !
Neste caso:
h( X ) =
1
e
n
∏x!
g θ (T ( X )) =
. Então a estatística suficiente para θ é:
i
i =1
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
70
Estatística – Notas de Aulas
O critério da fatoração de Neyman é válido também no caso de funções multiparamétricas, isto é,
com mais de um parâmetro desconhecido.
11.4 – Família Exponencial
Seja uma variável aleatória x, com f.d.p., ou f.p., dada por f(x| θ). Diz-se que a distribuição de x
pertence à família exponencial se:
f ( x | θ ) = exp[ c (θ )T ( x ) + d (θ ) + S ( x )] .
(11.6)
Na forma (11.6), c e d são funções reais de θ, enquanto T e S são funções reais de x.
Exemplo 11.6 – Seja x uma v.a.d. com distribuição de Poisson, ou seja, x ~ P(θ). Então:
f (x | θ ) =
e −θ θ
x!
x
= exp[ −θ + x ln θ − ln x ! ] .
Neste caso, d(θ) = – θ ; c(θ) = ln θ ; S(x) = – ln x! ; T(x) = x.
Seja X = [x1 , x2 , ... , xn]T uma amostra aleatória da variável aleatória x, com f.d.p., ou f.p., dada
por f(x| θ), pertencente à família exponencial. Então a distribuição conjunta de x1 , x2 , ... , xn é dada por:
f ( x1 ,..., x n | θ ) = exp[ C (θ )T ( X ) + D (θ ) + S ( X )] .
(11.7)
A distribuição conjunta também pertence à família exponencial:
T (X ) =
n
∑ T (x
i =1
i
S (X ) =
)
n
∑
i =1
S ( xi )
De acordo com o critério da fatoração de Neyman, T(X) é uma estatística suficiente para estimar o
parâmetro desconhecido θ.
Exemplo 11.7 – Seja X = [x1 , x2 , ... , xn]T uma amostra aleatória da variável aleatória discreta X, com
distribuição de Poisson, ou X ~ P(θ). Então:
f ( x1 ,..., x n | θ ) =
e − θ θ x1 e − θ θ x n
...
=
x1 !
xn !
f ( x1 ,..., x n | θ) =
Então:
T( X ) =
S( X ) =
C( θ ) =
D(θ ) =
11.5 – Método da Máxima Verossimilhança
Seja X = [x1 , x2 , ... , xn]T uma amostra aleatória da variável aleatória x, com f.d.p., ou f.p., dada
por f(x|θ), pertencente à família exponencial. A função de verossimilhança de θ, correspondente à amostra
é dada por:
L (θ ; X ) =
n
∏
f (xi | θ )
i =1
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
71
Estatística – Notas de Aulas
O estimador de máxima verossimilhança de θ é o valor θˆ que maximiza a função de
verossimilhança. Em geral é mais prático trabalhar com o logaritmo da função de verossimilhança, isto é,
com a função log-verossimilhança, dada por:
n
l (θ ; X ) = ln( ∏ f ( x i | θ ) ) .
(11.8)
i =1
Desta forma o estimador do parâmetro θ é dado por:
∂ l (θ | X )
= 0
∂θ
.
(11.9)
Exemplo 11.8 – Seja X = [x1 , x2 , ... , xn]T uma amostra aleatória da variável aleatória discreta x, com
distribuição de Poisson, ou x ~ P(θ). Então:
e −θ θ x1 e −θ θ x n
L (θ | X ) =
=
...
x1 !
xn!
n
1
n
∏x!
1
n
∏
i =1
θ
∑ xi
i =1
i
i =1
l (θ ; X ) = ln
e
− nθ
 n

− n θ +  ∑ x i  ln θ
 i =1 
xi !
O estimador de máxima verossimilhança de θ é:
Há situações nas quais a derivada (11.9) não apresenta solução analítica explícita. Neste caso
pode-se utilizar algum método numérico para obter o valor para o estimador de máxima verossimilhança.
Seja a função escore, dada por:
U (θ ) =
∂ l (θ | X )
∂θ
.
(11.10)
O método mais utilizado para obter a solução é o método de Newton-Raphson, que resulta na expressão:
θ k +1 = θ k −
U (θ k )
U ' (θ k )
.
(11.11)
11.6 – Distribuição Amostral da Média
Seja a variável aleatória X, associada a uma população de tamanho N, cujos parâmetros são a
média populacional, µ = E[X], e a variância populacional σ2 = Var[X]. Além disto, supõe-se que os dois
parâmetros são conhecidos. Sejam todas as possíveis amostras aleatórias, de tamanho n, extraídas da
população em questão. Se for calculada a média para cada uma das amostras, obtém-se uma distribuição
amostral da média, com expectância e variância dadas, respectivamente, por:
E[ X ] = µ
(11.12)
Var [ X ] =
σ
2
n
Seja a variância populacional dada por:
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
(11.13)
72
Estatística – Notas de Aulas
σ
2
1
N
=
N
∑ (x
i =1
i
− µ
)2 .
(11.14)
Pode-se considerar como estimador para a variância populacional a estatística dada por:
σˆ 2 =
σˆ 2 =
σˆ 2 =
1 n
(x i − X )2
∑
n i =1
(11.15)
1 n
∑ (x i − µ + µ − X
n  i =1
)
2
,


n
n
1 n
2
(
)
(
)
(
)
(X − µ )2  ,
x
−
µ
−
2
x
−
µ
X
−
µ
+
∑
∑
∑
i
i

n  i =1
i =1
i =1

n
1
2 
σˆ 2 =  ∑ (x i − µ )2 − n ( X − µ )  .
n  i =1

Desta forma:
1 n

∑ E [ x i − µ ] 2 − nE [ X − µ ] 2 
n  i =1
1 n

E [σˆ 2 ] =  ∑ Var [ x i ] − nVar [ X ]
n  i =1

E [σˆ 2 ] =
1
σ2
2
 nσ − n

n
n 
n −1 2.
E [σˆ 2 ] =
σ
n
E [σˆ 2 ] =
(11.16)
Com isto, observa-se que o estimador (11.15) possui um viés, dado por:
B (σˆ 2 ) = E [σˆ 2 ] − σˆ 2 = −
Um estimador não viesado é dado por
definido por:
1 2.
σˆ
n
(11.17)
2
n
σˆ 2 . Desta forma, um estimador não viesado para σ é
n −1
s2 =
n
1
(xi − X )2 .
∑
n − 1 i =1
(11.18)
11.6.1 – Erro Padrão
O erro padrão para a média amostral é definido como a raiz quadrada da variância, dada por
(11.13), isto é:
EP [ X ] =
σ
n
11.7 – Exercícios
11.7.1) Seja X = [x1 , x2 , ... , xn]T uma amostra aleatória da variável aleatória discreta X, com distribuição
de Bernoulli, isto é:
f ( x | θ ) = θ x (1 − θ ) 1 − x .
a) Mostrar que a função pertence à família exponencial.
b) Encontrar uma estatística suficiente para estimar θ.
c) Encontrar o estimador de máxima verossimilhança para θ.
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
73
Estatística – Notas de Aulas
11.7.2) Seja X = [x1 , x2 , ... , xn]T uma amostra aleatória da variável aleatória contínua x, com distribuição
exponencial, isto é:
f (x |θ ) =
1
θ
e
−
x
θ
.
a) Mostrar que a função pertence à família exponencial.
b) Encontrar uma estatística suficiente para estimar θ.
c) Encontrar o estimador de máxima verossimilhança para θ.
Respostas: b )
 n

T (X ) =  ∑ xi 
 i =1 
c ) θˆ = X .
11.7.3) Seja X = [x1 , x2 , ... , xn]T uma amostra aleatória da variável aleatória contínua x, com distribuição
de Weibull, isto é:
f ( x | θ 1 , θ 2 ) = θ 1θ 2 x θ 2 − 1 exp( − θ 1 x θ 2 ) .
a) Mostrar que a função pertence à família exponencial.
b) Encontrar uma estatística suficiente para estimar θ = [θ1 , θ2]T .
c) Encontrar os estimadores de máxima verossimilhança para θ.
11.7.4) O fabricante de certo equipamento deseja estimar o tempo médio entre falhas. Para tanto,
observou o funcionamento do equipamento e registrou os tempos, em horas, entre as ocorrências das dez
primeiras falhas. Os valores são dados no quadro abaixo. Supondo que o tempo entre as falhas segue
distribuição exponencial, qual a probabilidade de que o tempo entre duas falhas seja superior a oito horas?
Falha
Tempo
1
5,5
2
8,5
3
7,0
4
9,0
5
8,5
6
6,0
7
6,5
8
5,0
9
7,0
10
5,0
Resposta: P(8 < t) = 0,3053.
11.7.5) Seja X = [x1 , x2 , ... , xn]T uma amostra aleatória da variável aleatória contínua x, x ~ N(µ,1).
a) Mostrar que a função pertence à família exponencial.
b) Encontrar uma estatística suficiente para estimar µ.
c) Encontrar o estimador de máxima verossimilhança para µ.
11.7.6) Seja X = [x1 , x2 , ... , xn]T uma amostra aleatória da variável aleatória contínua x, x ~ N(0 , σ2).
a) Mostrar que a função pertence à família exponencial.
b) Encontrar a estatística suficiente para estimar σ2.
c) Encontrar o estimador de máxima verossimilhança para σ2.
Respostas: b )
 n 2
T (X ) =  ∑ xi 
 i =1

1 n 2
c ) θˆ = ∑ x i .
n i =1
11.7.7) Um criador de galinhas, que entrega ovos em embalagens de doze unidades, deseja estimar a
probabilidade de que uma embalagem seja entregue com mais de um ovo quebrado. O criador
inspecionou dez embalagens, cada uma com uma dúzia de ovos, e registrou o número de ovos quebrados.
Os valores são mostrados no quadro a seguir.
Embalagem
Ovos quebrados
1
1
2
0
3
1
4
2
5
0
6
1
7
1
8
0
a)
9
0
10
3
Qual a distribuição de probabilidade da variável aleatória x, que representa o número de ovos
quebrados em uma embalagem ?
b) Qual a estatística suficiente para estimar o parâmetro desconhecido θ ?
c) Estimar o parâmetro desconhecido θ.
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
74
Estatística – Notas de Aulas
d) Qual a probabilidade de uma embalagem apresentar mais de um ovo quebrado ?
e) Quanto vale a expectância de x ?
11.7.8) O processo de fabricação de determinado componente mecânico apresenta uma elevada taxa de
rejeição. O componente é entregue ao cliente em lotes de cinco unidades. O fabricante está interessado
em descobrir o número de unidades produzidas até que se obter as cinco unidades. O quadro a seguir
mostra o número de unidades produzidas para atender aos dez primeiros pedidos.
Pedido
Unidades produzidas
1
8
2
7
3
7
4
6
5
8
6
9
7
5
8
6
9
7
10
7
a)
Caracterizar a variável aleatória x, que representa o número de unidades produzidas até se obter
as cinco unidades necessárias.
b) Qual a estatística suficiente para estimar o parâmetro desconhecido θ ?
c) Estimar o parâmetro desconhecido θ.
d) Qual a quantidade média necessária para atender cada pedido ?
e) Se o custo para produzir uma unidade é de R$ 100,00, qual o custo médio para produzir um lote?
Respostas:
a) X é variável aleatória discreta com distribuição de Pascal. Então f ( x | θ ) =  x − 1 θ 5 (1 − θ ) x − 5 .
5 −1


11.7.9) Seja X = [x1 , x2 , ... , xn]T uma amostra aleatória da variável aleatória contínua x, tal que:
f (x | θ ) =
x +1
x 

exp  −

θ (θ + 1 )
θ


a) Mostrar que a função pertence à família exponencial.
b) Encontrar a estatística suficiente para estimar θ.
c) Encontrar o estimador de máxima verossimilhança para θ.
11.7.10) Seja X = [x1 , x2 , ... , xn]T uma amostra aleatória da v. a. c. x, 0 ≤ x ≤ 1, e seja a função dada por:
f ( x | θ ) = θ x θ −1 .
a)
b)
c)
d)
Calcular a expectância e a variância de X.
Se a função é uma f.d.p., verificar se pertence à família exponencial.
Encontrar, caso exista, uma estatística suficiente para estimar o parâmetro desconhecido.
Encontrar, se existir, o EMV para o parâmetro desconhecido.
Resposta: c) T ( X ) =
n
∑ ln x
i =1
i
.
11.7.11) Seja x, 0 ≤ x, a v.a.c. cuja f.d.p. é dada por:
 x2
k
 −
x
exp
2
θ2
 2θ
a) A f.d.p. pertence à família exponencial ?
b) Qual a estatística suficiente para estimar o parâmetro θ ?
c) Qual é o EMV para θ ?
f ( x | θ) =



11.7.12) Seja x, 0 ≤ x, uma v.a.c. que segue distribuição gama, com parâmetros α e β.
a) A f.d.p. pertence à família exponencial ?
b) Quais as estatísticas suficientes para estimar os parâmetros α e β?
c) Quais os EMV para α e β ?
Referências
Bolfarine, H., Sandoval, M.C., Introdução à Inferência Estatística. Sociedade Brasileira de Matemática.
Rio de Janeiro, RJ. 2001.
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
75
Estatística – Notas de Aulas
12. INTERVALOS DE CONFIANÇA
Os estimadores estudados até aqui são denominados pontuais, uma vez que especificam um
único valor para o estimador. Este método, embora correto, impede uma avaliação mais precisa do erro
cometido no processo. Para aumentar a informação a respeito do valor do estimador pode-se utilizar a
estimação por intervalo de confiança. Tal intervalo é construído com relação à média amostral, e permite
especificar a probabilidade de que o valor do parâmetro desconhecido pertença ao intervalo em questão.
O nível de confiança associado a um intervalo de confiança indica a percentagem de intervalos que
incluiriam o valor do parâmetro que se deseja estimar.
12.1 – Intervalo de Confiança para a Média
Seja X = [x1 , x2 , ... , xn]T uma amostra aleatória da v. a. c. X, com distribuição normal, com
variância σ2 . Então um intervalo de confiança para a média populacional µ é dado por:

σ
σ .
; X + zα
 X − zα 2

2
n
n

(12.1)
Na expressão (12.1), α = 1 – β, onde β é o nível de confiança desejado. O valor de α é tal que:

σ
σ 
.
P  X − zα
≤ µ ≤ X + zα
 = β
2
2
n
n

(12.2)
Exemplo12.1 – Sabe-se que o peso da semente de certa espécie de planta é normalmente distribuído, com
variância igual a 0,25. Uma amostra de 15 sementes apresentou os pesos mostrados no quadro a seguir.
Construir um intervalo de 90% de confiança para estimar o peso médio das sementes da planta em
questão.
Observação
Peso (g)
1
8,0
2
7,5
3
6,7
4
7,2
5
8,0
6
7,1
7
7,8
8
7,2
9
6,8
10
7,3
11
6,6
12
8,2
13
8,1
14
7,4
15
6,9
Neste caso, σ2 = 0,25. A média amostral é X = 7 ,3867 . Como o nível de confiança desejado é β = 0,90,
α = 0,05. Isto significa que α deve ser tal que:

0 ,5
0 ,5 
.
P  7 , 3867 − z α
≤ µ ≤ 7 , 3867 + z α
 = 0 , 90
2
2
15
15


A tabela da distribuição normal mostra que esta probabilidade é obtida para z = 1,645. Então o intervalo
de confiança procurado é:
.
Os níveis de confiança, e os respectivos valores críticos, mais utilizados na prática são mostrados
no Quadro 12.1.
Quadro 12.1 – Níveis de confiança.
β 0,90 0,95 0,99
zc 1,645 1,96 2,58
12.1.1 – Intervalo de Confiança para a Média, com σ2 Desconhecida.
No exemplo anterior a variância populacional é conhecida. Entretanto, tal fato não é freqüente na
prática, quando não se dispõe de informação a respeito da variância populacional. Em situações com esta
deve-se utilizar a variância amostral. Neste caso os valores para determinação da probabilidade
correspondente ao nível de confiança desejado são dados pela distribuição t, de Student.
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
76
Estatística – Notas de Aulas
Seja X = [x1 , x2 , ... , xn]T uma amostra aleatória da v. a. c. X, com distribuição normal, com
média e variância desconhecidas. Então um intervalo de confiança para a média populacional µ é dado
por:

 X − tc

s
n
s .

n
; X + tc
(12.3)
Na expressão (12.3) o valor de tc é obtido na tabela da distribuição t, de Student, com φ = n – 1 graus de
liberdade.
Exemplo 12.2 – O Quadro 5.1 mostra os teores (%) de vanádio encontrados em uma amostra de sete
estratos de óleo cru extraídas de solo do tipo “Wilhelm sandstone”. Construir um intervalo de 95% de
confiança para o teor médio.
Quadro 5.1 – Teores de vanádio.
Estrato
1
2
3
4
5
6
3,9
2,7
2,8
3,1
3,5
3,9
Teor (%)
7
2,7
Fonte: Johnson e Wichern (1988)
Aqui, a média e o desvio padrão amostrais são: X = 3,2286 e s = 0,5376 . Como o nível de confiança
desejado é 95%, o valor procurado para tc é: t(α = 0,025 ; φ = 7 – 1 = 6) = 2,4469. Então o intervalo é:
.
12.2 – Intervalo de Confiança para a Proporção
Seja uma variável aleatória discreta X, associada a uma população na qual se observa a
ocorrência de certo evento. Seja p a proporção de sucessos na população em questão. Neste caso a
variável X é tal que:
 0 , insucesso
X = 
1 , sucesso
.
Então a expectância e a variância de X são dadas por: E ( X ) = p e Var ( X ) = p (1 − p ) , respectivamente.
Seja X = [x1 , x2 , ... , xn]T uma amostra aleatória extraída da população referida anteriormente, e
seja Xn o total de sucessos na amostra. Então Xn tem distribuição binomial com parâmetros n e p. A
proporção de sucessos na amostra é dada por:
pˆ =
Xn .
n
Conforme foi visto em 10.9, a distribuição binomial, da variável Xn , pode ser aproximada pela
distribuição normal, isto é:
X n ~ N ( np , np (1 − p ) .
Além disto,
p (1 − p )  .

pˆ ~ N  p ,

n


O intervalo de confiança para a proporção p, com nível β de confiança, é dado por:
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
77
Estatística – Notas de Aulas

P  p̂ − z α
2

p̂ ( 1 − p̂ ) 
.
 = β
n

p( 1 − p )
≤ p ≤ p̂ + z α
2
n
(12.4)
Exemplo 12.3 – Efetuou-se uma inspeção em uma amostra de 15 unidades de certo produto. Seja X a
v.a.d. que representa a ocorrência de alguma não conformidade, ou seja, X = 0, se a unidade é conforme,
ou X = 1, caso esteja fora de conformidade. O resultado da inspeção é mostrado no quadro a seguir.
Construir um intervalo de 90% de confiança para a proporção de não conformidade do produto.
Unidade
X
1
0
2
0
3
0
4
1
5
0
6
1
7
0
8
0
9
0
10
0
11
0
12
0
13
0
14
0
15
1
A proporção de sucessos é: pˆ = 3 = 0 , 2 . Para o nível β = 90%, z = 1,645. Então o intervalo é:
15
.
12.3 – Intervalo de Confiança para a Diferença de Médias
Na prática, a necessidade de comparar duas médias populacionais pode ser observada em
experimentos em áreas como medicina e agronomia, por exemplo. Aqui são consideradas duas
populações, supostamente com distribuição normal, com médias e variâncias dadas por µ1 e σ12, para a
primeira população, e µ2 e σ22, para a segunda população. Uma questão importante diz respeito à
igualdade das variâncias populacionais. Uma prática comum é utilizar a variância ponderada para a
construção do intervalo de confiança para a diferença de duas médias. Sejam duas amostras aleatórias das
populações de interesse, X1 = [x11 , x12 , ... , x1n1 ]T e X2 = [x21 , x22 , ... , x2n2]T, com médias e variâncias
dadas por X 1 e s12 e X 2 e s 22 , respectivamente. Então o intervalo de confiança para a diferença
das duas médias populacionais é dado por:

σˆ (2X 1 − X 2 ) σˆ (2X 1 − X 2 )
σˆ (2X 1 − X 2 ) σˆ (2X 1 − X 2 )
P ( X 1 − X 2 ) − t c
+
≤ (µ 1 − µ 2 ) ≤ ( X 1 − X 2 ) + t c
+

n1
n2
n1
n2


=β


(12.5)
O erro padrão para a diferença das médias é dado por:
σˆ (2X
1
−X2)
=
( n 1 − 1) s 12 + ( n 2 − 1) s 22 .
n1 + n 2 − 2
(12.6)
O valor de tc é obtido diretamente na tabela da distribuição t, de Student, com φ = n1 + n2 – 2 graus de
liberdade.
Exemplo 12.3 – O Quadro 12.2 mostra os teores de ferro observados em amostras de óleo cru, uma
oriunda de argila Wilhelm e outra de argila sub-mulinia. Construir um intervalo de 95% de confiança para
a diferença dos teores médios das duas amostras.
Quadro 12.2 – Teores de ferro (%) em amostras de óleo cru.
Observação 1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11
Wilhelm
51 49 36 45 46 43 35
Sub-Mulinia 47 32 12 17 36 35 41 36 32 46 30
Fonte: Johnson e Wichern (1988)
As médias e variâncias são: X 1 = 43,57
O erro padrão é dado por: σˆ 2
(X
1−
X2)
=
e
s12 = 37,2857 ; X 1 = 33,0909
e
s 22 = 115,8909 .
( 7 − 1)( 37 , 2857 ) + (11 − 1)(115 ,8909 )
= 86 , 414 .
7 + 11 − 2
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
78
Estatística – Notas de Aulas
12.4 – Intervalo de Confiança para a Diferença de Proporções
Sejam duas populações com proporções p1 e p2 de sucessos. Sejam duas amostras, de tamanhos
n1 e n2, e proporções p̂ 1 e p̂ 2 de sucessos, respectivamente. O intervalo de confiança para a diferença das
duas proporções populacionais é dado por:

πˆ (1 − πˆ ) πˆ (1 − πˆ )
πˆ (1 − πˆ ) πˆ (1 − πˆ ) 
. (12.7)
P ( pˆ 1 − pˆ 2 ) − z c
+
≤ ( p 1 − p 2 ) ≤ ( pˆ 1 − pˆ 2 ) + z c
+
=β
n1
n2
n1
n2


Na expressão (12.7): πˆ = n 1 pˆ 1 + n 2 pˆ 2 .
n1 + n 2
Exemplo 12.4 - Em set/2006 foi publicado um estudo sobre os efeitos do medicamento Celecoxib sobre o
câncer de cólon e reto. O estudo envolveu 1561 pacientes, dos quais 933 utilizaram o medicamento,
enquanto os demais foram tratados com um medicamento de controle. No grupo tratado com o Celecoxib,
314 apresentaram lesões típicas da moléstia. No grupo tratado com o medicamento de controle, a doença
foi detectada em 309 pacientes. Construir um intervalo de 95% para a diferença de proporções de
incidência da doença entre os pacientes dos dois grupos.
pˆ 1 =
314 + 309
309
314
= 0 , 3991 .
= 0 , 4920 (placebo), pˆ 2 =
= 0 , 3365 (medicamento) , πˆ =
933 + 628
628
933
Então o índice de incidência da doença no grupo tratado com placebo é de 10,55% a 20,45% superior ao
índice verificado no grupo tratado com o medicamento, com 95% de confiança.
12.5 – Intervalo de Confiança para a Variância
Seja X = [x1 , x2 , ... , xn]T uma amostra aleatória da v. a. c. X, com distribuição normal, com
média e variância desconhecidas. Então um intervalo de confiança para a variância populacional σ2 é
dado por:
( n − 1) s 2
χα
2
2
, n −1
≤σ
2
≤
( n − 1) s 2
χ 12− α
.
(12.8)
, n −1
Na fórmula (12.8), α = 1 – β.
Exemplo 12.5 – O Quadro 5.1 mostra os teores (%) de vanádio encontrados em uma amostra de sete
estratos de óleo cru extraídas de solo do tipo “Wilhelm sandstone”. Construir um intervalo de 95% de
confiança para a variância.
Quadro 5.1 – Teores de vanádio.
Estrato
1
2
3
4
5
6
7
Teor (%) 3,9 2,7 2,8 3,1 3,5 3,9 2,7
Fonte: Johnson e Wichern (1988)
Aqui, a média e o desvio padrão amostrais são: X = 3,2286 e s = 0,5376 . Como o nível de confiança
desejado é 95%, os valores procurados para χ2 são: χ2( 0,025 ; 6 ) = 14,449 e χ2( 0,95; 6 ) = 1,635. Então:
( 7 − 1)( 0 ,5376 ) 2
( 7 − 1)( 0 ,5376 ) 2
≤ σ2 ≤
14 ,449
1 ,635
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
79
Estatística – Notas de Aulas
12.6 – Determinação do Tamanho de uma Amostra
A coleta de dados pode ser precedida do cálculo do tamanho mínimo da amostra necessária para
estimar a média ou a proporção. Neste caso deve-se especificar o nível de confiança desejado e o erro
aceitável.
12.6.1 – Tamanho da Amostra para Estimar a Média
Há duas situações a considerar, ambas relativas ao tamanho da população, que pode ser
conhecido ou não. No primeiro caso, o tamanho mínimo da amostra é dado por:
n ≥
Nz c2 s 2
ε 2 ( N − 1 ) + z c2 s 2
.
(12.8)
Na fórmula (12.8): N = tamanho da população; s2 = estimador para a variância populacional, calculado a
partir de uma amostra piloto; zc = valor crítico correspondente ao nível de confiança desejado; ε = erro
máximo admitido para a estimativa da média.
Quando o tamanho da amostra é desconhecido, o tamanho da amostra pode ser calculado por:
n≥
z c2 s 2
.
ε2
(12.9)
Exemplo 12.5 – Uma empresa de serviços deseja estimar o valor médio das contas, com um nível de
confiança de 95% e admitindo um erro máximo de R$ 2,00, a mais ou a menos. Uma amostra piloto
apresentou os valores mostrados no quadro a seguir. Determinar o tamanho mínimo da amostra necessária
à estimação.
Observação
Valor (R$)
1
85,50
2
86,30
3
69,40
4
85,60
5
72,30
6
98,80
7
78,90
8
69,50
9
64,20
10
85,30
Nível de confiança: β = 0,95 → zc = 1,96. Erro: ε = 2. O valor estimado para a variância é s2 = 112,6464.
Então:
n≥
(1 ,96 ) 2 (112 ,6464 ) 2
≅
22
12.6.2 – Tamanho da Amostra para Estimar a Proporção
Assim como no caso anterior, há duas situações:
1. Tamanho da população conhecido: n ≥
Nz c2 pˆ (1 − pˆ )
.
ε 2 ( N − 1) + z c2 pˆ (1 − pˆ )
2. Tamanho da população desconhecido: n ≥
z c2 pˆ (1 − pˆ )
ε2
.
Nos dois casos, p̂ é o estimador da proporção populacional, obtido a partir de uma amostra piloto.
Exemplo 12.6 – Uma empresa deseja estimar o percentual de clientes dispostos a aceitar uma alteração
contratual. Um levantamento preliminar apontou 35% de concordância. A empresa deseja que a
estimativa tenha um erro máximo de 4%, e um nível de 95% de confiança. Qual deve ser o tamanho
mínimo da amostra ?
(1 , 96 ) 2 ( 0 , 35 )( 1 − 0 , 35 )
0 , 8740
n ≥
=
≅ 546 .
( 0 , 04 ) 2
0 , 0016
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
80
Estatística – Notas de Aulas
12.7 – Exercícios
12.7.1) O quadro a seguir mostra os preços de venda observados para um determinado modelo de veículo
usado. Construir um intervalo de 95% de confiança para o preço médio do produto.
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Valor (R$10000,00)
1
2,5
2
2,4
3
2,38
4
2,45
5
2,35
6
2,5
7
2,45
8
2,35
9
2,45
10
2,38
12.7.2) Uma técnica utilizada no diagnóstico de esclerose múltipla consiste em produzir um estímulo
visual sobre cada um dos olhos. Em seguida anota-se a diferença entre os tempos de resposta observados
para cada um dos olhos. O quadro a seguir mostra os valores observados para 15 portadores (diagnóstico
positivo) e 15 não portadores (diagnóstico negativo) da doença. Construir um intervalo de 95% de
confiança para a diferença dos tempos médios de resposta entre os dois grupos.
Quadro 12.3 – Diferenças de tempos de resposta a um estímulo visual para diagnóstico de esclerose
múltipla.
Observação 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12
13
14 15
Negativo
1,6 0,4 3,2 0,8
1,6 3,2 4,8 1,6
3,2 2,8 1,6 0,8 2,4 3,4 0,6
Positivo
0,8 3,2 8,0 14,2 12,8 6,8 3,4 29,2 18,4 1,6 1,8 9,2 16,8 8,0 4,6
Fonte: Johnson e Wichern (1988)
12.7.3) A vacina Salk, contra poliomielite, foi desenvolvida no início da década de 50, e sua eficácia foi
colocada à prova em 1954. Para tanto, foram formados dois grupos, cada um com 200000 crianças. A um
dos grupos foi ministrada a vacina, enquanto ao outro grupo foi ministrado um placebo. No primeiro
grupo a doença manifestou-se em 33 crianças, o mesmo acontecendo com 115 crianças do segundo grupo.
Construir um intervalo de 95% de confiança para a diferença de proporções entre os dois grupos.
12.7.4) O New England Journal of Medicine, v. 318, no. 4, publicou um estudo sobre os efeitos da
Aspirina na prevenção de ataques cardíacos. O experimento envolveu 22131 médicos, que foram
monitorados durante seis anos. O medicamento foi ministrado em doses regulares a 11097 médicos,
enquanto 11034 médicos tomaram placebo. Ao final do período de acompanhamento verificou-se que 104
médicos do primeiro grupo sofreram ataque cardíaco, contra 189 médicos do grupo que ingeriu placebo.
Construir um intervalo de 95% de confiança para a diferença de proporções nos dois grupos.
12.7.5) A tabela a seguir mostra a distribuição de freqüências dos comprimentos das sépalas de 150
exemplares de flores íris.
a) Construir um intervalo de 95% de confiança para o comprimento médio.
b) Construir intervalo de 95% de confiança para a variância.
Classe
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Comprimento (mm)
43 |-- 47
47 |-- 51
51 |-- 55
55 |-- 59
59 |-- 63
63 |-- 67
67 |-- 71
71 |-- 75
75 |-- 79
Total
Flores
9
23
19
28
20
23
16
6
6
150
12.7.6) Um comerciante deseja estimar o valor médio gasto por cliente. De estudos anteriores, sabe-se
que o desvio padrão pode ser estimado em R$ 1,85. Admite-se um erro de R$ 0,50 e deseja-se um nível
de confiança de 95%. Qual o tamanho mínimo da amostra necessária ?
Resposta: n ≥ 53
12.7.7) O fabricante de um produto efetuou uma pesquisa para avaliar a renda dos seus clientes. Uma
amostra de 12 clientes apresentou os valores mostrados no quadro a seguir. Construir um intervalo de
95% de confiança para a renda média.
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
81
Estatística – Notas de Aulas
Cliente
Renda (R$1000,00)
1
1,5
2
2,9
3
2,8
4
2,5
5
3,3
6
3,5
7
3,5
8
4,5
9
4,4
10
3,8
11
4,8
12
3,9
Resposta: P[2,86 ≤ µ ≤ 4,04] = 0,95.
12.7.8) O quadro a seguir mostra os teores de ácido palmítico observados em sete amostras de azeite.
a) Construir um intervalo de 95% de confiança para a média.
b) Idem para a variância.
Amostra
Teor (%)
1
14,9
Respostas: a) P[9,92 ≤ µ ≤ 13,13] = 0,95.
2
9,3
3
10,9
4
10,5
5
12,0
6
11,7
7
11,4
b) P[1,28 ≤ σ2 ≤ 14,60] = 0,95.
12.7.9) O quadro a seguir mostra os teores de ácido esteárico observados em amostras de óleos vegetais
de diferentes origens. Construir um intervalo de 95% de confiança para a diferença dos teores médios
observados nas amostras de óleo de:
a) Oliva e colza.
b) Colza e girassol.
Observação
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Oliva
14,9
9,3
10,9
10,5
12,0
11,7
11,4
Origem
Colza
Milho
9,6
4,5
9,7
4,8
10,0
4,8
10,2
5,1
10,4
5,1
10,5
5,1
10,5
5,4
10,5
5,5
10,9
5,7
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
Girassol
9,7
9,8
9,8
9,3
11,5
12,2
13,1
10,5
82
Estatística – Notas de Aulas
13. TEORIA DA DECISÃO ESTATÍSTICA
Este assunto trata do teste de hipóteses relacionadas a suposições a respeito de algum parâmetro
e sua finalidade é verificar se a mencionada suposição é válida, isto é, se a hipótese inicial pode ser aceita.
É uma das principais ferramentas da pesquisa científica aplicada e abrange as mais variadas áreas de
estudo.
13.1 – Teste de Hipótese
Este tipo de teste parte de uma suposição inicial, isto é, de uma hipótese, a respeito do valor de
algum parâmetro, como média e proporção, por exemplo, e tem como principal objetivo verificar a
validade da referida suposição. Também é comum utilizar a expressão hipótese estatística para designar
este tipo de suposição, que se refere ao valor de um parâmetro e que toma por base o resultado de uma
observação sobre uma amostra. A realização de um teste de hipóteses pode seguir os passos listados a
seguir.
1. Formular a hipótese.
Na realidade, são formuladas duas hipóteses. A primeira é chamada hipótese nula (H0), e contém o
suposto valor para o parâmetro estudado. O objetivo é testar a validade desta hipótese. A segunda é
chamada hipótese alternativa (H1), e contradiz a hipótese anterior. A forma como esta hipótese é
formulada define o tipo de teste a ser efetuado, isto é, se o teste é unilateral ou bilateral.
2. Determinar o nível de significância.
Ao se testar uma hipótese pode-se cometer um de dois tipos de erros. O primeiro, chamado Erro tipo I,
ocorre quando se rejeita uma hipótese nula válida. O Erro tipo II ocorre quando se aceita uma hipótese
nula que não é válida. A probabilidade de cometer um erro do tipo I é chamada nível de significância.
Este nível, representado pela letra grega α, está associado a um valor crítico, que será usado para testar a
validade da hipótese em questão.
3. Escolher a estatística, ou estimador, para o teste.
A estatística de teste é, na maioria das vezes, o estimador não tendencioso do parâmetro estudado, que
pode ser obtido a partir de uma amostra retirada da população à qual pertence o parâmetro.
4. Tomar a decisão.
Nesta etapa compara-se o valor de teste com o valor crítico associado ao nível de significância desejado.
A partir desta comparação toma-se a decisão de aceitar, ou rejeitar, a hipótese nula.
13.2 – Teste de Hipótese para a Média
Neste caso há duas situações a considerar, ambas envolvendo a variância populacional, que
pode, ou não, ser conhecida. Na prática são mais comuns situações nas quais não se conhece o verdadeiro
valor da variância populacional.
13.2.1 – Teste de Hipótese para a Média com Variância Populacional Conhecida
Seja X = [x1 , x2 , ... , xn]T uma amostra aleatória da variável aleatória contínua X, com
distribuição normal, isto é, X ~ N(µ , σ2), onde σ2 é conhecida e supõe-se que µ assume determinado valor.
Neste caso a estatística de teste é dada por:
z calc =
x−µ
σ
n
.
(13.1)
Para tomar a decisão de aceitar, ou rejeitar, a hipótese nula, deve-se comparar o valor de zcalc
com o valor crítico associado ao nível de significância α. A hipótese nula é aceita quando o valor da
estatística de teste pertence ao intervalo limitado pelo valor crítico. Os valores críticos associados aos
níveis de significância mais utilizados na prática são mostrados no Quadro 13.1.
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
83
Estatística – Notas de Aulas
Quadro 13.1 – Principais valores críticos.
Nível de significância
Tipo de teste
0,01
0,05
0,10
± 2,33 ± 1,645 ± 1,28
Unilateral
± 2,58 ± 1,96 ± 1,645
Bilateral
Os valores críticos são os valores de z que delimitam a área correspondente ao nível de significância
adotado, conforme a Figura 13.1.
– zcrít
zcrít
Figura 13.1 – Intervalo de não rejeição da hipótese nula.
Exemplo 13.1 - Sabe-se que o peso da semente de certa espécie de planta é normalmente distribuído, com
variância igual a 0,25. Um pesquisador suspeita que o peso médio da semente estudada é igual a 7 g. Uma
amostra de 15 sementes apresentou os pesos mostrados no quadro a seguir. Com 5% de significância,
pode-se confirmar a suposição do pesquisador ?
Observação
Peso (g)
1
8,0
2
7,5
3
6,7
4
7,2
5
8,0
6
7,1
7
7,8
8
7,2
9
6,8
10
7,3
11
6,6
12
8,2
13
8,1
14
7,4
15
6,9
13.2.2 – Teste de Hipótese para a Média com Variância Populacional Desconhecida
Seja X = [x1 , x2 , ... , xn]T uma amostra aleatória da variável aleatória contínua X, com
distribuição normal, isto é, X ~ N(µ , σ2), onde σ2 é desconhecida e supõe-se que µ assume determinado
valor. Neste caso a estatística de teste é dada por:
t calc =
x−µ
s
n
.
Os valores críticos podem ser obtidos na tabela da distribuição t, de Student.
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
(13.2)
84
Estatística – Notas de Aulas
Exemplo 13.2 – O Quadro a seguir mostra os teores (%) de vanádio encontrados em uma amostra de sete
estratos de óleo cru extraídas de solo do tipo “Wilhelm sandstone”. Pode-se afirmar, com 5% de
significância, que o teor médio de vanádio deste tipo de óleo é igual a 3,5% ?
Quadro 5.1 – Teores de vanádio.
Estrato
1
2
3
4
5
6
Teor (%) 3,9 2,7 2,8 3,1 3,5 3,9
7
2,7
Fonte: Johnson e Wichern (1988)
13.3 – Teste de Hipótese para a Diferença de Médias
Sejam duas amostras aleatórias, X1 = [x11 , x12 , ... , x1n1 ]T e X2 = [x21 , x22 , ... , x2n2]T, com médias
e variâncias amostrais dadas por X1 e s12 e X2 e s22 , respectivamente. Em última análise o que se deseja
determinar é se as duas amostras são provenientes de uma mesma população. Uma questão importante diz
respeito à variância populacional, que deve ser a mesma para as duas amostras, já que se supõe que ambas
são originárias da mesma população. Uma prática comum é utilizar a variância ponderada. A estatística
de teste é dada por:
Na fórmula (13.3):
sp =
x1 − x 2
sp
.
(13.3)
ˆ 2 ( x1 − x 2 ) σ
ˆ 2 ( x1 − x 2 )
σ
+
n1
n2
(13.4)
t calc =
( n 1 − 1) s 12 + ( n 2 − 1) s 22 .
Também: σˆ 2
=
(X1− X 2 )
n1 + n 2 − 2
Exemplo 13.3 - O Quadro 12.2 mostra os teores de ferro observados em amostras de óleo cru, uma
oriunda de argila Wilhelm (Tipo W) e outra de argila sub-mulinia (Tipo SM). Pode-se afirmar, com 5% de
significância, que o teor médio de ferro do Tipo W é significativamente superior ao teor médio do Tipo
SM ?
Quadro 12.2 – Teores de ferro (%) em amostras de óleo cru.
Observação 1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11
Wilhelm
51 49 36 45 46 43 35
Sub-Mulinia 47 32 12 17 36 35 41 36 32 46 30
Fonte: Johnson e Wichern (1988)
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
85
Estatística – Notas de Aulas
13.4 – Teste de Hipótese para a Proporção
Seja X = [x1 , x2 , ... , xn]T uma amostra aleatória extraída de uma população com proporção p de
sucessos, onde p é desconhecida, e seja Xn o total de sucessos na amostra. Neste caso a variável X é tal
que:
 0 , insucesso
X = 
1 , sucesso
dada por:
.
Então Xn tem distribuição binomial com parâmetros n e p. A proporção de sucessos na amostra é
pˆ =
Xn .
n
Conforme foi visto em 10.9, a distribuição binomial da variável Xn pode ser aproximada pela distribuição
normal, isto é:
X n ~ N ( np , np (1 − p ) .
Além disto,
p (1 − p )  .

pˆ ~ N  p ,

n


Para se testar uma hipótese a respeito do valor de p utiliza-se a estatística de teste dada por
p − pˆ
pˆ (1 − pˆ )
n
z calc =
.
(13.5)
Para tomar a decisão de aceitar, ou rejeitar, a hipótese nula, deve-se comparar o valor de zcalc
com o valor crítico associado ao nível de significância α. A hipótese nula é aceita quando o valor da
estatística de teste pertence ao intervalo limitado pelo valor crítico.
Exemplo 13.4 – Efetuou-se uma inspeção em uma amostra de 15 unidades de certo produto. Seja X a
v.a.d. que representa a ocorrência de alguma não conformidade, ou seja, X = 0, se a unidade é conforme,
ou X = 1, caso esteja fora de conformidade. Com 5% de significância, pode-se afirmar que a proporção de
não conformidade do produto é igual a 10% ?
Unidade
X
1
0
2
0
3
0
4
1
5
0
6
1
7
0
8
0
9
0
10
0
11
0
12
0
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
13
0
14
0
15
1
86
Estatística – Notas de Aulas
13.5 – Teste de Hipótese para a Diferença de Proporções
Sejam duas populações com proporções p1 e p2 de sucessos, ambas desconhecidas. Sejam duas
amostras, de tamanhos n1 e n2, e proporções p̂ 1 e p̂ 2 de sucessos, respectivamente. A estatística de teste
para hipóteses relativas à diferença entre as duas proporções populacionais é dada por:
z calc =
Na fórmula (13.6):
σˆ ( pˆ − pˆ ) =
1
2
πˆ (1 − πˆ )
n1
pˆ 1 − pˆ 2
σˆ ( pˆ1 − pˆ 2 )
+
πˆ (1 − πˆ )
n2
.
(13.6)
e
πˆ =
n1 pˆ 1 + n 2 pˆ 2
n1 + n 2
.
Exemplo 13.5 - Em set/2006 foi publicado um estudo sobre os efeitos do medicamento Celecoxib sobre o
câncer de cólon e reto. O estudo envolveu 1561 pacientes, dos quais 933 utilizaram o medicamento,
enquanto os demais foram tratados com um medicamento de controle. No grupo tratado com o Celecoxib,
314 apresentaram lesões típicas da moléstia. No grupo tratado com o medicamento de controle, a doença
foi detectada em 309 pacientes. Pode-se afirmar, com 5% de significância, que o Celecoxib em questão é
mais eficaz que o medicamento de controle ?
13.6 – Exercícios
13.6.1) A vacina Salk, contra poliomielite, foi desenvolvida no início da década de 50, e sua eficácia foi
colocada à prova em 1954. Para tanto, foram formados dois grupos, cada um com 200000 crianças. A um
dos grupos foi ministrada a vacina, enquanto ao outro grupo foi ministrado um placebo. No primeiro
grupo a doença manifestou-se em 33 crianças, o mesmo acontecendo com 115 crianças do segundo grupo.
Testar a eficácia do medicamento, com 5% de significância.
13.6.2) O New England Journal of Medicine, v. 318, no. 4, publicou um estudo sobre os efeitos da
Aspirina na prevenção de ataques cardíacos. O experimento envolveu 22131 médicos, que foram
monitorados durante seis anos. O medicamento foi ministrado em doses regulares a 11097 médicos,
enquanto 11034 médicos tomaram placebo. Ao final do período de acompanhamento verificou-se que 104
médicos do primeiro grupo sofreram ataque cardíaco, contra 189 médicos do grupo que ingeriu placebo.
Pode-se afirmar, com 5% de significância, que a Aspirina é eficaz na prevenção de ataques cardíacos ?
13.6.5) Uma observação sobre duas amostras apresentou os resultados mostrados no quadro a seguir.
Com 5% de significância, pode-se afirmar que as médias amostrais não são significativamente diferentes?
Amostra
1
2
Média amostral
45,8
38,7
Desvio padrão amostral
5,7
7,2
Tamanho
36
45
13.6.4) Uma técnica utilizada no diagnóstico de esclerose múltipla consiste em produzir um estímulo
visual sobre cada um dos olhos. Em seguida anota-se a diferença entre os tempos de resposta observados
para cada um dos olhos. O quadro a seguir mostra os valores observados para 15 portadores (diagnóstico
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
87
Estatística – Notas de Aulas
positivo) e 15 não portadores (diagnóstico negativo) da doença. Pode-se afirmar que os tempos de
resposta são significativamente diferentes, com 5% de significância ?
Quadro 12.3 – Diferenças de tempos de resposta a um estímulo visual para diagnóstico de esclerose
múltipla.
Observação 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12
13
14 15
Negativo
1,6 0,4 3,2 0,8
1,6 3,2 4,8 1,6
3,2 2,8 1,6 0,8 2,4 3,4 0,6
Positivo
0,8 3,2 8,0 14,2 12,8 6,8 3,4 29,2 18,4 1,6 1,8 9,2 16,8 8,0 4,6
Fonte: Johnson e Wichern (1988)
13.6.5) O quadro a seguir mostra o teor de vanádio observado em diferentes amostras de óleo cru,
provenientes de dois estratos geológicos diferentes. Com 5% de significância, é possível afirmar que os
teor médio do óleo proveniente do estrato Sub-Mulinia é significativamente superior ao do óleo
proveniente do estrato Wilhelm ?
Observação
Wilhelm
Sub-Mulinia
1
3,9
5,0
2
2,7
3,4
3
2,8
1,2
4
3,1
8,4
5
3,5
4,2
6
3,9
4,2
7
2,7
3,9
8
9
10
11
3,9
7,3
4,4
3,0
Fonte: Johnson e Wichern (1988)
Resposta: tcalc = 1,5866 < tcrit = 1,7459 :
Aceita-se H0.
13.6.6) Uma amostra de 100 baterias coletadas em um lote apresentou 14 deterioradas. Construa um teste
com 5% de significância para testar a hipótese de que a proporção de baterias deterioradas no lote é
superior a 10%.
Resposta: zcalc = 1,15
13.6.7) (Devore, J. L.) O artigo “Statistical evidence of discrimination”, publicado em 1982 no Journal of
American Statistical Association, analisa um processo no qual alegava-se a existência de discriminação
contra afro-descendentes na seleção de jurados. Segundo o artigo, a proporção de afro-descendentes entre
pessoas convocadas para júri era de 25%. Em uma amostra de 1050 pessoas convocadas para júri, 177
eram afro-descendentes. Com 5% de significância, é possível concordar com a afirmação do artigo ?
Resposta: zcalc = 7,02
13.6.8) Uma amostra de 50 placas de aço apresentou espessura média igual a 3,08mm e desvio padrão
igual 0,38mm. O valor desejado para a espessura é de 3,20mm. Os valores observados na amostra
permitem concluir, com 5% de significância, que a espessura obtida é significativamente inferior à
desejada ?
Resposta: tcalc = – 2,23
13.6.9) Um certo característico de qualidade é especificado em 9,75mm. Uma amostra de 20 unidades do
produto em questão apresentou os valores mostrados no quadro a seguir. Com 5% de significância, podese afirmar que o valor médio observado para o característico está de acordo com o valor especificado ?
9,85
9,83
9,93
9,92
9,75
9,74
9,77
9,99
9,67
9,88
9,87
9,95
9,67
9,93
9,94
9,95
9,85
9,92
9,75
9,89
Resposta: tcalc = 4,75
13.6.10) Uma hipótese nula é aceita em um teste com certo nível de significância. Se o nível de
significância for reduzido, a decisão poderá ser alterada ? Por quê ?
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
88
Estatística – Notas de Aulas
14. ANÁLISE DA VARIÂNCIA (ANOVA)
A Análise da Variância (ANOVA) é uma ferramenta para analisar as diferenças entre k > 2
médias, seguindo a suposição inicial de que as médias amostrais avaliadas são oriundas de populações
normalmente distribuídas e com a mesma variância. As origens da ANOVA remontam ao início do século
XX, quando os principais conceitos foram formulados por Ronald A. Fisher e William Gosset (Student) e
aplicados a experimentos agrícolas na estação experimental de Rothamstead, Inglaterra, o que explica a
utilização de alguns termos técnicos relacionados à agricultura. As aplicações da ANOVA não se
restringem à agronomia, e podem ser encontradas nas engenharias, na medicina, na administração de
empresas e na biologia, para citar apenas algumas áreas de pesquisa. Neste material serão apresentados os
principais conceitos e métodos envolvidos na ANOVA. Uma abordagem mais ampla e detalhada pode ser
encontrada em Vieira (2006), por exemplo.
14.1 – Experimentos com Um Fator
A ANOVA para experimentos com um fator está relacionada ao teste de hipótese de diferença
entre k médias amostrais, onde k > 2. Neste tipo de experimento, os tratamentos aos quais as amostras
estão relacionadas são designados aleatoriamente às unidades experimentais, adotando-se o critério de
similaridade das unidades com relação à variável resposta, isto é, ao fator estudado. Os valores
observados podem ser anotados em um quadro, conforme mostrado a seguir. São consideradas k
amostras, de tamanhos n1 , n2 , ... , nk , com médias µ1 , µ2 , ... , µk , respectivamente.
Quadro 14.1 – Valores para ANOVA com um fator.
Amostras (Tratamentos)
Observações
1
2
...
1
x11
x21
...
2
x12
x22
...
...
...
...
...
...
x1n1
x1n2
...
T1
T2
...
Total
k
xk1
xk2
...
x1nk
Tk
Aqui se supõe que cada resposta é dada por: xij = µ + αk + εij = média + efeito no grupo k + resíduo.
Também se supõe que: i – os resíduos são v.a.’s independentes; ii – a variância é constante; iii – os
resíduos seguem distribuição normal, ou muito aproximadamente normal. O quadro para ANOVA
aplicada a experimentos com um fator é:
Fonte de Variação
Entre os grupos
Resíduos
Total
Quadro 14.2 – Quadro para ANOVA com um fator.
Soma Quadrática Graus de Liberdade
Quadrado Médio
SQE
k–1
QME = SQE ÷ (k – 1)
SQR
N–k
QMR = SQR ÷ (N – k)
SQT
N–1
Fcalc
QME ÷ QMR
A hipótese nula é: H0 : αk = 0 (O tratamento não tem efeito sobre o grupo k). Se a hipótese nula é
verdadeira, tem-se que: µ1 = µ2 = ... = µk .
Os valores para cálculo são:
SQT =
k
ni
i =1
j =1
∑∑x
SQE =
k
∑
i =1
T =
k
∑T
i =1
i
2
ij
−
T2
N
.
Ti 2 T 2
−
ni
N
N =
.
k
∑n
i =1
i
(14.1)
(14.2)
.
SQR = SQT − SQE .
Os valores críticos para a estatística F são obtidos na tabela da distribuição F, de Fisher.
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
(14.3)
89
Estatística – Notas de Aulas
Exemplo 14.1 – O quadro a seguir mostra o teor de ferro observado em amostras de óleo cru provenientes
de três estratos geológicos. Com 5% de significância, é possível afirmar que os teores médios são
significativamente diferentes ?
1
51
47
13
Wilhelm
Sub-Mulinia
Superior
2
49
32
27
3
36
12
24
4
45
17
18
5
46
36
25
6
43
35
26
7
35
41
17
8
9
10
11
12
13
14
36
14
32
20
46
34
30
18
22
52
41
Fonte: Johnson e Wichern (1988)
H0 :
H1 :
T1 = 305
T2 = 364
x 1 = 43 ,57
T3 = 351
x 2 = 33 ,09
n1 = 7
n2 = 11
n3 = 14
N=
T=
x 3 = 25 ,07
SQT =
SQE =
SQR =
O quadro para ANOVA fica:
Fonte de Variação
Entre os grupos
Resíduos
Total
Soma Quadrática
SQE =
SQR =
SQT =
Graus de Liberdade
k–1=
N–k=
N–1=
Quadrado Médio
QME =
QMR =
Fcalc
14.1.1 – Procedimentos para Comparação Múltipla
Uma vez que a hipótese nula tenha sido rejeitada, pode haver interesse em saber quais, das k
médias, são significativamente diferentes. Este estudo pode ser efetuado através do teste, ou
procedimento, de Tukey, por exemplo. De forma muito simplificada, as etapas para aplicação deste teste
são descritas a seguir.
1 – Selecionar o nível α, de significância.
2 – Obter o valor crítico Q(α , k , N – 1) na tabela correspondente.
3 – Calcular as estatísticas wij , dadas por:
w ij = Q (α , k , N − 1 ).
QME
2
 1
1  .

+
n

n
j 
 i
onde i = 1 , 2 , ... , k – 1 , j = 2 , 2 , ... , k , e i < k.
4 – Calcular as diferenças dij , dadas por:
d ij = x i − x j .
5 – Considerar como hipótese nula H0 : µi = µj .
6 – Comparar wij com dij . Se wij < dij , então rejeita-se H0 .
7 – Repetir os passos acima para todos os demais pares de médias.
Exemplo 14.2 – Aplicar o procedimento de Tukey aos resultados do exemplo 14.1
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
90
Estatística – Notas de Aulas
14.2 – Experimento com Dois Fatores
Na ANOVA para dois fatores são considerados dois conjuntos de classificação, ou tratamentos.
Este tipo de experimento também é conhecido como delineamento de blocos aleatórios, pois as unidades
experimentais são designadas aleatoriamente para cada combinação de fatores, ou tratamentos. Neste tipo
de experimento considera-se que cada resposta é dada por: xij = µ + αi + βj + εij = média + efeito do fator i
+ efeito do fator j + resíduo. Os valores observados podem anotados em um quadro na forma a seguir.
Quadro 14.3 – Valores para ANOVA com dois fatores.
Fator 2
Fator 1
Total
Nível 1
Nível 2
...
Nível n
Nível 1
x11
x12
...
x1n
L1
Nível 2
x21
x22
...
x2n
L2
...
...
...
...
...
...
Nível m
xm1
xm2
...
xmn
Lm
C1
C2
...
Cn
T
Total
O quadro para ANOVA aplicada a experimentos com dois fatores é:
Fonte de
Variação
Fator 1
Fator 2
Resíduos
Total
Quadro 14.4 – Quadro para ANOVA com dois fatores.
Soma
Graus de
Quadrado Médio
Quadrática
Liberdade
SQL
m–1
QML = SQL ÷ (m – 1)
SQC
n–1
QMC = SQC ÷ (n – 1)
SQR
(m – 1)(n – 1)
QMR = SQR ÷ (m – 1)(n – 1)
SQT
N–1
Fcalc
QML ÷ QMR
QMC ÷ QMR
As hipóteses nulas são: H0 : αi = 0 (O efeito do fator 1 é nulo) e H0 : βj = 0 (O efeito do fator 2 é nulo).
Os valores para cálculo são:
SQT =
SQL =
SQC =
m
n
i =1
j =1
∑∑
1
n
1
m
x ij2 −
T2
N
.
(14.4)
−
T2
N
.
(14.5)
∑ C i2 −
T2
N
.
(14.6)
m
∑L
i =1
n
j =1
2
i
SQR = SQT − SQL − SQC .
(14.7)
Exemplo 14.2 – Deseja-se determinar os efeitos sobre a resistência à tensão de ruptura exercidos por três
diferentes composições de ligas metálicas e por quatro diferentes níveis de temperatura para tratamento
térmico. Os valores observados, em kgf/mm2, são mostrados no quadro a seguir.
Liga
A
B
C
Total
Nível 1
1,7
0,8
0,8
Temperatura
Nível 2
Nível 3
1,6
1,9
1,1
1,2
1,3
1,1
Nível 4
1,7
1,4
0,8
Formular e testar as hipóteses correspondentes.
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
Total
91
Estatística – Notas de Aulas
O quadro para ANOVA fica:
Fonte de
Variação
Liga
Temperatura
Resíduos
Total
Soma
Quadrática
Graus de
Liberdade
Quadrado Médio
Fcalc
QML =
QMC =
QMR =
14.3 – Experimento com Dois Fatores Repetidos
Neste tipo de experimento é possível estudar a ocorrência de interação entre os fatores. Este
fenômeno, quando observado, indica que as respostas observadas para os dois fatores não são
independentes entre si. Aqui são testadas três hipóteses, as duas tratadas no caso anterior e mais a
hipótese nula segundo a qual não há interação entre os fatores. Para realizar o estudo em questão basta
efetuar mais de uma observação para cada combinação de fatores. Os valores observados podem anotados
em um quadro na forma a seguir.
Quadro 14.5 – Valores para ANOVA com dois fatores com repetição.
Fator 2
Fator 1
Total
Nível 1
Nível 2
...
Nível n
x111
x121
x1n1
Nível 1
...
...
...
...
L1
x11p
x12p
x1np
x211
x221
x2n1
Nível 2
...
...
...
...
L2
x21p
x22p
x2np
...
...
...
...
...
...
xm11
xm21
xmn1
Nível m
...
...
...
...
Lm
xm1p
xmnp
xmnp
C1
C2
...
Cn
T
Total
O quadro para ANOVA aplicada a experimentos com dois fatores com repetição é:
Fonte de
Variação
Fator 1
Fator 2
Interação
Resíduos
Total
Quadro 14.6 – Quadro para ANOVA com dois fatores.
Soma
Graus de
Quadrado Médio
Quadrática
Liberdade
SQL
m–1
QML = SQL ÷ (m – 1)
SQC
n–1
QMC = SQC ÷ (n – 1)
SQI
(m – 1)(n – 1)
QMI = SQI ÷(m – 1) (n – 1)
SQR
mn(p – 1)
QMR = SQR ÷ mn(p – 1)
SQT
mnp – 1
Os valores para cálculo são:
SQT =
m
p
n
∑∑ ∑
i =1 j =1
SQC =
SQL =
x ijk2 −
k =1
n
1
mp
∑ C 2j −
1
np
∑L
j =1
m
i =1
2
i
−
T2
mnp
.
T2
mnp
T2
mnp
.
.
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
Fcalc
QML ÷ QMR
QMC ÷ QMR
QMI ÷ QMR
(14.8)
(14.9)
(14.10)
92
Estatística – Notas de Aulas
SQI =
1
p
m
n
i =1
j =1
∑∑S
2
ij
−
S ij =
T2
− SQL − SQC
mnp
p
∑x
k =1
ijk
.
(14.11)
.
(14.12)
SQR = SQT − SQL − SQC − SQI
.
(14.13)
Exemplo 14.3 – Um experimento foi planejado para estudar as causas de variação nos resultados de um
processo de fermentação. Foram investigados dois fatores: temperatura e tempo de execução. Para cada
combinação foram efetuadas duas observações. Os resultados são mostrados no quadro a seguir.
Temperatura (oC)
10
25
30
35
40
Total
12,5
13,4
14,5
15,8
Tempo (minutos)
15
20
13,8 13,8
13,4 10,8
11,4
13,0 15,8
16,2 14,8
15,2
14,3 12,4
12,3 10,8
11,2
15,5 17,8
18,1 12,4
12,7
Total
Pode-se afirmar, com 5% de significância, que:
a) As respostas variam significativamente, em relação às temperaturas ?
b) As respostas variam significativamente, em relação aos intervalos de tempo ?
c) Há interação entre os fatores ?
O quadro para ANOVA é:
Fonte de
Variação
Temperatura
Tempo
Interação
Resíduos
Total
Soma
Quadrática
Graus de Liberdade
m–1
n–1
(m – 1)(n – 1)
mn(p – 1)
N–1
Quadrado Médio
Fcalc
QML =
QMC =
QMI =
QMR =
14.4 – Exercícios
14.4.1) O quadro seguir mostra os comprimentos das pétalas observados em uma amostra de flores de três
espécies diferentes. Pode-se afirmar, com 5% de significância, que os comprimentos observados entre as
três espécies são significativamente diferentes ?
Observação
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
íris setosa
51
49
47
46
50
54
46
50
44
49
Espécie
íris versicolor
70
74
69
65
55
57
63
49
66
52
íris virginica
65
76
49
73
67
72
65
64
68
57
Fonte: Fisher (1936).
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
93
Estatística – Notas de Aulas
14.4.2) O quadro a seguir mostra o valor inverso do teor de hidrocarbonetos saturados observado em
amostras de óleo cru provenientes de três estratos geológicos. Com 5% de significância, é possível
afirmar que os teores médios são significativamente diferentes ?
Wilhelm
Sub-Mulinia
Superior
1
7,06
7,06
4,24
2
7,14
5,82
5,69
3
7,00
5,54
4,34
4
7,20
6,31
3,92
5
7,81
9,25
5,39
6
6,25
5,69
5,02
7
5,11
5,63
3,52
8
9
10
11
12
6,19
4,65
8,02
4,27
7,54
4,32
5,12
4,38
3,06
Fonte: Johnson e Wichern (1988)
14.4.3) Aplicar o procedimento de Tukey aos resultados do exercício anterior.
14.4.4) Um experimento tem por objetivo avaliar os efeitos sobre a resistência à tensão de ruptura, em
kgf/mm2, de cabos de aço, causados por dois fatores: composição da liga e processo de fabricação. Os
valores observados no experimento são mostrados no quadro a seguir. Com 5% de significância, pode-se
afirmar que:
a)
As ligas metálicas produzem valores significativamente diferentes para a tensão de ruptura ?
b) Os processos de fabricação produzem valores significativamente diferentes para a tensão de
ruptura ?
Liga
1
2
3
4
Processo
A
B
C
1,5 1,6 1,2
1,8 1,8 1,4
1,4 1,4 1,3
0,9 1,7 1,4
14.4.5) O quadro a seguir mostra os valores observados em um experimento cujo objetivo é determinar os
efeitos produzidos por dois aditivos, em diferentes proporções, sobre o ponto de fusão (oC) de
determinado material. Pode-se afirmar que:
a)
O aditivo 1 produz resultados significativamente diferentes ?
b) O aditivo 2 produz resultados significativamente diferentes ?
Aditivo 1
5%
256
248
249
10%
15%
20%
Aditivo 2
7,5%
10%
264
259
260
245
268
251
12,5%
265
258
255
14.4.6) Um fator importante no processo de extrusão é a opacidade, também medida em dois níveis de
fatores, taxa de extrusão e total de aditivo. Dados observados em um destes experimentos são mostrados
no quadro a seguir. Com 5% de significância, pode-se afirmar que:
a)
Os dois níveis de taxa de extrusão produzem respostas significativamente diferentes ?
b) Os dois níveis de aditivo produzem respostas significativamente diferentes ?
c)
Há interação entre os dois fatores ?
Taxa de - 10%
extrusão 10%
Total
Proporção de aditivo
1,0%
1,5%
4,4 6,4 3,0 4,1 0,8 5,7 2,0 3,9 1,9 5,7
2,8 4,1 3,8 1,6 3,4 8,4 5,2 6,9 2,7 1,9
Fonte: Johnson e Wichern (1988).
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
Total
94
Estatística – Notas de Aulas
14.4.6) O quadro a seguir mostra os teores de ácido esteárico observados em amostras de três tipos de
óleos vegetais. Pode-se afirmar, com 5% de significância, que os teores observados para cada tipo de óleo
são significativamente diferentes ?
Observação
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Oliva
14,9
9,3
10,9
10,5
12,0
11,7
11,4
Origem
Colza Girassol
9,6
9,7
9,7
9,8
10,0
9,8
10,2
9,3
10,4
11,5
10,5
12,2
10,5
13,1
10,5
10,5
10,9
Fonte: Brodnjak-Vončina et al. (2005)
14.4.7) Aplicar o procedimento de Tukey aos resultados do exercício anterior.
14.4.8) Com o objetivo de aumentar a resistência à tensão de ruptura, em Kgf/mm2, de certo tipo de cabo,
foram estudadas três ligas metálicas para a confecção do material e quatro métodos de tratamento
químico. Para cada combinação de fatores foram produzidas cinco unidades amostrais. Os resultados
observados são apresentados no quadro a seguir. Pode-se afirmar, com 5% de significância, que:
a) Os diferentes tratamentos produzem respostas significativamente diferentes ?
b) As ligas produzem respostas significativamente diferentes ?
c) Há interação entre os fatores estudados ?
Tratamentos
T1
T2
T3
T4
T5
2,4
2,9
3,2
3,8
2,4
2,1
2,8
3,4
3,7
2,5
L1
2,5
2,9
3,3
3,9
2,3
2,6
3,0
3,5
3,8
2,2
2,7
3,1
3,6
3,7
2,5
4,2
3,1
2,2
2,6
2,3
Ligas
L2
4,1 4,3 4,3
3,2 2,9 2,8
2,4 2,2 2,3
2,5 2,6 2,7
2,2 2,1 2,4
4,4
3,1
2,4
2,5
2,6
3,2
4,6
3,1
2,5
3,1
3,3
4,2
3,2
2,6
3,3
L3
3,3
4,4
2,9
2,7
3,2
3,4
4,2
3,0
2,5
3,3
3,5
4,2
3,1
2,6
3,0
14.4.9) Um experimento foi delineado com a finalidade de avaliar o efeito do ângulo de tração sobre a
força necessária para separar conectores elétricos. Foram usados quatro diferentes ângulos e testados
conectores de cinco diferentes marcas, e cada unidade experimental foi testada uma vez. Os valores
observados são mostrados no quadro a seguir. Pode-se afirmar, com 5% de significância que:
a) O ângulo de tração afeta de forma significativa a força para separação ?
b) As marcas apresentam respostas significativamente diferentes para a força de separação ?
Ângulo
0o
2o
4o
6o
Total
A
45,3
44,1
42,7
43,5
175,6
B
42,2
44,1
42,7
45,8
174,8
Marca
C
39,6
38,4
42,6
47,9
168,5
D
36,8
38,0
42,2
37,9
154,9
Fonte: Devore, J.L. (2006)
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
E
45,8
47,2
48,9
56,4
198,3
Total
209,7
211,8
219,1
231,5
872,1
95
Estatística – Notas de Aulas
Resposta: O quadro para ANOVA fica:
Fonte de
Variação
Ângulo
Marca
Resíduos
Total
Soma
Quadrática
58,1575
246,9670
91,0050
396,1295
Graus de
Liberdade
3
4
12
Quadrado Médio
Fcalc
QML = 19,3858
QMC = 61,7418
QMR = 7,5838
2,56
8,14
14.4.10) Um experimento foi planejado para identificar possíveis causas de vibração (mícrons) observada
em motores elétricos. Foram analisados dois fatores, material da carcaça e marca dos mancais utilizados
nos motores. Para investigar a existência de interação, foram efetuadas duas repetições para cada
combinação de fatores. Os valores observados são mostrados no quadro a seguir. Com 5% de
significância, é possível afirmar que:
a) O material usado na fabricação da carcaça exerce influência significativa sobre a vibração ?
b) As marcas de mancais apresentam variações significativas com relação à vibração ?
c) Há interação entre o material utilizado na carcaça e a marca dos mancais ?
Material da carcaça
Aço
Alumínio
Plástico
Total
A
13,1 13,2
15,0 14,8
14,0 14,3
84,4
Marca do mancal
C
D
16,3 15,8 13,7 14,3 15,7 15,8
15,7 16,4 13,9 14,3 13,7 14,2
17,2 16,7 12,4 12,3 14,4 13,9
98,1
80,9
87,7
B
E
Total
13,5 12,5
13,4 13,8
13,2 13,1
79,5
143,9
145,2
141,5
430,6
Quadrado Médio
0,3523
9,1687
1,4507
0,1113
Fcalc
3,16
82,35
13,03
Fonte: Devore, J.L. (2006)
Resposta: O quadro com os valores para ANOVA fica:
Fonte de Variação
Material da carcaça (L)
Marca do mancal (C)
Interação (I)
Resíduos (R)
Total (T)
Soma Quadrática
0,7047
36,6747
11,6053
1,6700
50,6547
Graus de Liberdade
2
4
8
15
29
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
96
Estatística – Notas de Aulas
15. TESTE QUI-QUADRADO
Na prática, é comum que os resultados obtidos através de uma amostragem não correspondam
aos resultados esperados. Esta discrepância pode ser avaliada através do Teste Qui-Quadrado, que
compara as freqüências observadas no experimento com as freqüências esperadas. Estas últimas podem
ser baseadas em distribuições de probabilidade ou observações conhecidas a priori. O método em questão
pode ser aplicado a dois tipos de estudos: teste de bondade de ajustamento, ou de aderência, e teste de
independência de variáveis. No primeiro caso o objetivo é determinar se as freqüências observadas
seguem uma determinada distribuição de probabilidade. No segundo caso o objetivo é verificar a
dependência de duas variáveis aleatórias, tomando por base os conceitos apresentados no capítulo 8, mais
especificamente no parágrafo que trata da independência de duas variáveis (8.7).
15.1 – Teste de Bondade de Ajustamento (Teste de Aderência)
Sejam os experimentos ε1 , ε2 , ... , εk , que ocorrem com freqüências observadas O1 , O2 , ... , Ok ,
respectivamente, e cujas freqüências esperadas são E1 , E2 , ... , Ek , respectivamente. A medida de
discrepância é a estatística χ2 (lê-se “qui-quadrado”), calculada por:
χ
2
k
∑
=
i =1
(O i − E i ) 2 .
Ei
(15.1)
A hipótese nula, H0, supõe que as freqüências observadas concordam com as freqüências esperadas, isto
é, Oi = Ei , i = 1 , 2 , ... , k. O valor crítico para a tomada de decisão é obtido diretamente na tabela da
distribuição qui-quadrado, com o número de graus de liberdade dado por φ = k – p – 1 , onde p é o
número de parâmetros da distribuição de probabilidade em questão. Neste caso, se as freqüências devem
seguir uma distribuição exponencial, por exemplo, o valor de p é 1, já que a referida distribuição possui
apenas uma parâmetro. Se a distribuição de interesse é a normal, então p = 2, correspondente aos
parâmetros µ e σ2.
Exemplo 15.1 – Uma reportagem publicada no jornal New York Post (data não disponível) mostrou os
resultados de 144 páreos, relacionando o número de vitórias com a posição de largada. Pode-se afirmar,
com 1% de significância, que há relação entre as posições de largada e de chegada ?
Posição
Vitórias
1
29
2
19
3
18
4
25
5
17
6
10
7
15
8
11
15.2 – Teste de Independência de Variáveis
Aqui são estudadas as discrepâncias observadas em experimentos que envolvem duas variáveis,
em diferentes níveis. O objetivo é verificar o grau de relação existente entre as variáveis estudadas. Os
valores observados podem ser anotados em um quadro da forma:
Variável X
X1
X2
...
Xm
Total
Variável Y
Y2
...
O12
...
O22
...
...
...
Om2
...
C2
...
Y1
O11
O21
...
Om1
C1
Yn
O1n
O2n
...
Omn
Cn
Total
L1
L2
...
Lm
T
A hipótese nula consiste na suposição de que não há relação, ou dependência, entre as variáveis,
isto é, Oij = Eij , i = 1 , 2 , ... , m e j = 1 , 2 , ... , n. A estatística de teste é dada por:
χ
2
=
m
n
( O ij − E ij ) 2
i =1
j =1
E ij
∑∑
.
As freqüências esperadas são dadas por:
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
(15.2)
97
Estatística – Notas de Aulas
E ij =
Li C
j
T
.
(15.3)
Para a tomada de decisão utiliza-se o valor crítico obtido na tabela da distribuição qui-quadrado, com o
número de graus de liberdade dado por φ = (m – 1)(n – 1).
Exemplo 15.2 – O New England Journal of Medicine, v. 318, no. 4, publicou um estudo sobre os efeitos
da Aspirina® na prevenção de ataques cardíacos. O experimento envolveu 22131 médicos, que foram
monitorados durante seis anos. O medicamento foi ministrado em doses regulares a 11097 médicos,
enquanto 11034 médicos tomaram placebo. Os resultados observados são mostrados de forma mais
detalhada no quadro a seguir. Pode-se afirmar, com 5% de significância, que há relação entre o uso do
medicamento e a ocorrência de ataques cardíacos ?
Placebo
Aspirina
Total
Ataque fatal
18
5
23
Ataque não fatal
171
99
270
Nenhum ataque
10845
10993
21838
Total
11034
11097
22131
Fonte: Agresti (1990)
15.3 – Limitações do Teste Qui-Quadrado
Uma limitação que raramente é levada em consideração em estudos que utilizam o Teste QuiQuadrado diz respeito aos valores para as freqüências observadas. O teste não deve ser aplicado a
conjuntos que contenham categorias com freqüências observadas inferiores a cinco observações. Neste
caso é recomendável unir a categoria com uma categoria adjacente, de modo que a freqüência observada
seja no mínimo igual a cinco.
Outra limitação está no fato de que o valor para a estatística χ2 representa apenas o grau de
associação, não sendo adequado, por exemplo, para explicar a natureza da associação. Também vale
ressaltar que o arranjo das tabelas não exige nenhum tipo de ordenação. Quando as categorias
estabelecem algum tipo de ordenação pode ser mais adequado utilizar outros tipos de testes não
paramétricos.
15.4 – Exercícios
15.4.1) O quadro a seguir mostra os resultados de uma pesquisa efetuada com 2726 pessoas, praticantes
de diferentes religiões, relacionando o perfil religioso com o nível de escolaridade. Com 5% de
significância, é possível afirmar que há relação entre o perfil religioso e o nível de escolaridade ?
Escolaridade
Fundamental / ensino médio incompleto
Ensino médio completo / superior incompleto
Superior completo
Total
Fundamentalista
178
570
138
886
Perfil
Moderado
138
648
252
1038
Total
Liberal
108
442
252
802
424
1660
642
2726
Fonte: Categorical Data Analysis – Alan Agresti – John Wiley & Sons (2002)
15.4.2) O quadro a seguir mostra os resultados observados em um estudo relacionando a aplicação da
pena de morte e a cor dos réus acusados de homicídio, bem como a cor das vítimas. Os dados foram
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
98
Estatística – Notas de Aulas
coletados em 20 municípios do estado norte-americano da Flórida, entre os anos de 1976 e 1977. Com 5%
de significância, é possível afirmar que há relação entre:
a) A cor dos réus e a sentença ?
b) A cor das vítimas e a sentença ?
Cor
Vítima
Branca
Branca
Negra
Branca
Negra
Negra
Pena de Morte
Sim
Não
19
132
0
9
11
52
6
97
Réu
15.4.3) O quadro a seguir mostra os resultados de uma pesquisa publicada no SPSS™ Advanced Statistics
Guide, 2nd. Ed. O objetivo da pesquisa era verificar a relação entre a renda e o nível de satisfação de 901
trabalhadores de áreas distintas. Com 5% de significância, pode-se afirmar que o nível de satisfação está
associado à renda ?
Renda (US$)
Muito insatisfeito
< 6000
6000 – 15000
15000 – 25000
25000 <
20
22
13
7
Nível de satisfação/insatisfação
Moderadamente
Moderadamente
insatisfeito
satisfeito
24
80
38
104
28
81
18
54
Muito satisfeito
82
125
113
92
15.4.4) O quadro a seguir o número de casos de leucemia registrados pelo British Cancer Registry, entre
os anos de 1946 e 1960. Pode-se afirmar que o número de registros independe do mês ?
Mês
Casos
Jan
40
Fev
34
Mar
30
Abr
44
Mai
39
Jun
58
Jul
51
Ago
56
Set
36
Out
48
Nov
33
Dez
38
15.4.5) O quadro a seguir mostra a classificação de 980 eleitores estadunidenses conforme a cor e a opção
partidária. È possível afirmar que a preferência partidária está associada à cor do eleitor, com 5% de
significância ?
Cor
Democrata
103
341
444
Branco
Negro
Total
Opção
Independente
15
105
120
Total
Neutro
11
405
416
129
851
980
Fonte: Agresti (2002).
15.4.6) O quadro a seguir mostra o total de falhas apresentadas por um equipamento em determinado
período de tempo. Pode-se afirmar, com 5% de significância que o número de falhas segue uma
distribuição de Poisson?
Falhas
Dias
0
8
1
25
2
40
3
45
4
34
5
23
6
14
7
7
8 ou mais
5
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99
Estatística – Notas de Aulas
16. ANÁLISE DE CORRELAÇÃO E DE REGRESSÃO
O conceito de correlação foi apresentado na unidade 8, e pode ser entendido como a expressão
do grau de relação entre duas variáveis aleatórias. A análise de correlação tem por objetivo avaliar este
grau a fim de verificar se é possível ajustar um modelo funcional que expresse a mencionada relação, que
é o objetivo da análise de regressão.
16.1 – Coeficiente de Correlação
Sejam X e Y duas variáveis aleatórias contínuas definidas em um espaço amostral Ω, para as
quais são conhecidas n realizações na forma {(x1 , y1) , ... , (xn , yn)}, e com variâncias σ2X e σ2Y,
respectivamente. Conforme foi visto na unidade 8.7.3, o coeficiente de correlação de X e Y é a medida da
relação linear entre as duas variáveis, e é dado por:
ρ ( X ,Y ) =
Cov ( X , Y )
σ
2
X
σ
.
(8.12)
2
Y
O coeficiente de correlação ρ pertence ao intervalo real [– 1 ; 1] . Se ρ = 1 ou ρ = – 1, diz-se que a relação
é perfeita, e neste caso pode-se representa-la na forma Y = aX + b , onde a e b são números reais. Na
prática utiliza-se o coeficiente de correlação de Pearson, dado por:
n
 n
 n

n ∑ x i y i −  ∑ x i  ∑ y i 
i =1
 i =1   i =1 
r=
n
 n

n ∑ x i2 −  ∑ x i 
i =1
 i =1 
2
n
 n

n ∑ y i2 −  ∑ y i 
i =1
 i =1 
.
(16.1)
2
O coeficiente de correlação de Pearson fornece uma medida do grau de relação entre as duas variáveis. Se
r → 0, diz-se que há fraca correlação entre X e Y. Se r → – 1, ou r → 1, diz-se que há forte correlação.
Esta idéia é ilustrada, de forma bastante simplificada, na figura 16.1.
Ausência de correlação
Fraca correlação positiva
Forte correlação negativa
Forte correlação positiva
Figura 16.1 – Diagramas de Dispersão.
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
100
Estatística – Notas de Aulas
Exemplo 16.1 – O quadro a seguir mostra a evolução das populações masculina e feminina no Brasil, de
1940 a 2000, em milhões de pessoas. Calcular o coeficiente de correlação.
Quadro 16.1 – População Brasileira 1940 – 2010.
Ano
1940 1950 1960 1970 1980 1991
População Masculina 20,6 25,9 35,0 46,3 59,1 72,5
População Feminina 20,6 26,0 35,1 46,8 59,9 74,3
2000
83,6
86,2
2010
93,4
97,3
Fonte: IBGE – http://censo2010.ibge.gov.br (Acessado em 23/08/2016)
X = população masculina
Y = população feminina
120
100
80
60
40
20
0
0
20
40
60
80
100
16.2 – Análise de Regressão Linear
Na análise de correlação linear, o objetivo é determinar o grau de relacionamento entre duas
variáveis. Na análise de regressão linear, o objetivo é determinar o modelo que expressa esta relação.
Sejam X e Y duas variáveis aleatórias contínuas, conforme apresentadas na introdução. Conforme já foi
visto, se o coeficiente de correlação é muito próximo de 1, ou de ( – 1), existe uma relação linear entre X e
Y, que pode ser expressa na forma:
yi = α + βxi + ε i
.
(16.2)
No modelo acima, α e β são os parâmetros do modelo, e εi é o resíduo correspondente à i – ésima
observação. Os resíduos também podem ser escritos na forma:
ε i = yi − α − β xi
.
(16.3)
Outra informação importante é que, na análise de regressão linear, parte-se da suposição de que os
resíduos têm distribuição normal, com média igual a zero e variância σ2, isto é, ε ~ N( 0 , σ2 ).
16.3 – Método dos Mínimos Quadrados
Para obter os Estimadores de Máxima Verossimilhança (EMV) dos parâmetros α e β, utiliza-se o
Método dos Mínimos Quadrados (MMQ). O objetivo é minimizar a Soma dos Quadrados dos Resíduos
(SQR), na forma (16.3), dada por:
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
101
Estatística – Notas de Aulas
SQR =
n
∑ (y
i =1
i
− α − βxi )
.
2
(16.4)
As derivadas parciais, em relação aos parâmetros α e β, são dadas por:
n
∂
SQR = (− 2 )∑ ( y i − α − β x i ) .
∂α
i =1
(16.5)
n
∂
SQR = (− 2 )∑ ( y i − α − β x i )x i .
∂β
i =1
(16.6)
Após igualar as duas expressões a zero, e efetuar algumas manipulações algébricas elementares, obtém-se
o sistema de equações dado por:
n
ˆ
ˆn+β
α
∑ xi =
i =1
n
n
i =1
i =1
n
∑y
i =1
ˆ
ˆ ∑ xi + β
α
∑ x i2 =
i
n
∑
i =1




xi yi 

.
(16.7)
O sistema (16.7) é chamado sistema normal, e a sua resolução fornece os estimadores para os parâmetros
desconhecidos do modelo linear, na forma:
ˆx.
ˆ +β
ŷ = α
Os parâmetros α e β também são chamados, respectivamente, de intercepto e coeficiente angular.
Exemplo 16.2 – Calcular os estimadores de máxima verossimilhança para o modelo linear ajustado aos
dados do Quadro 16.1.
∑ Xi = 343,0
∑ Yi = 348,9
∑ Xi2 = 20201,88
∑ Yi2 = 21061,55
∑ XiYi = 20626,26
n=7
16.3.1 – Análise da Variância (ANOVA) para o Modelo de Regressão Linear
A ANOVA pode ser empregada para testar a existência, e a significância, da regressão linear.
Este estudo tem por objetivo verificar se o modelo encontrado é consistente, ou seja, se produz resultados
confiáveis. O quadro para ANOVA do modelo de regressão linear é dado por:
Fonte de Variação
Regressão
Resíduos
Total
Quadro 16.2 – Quadro para ANOVA.
Soma Quadrática Graus de Liberdade
Quadrado Médio
VM
1
QVM = VM
VR
n–2
QVR = VR ÷ (n – 2)
VT
n–1
As hipóteses testadas são: H0: β = 0 × H1: β ≠ 0.
As somas quadráticas são dadas por:
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
Fcalc
QVM ÷ QVR
102
Estatística – Notas de Aulas
 n
1 n
 n

VM = b  ∑ x i y i −  ∑ x i   ∑ y i   .
n  i =1   i =1  
 i =1
2
 n 2 1 n
 
VT = b  ∑ y i −  ∑ y i  
n  i =1  
 i =1
VR = VT − VM
.
.
(16.9)
(16.10)
(16.11)
Exemplo 16.3 – Efetuar a ANOVA para o modelo obtido no exemplo anterior.
16.4 – Modelo Exponencial
Há situações nas quais o modelo linear não é o mais adequado para expressar a relação entre as
variáveis estudadas. Nestes casos pode-se pesquisar a possibilidade de expressar a referida relação através
de modelos não lineares. Os principais modelos não lineares serão apresentados de forma bastante sucinta
na seqüência.
O modelo exponencial é dado por:
y = α e βx
.
(16.12)
O gráfico para o modelo exponencial é mostrado na Figura 16.2.
Figura 16.2 – Gráfico do Modelo Exponencial.
Para obter os EMV dos parâmetros do modelo pode-se partir da forma linearizada, dada por:
ln y = ln α + β x
Fazendo A = ln α, obtém-se o sistema normal dado por:
n
ˆ
 n + β
∑ xi =
i =1
n
n
i =1
i =1
n
∑ ln y
i =1
ˆ
 ∑ x i + β
∑ x i2 =
n
∑
i =1
i




x i ln y i 

(16.13)
É importante ressaltar que, do ponto vista estritamente matemático, o procedimento adotado não
é consistente, uma vez que, ao efetuar a linearização, os resíduos são considerados na forma
multiplicativa, isto é, o procedimento exige que cada observação seja escrita na forma y i = α e β xi ε i .
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
103
Estatística – Notas de Aulas
Se os resíduos forem considerados na forma aditiva, dada por y i = α e β x i + ε i , a obtenção dos
estimadores exigiria a aplicação de métodos iterativos, entre os quais se destaca o método de NewtonRaphson. Entretanto, não é difícil verificar que o modelo obtido através da linearização é adequado.
O coeficiente de correlação para o modelo exponencial é dado por:
n
 n
 n

n ∑ x i ln y i −  ∑ x i   ∑ ln y i 
i =1
 i =1   i =1

r =


n ∑ x i2 −  ∑ x i 
i =1
 i =1 
n
n
2


n ∑ ln 2 y i −  ∑ ln y i 
i =1
 i =1

n
n
.
(16.14)
2
Exemplo 16.4 – O quadro a seguir mostra o faturamento total das empresas brasileiras de produtos light e
diet no período 1990 – 2002. Calcular o coeficiente de correlação e os EMV para um modelo
exponencial, a fim de estimar o faturamento total para determinado ano.
Quadro 16.3 – Faturamento, em milhões de US$, do mercado brasileiro de produtos diet e light.
Ano
1990
1992
1994
1996
1998
2000
2002
Faturamento
160
175
400
736
1000
1700
2800
Fonte: Jornal Folha de São Paulo, 18/08/2004.
16.5 – Modelo Potência
O modelo, ou função, potência é dado por
y = αx β .
1
2
3
4
5
6
(16.15)
7
8
9
Figura 16.3 – Gráfico do Modelo Potência (β > 1).
Os EMV são obtidos a partir da linearização do modelo (16.15), o que resulta na expressão dada por:
ln y = ln α + β ln x
(16.16)
Fazendo A = ln α, o sistema normal para estimar os parâmetros desconhecidos fica:



i =1
i =1

n
n
n
2
2
ˆ
 ∑ ln x i + β ∑ ln x i = ∑ (ln x i )(ln y i )

i =1
i =1
i =1
n
ˆ
 n + β
∑ ln x i =
n
∑ ln y
i
O coeficiente de correlação para o modelo potência é dado por:
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
(16.17)
104
Estatística – Notas de Aulas
n
 n
 n

n ∑ ( ln x i )( ln y i ) −  ∑ ln x i   ∑ ln y i 
i =1
 i =1
  i =1

r =
n
 n

n ∑ ln 2 x i −  ∑ ln x i 
i =1
 i =1

2
.
n
 n

n ∑ ln 2 y i −  ∑ ln y i 
i =1
 i =1

(16.18)
2
Exemplo 16.7 – O quadro a seguir mostra a evolução das populações masculina e feminina no Brasil, de
1940 a 2000, em milhões de pessoas. Calcular o coeficiente de correlação para o modelo potência e
compara-lo com o coeficiente de correlação linear, obtido no exemplo 16.1.
Quadro 16.1 – População Brasileira 1940 – 2000.
Ano
1940 1950 1960 1970 1980 1991
População Masculina 20,6 25,9 35,0 46,3 59,1 72,5
População Feminina 20,6 26,0 35,1 46,8 59,9 74,3
2000
83,6
86,2
2010
93,4
97,3
Fonte: IBGE – http://censo2010.ibge.gov.br (Acessado em 23/08/2015)
X = população masculina
Y = população feminina
16.6 – Modelo Logarítmico
É dado na forma
y = α + β ln x
.
(16.19)
O coeficiente de correlação para este modelo é dado por:
n
 n
 n

n ∑ ( ln x i )( y i ) −  ∑ ln x i   ∑ y i 
i =1
 i =1
  i =1

r =
n
 n

n ∑ ln 2 x i −  ∑ ln x i 
i =1
 i =1

2
.
n
 n

n∑ yi −  ∑ yi 
i =1
 i =1

(16.20)
2
Os estimadores de máxima verossimilhança são obtidos pela resolução do sistema dado por:
n
ˆ
ˆn+β
α
∑ ln x i =
i =1
n
n
i =1
i =1
ˆ
ˆ ∑ xi + β
α
∑ ln
2
n
∑
i =1
yi
xi =
n
∑
i =1




y i ln x i 

.
(16.21)
16.7 – Exercícios
16.7.1) O Quadro 16.4 mostra os valores de correspondentes à taxa de emissão de óxido de nitrogênio (y),
em ppm, e à taxa de liberação na área do queimador em aquecedores a vapor (x), em MBtu/h-pés2. Qual o
modelo mais adequado para estimar y em função de x?
x
y
100
150
125
140
Quadro 16.4 – Taxa de liberação (x) e taxa de emissão de NOx (y).
125 150 150 200 200 250 250 300 300 350
180 210 190 320 280 400 430 440 390 600
400
610
400
670
16.7.2) O modelo obtido acima é confiável? Por quê?
16.7.3) O quadro a seguir mostra valores correspondentes à deposição de umidade de NO3 (x), em g
N/m2, e líquens N (y), em % de peso seco, observados em um estudo sobre a utilização de líquens como
bioindicadores de poluição do ar.
x
y
0,05
0,48
0,10
0,55
0,11
0,48
0,12
0,50
0,31
0,58
0,37
0,52
0,42
1,02
0,58
0,86
0,68
0,86
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
0,68
1,00
0,73
0,88
0,85
1,04
0,92
1,70
Estatística – Notas de Aulas
105
Qual o modelo mais adequado para estimar y em função de x?
16.7.4) Qual a quantidade estimada de líquens para um valor de deposição de NO3 de 0,5?
16.7.5) O quadro a seguir mostra os teores de ácidos palmítico, esteárico, oléico e linoléico observados
em uma amostra de 11 extratos de óleo de colza.
a)
Qual o modelo mais adequado para estimar o teor de ácido palmítico em função do teor de ácido
esteárico ?
b) Qual o modelo mais adequado para estimar o teor de ácido palmítico em função do teor de ácido
oléico ?
c) Qual o modelo mais adequado para estimar o teor de ácido oléico em função do teor de ácido
esteárico ?
Quadro 16.6 Teores de ácidos graxos.
Palmítico Esteárico
Oléico
Linoleico
9,6
3,5
30,3
49,2
9,7
3,9
25,1
54,2
10
4,2
24,9
53,2
10,2
4
23,1
55,1
10,4
4,2
25,9
50,8
10,5
4,2
25,5
52
10,5
4,2
24,4
52,1
10,5
4,3
24,6
53,1
10,9
3,6
26
52,6
10,9
3,8
27,2
49,5
11,9
3,8
25,7
52,7
16.7.8) Um modelo não linear que pode ser de grande utilidade é o Modelo Inverso, dado por:
y=α+
β
.
x
a) Escrever a expressão para calcular o coeficiente de correlação para o modelo dado.
b) Definir o sistema normal para o cálculo dos EMV para os parâmetros.
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
106
Estatística – Notas de Aulas
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA
DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA
TABELA 1 - Distribuição Normal Padrão Z~N(0,1)
P(0 ≤ Z ≤ zc)
zc
0,00
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,0000
0,0398
0,0793
0,1179
0,1554
0,0040
0,0438
0,0832
0,1217
0,1591
0,0080
0,0478
0,0871
0,1255
0,1628
0,0120
0,0517
0,0910
0,1293
0,1664
0,0160
0,0557
0,0948
0,1331
0,1700
0,0199
0,0596
0,0987
0,1368
0,1736
0,0239
0,0636
0,1026
0,1406
0,1772
0,0279
0,0675
0,1064
0,1443
0,1808
0,0319
0,0714
0,1103
0,1480
0,1844
0,0359
0,0753
0,1141
0,1517
0,1879
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
0,1915
0,2257
0,2580
0,2881
0,3159
0,1950
0,2291
0,2611
0,2910
0,3186
0,1985
0,2324
0,2642
0,2939
0,3212
0,2019
0,2357
0,2673
0,2967
0,3238
0,2054
0,2389
0,2704
0,2995
0,3264
0,2088
0,2422
0,2734
0,3023
0,3289
0,2123
0,2454
0,2764
0,3051
0,3315
0,2157
0,2486
0,2794
0,3078
0,3340
0,2190
0,2517
0,2823
0,3106
0,3365
0,2224
0,2549
0,2852
0,3133
0,3389
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
0,3413
0,3643
0,3849
0,4032
0,4192
0,3438
0,3665
0,3869
0,4049
0,4207
0,3461
0,3686
0,3888
0,4066
0,4222
0,3485
0,3708
0,3907
0,4082
0,4236
0,3508
0,3729
0,3925
0,4099
0,4251
0,3531
0,3749
0,3944
0,4115
0,4265
0,3554
0,3770
0,3962
0,4131
0,4279
0,3577
0,3790
0,3980
0,4147
0,4292
0,3599
0,3810
0,3997
0,4162
0,4306
0,3621
0,3830
0,4015
0,4177
0,4319
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
0,4332
0,4452
0,4554
0,4641
0,4713
0,4345
0,4463
0,4564
0,4649
0,4719
0,4357
0,4474
0,4573
0,4656
0,4726
0,4370
0,4484
0,4582
0,4664
0,4732
0,4382
0,4495
0,4591
0,4671
0,4738
0,4394
*0,4505
0,4599
0,4678
0,4744
0,4406
0,4515
0,4608
0,4686
0,4750
0,4418
0,4525
0,4616
0,4693
0,4756
0,4429
0,4535
0,4625
0,4699
0,4761
0,4441
0,4545
0,4633
0,4706
0,4767
2,0
2,1
2,2
2,3
2,4
0,4772
0,4821
0,4861
0,4893
0,4918
0,4778
0,4826
0,4864
0,4896
0,4920
0,4783
0,4830
0,4868
0,4898
0,4922
0,4788
0,4834
0,4871
0,4901
0,4925
0,4793
0,4838
0,4875
0,4904
0,4927
0,4798
0,4842
0,4878
0,4906
0,4929
0,4803
0,4846
0,4881
0,4909
0,4931
0,4808
0,4850
0,4884
0,4911
0,4932
0,4812
0,4854
0,4887
0,4913
0,4934
0,4817
0,4857
0,4890
0,4916
0,4936
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
0,4938
0,4953
0,4965
0,4974
0,4981
0,4940
0,4955
0,4966
0,4975
0,4982
0,4941
0,4956
0,4967
0,4976
0,4982
0,4943
0,4957
0,4968
0,4977
0,4983
0,4945
0,4959
0,4969
0,4977
0,4984
0,4946
0,4960
0,4970
0,4978
0,4984
0,4948
0,4961
0,4971
0,4979
0,4985
0,4949
0,4962
0,4972
0,4979
0,4985
*0,4951
0,4963
0,4973
0,4980
0,4986
0,4952
0,4964
0,4974
0,4981
0,4986
3,0
0,4987
0,4987
0,4987
0,4988
0,4988
0,4989
0,4989
0,4989
0,4990
0,4990
3,10 ou +
0,4999
NOTA: Para valores de Z acima de 3,09, use 0,4999 como área.
* Use esses valores comuns resultantes de interpolação:
Escore z
Área
1,645
0,4500
2,575
0,4950
Esta tabela foi obtida na página do Departamento de Estatística da UFRN.
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
107
Estatística – Notas de Aulas
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA
DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA
TABELA 2 - Distribuição t de Student (Unicaudal e Bicaudal)
ϕ
= graus de liberdade
α
25%
10%
5%
2,5%
1%
0,5%
ϕ
α
25%
10%
5%
2,5%
1%
0,5%
ϕ
1
2
3
4
5
1,0000
0,8165
0,7649
0,7407
0,7267
3,0777
1,8856
1,6377
1,5332
1,4759
6,3138
2,9200
2,3534
2,1318
2,0150
12,7062
4,3027
3,1824
2,7764
2,5706
31,8207
6,9646
4,5407
3,7469
3,3649
63,6574
9,9248
5,8409
4,6041
4,0322
46
47
48
49
50
0,6799
0,6797
0,6796
0,6795
0,6794
1,3002
1,2998
1,2994
1,2991
1,2987
1,6787
1,6779
1,6772
1,6766
1,6759
2,0129
2,0117
2,0106
2,0096
2,0086
2,4102
2,4083
2,4066
2,4049
2,4033
2,6870
2,6846
2,6822
2,6800
2,6778
6
7
8
9
10
0,7176
0,7111
0,7064
0,7027
0,6998
1,4398
1,4149
1,3968
1,3830
1,3722
1,9432
1,8946
1,8595
1,8331
1,8125
2,4469
2,3646
2,3060
2,2622
2,2281
3,1427
2,9980
2,8965
2,8214
2,7638
3,7074
3,4995
3,3554
3,2498
3,1693
51
52
53
54
55
0,6793
0,6792
0,6791
0,6791
0,6790
1,2984
1,2980
1,2977
1,2974
1,2971
1,6753
1,6747
1,6741
1,6736
1,6730
2,0076
2,0066
2,0057
2,0049
2,0040
2,4017
2,4002
2,3988
2,3974
2,3961
2,6757
2,6737
2,6718
2,6700
2,6682
11
12
13
14
15
0,6974
0,6955
0,6938
0,6924
0,6912
1,3634
1,3562
1,3502
1,3450
1,3406
1,7959
1,7823
1,7709
1,7613
1,7531
2,2010
2,1788
2,1604
2,1448
2,1315
2,7181
2,6810
2,6503
2,6245
2,6025
3,1058
3,0545
3,0123
2,9768
2,9467
56
57
58
59
60
0,6789
0,6788
0,6787
0,6787
0,6786
1,2969
1,2966
1,2963
1,2961
1,2958
1,6725
1,6720
1,6716
1,6711
1,6706
2,0032
2,0025
2,0017
2,0010
2,0003
2,3948
2,3936
2,3924
2,3912
2,3901
2,6665
2,6649
2,6633
2,6618
2,6603
16
17
18
19
20
0,6901
0,6892
0,6884
0,6876
0,6870
1,3368
1,3334
1,3304
1,3277
1,3253
1,7459
1,7396
1,7341
1,7291
1,7247
2,1199
2,1098
2,1009
2,0930
2,0860
2,5835
2,5669
2,5524
2,5395
2,5280
2,9208
2,8982
2,8784
2,8609
2,8453
61
62
63
64
65
0,6785
0,6785
0,6784
0,6783
0,6783
1,2956
1,2954
1,2951
1,2949
1,2947
1,6702
1,6698
1,6694
1,6690
1,6686
1,9996
1,9990
1,9983
1,9977
1,9971
2,3890
2,3880
2,3870
2,3860
2,3851
2,6589
2,6575
2,6561
2,6549
2,6536
21
22
23
24
25
0,6864
0,6858
0,6853
0,6848
0,6844
1,3232
1,3212
1,3195
1,3178
1,3163
1,7207
1,7171
1,7139
1,7109
1,7081
2,0796
2,0739
2,0687
2,0639
2,0595
2,5177
2,5083
2,4999
2,4922
2,4851
2,8314
2,8188
2,8073
2,7969
2,7874
66
67
68
69
70
0,6782
0,6782
0,6781
0,6781
0,6780
1,2945
1,2943
1,2941
1,2939
1,2938
1,6683
1,6679
1,6676
1,6672
1,6669
1,9966
1,9960
1,9955
1,9949
1,9944
2,3842
2,3833
2,3824
2,3816
2,3808
2,6524
2,6512
2,6501
2,6490
2,6479
26
27
28
29
30
0,6840
0,6837
0,6834
0,6830
0,6828
1,3150
1,3137
1,3125
1,3114
1,3104
1,7056
1,7033
1,7011
1,6991
1,6973
2,0555
2,0518
2,0484
2,0452
2,0423
2,4786
2,4727
2,4671
2,4620
2,4573
2,7787
2,7707
2,7633
2,7564
2,7500
71
72
73
74
75
0,6780
0,6779
0,6779
0,6778
0,6778
1,2936
1,2934
1,2933
1,2931
1,2929
1,6666
1,6663
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1,6654
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34
35
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77
78
79
80
0,6777
0,6777
0,6776
0,6776
0,6776
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1,9901
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2,3758
2,3751
2,3745
2,3739
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2,6412
2,6403
2,6395
2,6387
36
37
38
39
40
0,6814
0,6812
0,6810
0,6808
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1,3036
1,3031
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1,6871
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2,0211
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2,4314
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2,4258
2,4233
2,7195
2,7154
2,7116
2,7079
2,7045
81
82
83
84
85
0,6775
0,6775
0,6775
0,6774
0,6774
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41
42
43
44
45
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2,0141
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90
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0,6773
0,6773
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1,9876
1,9873
1,9870
1,9867
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2,3700
2,3695
2,3690
2,3685
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100
120
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0,677
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1,658
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1,980
1,960
2,364
2,358
2,326
2,626
2,617
2,576
Esta tabela foi obtida na página do Departamento de Estatística da UFRN.
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
108
Estatística – Notas de Aulas
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA
DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA
TABELA 3 - Distribuição Qui-Quadrado
ϕ
α
= graus de liberdade
0,995
0,99
0,975
0,95
0,90
0,75
0,50
0,25
0,10
1
2
3
4
5
0,0004
0,010
0,072
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0,412
0,002
0,020
0,115
0,297
0,554
0,001
0,051
0,216
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0,831
0,004
0,103
0,352
0,711
1,145
0,016
0,211
0,584
1,064
1,610
0,102
0,575
1,213
1,923
2,675
0,455
1,386
2,366
3,357
4,351
1,323
2,773
4,108
5,385
6,626
2,706
4,605
6,251
7,779
9,236
6
7
8
9
10
0,676
0,989
1,344
1,735
2,156
0,872
1,239
1,646
2,088
2,558
1,237
1,690
2,180
2,700
3,247
1,635
2,167
2,733
3,325
3,940
2,204
2,833
3,490
4,168
4,865
3,455
4,255
5,071
5,899
6,737
5,348
6,346
7,344
8,343
9,342
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9,037
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11
12
13
14
15
2,603
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3,571
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5,009
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5,892
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23
24
25
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43
44
45
21,421
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70
80
90
100
27,991
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43,275
51,172
59,196
67,328
ϕ
0,05
0,005
0,001
3,841 5,024 6,635
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60,561
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64,201
65,410
64,950
66,206
67,459
68,710
69,957
68,053
69,336
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76,084
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40,482
48,758
57,153
65,647
74,222
34,764
43,188
51,739
60,391
69,126
77,929
37,689
46,459
55,329
64,278
73,291
82,358
42,942
52,294
61,698
71,145
80,625
90,133
49,335
59,335
69,335
79,335
89,335
99,335
56,334
66,981
77,577
88,130
98,650
109,141
63,167
74,397
85,527
96,578
107,565
118,498
67,505
79,082
90,531
101,879
113,145
124,342
71,420
83,298
95,023
106,629
118,136
129,561
76,154
88,379
100,425
112,329
124,116
135,807
79,490
91,952
104,215
116,321
128,299
140,169
86,661
99,607
112,317
124,839
137,208
149,449
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
0,025
0,01
109
Estatística – Notas de Aulas
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA
DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA
TABELA 4 - Distribuição F de Fisher
α = 5%
Graus de liberdade para o numerador
Graus de liberdade para o denominador
φ1
φ2
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
12
14
15
16
18
20
24
30
40
60
120
∞
161,4
18,51
10,13
7,71
6,61
199,5
19,00
9,55
6,94
5,79
215,7
19,16
9,28
6,59
5,41
224,6
19,25
9,12
6,39
5,19
230,2
19,30
9,01
6,26
5,05
234,0
19,33
8,94
6,16
4,95
236,8
19,35
8,89
6,09
4,88
238,9
19,37
8,85
6,04
4,82
240,5
19,38
8,81
6,00
4,77
241,9
19,40
8,79
5,96
4,74
243,9
19,41
8,74
5,91
4,68
245,4
19,42
8,72
5,87
4,64
245,9
19,43
8,70
5,86
4,62
246,5
19,43
8,69
5,84
4,60
247,3
19,44
8,67
5,82
4,58
248,0
19,45
8,66
5,80
4,56
249,1
19,45
8,64
5,77
4,53
250,1
19,46
8,62
5,75
4,50
251,1
19,47
8,59
5,72
4,46
252,2
19,48
8,57
5,69
4,43
253,3
19,49
8,55
5,66
4,40
254,3
19,50
8,53
5,63
4,36
6
7
8
9
10
5,99
5,59
5,32
5,12
4,96
5,14
4,74
4,46
4,26
4,10
4,76
4,35
4,07
3,86
3,71
4,53
4,12
3,84
3,63
3,48
4,39
3,97
3,69
3,48
3,33
4,28
3,87
3,58
3,37
3,22
4,21
3,79
3,50
3,29
3,14
4,15
3,73
3,44
3,23
3,07
4,10
3,68
3,39
3,18
3,02
4,06
3,64
3,35
3,14
2,98
4,00
3,57
3,28
3,07
2,91
3,96
3,53
3,24
3,03
2,87
3,94
3,51
3,22
3,01
2,85
3,92
3,49
3,20
2,99
2,83
3,90
3,47
3,17
2,96
2,80
3,87
3,44
3,15
2,94
2,77
3,84
3,41
3,12
2,90
2,74
3,81
3,38
3,08
2,86
2,70
3,77
3,34
3,04
2,83
2,66
3,74
3,30
3,01
2,79
2,62
3,70
3,27
2,97
2,75
2,58
3,67
3,23
2,93
2,71
2,54
11
12
13
14
15
4,84
4,75
4,67
4,60
4,54
3,98
3,89
3,81
3,74
3,68
3,59
3,49
3,41
3,34
3,29
3,36
3,26
3,18
3,11
3,06
3,20
3,11
3,03
2,96
2,90
3,09
3,00
2,92
2,85
2,79
3,01
2,91
2,83
2,76
2,71
2,95
2,85
2,77
2,70
2,64
2,90
2,80
2,71
2,65
2,59
2,85
2,75
2,67
2,60
2,54
2,79
2,69
2,60
2,53
2,48
2,74
2,64
2,55
2,48
2,42
2,72
2,62
2,53
2,46
2,40
2,70
2,60
2,52
2,44
2,39
2,67
2,57
2,48
2,41
2,35
2,65
2,54
2,46
2,39
2,33
2,61
2,51
2,42
2,35
2,29
2,57
2,47
2,38
2,31
2,25
2,53
2,43
2,34
2,27
2,20
2,49
2,38
2,30
2,22
2,16
2,45
2,34
2,25
2,18
2,11
2,40
2,30
2,21
2,13
2,07
16
17
18
19
20
4,49
4,45
4,41
4,38
4,35
3,63
3,59
3,55
3,52
3,49
3,24
3,20
3,16
3,13
3,10
3,01
2,96
2,93
2,90
2,87
2,85
2,81
2,77
2,74
2,71
2,74
2,70
2,66
2,63
2,60
2,66
2,61
2,58
2,54
2,51
2,59
2,55
2,51
2,48
2,45
2,54
2,49
2,46
2,42
2,39
2,49
2,45
2,41
2,38
2,35
2,42
2,38
2,34
2,31
2,28
2,37
2,34
2,29
2,26
2,22
2,35
2,31
2,27
2,23
2,20
2,33
2,29
2,25
2,22
2,18
2,30
2,26
2,22
2,18
2,15
2,28
2,23
2,19
2,16
2,12
2,24
2,19
2,15
2,11
2,08
2,19
2,15
2,11
2,07
2,04
2,15
2,10
2,06
2,03
1,99
2,11
2,06
2,02
1,98
1,95
2,06
2,01
1,97
1,93
1,90
2,01
1,96
1,92
1,88
1,84
21
22
23
24
25
4,32
4,30
4,28
4,26
4,24
3,47
3,44
3,42
3,40
3,39
3,07
3,05
3,03
3,01
2,99
2,84
2,82
2,80
2,78
2,76
2,68
2,66
2,64
2,62
2,60
2,57
2,55
2,53
2,51
2,49
2,49
2,46
2,44
2,42
2,40
2,42
2,40
2,37
2,36
2,34
2,37
2,34
2,32
2,30
2,28
2,32
2,30
2,27
2,25
2,24
2,25
2,23
2,20
2,18
2,16
2,20
2,17
2,15
2,13
2,11
2,18
2,15
2,13
2,11
2,09
2,16
2,13
2,11
2,09
2,07
2,12
2,10
2,08
2,05
2,04
2,10
2,07
2,05
2,03
2,01
2,05
2,03
2,01
1,98
1,96
2,01
1,98
1,96
1,94
1,92
1,96
1,94
1,91
1,89
1,87
1,92
1,89
1,86
1,84
1,82
1,87
1,84
1,81
1,79
1,77
1,81
1,78
1,76
1,73
1,71
26
27
28
29
30
4,23
4,21
4,20
4,18
4,17
3,37
3,35
3,34
3,33
3,32
2,98
2,96
2,95
2,93
2,92
2,74
2,73
2,71
2,70
2,69
2,59
2,57
2,56
2,55
2,53
2,47
2,46
2,45
2,43
2,42
2,39
2,37
2,36
2,35
2,33
2,32
2,31
2,29
2,28
2,27
2,27
2,25
2,24
2,22
2,21
2,22
2,20
2,19
2,18
2,16
2,15
2,13
2,12
2,10
2,09
2,09
2,08
2,06
2,05
2,04
2,07
2,06
2,04
2,03
2,01
2,05
2,04
2,02
2,01
1,99
2,02
2,00
1,99
1,97
1,96
1,99
1,97
1,96
1,94
1,93
1,95
1,93
1,91
1,90
1,89
1,90
1,88
1,87
1,85
1,84
1,85
1,84
1,82
1,81
1,79
1,80
1,79
1,77
1,75
1,74
1,75
1,73
1,71
1,70
1,68
1,69
1,67
1,65
1,64
1,62
40
60
120
∞
4,08
4,00
3,92
3,23
3,15
3,07
2,84
2,76
2,68
2,61
2,53
2,45
2,45
2,37
2,29
2,34
2,25
2,17
2,25
2,17
2,09
2,18
2,10
2,02
2,12
2,04
1,96
2,08
1,99
1,91
2,00
1,92
1,83
1,95
1,86
1,77
1,92
1,84
1,75
1,90
1,81
1,72
1,87
1,78
1,69
1,84
1,75
1,66
1,79
1,70
1,61
1,74
1,65
1,55
1,69
1,59
1,50
1,64
1,53
1,43
1,58
1,47
1,35
1,51
1,39
1,25
3,84
3,00
2,60
2,37
2,21
2,10
2,01
1,94
1,88
1,83
1,75
1,69
1,67
1,63
1,60
1,57
1,52
1,46
1,39
1,32
1,22
1,00
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
110
Estatística – Notas de Aulas
GL(residuos)
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
24
30
40
120
>120
2
3,64
3,46
3,34
3,26
3,2
3,15
3,11
3,08
3,06
3,03
3,01
3
2,98
2,97
2,96
2,95
2,92
2,89
2,86
2,8
2,77
Tabela 5 – Valores para o teste de tukey (5% de significância)
Número de grupos no tratamento.
3
4
5
6
7
8
4,6
5,22
5,67
6,03
6,33
6,58
4,34
4,9
5,3
5,63
5,9
6,12
4,16
4,68
5,06
5,36
5,61
5,82
4,04
4,53
4,89
5,17
5,4
5,6
3,95
4,41
4,76
5,02
5,24
5,43
3,88
4,33
4,65
4,91
5,12
5,3
3,82
4,26
4,57
4,82
5,03
5,2
3,77
4,2
4,51
4,75
4,95
5,12
3,73
4,15
4,45
4,69
4,88
5,05
3,7
4,11
4,41
4,64
4,83
4,99
3,67
4,08
4,37
4,59
4,78
4,94
3,65
4,05
4,33
4,56
4,74
4,9
3,63
4,02
4,3
4,52
4,7
4,86
3,61
4
4,28
4,49
4,67
4,82
3,59
3,98
4,25
4,47
4,65
4,79
3,58
3,96
4,23
4,45
4,62
4,77
3,53
3,9
4,17
4,37
4,54
4,68
3,49
3,85
4,1
4,3
4,46
4,6
3,44
3,79
4,04
4,23
4,39
4,52
3,36
3,68
3,92
4,1
4,24
4,36
3,31
3,63
3,86
4,03
4,17
4,29
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
9
6,8
6,32
6
5,77
5,59
5,46
5,35
5,27
5,19
5,13
5,08
5,03
4,99
4,96
4,92
4,9
4,81
4,72
4,63
4,47
4,39
10
6,99
6,49
6,16
5,92
5,74
5,6
5,49
5,39
5,32
5,25
5,2
5,15
5,11
5,07
5,04
5,01
4,92
4,82
4,73
4,56
4,47
111
Estatística – Notas de Aulas
Principais Funções de Probabilidade para Variáveis Aleatórias Discretas.
Distribuição
Função
Expectância e Variância
k
Uniforme
Discreta
P ( X = xi ) =
E(X ) =
1
k
Var ( X ) =
Bernoulli
P ( X = x ) = p x (1 − p ) 1 − x
Binomial
n
P ( X = x ) =   p x (1 − p ) n − x
 x
∑
i =1
xi
k
1
1 k

x i2 − ( ∑ x i ) 2 
∑

k  i =1
k i =1

k
E(X ) = p
Var ( X ) = p (1 − p )
E ( X ) = np
Var ( X ) = np (1 − p )
1
p
1− p
Var ( X ) =
p2
n
E(X ) =
p
n (1 − p )
Var ( X ) =
p2
nk
E(X ) =
N
 k  1 − k  N − n 
Var ( X ) = n   


 n  n  N − 1 
E(X ) =
Geométrica
P ( X = x ) = p (1 − p ) x −1
Pascal
 x − 1 n
 p (1 − p ) x − n
P ( X = x ) = 
n
−
1


Hipergeométrica
Multinomial
N − k
 n − x
P ( X = x) = 
N

n
 k 
  x 
 



 k

 ∑ xi  ! k
x
i =1
P ( X 1 = x1 ,..., X k = x k ) =  k  ∏ p i i
i =1
∏ xi !
E ( X i ) = np
i
Var ( X i ) = np i (1 − p i )
i =1
Poisson
e −λ λ x
P ( X = x) =
x!
E( X ) = λ
Var( X ) = λ
Principais Funções densidades de Probabilidade para Variáveis Aleatórias Contínuas.
Função
Fórmula
Expectância e Variância
θ
,0 < x <θ
f (x |θ ) = 
0
,
outro
caso .

−1
Uniforme Contínua
Normal
Gama
f ( x | µ ,σ 2 ) =
 1 (x − µ )2 
exp  −

σ2
2π
 2

1
σ
β α α −1 − β x
f (x | α , β ) =
x e
Γ (α )
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
E[ X ] =
Var [ X ] =
θ
2
θ2
12
E[ X ] = µ
Var[ X ] = σ 2
α
β
α
Var [ x ] = 2
β
E[x] =
112
Estatística – Notas de Aulas
Exponencial
Weibull
 0,t <0

f ( t | λ ) =  1 − λt
 λ e , 0 ≤ t
f ( x | α , β ) = αβ x
β −1
E [t ] = λ
Var [ t ] = λ 2
exp( −α x )
β
z ~ N(0 , 1) e U ~ χ2φ
Student
t =
z
U
ϕ
E[ X ] = α
−
1
β

1 
Γ  1 +

β 

E [t ] = 0
Var [ t ] =
ϕ
ϕ −2
ϕ
Qui-Quadrado
F, de Fisher
12
 
ϕ
x
−1 −
2
f ( x) =   x 2 e 2
ϕ 
Γ 
2
ν + η 
ν −2
ν
Γ

2
2


W
ν
2

  
f (W ) =


ν +η
ν   η  η
Γ  Γ     ν  2
 1 + 
2 2
 η
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
E[ X ] = ϕ
Var [ X ] = 2ϕ
η
η −2
2η 2 (ν + η − 2 )
Var [W ] =
ν (η − 2) 2 (η − 4)
E [W ] =
113
Estatística – Notas de Aulas
Apêndice 1 – Estatística Básica Utilizando o R ( http://cran-r.c3sl.ufpr.br/ )
O programa, ou pacote, R é tanto uma linguagem como um ambiente para desenvolvimento de aplicações
em Estatística computacional e gráfica. Foi desenvolvido pela equipe do pesquisador John Chambers no
Bell Laboratories, hoje Lucent Technologies. O R permite a aplicação de vários métodos estatísticos,
como estatística descritiva, análise da variância, análise de regressão e análise discriminante, entre outros.
È um programa livre de direitos autorais e pode ser baixado na página http://cran-r.c3sl.ufpr.br/ , sem
nenhum custo. No endereço oficial, http://www.r-project.org/ , é possível obter manuais, aplicativos e
exemplos de utilização. Neste material são mostradas algumas aplicações com a versão R-2.10.1, uma das
mais atuais. Para algumas aplicações deve-se baixar pacotes extras, que podem ser facilmente obtidos nos
endereços acima.
Formatos de Dados
Vetores
> VetorNumérico <- c(1, 2, 3, ... , n)
> VetorDeCaracteres <- c(“caracter_1”, ... “caracter_n”)
> VetorLógico <- c(TRUE, FALSE, FALSE, ... , TRUE)
Matrizes
Todas as colunas devem ter o mesmo tipo de dados (numéricos, caracteres ou lógicos) e a mesma
dimensão.
> Matriz <- matrix(vetor, nrow=r, ncol=c, byrow=FALSE)
ou
>
Matriz
<matrix(vetor,
nrow=r,
ncol=c,
dimnames=list(char_vector_rownames, char_vector_colnames))
byrow=FALSE,
byrow = TRUE indica que a matriz deve ser preenchida por linhas. O comando byrow = FALSE
indica que a matriz deve ser preenchida por colunas (default). O comando dimnames providencia
rótulos opcionais para colunas e linhas.
Exemplo:
> Matriz <- matrix(c(2,4,6,8,9,-2,0,4,-1,3,8,4), nrow = 3, byrow = TRUE)
> Matriz
[,1] [,2] [,3] [,4]
[1,]
2
4
6
8
[2,]
9
-2
0
4
[3,]
-1
3
8
4
>
> MatrizPorColunas <- matrix(c(2,4,6,8,9,-2,0,4,-1,3,8,4), nrow = 3)
> MatrizPorColunas
[,1] [,2] [,3] [,4]
[1,]
2
8
0
3
[2,]
4
9
4
8
[3,]
6
-2
-1
4
>
Exemplo: Gerar uma matriz com cinco linhas e quatro colunas, contendo uma seqüência numérica de 1 a
20, preenchida por colunas:
> Matriz <- matrix(1:20, nrow=5, ncol=4)
> Matriz
[,1] [,2] [,3] [,4]
[1,]
1
6
11
16
[2,]
2
7
12
17
[3,]
3
8
13
18
[4,]
4
9
14
19
[5,]
5
10
15
20
Para preencher a matriz por linhas basta acrescentar byrow = TRUE.
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
Estatística – Notas de Aulas
114
> Matriz <- matrix(1:20, nrow=5, ncol=4, byrow = TRUE)
> Matriz
[,1] [,2] [,3] [,4]
[1,]
1
2
3
4
[2,]
5
6
7
8
[3,]
9
10
11
12
[4,]
13
14
15
16
[5,]
17
18
19
20
Também é possível identificar as m linhas e as n colunas. Neste caso basta digitar os comandos:
> rnames <- c(“L1” , “L2” , ... , “Lm”)
> cnames <- c(“C1” , “C2” , ... , “Cn”)
Exemplo:
> rnames
> cnames
> Matriz
cnames))
> Matriz
C1 C2
L1 1 6
L2 2 7
L3 3 8
L4 4 9
L5 5 10
<- c("L1","L2","L3","L4","L5")
<- c("C1","C2","C3","C4")
<- matrix(1:20, nrow=5, ncol=4, byrow=FALSE, dimnames=list(rnames,
C3
11
12
13
14
15
C4
16
17
18
19
20
Dataframe
Um dataframe é uma matriz na qual os elementos podem ter formatos diferentes, isto é, pode incluir
colunas com valores numéricos e colunas com valores lógicos ou, ainda, caracteres.
Exemplo:
>
>
>
>
>
1
2
3
4
x <- c(1,2,3,4)
y <- c("Elemento 1","Elemento 2","Elemento 3","Elemento 4")
z <- c(TRUE,FALSE,TRUE,FALSE)
MeuDataFrame <- data.frame(x,y,z)
MeuDataFrame
x
y
z
1
Elemento 1
TRUE
2
Elemento 2
FALSE
3
Elemento 3
TRUE
4
Elemento 4
FALSE
Estatística Descritiva Básica
Muitas aplicações práticas exigem o cálculo de medidas elementares, como média, mediana, 1º e 3º
quartis, mínimo e máximo. Neste caso basta introduzir os dados, na forma de um vetor, e usar o comando
summary(MeusDados).
Exemplo:
> MeusDados <- c(2,6,8,1,2,5,9,4,10,8,5,0,12,13,1,15,2,8,9,4,7,6)
> summary(MeusDados)
Min.
1st Qu.
Median
Mean
3rd Qu.
Max.
0.000
2.500
6.000
6.227
8.750
14.000
Importação de Dados
Para abrir uma planilha em Excel® e importar os dados, é necessário utilizar o pacote RODBC
(http://cran.r-project.org/web/packages/RODBC/index.html ), que deve ser salvo na biblioteca (“library”)
do R. Na seqüência, deve-se executar os passos listados abaixo.
Considere uma planilha, que chamaremos MinhaTabela.xls. Suponha, também, que o caminho a ser
and
Settings/Meus
seguido para abrir a referida planilha é "C:/Documents
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
115
Estatística – Notas de Aulas
documentos/MinhaTabela.xls", e que os dados estão na planilha Plan1. Também é importante
alertar que deve-se usar as barras no sentido acima, pois o programa não reconhece o formato “\”.
library(RODBC)
>
saida
<odbcConnectExcel("C:/Documents
and
Settings/Meus
documentos/MinhaTabela.xls")
> MeusDados <- sqlFetch(saida,"Plan1")
> odbcClose(saida)
> is.data.frame(MeusDados)
‘retorna TRUE caso o conjunto seja um frame
[1] TRUE
> data.matrix(MeusDados)
‘lista uma matriz com os dados importados.
> attach(MeusDados)
‘carrega a matriz na memória, para efetuar as análises.
Exemplo: O Quadro 1 contém as dimensões, em milímetros, observadas em 48 carapaças de tartarugas
pintadas. Os dados estão supostamente armazenados em: C:\Meus documentos\Tartarugas.xls.
Quadro 1 - Dimensões (mm) de carapaças de tartarugas pintadas.
Sexo (0 = Feminino 1 = Masculino)
Comprimento
Largura
Altura
0
98
81
38
0
103
84
38
0
103
86
42
0
105
86
42
0
109
88
44
0
123
92
50
0
123
95
46
0
133
99
51
0
103
102
51
0
133
102
51
0
134
100
48
0
136
102
49
0
138
98
51
0
138
99
51
0
141
105
53
0
147
108
57
0
149
107
55
0
153
107
56
0
155
115
63
0
155
117
60
0
158
115
62
0
159
118
63
0
162
124
61
0
177
132
67
1
93
74
37
1
94
78
35
1
96
80
35
1
101
84
39
1
102
85
38
1
103
81
37
1
104
83
39
1
106
83
39
1
107
82
38
1
112
89
40
1
113
88
40
1
114
86
40
1
116
90
43
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
116
Estatística – Notas de Aulas
1
117
90
41
1
117
91
41
1
119
93
41
1
120
89
40
1
120
93
44
1
121
95
42
1
125
93
45
1
127
96
45
1
128
95
45
1
131
95
46
1
135
106
47
Para importar estes dados usando o R basta fazer:
> saida <- odbcConnectExcel("C:/Meus documentos/Tartarugas.xls")
> Medidas <- sqlFetch(saida,"Plan1")
> odbcClose(saida)
> is.data.frame(Medidas)
[1] TRUE
> data.matrix(Medidas)
Sexo Comprimento Largura Altura
1
0
98
81
38
2
0
103
84
38
3
0
103
86
42
4
0
105
86
42
5
0
109
88
44
6
0
123
92
50
7
0
123
95
46
8
0
133
99
51
9
0
103
102
51
10
0
133
102
51
11
0
134
100
48
12
0
136
102
49
13
0
138
98
51
14
0
138
99
51
15
0
141
105
53
16
0
147
108
57
17
0
149
107
55
18
0
153
107
56
19
0
155
115
63
20
0
155
117
60
21
0
158
115
62
22
0
159
118
63
23
0
162
124
61
24
0
177
132
67
25
1
93
74
37
26
1
94
78
35
27
1
96
80
35
28
1
101
84
39
29
1
102
85
38
30
1
103
81
37
31
1
104
83
39
32
1
106
83
39
33
1
107
82
38
34
1
112
89
40
35
1
113
88
40
36
1
114
86
40
37
1
116
90
43
38
1
117
90
41
39
1
117
91
41
40
1
119
93
41
41
1
120
89
40
42
1
120
93
44
43
1
121
95
42
44
1
125
93
45
45
1
127
96
45
46
1
128
95
45
47
1
131
95
46
48
1
135
106
47
> attach(Medidas)
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
117
Estatística – Notas de Aulas
Estatística Descritiva
Média Aritmética: > mean(Variável)
Desvio Padrão: > sd(Variável)
Mediana: > median(Variável)
Mínimo: > min(Variável)
Máximo: > max(Variável)
Para construir o histograma basta digitar > hist(Variável).
Exemplo: Estatística descritiva básica para a variável comprimento.
> mean(Comprimento)
[1] 124.0833
> sd(Comprimento)
[1] 20.69313
> median(Comprimento)
[1] 120.5
> 1st Qu.(Comprimento)
Erro: unexpected symbol in "1st"
> 1stQu(Comprimento)
Erro: unexpected symbol in "1stQu"
> min(Comprimento)
[1] 93
> max(Comprimento)
[1] 177
>
>
>
hist(Comprimento,
main
=
"Histograma
"Comprimento", ylab = "Frequências")
>
para
Comprimento",
Distribuição de Freqüências
Para construir uma distribuição de freqüências debe-se utilizar os seguintes comandos:
>
>
>
>
>
range(MeusDados)
“Fornece a amplitude total”
breaks = seq(Xmin, Xmax, by= amplitude de clases desejada)
classes = cut(MeusDados, breaks, right = FALSE)
Tabela = table(Classes)
cbind(Tabela)
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
xlab
=
Estatística – Notas de Aulas
118
Teste de Hipóteses
O R possui comandos para efetuar todos os testes de hipóteses normalmente utilizados na prática.
Test t, de Student para a Média
Supondo que seja dada uma amostral de n valores para uma variável, e que se deseja testar a hipótese
segundo a qual a média amostral não é significativamente diferente de um dado valor, podemos aplicar o
teste t, de Student, para a média. Os comandos são:
> t.test(Variável, alternative = “greater”, mu = valor, conf.level = nível de
confiança)
Neste caso, aceita-se a hipótese nula quando “p-value” é superior a 0.05
Exemplo: Testar a hipótese de que a média da amostra {2 , 4 , 3 , 2 , 4 , 5 , 6 , 4 , 7 , 2 , 3 , 8 , 9 , 5} é
significativamente maior que 4, com 5% de significância.
> x <- c(2 , 4 , 3 , 2 , 4 , 5 , 6 , 4 , 7 , 2 , 3 , 8 , 9 , 5)
> t.test(x, alternative = "greater", mu = 4, conf.level = 0.95)
One Sample t-test
data: x
t = 0.953, df = 13, p-value = 0.1790
alternative hypothesis: true mean is greater than 4
95 percent confidence interval:
3.50961
Inf
sample estimates:
mean of x
4.571429
Teste t, de Student, para diferença de duas médias.
Para comparar as médias observadas para duas variáveis, em uma planilha, basta digitar:
> t.test(VariávelNumérica ~ VariávelBinária)
Exemplo: Testar a hipótese de que as médias de duas amostras dadas não são significativamente
diferentes.
> Amostra1 <- c(2, 3, 5, 9, 9, 8, 7, 5, 6, 4, 2, 9, 8, 7, 9, 2, 2, 5, 5, 4)
> Amostra2 <- c(6, 7, 8, 1, 2, 5, 4, 5, 6, 9, 8, 7, 4, 2, 3, 6, 9, 8, 7, 4, 2,
1, 4, 5, 6)
> t.test(Amostra1, Amostra2)
Welch Two Sample t-test
data: Amostra1 and Amostra2
t = 0.5167, df = 39.64, p-value = 0.6082
alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
95 percent confidence interval:
-1.135880 1.915880
sample estimates:
mean of x mean of y
5.55
5.16
Exemplo: Testar a hipótese de que o comprimento médio observado para carapaças das fêmeas não difere
significativamente do comprimento médio observado para carapaças dos machos.
> t.test(Comprimento ~ Sexo)
Welch Two Sample t-test
data: Comprimento by Sexo
t = 4.1613, df = 34.916, p-value = 0.0001960
alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
95 percent confidence interval:
10.96744
31.86590
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
119
Estatística – Notas de Aulas
sample estimates:
mean in group 0
134.7917
mean in group 1
113.3750
Para complementar graficamente o teste, é possível construir o Box-plot O comando é:
> boxplot(VariávelNumérica ~ VariávelBinária)
Para adicionar título e legendas, basta digitar:
> boxplot(VariávelNumérica ~ VariávelBinária , main="Título", xlab=”Legenda1”,
ylab=”Legenda2”)
Exemplo:
>
boxplot(Comprimento
~
Sexo
xlab="Sexo", ylab="Comprimento")
,
main="Box-Plot
para
o
comprimento",
Teste para a Proporção
Seja uma amostra aleatória de n observações, com X ocorrências, ou “sucessos”. Supondo que se deseje
testar a hipótese nula de que a proporção populacional é p, basta digitar:
> prop.test(X , n , p)
Exemplo: Uma amostra de 200 componentes de certo apresentou oito fora de conformidade. Pode-se
afirmar que a p.n.c. é igual a 5% ?
> prop.test(8, 200, 0.05)
1-sample proportions test with continuity correction
data: 8 out of 200, null probability 0.05
X-squared = 0.2368, df = 1, p-value = 0.6265
alternative hypothesis: true p is not equal to 0.05
95 percent confidence interval:
0.01871748 0.08012555
sample estimates: p 0.04
Análise da Variância (ANOVA) com um Fator
Para efetuar a ANOVA com um fator deve-se usar o comando “aov”, cuja sintaxe é:
> AnovaMeusDados
MeuDataFrame)
<-
aov(VariavelContinua
~
VariavelCategorica,
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
data
=
Estatística – Notas de Aulas
120
Exemplo: Efetuar a ANOVA para a variável “comprimento da sépala”, em função da variável “espécie”.
Os dados estão na planilha “IrisData”, armazenada na pasta "C:/Meus documentos/IrisData.xls".
>
>
>
>
>
>
>
saida <- odbcConnectExcel("C:/Meus documentos/IrisData.xls")
IrisData <- sqlFetch(saida, "Plan1")
odbcClose(saida)
attach(IrisData)
IrisData
Especie ComprimentoSepala LarguraSepala ComprimentoPetala LarguraPetala
1
1
51
35
14
2
2
1
49
30
14
2
3
1
47
32
13
2
4
1
46
31
15
2
5
1
50
36
14
2
6
1
54
39
17
4
7
1
46
34
14
3
8
1
50
34
15
2
9
1
44
29
14
2
10
1
49
31
15
1
11
1
54
37
15
2
12
1
48
34
16
2
13
1
48
30
14
1
14
1
43
30
11
1
15
1
58
40
12
2
16
2
70
32
47
14
17
2
64
32
45
15
18
2
69
31
49
15
19
2
55
23
40
13
20
2
65
28
46
15
21
2
57
28
45
13
22
2
63
33
47
16
23
2
49
24
33
10
24
2
66
29
46
13
25
2
52
27
39
14
26
2
50
20
35
10
27
2
59
30
42
15
28
2
60
22
40
10
29
2
61
29
47
14
30
2
56
29
36
13
31
3
63
33
60
25
32
3
58
27
51
19
33
3
71
30
59
21
34
3
63
29
56
18
35
3
65
30
58
22
36
3
76
30
66
21
37
3
49
25
45
17
38
3
73
29
63
18
39
3
67
25
58
18
40
3
72
36
61
25
41
3
65
32
51
20
42
3
64
27
53
19
43
3
68
30
55
21
44
3
57
25
50
20
45
3
58
28
51
24
>
> anovaIrisData <- aov(ComprimentoSepala ~ Especie, data = IrisData)
> summary(anovaIrisData)
>
Df
Sum Sq
Mean Sq
F value
Pr(>F)
Especie
1
1794.1
1794.13
47.786
1.722e-08 ***
Residuals
43
1613.4
37.55
--Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
>
> boxplot(ComprimentoSepala ~ Especie, main = "Comprimento da Sepala por
Especie", xlab = "Especies (1 = Setosa , 2 = Versicolor , 3 = Virginica)",
ylab = "Comprimento")
>
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
121
Estatística – Notas de Aulas
>
hist(ComprimentoSepala,
main
=
"Histograma
sepala",xlab = "Comprimento",ylab = "Frequências")
>
para
o
comprimento
da
Análise da Variância (ANOVA) com dois Fatores
Para efetuar a ANOVA com dois fatores a sintaxe é:
> AnovaMeusDados <- aov(VarContinua ~ VarCategorica1*varCategorica2, data =
MeuDataFrame)
Exemplo: Efetuar a ANOVA para os dados do Exemplo 14.2, da apostila.
Neste caso deve-se construir uma planilha no formato mostrado a seguir:
Liga
A
A
A
A
B
B
B
B
C
C
C
C
NivelTemperatura
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
Tensao
1.2
1.4
0.9
1.5
0.8
1.1
0.7
1.4
0.7
1.3
1.1
0.8
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
Estatística – Notas de Aulas
>
>
>
>
>
>
122
dados <- odbcConnectExcel("C:/Meus documentos/Exemplo(15_2).xls")
ExemploAnova <- sqlFetch(dados, "Plan1")
attach(ExemploAnova)
odbcClose(dados)
ExemploAnova
Liga NivelTemperatura Tensao
1
A
1
1.2
2
A
2
1.4
3
A
3
0.9
4
A
4
1.5
5
B
1
0.8
6
B
2
1.1
7
B
3
0.7
8
B
4
1.4
9
C
1
0.7
10
C
2
1.3
11
C
3
1.1
12
C
4
0.8
>
> AnovaExemplo <- aov(Tensao ~ Liga*NivelTemperatura, data = ExemploAnova)
>
> summary(AnovaExemplo)
Df
Sum Sq
Mean Sq
F value
Pr(>F)
Liga
2
0.18500
0.092500
0.8796
0.4624
NivelTemperatura
1
0.06017
0.060167
0.5721
0.4781
Liga:NivelTemperatura 2
0.04633
0.023167
0.2203
0.8085
Residuals
6
0.63100
0.105167
>
Para não depender de planilhas em formato Excel®, é possível construir a matriz diretamente no R. Basta
seguir os passos mostrados abaixo.
>
>
>
>
>
>
Ligas <- c("A","A","A","A","B","B","B","B","C","C","C","C")
Temperaturas <- c(1,2,3,4,1,2,3,4,1,2,3,4)
Tensoes <- c(1.2,1.4,0.9,1.5,0.8,1.1,0.7,1.4,0.7,1.3,1.1,0.8)
DataFrameTensoes <- data.frame(Ligas, Temperaturas, Tensoes)
DataFrameTensoes
Ligas Temperaturas Tensoes
1
A
1
1.2
2
A
2
1.4
3
A
3
0.9
4
A
4
1.5
5
B
1
0.8
6
B
2
1.1
7
B
3
0.7
8
B
4
1.4
9
C
1
0.7
10
C
2
1.3
11
C
3
1.1
12
C
4
0.8
>
Os demais comandos são os mesmos usados anteriormente.
Teste Qui-Quadrado
Para efetuar um teste de independência de variáveis é necessário carregar os valores em uma tabela com
m linhas e n colunas. Para tanto utiliza-se o comando rbind , com a seguinte sintaxe:
> Dados = rbind((c(x11, x12, ... , x1n), c(x21, x22, ... , x2n), ... , c(xm1,
xm2, ... , xmn)).
> chisq.test(Dados)
Exemplo: Exemplo 15.2 – O New England Journal of Medicine, v. 318, no. 4, publicou um estudo sobre
os efeitos da Aspirina® na prevenção de ataques cardíacos. O experimento envolveu 22131 médicos, que
foram monitorados durante seis anos. O medicamento foi ministrado em doses regulares a 11097
médicos, enquanto 11034 médicos tomaram placebo. Os resultados observados são mostrados de forma
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
123
Estatística – Notas de Aulas
mais detalhada no quadro a seguir. Pode-se afirmar, com 5% de significância, que há relação entra o uso
do medicamento e a ocorrência de ataques cardíacos ?
Placebo
Aspirina
Total
Ataque fatal
18
5
23
Ataque não fatal
171
99
270
Nenhum ataque
10845
10993
21838
Total
11034
11097
22131
Fonte: Agresti (1990)
> AtaqueVersusAspirina = rbind(c(18,171,10845), c(5,99,10993))
> chisq.test(AtaqueVersusAspirina)
Pearson's Chi-squared test
data: AtaqueVersusAspirina
X-squared = 27.3717, df = 2, p-value = 1.138e-06
>
Controle Estatístico de Processo (CEP)
O R também pode ser usado para construir gráficos de controle usados no CEP. Para construir os gráficos
deve-se baixar o pacote “qcc”, disponível em ( http://cran-r.c3sl.ufpr.br/web/packages/qcc/index.html ) e
salva-lo na biblioteca (“library”), a exemplo do pacote RODBC.
Gráfico para Média e Amplitude
Exemplo: Os valores abaixo representam as larguras, em mm, observadas em 20 amostras de certo
componente mecânico. Construir o gráfico para a média e a amplitude.
x1
x2
x3
x4
x5
1
45.12
45.17
44.97
44.84
45.01
2
44.57
45.13
44.90
45.32
45.27
3
44.95
45.01
45.12
45.21
44.76
4
44.97
44.71
44.97
44.96
45.31
5
45.02
44.83
45.25
44.98
45.11
6
44.65
45.39
44.96
44.57
44.95
7
45.08
45.28
45.20
45.07
44.73
8
45.13
45.20
44.89
44.66
45.17
9
44.81
45.13
44.73
44.71
44.80
10
45.03
44.94
44.59
44.73
44.82
11
45.06
45.03
45.07
44.97
44.98
12
45.19
45.04
45.13
44.91
44.74
13
44.99
45.21
45.24
45.33
45.25
14
45.12
45.19
44.90
45.22
44.84
15
45.16
45.13
45.08
44.80
44.94
16
44.94
44.89
44.93
44.90
44.73
17
45.72
45.15
44.82
45.05
45.01
18
44.95
44.79
44.70
44.76
45.19
19
44.98
45.18
45.01
45.07
44.73
20
44.96
44.78
44.76
44.69
45.20
>
> library(qcc)
Package 'qcc', version 2.0
Type 'citation("qcc")' for citing this R package in publications.
> MediaLargura <- qcc(Largura, type = "xbar")
>
> summary(MediaLargura)
Call:
qcc(data = Largura, type = "xbar")
xbar chart for Largura
Summary of group statistics:
Min. 1st Qu. Median
Mean 3rd Qu.
44.83
44.90
45.02
45.00
45.04
Group sample size: 5
Number of groups: 20
Center of group statistics:
Max.
45.21
44.99582
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
124
Estatística – Notas de Aulas
Standard deviation:
0.2042346
Control limits:
LCL
UCL
44.72181
45.26983
>
>
Para construir o gráfico para a amplitude basta digitar:
> AmplitudeLargura <- qcc(Largura, type = "R")
Para calcular o índice de capabilidade deve-se digitar:
Process.capability(“objeto”, spec.limits = c(“Lim. Inf.” , “Lim. Sup.”))
Exemplo:
> process.capability(MediaLargura, spec.limits = c(44.4, 45.6))
Process Capability Analysis
Call:
process.capability(object = MediaLargura, spec.limits = c(44.4,
Number of obs = 100
Center = 44.99582
StdDev = 0.2042346
Target = 45
LSL = 44.4
USL = 45.6
Capability indices:
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
45.6))
Estatística – Notas de Aulas
Cp
Cp_l
Cp_u
Cp_k
Cpm
Value
0.9793
0.9724
0.9861
0.9724
0.9791
Exp<LSL 0.18%
Exp>USL 0.15%
>
2.5%
0.8430
0.8462
0.8584
0.8221
0.8435
125
97.5%
1.115
1.099
1.114
1.123
1.114
Obs<LSL 0%
Obs>USL 1%
Gráfico p para Proporção de Defeituosos
Para construir o gráfico p, para proporção de defeituosos utiliza-se a sintaxe:
>TamanhoDasAmostras <- c(n1, n2, n3, ... , nk)
>NumeroDeDefeituosos <- c(d1, d2, d3, ... , dk)
>GraficoP <- qcc(NumeroDeDefeituosos, size = TamanhoDasAmostras, type = “p”)
Exemplo: Para os dados do exercício 13.8 da apostila as instruções ficam:
> library(qcc)
Package 'qcc', version 2.0
Type 'citation("qcc")' for citing this R package in publications.
> TamanhoAmostra <- c(50, 40, 50, 60, 50, 50, 30, 40, 40, 30, 60, 20, 40, 50,
50, 40, 20, 30, 50, 50)
> Defeituosos <- c(3,2,2,3,3,2,1,1,2,0,3,3,1,0,2,3,2,1,4,0)
> GraficoP <- qcc(Defeituosos, size = TamanhoAmostra, type = "p")
>
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
Estatística – Notas de Aulas
126
Análise de Regressão Linear
Para calcular o coeficiente de correlação entre duas variáveis, uma “dependente” e outra “independente”,
a sintaxe a ser utilizada é:
> cor(Variável_Dependente ~ Variável_Independente)
Exemplo: Calcular o coeficiente de correlação entre as variáveis y e x, com os valores x = {98, 103, 105,
109, 123, 103} e y = {81, 84, 86, 88, 88, 92}.
> x <- c(98, 103, 105, 109, 123, 103)
> y <- c(81, 84, 86, 88, 88, 92)
> cor(y,x)
[1] 0.3990374
>
Para construir o diagrama de dispersão basta digitar
> plot(Variável_Dependente ~ Variável_Independente)
No exemplo acima:
> plot(y ~ x)
Para calcular os coeficientes a e b do modelo, na forma y = a + bx, a sintaxe é:
> Coeficientes <- lm(Variável_Dependente ~ Variável_Independente)
> Coeficientes
No exemplo em questão:
> Coeficientes <- lm(y~x)
> Coeficientes
Call:
lm(Coeficientes = y ~ x)
Coefficients:
(Intercept)
67.9306
x
0.1738
>
Para representar graficamente o modelo linear ajustado basta digitar os comandos:
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
Estatística – Notas de Aulas
> plot(Variável_Dependente ~ Variável_Independente)
> abline(Coeficientes)
>
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
127
Estatística – Notas de Aulas
128
Apêndice 2 – Testes de Normalidade
No capítulo 14 foram abordados os testes de hipótese para a média e a para a proporção. Nos
capítulos 15, 16 e 17 foram estudados testes estatísticos que utilizam as idéias apresentadas no capítulo
13. Entretanto, uma questão importante foi deixada de lado: Qual o teste mais adequado, entre todos os
que foram apresentados ? De outro modo, quando devemos utilizar, por exemplo, a Análise da Variância
(ANOVA) ou o teste H, de Kruskal-Wallis ?
A resposta para a questão acima está relacionada à natureza da variável em estudo, mais
precisamente à distribuição de probabilidade da mesma. Quando utilizamos a ANOVA, por exemplo,
estamos supondo que a variável estudada segue distribuição normal, isto é, a amostra é originária de uma
população normalmente distribuída. O teste H, de Kruskal-Wallis deve ser usado quando tal suposição
não é válida. Para determinar se uma dada variável segue, ou não, a distribuição normal são utilizados
dois testes específicos, ambos apresentados na seqüência.
Teste de Kolmogorov – Smirnov (K – S)
Dados n valores padronizados e ordenados Y1 , Y2 , ... , Yn , calcula-se a estatística D dada por:
i −1 i


D = máx  F (Y i ) −
; − F (Y i )
1≤ i ≤ n
n
n


Onde F ( . ) é a distribuição acumulada teórica em questão.
Quando as duas curvas se sobrepõem a estatística de teste é calculada através da máxima diferença entre
ambas. A magnitude da diferença estabelece-se probabilisticamente, segundo a lei de probabilidade dessa
estatística, que se encontra tabelada. Se os dados experimentais se afastam significativamente do que é
esperado segundo a distribuição em hipótese, então as curvas obtidas devem encontrar-se igualmente
afastadas, e por um raciocínio análogo, se o ajustamento ao modelo hipotético é admissível, as curvas têm
um delineamento próximo.
Um dos inconvenientes deste teste é o fato de não considerar valores repetidos, também chamados
“empates”. Este fato torna o teste pouco indicado para pequenas amostras. Na prática, um teste mais
efetivo é o Teste de Shapiro – Wilk, apresentado a seguir.
Teste de Shapiro – Wilk
Utiliza a estatística W dada por:
2
 n

 ∑ a i x (i ) 

W =  ni =1
2
∑ (x i − x )
i =1
Onde ai são constantes geradas a partir das médias, variâncias e covariâncias de uma amostra de tamanho
n de uma distribuição normal.
Testes de Normalidade Utilizando o R
Na prática a aplicação de qualquer um dos testes de normalidade descritos acima pode ser uma tarefa
longa e tediosa. Em função deste fato, é altamente recomendável que os mesmos sejam aplicados apenas
quando se tem à disposição um pacote computacional. O pacote R é perfeitamente adequado para tais
fins.
Exemplo: Teste Shapiro-Wilk
> amostra <- c(5.6, 4.5 ,8.9 ,2.6 ,4.8 ,8.9 ,7.2 ,7.1 ,0.8 ,1.9 ,2.9 ,4.8 ,2.5
,0.8 ,2.8 ,1.4 ,2.9 ,4.8 , 6.7)
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
Estatística – Notas de Aulas
129
> shapiro.test(amostra)
Shapiro-Wilk normality test
data: amostra
W = 0.936, p-value = 0.2232
A hipótese nula, segundo a qual a amostra é proveniente de um população com distribuição normal, é
aceita quando W é superior a 0.6, ou quando o valor p é superior a 0,05.
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.