GEOMETRIA Semelhança de Triângulos

GEOMETRIA
Semelhança de Triângulos
Prof. Antonio Otavio (Prof. Tuca)
POTI – Pirassununga.
Semelhança de Triângulos
Definição: Dois triângulos são semelhantes se os três ângulos são ordenadamente
congruentes e se os lados homólogos são proporcionais.
Os triângulos ABC e A′B′C′ semelhantes. Lados homólogos são lados opostos a
ângulos ordenadamente congruentes.
Os triângulos ABC e A’B’C’ são semelhantes. Lados homólogos são lados opostos
ângulos congruentes.
𝐴̂ ≡ 𝐴̂′ temos que os lados 𝑎 e 𝑎′ são homólogos
{𝐵̂ ≡ 𝐵̂ ′ temos que os lados 𝑏 e 𝑏 ′ são homólogos
𝐶̂ ≡ 𝐶 ′ temos que os lados 𝑐 e 𝑐 ′ são homólogos
̂ = 𝐵̂ ′ 𝑒 𝐶̂ = 𝐶 ′ e também
Temos que ∆𝐴𝐵𝐶~∆𝐴′ 𝐵 ′ 𝐶 ′ se 𝐴̂ = 𝐴̂′ , 𝐵
𝐴𝐵
𝐵𝐶
𝐴𝐶
= 𝐵′𝐶′ = 𝐴′𝐶′ = 𝑘 ; 𝑘 é a razão de semelhança.
𝐴′𝐵′
1º Caso: AA – Se dois triângulos têm congruentes dois ângulos internos, então esses
dois triângulos são semelhantes.
2º Caso: LAL – Se dois triângulos têm dois pares de lados proporcionais e os ângulos
compreendidos entre eles congruentes, então esses dois triângulos são semelhantes.
3º Caso: LLL – Se dois triângulos têm os três lados correspondentes proporcionais,
então esses triângulos são semelhantes.
Teorema 1. Se uma reta é paralela a um dos lados de um triângulo, então o triângulo
que ela determina é semelhante ao primeiro.
Demonstração.
Observação 1: Se dois triângulos são semelhantes na razão 𝑘, então também
é igual a 𝑘:
 a razão entre as alturas,
 a razão entre as medianas,
 a razão entre as bissetrizes, etc.
Observação 2: A razão entre as áreas de dois triângulos semelhantes
(na razão 𝑘) é igual a 𝑘 2 .
Problema 1. As bases de um trapézio medem 12m e 18m e os lados oblíquos às
bases medem 5m e 7m. Determine o perímetro do triângulo menor que obtemos ao
prolongar os lados oblíquos às bases.
Problema 2. Na figura abaixo, 𝐵𝐶 = 12 cm e 𝐴𝐻 = 8 cm, sendo 𝐴𝐻 altura do ∆𝐴𝐵𝐶.
Determine o lado do quadrado 𝑀𝑁𝑃𝑄.
Problema 3. Na figura abaixo, temos uma reta que passa pelos pontos 𝐴, 𝐵 e 𝐶 e
outra que passa por 𝐴 e é tangente às circunferências de centros 𝐵 e 𝐶 e raios 3 cm e
5 cm. Se 𝐴𝐵 = 7 cm, determine 𝐵𝐶.
Problema 4. Na figura abaixo, temos 𝐴𝐶 = 𝐶𝐵 = 10 cm, 𝐴𝐵 = 6 cm e 𝐴𝑀 = 𝑀𝐵.
Além disso, o segmento 𝐵𝐻 tangencia a
semicircunferência com centro em 𝑀. Determine o raio
dessa semicircunferência.
Problema 5. No retângulo da figura abaixo temos que 𝐴𝐵 = 20, 𝐵𝐶 = 12 e 𝐴𝑀 = 𝑀𝐵.
Determine a medida de 𝐸𝐹.
Problema 6. Na figura abaixo, temos duas semicircunferências. Se 𝐴𝐷 = 36 e 𝐵𝐶 =
𝐶𝐷, determine 𝐶𝐷.
Problema 7. Na figura abaixo, 𝐷𝐸//𝐴𝐶, ∠𝐴𝐶𝐷 ≡ ∠𝐵𝐶𝐷, 𝐵𝐶 = 𝑚 e 𝐴𝐶 = 𝑛. Determine
a medida de 𝐷𝐸 em função de 𝑚 e 𝑛.
Problema 8. Na figura abaixo, temos um triângulo inscrito. Se 𝐴𝐵 = 10, 𝐴𝐶 = 12 e
𝐴𝐻 = 4, determine o raio da circunferência.