coordenação hidrotérmica de médio prazo

COORDENAÇÃO HIDROTÉRMICA DE MÉDIO
PRAZO USANDO UMA FUNÇÃO DE PRODUÇÃO
HIDROELÉTRICA MÚLTIPLA
Renan Monteiro de Andrade
Projeto de Graduação apresentado ao Curso de
Engenharia Elétrica da Escola Politécnica da
Universidade Federal do Rio de Janeiro, como
parte dos requisitos necessários à obtenção do
título de Engenheiro Eletricista.
Orientador(es): Carmen Lúcia Tancredo Borges
André Luiz Diniz Souto Lima
Rio de Janeiro
Abril de 2016
COORDENAÇÃO HIDROTÉRMICA DE MÉDIO PRAZO
USANDO UMA FUNÇÃO DE PRODUÇÃO
HIDROELÉTRICA MÚLTIPLA
Renan Monteiro de Andrade
PROJETO DE GRADUAÇÃO SUBMETIDO AO CORPO DOCENTE
DO CURSO DE ENGENHARIA DE ELÉTRICA DA ESCOLA
POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO
COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A
OBTENÇÃO DO GRAU DE ENGENHEIRO ELETRICISTA.
Examinada por:
___________________________________
Carmen Lúcia Tancredo Borges, D. Sc.
___________________________________
André Luiz Diniz Souto Lima, D. Sc.
________________________________________
Glauco Nery Taranto, D.Sc.
______________________________________
Tiago Norbiato dos Santos, M. Sc.
Rio de Janeiro
Abril de 2016
Andrade, Renan Monteiro de
Coordenação Hidrotérmica De Médio Prazo Usando Uma Função
De Produção Hidroelétrica Múltipla / Renan Monteiro de Andrade. –
Rio de Janeiro: UFRJ/ Escola Politécnica, 2016.
90 p.: il.; 29,7 cm.
Orientadora: Carmen Lúcia Tancredo Borges
Co-orientador: André Luiz Diniz Souto Lima
Projeto de Graduação – UFRJ/Escola Politécnica/ Departamento
de Engenharia Elétrica, 2016.
Referências Bibliográficas: p. 79-81
1.Função de Produção Hidroelétrica. 2. Planejamento Hidrotérmico.
3. Modelo Linear Por Partes. 4. Programação Linear. I. Andrade,
Renan Monteiro de, et al. II. Universidade Federal do Rio de Janeiro,
UFRJ, Engenharia Elétrica, III. Coordenação Hidrotérmica De Médio
Prazo Usando Uma Função De Produção Hidroelétrica Múltipla
Agradecimentos
Primeiramente, agradeço a minha família, irmãos e avós, por todo o amor e apoio.
Agradeço em especial aos meus pais, Ricardo e Mara, pela educação, pelo incentivo,
pelos valores e pelo suporte que sempre procuraram me passar. Por sempre terem se
sacrificado, diante de todos os percalços que a vida nos proporciona, para que eu
obtivesse a melhor educação possível. Sem eles nada disso seria possível. Meu muito
obrigado por estarem comigo em todos os momentos importantes da minha vida.
Agradeço a todos os professores do Departamento de Engenharia Elétrica da Poli que
contribuíram para minha formação pessoal e acadêmica, compartilhando seus
conhecimentos e experiências de vida. Em especial a professora Carmen Lúcia
Tancredo Borges, por abrir meu interesse pela área de sistemas de Energia, pela
oportunidade e apoio na elaboração deste trabalho, pela paciência e tranquilidade com
que coordenou esse trabalho, sempre me passando segurança, meu mais sincero
obrigado.
Meu profundo agradecimento aos funcionários do CEPEL, do departamento de
Otimização e Meio Ambiente (DEA) e em especial aquele que me acolheu nesta
empresa, me conduzindo pelos caminhos da pesquisa com paciência, maestria e
confiança na minha capacidade: meu co-orientador André Luiz Diniz.
Agradeço imensamente aos meus amigos de longa data e a todos com que tive o prazer
de cultivar amizade durante a Graduação e que serão levados para toda a vida. Com
vocês esses anos de curso, que poderiam ser uma difícil jornada, se transformaram em
uma viagem prazerosa e inesquecível, que será sempre lembrada com certa nostalgia e
saudade.
iv
À Marcelle que sempre esteve solicita e disposta a me ajudar e contribuir para meu
sucesso. Obrigada pela paciência, por todo o carinho e amor que me proporcionou.
Agradeço por fim a Deus por minha vida, família e amigos. Pela saúde e força para
superar as dificuldades.
A todos vocês o meu sincero muito obrigado.
“Because limits, like fears, are often
just an illuision”
- Michael Jordan
v
Resumo do Projeto de Graduação apresentado à Escola Politécnica/ UFRJ como parte
dos requisitos necessários para a obtenção do grau de Engenheiro Eletricista.
COORDENAÇÃO HIDROTÉRMICA DE MÉDIO PRAZO
USANDO UMA FUNÇÃO DE PRODUÇÃO
HIDROELÉTRICA MÚLTIPLA
Renan Monteiro de Andrade
Abril/2016
Orientador: Carmen Lúcia Tancredo Borges, D.Sc.
André Luiz Diniz Souto Lima, D.Sc.
Departamento: Engenharia Elétrica
Apresenta-se um modelo agregado para a função de produção hidroelétrica, que
condensa em uma única função a geração em um conjunto composto por reservatórios de
montante e diversas usinas a fio d´água a jusante em um trecho de cascata. Obtém-se
uma expressão exata da geração desse conjunto de usinas a partir dos armazenamentos e
defluências dos reservatórios de montante e realiza-se uma aproximação linear por partes
dessa função. Essa estratégia permite reduzir a complexidade do problema de
planejamento da operação hidrotérmica de médio/longo prazos, ao mesmo tempo em que
se representam aspectos importantes da operação individualizada das usinas, sendo uma
alternativa competitiva ao uso de reservatórios equivalentes de energia.
Palavras-chave: Função de Produção Hidroelétrica, Planejamento Hidrotérmico,
Modelo Linear por Partes, Programação Linear.
vi
Abstract of Graduation Project presented to POLI/UFRJ as a partial fulfillment of the
requiremnts for the degree of Electrical Engineer
AN EXACT MULTI-PLANT HYDRO POWER PRODUCTION
FUNCTION FOR MID/LONG TERM HYDROTHERMAL
COORDINATION
Renan Monteiro de Andrade
April/2016
Advisors: Carmen Lúcia Tancredo Borges, D.Sc.
André Luiz Diniz Souto Lima, D.Sc.
Department Electrical Engineering
This paper proposes a new exact “Multi-plant hydro production function (MHPF)”, which
depends on the storage and discharge of a given reservoir power plant and comprises not only
its generation but also the power output to all subsequent run-of-the-river plants until the next
reservoir. Based on this function we build a piecewise linear model that can be embedded in
stochastic linear programs for optimal hydrothermal coordination.
Keywords: Hydroelectric power generation, linear programming, power generation
planning.
vii
Sumário
1.
INTRODUÇÃO.............................................................................................................1
1.1
Contexto ...................................................................................................................... 1
1.2
Objetivos e Relevância do Trabalho ............................................................................ 2
1.3
Organização / Estrutura da Dissertação ...................................................................... 4
2.
FUNÇÃO DE PRODUÇÃO HIDROELÉTRICA ....................................................................5
2.1
Função de produção exata (FPH) ................................................................................ 6
2.2
Função de Produção Hidroelétrica Aproximada Individual ........................................ 9
3.
2.2.1.
Modelo Linear por partes com variável defluência ........................................... 14
2.2.2.
Modelo Linear por partes com turbinamento e vertimento independentes .... 15
FUNÇÃO DE PRODUÇÃO HIDROELÉTRICA MÚLTIPLA ................................................. 16
3.1
Identificação de uma usina agregada ....................................................................... 17
3.2
Exemplo de cálculo da FPHM - caso simples (usinas em série) ................................ 18
3.3
3.4
4.
3.2.1.
Apenas uma usina a fio d´água .......................................................................... 18
3.2.2.
Diversas usinas a fio d´água ............................................................................... 20
Caso em V .................................................................................................................. 21
3.3.1.
Representar como uma única usina .................................................................. 22
3.3.2.
d’água
Utilizar modelos diferentes para os reservatórios e o conjunto de usinas a fio
24
Algoritmo de Identificação de uma Usina agregada ................................................. 25
CÁLCULO DA ENVOLTÓRIA CONVEXA........................................................................ 28
4.1
Algoritmos para a construção da envoltória convexa............................................... 29
4.1.1.
Brute Force:
4.1.2.
Gift Wrapping:
........................................................................................... 30
....................................................................................... 30
viii
4.2
5.
4.1.3.
Divide-and-Conquer:
4.1.4.
Quick Hull:
...................................................................... 31
........................................................................... 31
Implementação no programa ................................................................................... 32
4.2.1.
Dados de Entrada ............................................................................................... 32
4.2.2.
Construção dos planos ....................................................................................... 33
4.2.3.
Saída ................................................................................................................... 34
4.2.4.
Análise de Sensibilidade .................................................................................... 34
MODELO LINEAR POR PARTES PARA A FPHM ............................................................ 37
5.1
Hipóteses iniciais e dados disponíveis ...................................................................... 38
5.2
Cálculo da função exata em uma grade de discretização. ........................................ 39
5.3
Cálculo da envoltória convexa .................................................................................. 40
5.4
Aplicação de um fator de ajuste ............................................................................... 41
5.5
Expressão final para a função ................................................................................... 42
6.
REFORMULAÇÃO DO PROBLEMA DE COORDENAÇÃO HIDROTÉRMICA
CONSIDERANDO A MODELAGEM PROPOSTA ............................................................ 44
6.1
Função Objetivo ........................................................................................................ 45
6.1.1.
6.2
6.3
6.4
6.5
6.6
Penalidades para violação de restrições............................................................ 46
Função de produção hidroelétrica ............................................................................ 46
6.2.1.
Formulação com gerações individuais ............................................................... 46
6.2.2.
Formulação com FPHAG .................................................................................... 46
Balanço hídrico .......................................................................................................... 47
6.3.1.
Formulação Tradicional ..................................................................................... 47
6.3.2.
Formulação com FPHAG .................................................................................... 48
Atendimento à demanda .......................................................................................... 49
6.4.1.
Formulação Tradicional ..................................................................................... 49
6.4.2.
Formulação com FPHAG .................................................................................... 50
Limites para as variáveis de geração ......................................................................... 50
6.5.1.
Formulação Tradicional ..................................................................................... 50
6.5.2.
Formulação com FPHAG .................................................................................... 51
Limites para as variáveis de operação hidráulica...................................................... 51
6.6.1.
Formulação Tradicional ..................................................................................... 51
6.6.2.
Formulação com FPHAG .................................................................................... 52
ix
6.7
7.
Síntese das modificações .......................................................................................... 52
PÓS-PROCESSAMENTO APÓS A RESOLUÇÃO DO PROBLEMA PARA OBTER
OPERAÇÃO INDIVIDUALIZADA DAS USINAS............................................................... 53
7.1
Gerações individuais ................................................................................................. 53
7.2
Operação hidráulica .................................................................................................. 54
8.
RESULTADOS NUMÉRICOS PARA O SISTEMA BRASILEIRO .......................................... 56
8.1
Analise do formato da FPHM .................................................................................... 56
8.2
Modelagem linear por partes da FPHAG .................................................................. 62
8.3
9.
8.2.1.
Descrição do sistema ......................................................................................... 63
8.2.2.
Inequações construídas para algumas usinas agregadas .................................. 64
8.2.3.
Análise dos desvios ............................................................................................ 67
Problema de coordenação hidrotérmica com a FPHAG ........................................... 69
8.3.1.
Análise do tamanho do problema ..................................................................... 71
8.3.2.
Análise do custo computacional ........................................................................ 73
CONCLUSÕES ........................................................................................................... 76
9.1
Considerações Gerais ................................................................................................ 76
9.2
Trabalhos Futuros ..................................................................................................... 78
10.
REFERÊNCIAS ........................................................................................................... 79
11.
APÊNDICE A : COEFICIENTES DOS PLANOS QUE FORMAM AS ENVOLTÓRIAS
CONVEXAS DAS USINAS AGREGADAS PARA O CASO DE 50 USINAS ( SEÇÃO 8.2 ) ....... 82
x
1.
Introdução
1.1
Contexto
Em sistemas de energia elétrica com base hidrotérmica, o problema do Planejamento da
Operação Energética, ou Coordenação Hidrotérmica, pretende estimar quanto deve
produzir cada usina hidroelétrica – UHE e Usina Termoelétrica – UTE ao longo de um
determinado horizonte de tempo, de modo que a demanda de energia seja atendida de
maneira confiável e otimizada, isto é, ao menor custo de operação possível, satisfazendo
porém determinados critérios de segurança. O uso adequado da energia hidroelétrica,
disponível em quantidades limitadas na forma de água armazenada nos reservatórios,
torna a operação do sistema complexa, pois estabelece um compromisso entre a decisão
de operação imediata e as consequências futuras desta decisão. No Brasil, tem-se
utilizado já há bastante tempo uma cadeia de modelos para a coordenação hidrotérmica
[1], cuja integração em geral é feita através do estabelecimento de valores da água.
O foco dos modelos de mais longo prazo, na cadeia da coordenação hidrotérmica, é a
modelagem das incertezas, em especial as vazões afluentes aos reservatórios [2] e [3],
enquanto os componentes do sistema são representados com menos detalhamento.
Desse modo, é comum a utilização de uma modelagem equivalente para os reservatórios
e a consideração da transmissão apenas por meio de grandes troncos, como em [1] e
[4].
Em horizontes de apenas alguns meses, com discretização semanal, a importância de
uma modelagem individualizada [5] das UHEs passa a ser discutida, podendo-se adotar
uma abordagem híbrida, onde parte do sistema é composto de usinas individualizas e
parte por reservatórios equivalentes [6].
1
Finalmente, para o problema de programação diária se torna de grande importância uma
representação com detalhes da operação das unidades térmicas e hidroelétricas. Além
disso, a rede elétrica pode também ser modelada de forma mais profunda [7] e [8].
Este trabalho será focado, em específico, para modelos de médio prazo, que consistem
em determinar uma política de operação para as usinas do sistema, ao longo de um
horizonte de vários meses ou anos, de forma que a função objetivo, que pode incorporar
tanto aspectos associados ao custo de operação como critérios de segurança operativa
[9], seja minimizada.
1.2
Objetivos e Relevância do Trabalho
Um aspecto de fundamental importância nos modelos de coordenação hidrotérmica é a
modelagem da geração das usinas hidroelétricas, que como será mostrado adiante, é em
geral uma função não linear do seu estado – volume armazenado e de sua operação –
turbinamento e vertimento. Essa função costuma ser chamada de “Função de Produção
Hidroelétrica Individual” – FPH. Modelos aproximados, que linearizam essa função
sem perder a característica da produtividade variável das usinas, para serem usados no
problema de despacho hidrotérmico como um problema de programação linear (PLL)
foram criados sob diferentes formulações.
Nos modelos de médio e longo prazo que se utilizam de equivalentes para as UHE, a
produtividade variável dessas usinas podem ser representadas, por exemplo, por meio
de parábolas que ajustam algumas grandezas associadas ao reservatório equivalente,
como a energia afluente e a geração máxima [4]. Pode-se também utilizar uma função
não linear que relaciona a geração do reservatório equivalente com seu deplecionamento
[1]. Essas funções conseguem considerar, de forma generalizada, a variação da
produtividade com o nível de armazenamento nos reservatórios. Porém, perde-se certa
acurácia na modelagem do parque hidráulico, pelo fato de ser representar a operação das
usinas hidroelétricas por meio de balanços de energia.
No modelo individualizado, se considera a representação da operação individual de cada
uma das UHEs presentes no sistema e formulam-se diretamente os balanços hídricos.
Isso permite maior acurácia na representação de diversos aspectos e no problema como
um todo, porém para a coordenação hidrotérmica com um horizonte longo e um grande
2
cenário hidrológico, essa representação individualizada da geração pode levar o sistema
a tempos computacionais impraticáveis para resolver o problema.
Esse trabalho irá apresentar um novo tipo de representação do parque elétrico, que
consiste em um modelo intermediário entre a modelagem equivalente a individualizada
das UHEs, onde usinas com reservatório são agrupadas com sequencias de usinas a fio
d’água a jusante nas cascatas, compondo o que denominaremos de Usinas “Agregadas”.
Esse modelo agregado foi idealizado com base na constatação de que a operação do
parque hidráulico é ditada pelos reservatórios, uma vez que as fio d’água irão
naturalmente defluir, por turbinamento ou vertimento, toda a água proveniente das
usinas de montante e das afluências naturais incrementais. Essa representação não
impede que se represente no problema de coordenação hidrotérmica os aspectos
principais da operação individualizada de todas as usinas do sistema, como o balanço
hídrico, afluências naturais, evaporação, a função de produção hidroelétrica e eventuais
restrições de defluência / afluência mínima para as usinas hidroelétricas, sem premissas
de operação pré-estabelecidas.
Dessa maneira, precisamos construir funções de produção apenas com base nas usinas
com capacidade de regulação (reservatório), sem perda sensível de acurácia e com a
principal vantagem de diminuir razoavelmente o número de equações e restrições no
problema de programação linear (PLL) para o despacho hidrotérmico.
O foco desse documento será a modelagem da geração de tais usinas agregadas, o que
se denominou de “Função de Produção Hidroelétrica Múltipla” (FPHM) e, baseado em
[12], realizar uma aproximação dessa função por um modelo linear por partes,
necessário para a resolução do despacho hidrotérmico por um problema de programação
linear (PLL). Essa função aproximada será chamada de “Função de Produção
Hidroelétrica Múltipla Aproximada” (FPHAG).
Na importância de sempre se buscar modelos mais sucintos, com menor custo
computacional e trade-off entre esse custo e a acurácia do modelo, ressalta-se que a
abordagem proposta neste trabalho é particularmente interessante na coordenação
hidrotérmica de mais longo prazo, visto que nestes modelos consideram-se usualmente
como reservatórios apenas usinas com regularização mensal, o que propicia a existência
de diversas usinas com modelagem a fio d’água na topologia. Além disso, alguns
3
aspectos que não poderiam ser representados pelo modelo agregado já não são
considerados em geral para horizontes mais longos, como, por exemplo, o unit
commitment das usinas hidroelétricas, tempos de viagem da água, restrições de rampa
de geração e restrições elétricas internas aos subsistemas de energia.
1.3
Organização / Estrutura da Dissertação
A Dissertação está dividida em 8 capítulos. Este Capítulo apresentou uma introdução ao
projeto desenvolvido e retratado neste trabalho, introduzindo os diversos conteúdos
teóricos necessários a um entendimento amplo do objeto de estudo.
O Capítulo 2 descreverá a Função de Produção Hidroelétrica para uma usina
hidroelétrica, abrangendo a função exata e a Função aproximada pelo modelo linear por
partes, onde serão discutidas duas vertentes para a obtenção desse modelo quanto à
operação hidráulica.
O Capítulo 3 aborda a Função de produção Hidroelétrica Múltipla, tratando do método
para a identificação de uma usina agregada e o algoritmo correspondente criado, até
exemplos de cálculo dessa função para casos específicos e opções que podem ser
levadas em conta ao modelar a FPHM.
No Capítulo 4 são apresentados algoritmos existentes para o cálculo da envoltória
convexa de uma grade de pontos e a implementação desse cálculo para o modelo
agregado. O cálculo da envoltória convexa, como será mostrado neste trabalho, é
necessário para a aproximação da FPHM por um modelo linear por partes – FPHAG.
O Capítulo 5 apresenta o modelo linear por partes para a Função de Produção
Hidroelétrica Múltipla.
Os Capítulos 6 e 7 tratam do problema de coordenação hidrotérmica, considerando o
uso da FPHAG e das alterações realizadas nas restrições do PLL e no pósprocessamento do problema.
Já o Capítulo 8 apresenta os resultados numéricos para exemplos de cascatas de usinas
no Sistema Brasileiro.
Por fim, o Capítulo 9 aborda as conclusões e algumas sugestões de trabalhos futuros.
4
2.
Função de produção hidroelétrica
A geração de energia elétrica em um aproveitamento hidrelétrico é dada através das
unidades hidrelétricas, compostas pelo conjunto turbina-gerador. Em certo instante de
tempo, a quantidade de água armazenada no reservatório, sendo a fonte de energia
potencial gravitacional acumulada, é transformada em energia mecânica quando a água
passa pela turbina, provocando assim o torque necessário no eixo do gerador para a
conversão dessa energia mecânica em energia elétrica. Na Figura 1. podem ser vistos os
componentes básicos de uma usina hidroelétrica - UHE típica.
Figura 1. Componentes básicos de uma UHE [20]
Neste capitulo serão mostradas as equações para o cálculo da função de produção
real/exata de uma usina hidroelétrica assim como dois tipos de abordagens para se
5
representar a função de produção, que é não linear como será mostrado a seguir, em um
problema de Programação Linear ( Planejamento da Operação ), sem perder a
característica da produtividade variável da usina.
2.1
Função de produção exata (FPH)
A potência de uma unidade geradora de uma usina hidroelétrica corresponde ao produto
entre sua vazão turbinada
e sua produtividade, , a qual é expressa pelas relações:
(1)
(2)
Onde
é o rendimento da turbina (%),
de água armazenada na usina,
o rendimento do gerador (%),
é a vazão turbinada total da usina e
é o volume
é a quantidade de
água, ou vazão, vertida.
O rendimento do grupo turbina-gerador, , dado pelo produto entre
e
é obtido
através de uma relação não-linear envolvendo a vazão turbinada e a altura de queda
líquida hl , normalmente expressa através das curvas de desempenho da turbina,
denominadas curvas-colinas [21]. Neste trabalho, considera-se constante, já que o
horizonte de análise é de mais longo prazo. Assim, definindo produtividade especifica
, temos:
(3)
A altura líquida de queda, por sua vez, é definida como:
(4)
6
hmon é a cota do reservatório da usina (cota de montante), que é uma função não linear
do volume armazenado . A cota de jusante, h jus , é dada pela curva-chave do canal de
fuga, a qual é função não linear da vazão turbinada total da usina Q e, dependendo da
configuração, da usina, também da vazão vertida S. Normalmente, as curvas cotavolume
e a vazão-cota de jusante (curva-chave)
são expressas
como polinômios de quarta ordem [17]:
(5)
Além disso, para o cálculo da altura de queda líquida é necessário considerar o
coeficiente de perdas hidráulicas da Usina, expresso em altura(m) ou percentual da
queda:
=
–
– perdas (m ou %)
(6)
Portanto,
(7)
E por fim, temos que a expressão geral para a produção de uma unidade geradora é dada
da seguinte forma:
(8)
7
Como não se deseja detalhar a operação individual das unidades geradoras presentes na
usina, é interessante se determinar a expressão para a geração total da usina (
corresponde à soma das gerações de suas
), que
unidades.
(9)
Considerando essas relações, a geração elétrica total de uma usina é uma função nãolinear de
, sendo denominada Função de Produção Hidroelétrica (FPH) . A
Figura 2 mostra o gráfico dessa função para a Usina de Tucuruí.
Figura 2. Função de Produção Exata para a Usina de Tucuruí [12]
Ressalta-se que, pela Equação (8), há uma interdependência entre as gerações das
unidades de uma mesma usina, já que o turbinamento total da usina
influencia na
geração individual das unidades, não apenas pela diminuição da cota de montante (
efeito significativo apenas nas usinas com pequeno reservatório ) , mas também pela
elevação da cota do canal de fuga.
Outros fatores que complicam a modelagem da FPH das usinas são:
 As zonas proibidas de geração das unidades geradoras;
 O número de unidades acionadas da usina;
 A sequencia na qual se dá o acionamento das unidades.
8
Todos estes aspectos tornam a modelagem da geração hidroelétrica uma tarefa bastante
complexa. Se considerarmos uma determinada cota de montante para o reservatório, e
estabelecermos uma ordem para o acionamento das unidades, pode-se derivar uma
curva para a geração da usina como um todo [14], [15], [16],ilustrada na Figura 3.
Figura 3. Função de produção típica para uma usina hidroelétrica com três unidades geradoras.
[21]
Por fim, uma vez que os programas desenvolvidos para o planejamento da operação
hidrotérmica baseiam-se na resolução de um problema de otimização através de
programação linear, são necessárias aproximações lineares para essa função de
produção exata com o fim de ser representada corretamente dentro do problema.
2.2
Função de Produção Hidroelétrica Aproximada
Individual
A seguir, descrevem-se todos os passos da construção da função de produção
hidroelétrica aproximada (FPHA). Também são discutidas duas estratégias quando a
consideração do vertimento para a construção da função, o que será visto com mais
detalhes no passo cinco. As referências para esses modelos são os trabalhos [12] e [5].
Passo 1. Hipóteses Iniciais e dados disponíveis.
Assume-se um fator de eficiência constante
perdas hidráulicas
para o conjunto turbina-gerador. As
são calculadas como um percentual da geração, e não variam
9
com a vazão defluente. Ambos os parâmetros podem ser computados a priori a partir do
estado do reservatório (volume armazenado) no início do período de estudo, e uma
estimativa da vazão média defluente ao longo do período de programação. As zonas
proibidas de geração são ignoradas.
A cota de montante do reservatório é calculada por um polinômio de quarto grau em V,
e a curva-chave do canal de fuga é um polinômio de quarto grau de Q e, em algumas
usinas, da soma de Q e S. A produtividade por unidade de queda de cada usina
(comumente denominada de produtibilidade específica), expressa em
é conhecida.
Os coeficientes de evaporação mensal dos reservatórios são dados. Os limites para o
volume armazenado, turbinamento, vertimento e geração hidroelétrica também são
todos conhecidos. A grande maioria destes dados está contida no arquivo de cadastro de
usinas hidroelétricas, fornecidos pelo ONS – Operador Nacional do Sistema.
Passo 2. Determinação da grade de discretizaçao
Define-se uma grade de pontos no plano
. O número de pontos e sua distribuição
dependem da precisão desejada para o modelo e do comportamento da função de
produção real de cada usina:
 Uma grade com mais pontos tem melhor acurácia, porém perde-se tempo em
processamento (CPU).
 Discretizar com uma janela/distribuição maior
resulta em uma maior
abrangência para a função, porém com maiores desvios entre a FPH e a FPHA
próximo de
, em relação a usar uma janela menor para V.
Para cada ponto, representado pelo par
, a geração hidroelétrica
é
obtida pela expressão abaixo
GH  9.8110 3 Q (hup (V )  hdw (Q, S )  h perdas )
Obtendo-se assim um conjunto N de pontos no espaço tridimensional.
10
(10)
Passo 3. Calculo da envoltória convexa
Mesmo que a função seja côncava no plano referente ao turbinamento, a função tridimensional FPH = GH(V,Q) apresentará em geral um comportamento não côncavo,
devido ao produto entre o turbinamento e a altura de queda na expressão (1). Desta
forma, para tornar possível a construção de um modelo linear por partes, deve-se,
inicialmente, ajustar uma envoltória convexa para a região abaixo da curva da FPH.
Essa envoltória é definida como a “menor” função côncava cujo gráfico está acima da
função original não-côncava, em todos os seus pontos.
Calcula-se a envoltória convexa de
, onde M é o conjunto de pontos necessários
para se definir uma região compacta abaixo da curva
Um algoritmo
particular, “ad-hoc” [4], que leva em consideração o conhecimento que se tem sobre a
forma da função de produção, é utilizado em [7]. A Figura 4 mostra a convexificação da
área abaixo de GH apenas para a variável
, para melhor
visualização.
Figura 4. Convexificação da área abaixo da curva da função de produção para Qdef
As equações dos planos que definem C consistem em um modelo inicial para a FPHA, o
qual é denotado por FPHA0, e expresso por:
GH i ' (V , Q)  min ( GH ik ' (V , Q) ) ,
k
11
k  1,..., K i
(11)
Onde GH ik ' (V , Q)   0 i ,k   V i ,k V   Q i ,k Q , e K i é o numero de hiperplanos gerados na
aproximação da FPHA da usina .
Um aspecto interessante que merece ser destacado é que, se a FPH for mal comportada
(ou seja, não côncava) em uma grande parte da grade definida no plano VQ, aumentar
o número de pontos na discretização não resultará em um modelo mais acurado, uma
vez que todos os pontos na região não côncava da curva serão eliminados durante o
cálculo da envoltória convexa.
Após a aplicação da envoltória convexa, obtém-se um modelo inicial denominado
FPHA0, que seria representado por uma função côncava e linear por partes, construída
diretamente a partir do subconjunto de planos que compõem a envoltória convexa.
Entretanto, esse modelo é, em geral uma aproximação otimista da FPH devido ao seu
comportamento levemente côncavo, ou seja, o valor de geração FPHA0(V,Q) tende
maior ou igual ao valor exato GH(V,Q) obtido pela Expressão (1). Esse efeito é
reduzido com a aplicação de um fator de correção, como será apresentado a seguir.
Passo 4. Aplicação de um fator de correção
Uma representação mais realista pode ser obtida aplicando-se um fator de correção 
para o modelo FPHA0, calculado de forma a minimizar o desvio quadrático médio entre
a FPHA0 e a FPH, considerando ainda somente o plano VQ, com valores nulos para
vertimento.
FPHA(V , Q)   FPHA0 (V , Q)
(12)
Este procedimento é ilustrado na Figura 5 para um valor fixo de volume armazenado.
12
Figura 5. Esquema ilustrativo do ajuste realizado na FPHA0 na grade V  Q, para minimizar o erro
médio quadrático em relação à FPH.
O fator de correção  é calculado de forma a minimizar o erro médio quadrático entre a
função exata GH(V,Q) e os valores corrigidos (após a aplicação desse fator) para a
FPHA, considerando uma amostra significativa de m  n pontos quaisquer na região de
ajuste:
RMS 
1 m n
GH (vi , q j )   .FPHA0 (vi , q j )2

mn i 1 j 1
(13)
O valor de  que minimiza a expressão (13) acima é dado por :
m

n
 FPHA (v , q )GH (v , q )
0
i 1 j 1
m
i
j
i
j
(14)
n
 FPHA (v , q )
0
i 1 j 1
i
2
j
Passo 5. Expressão final para a função
A expressão final para a função de produção aproxima dependerá da abordagem
escolhida quanto à consideração do vertimento de forma explicita como uma variável
independente
ou se apenas o consideramos implicitamente na variável Defluência .
13
2.2.1.
Modelo Linear por partes com variável defluência
Nesta abordagem, representa-se o turbinamento e vertimento por apenas uma variável,
denominada vazão defluente , como em [5].
(15)
Portanto, de acordo com os procedimentos descritos nas seções anteriores, a geração das
usinas hidráulicas no problema de otimização de despacho hidrotérmico é modelada
pelas seguintes restrições:
GHi ,t   (  0
i,k
t
  V V i   D Dit )
i,k
i,k
k  1,..., K i
GHi ,t  GH i ,t
Para cada usina i=1,..., NH e período t=1,..., T, onde:
: número de hiperplanos (cortes) da função de produção da usina i.
: parâmetros de cada hiperplano k.
Volume armazenado médio da usina i durante o estágio t
vazão defluida pela i-ésima usina durante o estágio t
geração da i-ésima usina durante o estágio t
geração máxima na i-ésima usina durante o estágio t
número de usinas hidroelétricas na configuração
número de intervalos de tempo.
14
(16)
2.2.2.
Modelo Linear por partes com turbinamento e vertimento
independentes
Esta abordagem, desenvolvida em [12], representa o vertimento como uma variável
independente na função de produção. Além de ter uma maior acurácia, devido ao
tratamento diferenciado das variáveis Q e S, é particularmente interessante em casos
onde a usina verte sem atingir seu turbinamento máximo.
Entretanto, a análise de diversas usinas mostra que a função de produção hidroelétrica
tem uma forma convexa na dimensão do vertimento, vide a Figura 2, para valores fixos
de volume armazenado e turbinamento. Devido a esta propriedade, não é possível
realizar, para o vertimento, a mesma aproximação linear por partes descrita
anteriormente nas dimensões de
e
aproximação por secante na dimensão
. Para contornar este problema utiliza-se uma
para cada par
da grade de pontos, como
mostram as expressões abaixo.
GH ik (V , Q, S )  GH ik ' (V , Q)   S
Onde,
S
i ,k
i,k
S,
k  1,..., K i
2
 n  FPH (V , Q, S j ) 
 
1
 
 arg min   
 n j 1  (GH ik ' (V , Q)   S j )  



(17)
(18)
Dessa maneira e seguindo os mesmos procedimentos realizados anteriormente, a
formulação matemática da FPHA multivariada considerando o vertimento é:
GH it   (  0 i , k   V i ,k Vi t   Q i , k Qit )   S i , k S it ,

0  GH it  GH i ,

t
0  Qi  Qi ,

t
0  S i  S i ,
Para i  1,..., NH , t  1,..., T , k  1,..., K i onde NH é o número de usinas hidroelétricas e
T é o número de intervalos de tempo. Os parâmetros de cada hiperplano k são :
15
3.
Função de Produção Hidroelétrica
Múltipla
Como visto anteriormente, a modelagem da geração das usinas hidroelétricas é uma
função não linear do seu estado – volume armazenado – e de seu ponto de operação –
vazão turbinada e vertida.
A operação do parque hidráulico pode, então, ser ditada apenas pelo funcionamento de
usinas que contenham reservatórios com regulação de vazão, mesmo considerando a
modelagem individualizada das usinas hidroelétricas. Isso porque as usinas sem
regularização
(chamadas
de
usinas
a
fio
d’água)
inerentemente
defluem,
preferencialmente por turbinamento, as afluências provenientes das usinas de montante
e suas próprias afluências naturais.
Baseado nisso e na topologia hídrica do sistema, é possível idealizar conjuntos de usinas
hidroelétricas que condensem reservatórios com seqüências de fio d’água a jusante, até
que seja encontrado novo reservatório ou o oceano, fechando a cascata (vide seção 3.1) .
A esse conjunto de usinas em que se subdivide uma cascata deu-se o nome neste
trabalho de usina “agregada”. Nos modelos de coordenação hidrotérmica de horizonte
maiores, usualmente se considera apenas usinas com regularização mensal como
reservatório, o que faz com que existam diversas usinas com modelagem a fio d’água na
topologia. Portanto, tal abordagem se torna especialmente interessante para tais
modelos.
Ainda, nessa nova modelagem proposta, os aspectos principais da operação
individualizada de uma usina, como as afluências naturais, função de produção
hidroelétrica, balanço hídrico e eventuais restrições de afluência ou defluência, podem
16
ser representados. Existem aspectos que não podem ser exibidos nessa modelagem,
como por exemplo os tempos de viagem da água, o unit commitment das usinas
hidroelétricas, restrições elétricas internas aos subsistemas e restrições de rampa.
Porém, tais aspectos já não costumam ser considerados, em geral, em modelos de
médio/longo prazo.
3.1
Identificação de uma usina agregada
A identificação de uma usina agregada, teoricamente, não é complicada. Considere a
seguinte topologia de usinas hidroelétricas individualizadas, vide Figura 6 (a), onde as
usinas com regularização são exemplificadas por triângulos e as fio d’água por círculos.
Começando-se por um ou mais reservatórios em paralelo, as usinas fio d’água a jusante
na cascata são adicionadas ao conjunto até que se atinja uma usina de regularização.
Nesse momento, “quebra-se” a cascata e dá-se inicio uma nova usina agregada, como
mostra a Figura 6 (b).
(a)
(b)
Figura 6. Topologia de usinas agregadas (b), construída com base na topologia de usinas
individualizadas (a).
Quando uma cascata possuir mais de uma usina com reservatório em paralelo - vide a
cascata D e a conseqüente usina agregada na Figura 6 – a modelagem se torna mais
complexa e podemos propor duas maneiras de se estruturar a topologia das agregadas
para esse caso de reservatórios “em V”, que serão analisados em mais detalhes na seção
3.3.
17
Portanto, para cada uma dessas usinas agregadas, pode ser obtida uma “Função de
produção hidroelétrica múltipla (FPHM)”. Isso nos proverá a exata geração de cada
conjunto, sem aproximações, baseado na defluência dos reservatórios a montante e no
vetor de afluências naturais das usinas fio d’água. Ressalta-se que, como esta função
depende dos valores de vazão afluente natural às usinas que compõem a usina agregada,
será necessária uma função de produção para cada cenário. Ou seja, enquanto em um
problema determinístico haverá apenas uma FPHM por período, em um problema
estocástico será construída uma FPHM para cada cenário.
A seguir, mostram-se os cálculos para a obtenção dessa Função Múltipla para os casos
existentes a partir da topologia hidrológica do sistema e, por fim, demonstra-se parte da
lógica existente no algoritmo criado para a identificação e criação das Usinas Agregadas
3.2
Exemplo de cálculo da FPHM - caso simples (usinas
em série)
Nesse caso, a usina agregada é composta de apenas um reservatório de montante com
várias usinas fio d’água a jusante na cascata, até que se encontre um novo reservatório.
3.2.1.
Apenas uma usina a fio d´água
Primeiramente, vamos exemplificar a idéia do cálculo da geração da usina agregada
para apenas uma usina sem regularização a jusante, como mostra a Figura 7 para depois
generalizar para “N” usinas na cascata.
Figura 7. Esquema de situação topológica de caso particular com somente uma usina a jusante na
cascata
Os dados de entrada da função são a defluência
afluência incremental à usina a fio d’água
18
do reservatório, seu volume
ea
Decidida uma defluência
para a usina de montante, seu turbinamento
podem ser expressos na equação abaixo, onde
e vertimento
é a restrição operativa da usina
com relação à vazão máxima suportada por seu conjunto de turbinas.
(19)
Desse modo, tem-se que a geração
do reservatório é:
(20)
Onde FPH é a função de produção exata da usina, como explicado na seção dois.
Seguindo a cascata, para a usina 2 (dois), considerando
a afluência que chega à usina
hidrelétrica e que esta só irá verter ao atingir seu turbinamento máximo
,
podemos escrever, de maneira similar:
(21)
Lembrando que
é constante por se tratar de uma usina sem regularização.
Dessa maneira, teríamos que a geração dessa usina agregada corresponde à soma dessas
duas gerações encontradas.
(22)
19
3.2.2.
Diversas usinas a fio d´água
Para um caso mais geral, onde há
usinas sem regularização em cascata, como
na Figura 8, estendem-se os cálculos da geração em cada usina fio d’água n, de modo
que o seu turbinamento será a soma da defluência no reservatório com as incrementais
de todas as usinas a fio d’água à montante. Caso esse turbinamento tenha chegado ao
limite de restrição operativa da hidrelétrica, o turbinamento é estabelecido no máximo
operacional definido e verte-se a água restante. Considerando que as usinas são
indexadas de ordem crescente de montante para jusante, tal raciocínio é formulado
abaixo:
(23)
Onde:
E, por conseguinte, a geração da usina agregada
, como função apenas do estado
(volume armazenado) e operação (defluência) da usina de montante é dada por:
(24)
20
Figura 8. Esquema de situação topológica para o caso genérico de diversas usinas fio d’água a
jusante.
3.3
Caso em V
Quando existe mais de uma usina com reservatório defluindo água para o mesmo leito
de um rio, com usinas a jusante, é configurado um caso “em V” ou caso geral. Dessa
forma, existe um número de opções na maneira de ser formar o conjunto das usinas
agregadas, esquematizadas na Figura 9 abaixo.
Figura 9. Diferentes opções de modelagem quando existem dois ou mais reservatórios a montante.
21
A opção (a) e a opção (c) serão tratadas com mais detalhes ainda nesse capítulo. A
primeira opção consiste em incluir os reservatórios e a cascata de fios d’água a jusante
em uma única função; e a última se considera funções individuais para cada reservatório
e uma incluindo todas as usinas sem regularização.
Na opção( b), escolhe-se um reservatório para compor uma função múltipla, como no
caso simples já mencionado, e a geração hídrica dos reservatórios não selecionados é
modelada individualmente. Essa opção não será considerada neste estudo, pois o
interesse primordial é analisar o comportamento da FPHM nas situações mais extremas
(a) e (c).
É válido ressaltar que as ponderações feitas no caso simples serão também utilizadas no
caso em V. Isto é, a geração da usina agregada é função apenas do estado e do ponto de
operação das usinas de montante e a hipótese de que uma usina só irá verter ao atingir
seu turbinamento máximo, definido como uma restrição operativa à vazão das turbinas
de uma usina,
3.3.1.
.
Representar como uma única usina
Suponha, como indicado na Figura 10, que existam
montante e
reservatórios em paralelo à
usinas a fio d’água em cascata a jusante. Os índices de 1 a
compreendem os reservatórios e os subsequentes correspondem às usinas a fio d´água,
indexadas de forma crescente de montante para jusante.
O número de variáveis independentes da função de produção múltipla, no caso de
representarmos todo o conjunto escolhido em apenas uma única usina agregada, será de
. Isso porque cada reservatório contribuirá para a função com um par de variáveis
independentes,
e .
Portanto, utilizando um raciocínio semelhante ao do caso simples, obtém-se a fórmula
para a geração da seguinte maneira:
(25)
22
Onde:
Figura 10. Esquema de situação topológica para o caso genérico com várias usinas a montante.
Conforme já dito, nesse tipo de modelagem, a função de geração possuirá
variáveis
independentes. Desse modo, o cálculo da envoltória convexa, utilizada anteriormente
para se construir o modelo linear por partes para a função de produção hidroelétrica
individual [12] teve de ser estendida para o caso n-dimensional e será objeto de estudo
na seção 4.
Entretanto, o cálculo da envoltória convexa para o caso n-dimensional pode se tornar
muito custoso e pesado, em termos computacionais,
23
posto que a dimensão dos
hiperplanos que a compõem estariam na dimensão
. Na tentativa de
contornar tal problema, foi idealizada a opção a seguir.
3.3.2.
Utilizar modelos diferentes para os reservatórios e o conjunto
de usinas a fio d’água
Uma maneira de se diminuir o número de variáveis na função de produção hidrelétrica
múltipla é apresentada na Figura 11.
Ao invés de agrupar os reservatórios em paralelo e a cascata de fio d’águas a jusante em
apenas um conjunto, consideram-se funções individuais para cada reservatório e uma
função múltipla para o conjunto de fio d’águas. Ou seja, uma usina agregada será
composta apenas da cascata das diversas usinas sem regularização e para cada
reservatório em paralelo a montante é definida outra usina agregada
Os cálculos para os reservatórios utilizam apenas a função de geração individual,
portanto, suas funções de produção, em princípio, serão semelhantes ao modelo
individual apresentada no Capítulo 2. A geração agregada é calculada apenas para as
usinas a fio d´água em cascata a jusante. Dessa maneira, no esquema da figura em
questão, temos que para cada reservatório
:
(26)
A função de produção hidroelétrica múltipla para a cascata de usinas a fio d’água
considerará como parâmetro as defluências de cada usina com reservatório à montante.
Sendo essa cadeia chamada de , como mostra a Figura 11, temos:
(27)
Onde:
24
Figura 11. Detalhamento da criação das usinas agregadas, quando aplicada a proposta de separar
os reservatórios da cascata de usinas a fio d’água.
3.4
Algoritmo de Identificação de uma Usina agregada
O Fluxograma da Figura 12 tenta demonstrar parte da lógica envolvida no algoritmo de
Identificação e criação dessas Usinas Agregadas.
Uma Usina ser “ponta” significa, nessa rotina, que ou ela está a montante de uma
Agregada já formada ou não há usinas á jusante. Portanto, no inicio o algoritmo procura
a usina mais a jusante na Cascata. Caso essa usina seja um reservatório, é formada uma
Agregada com apenas esse elemento, através da chamada da rotina “ADIC_FPHAG.
Caso contrário é dado início o processo de identificação da cascata a montante dessa
Usina através da rotina recursiva “Identifica_Agregada”. Essa rotina identifica à
montante da usina processada, onde alguns casos podem ocorrer:
25
 Usina ser Fio D’água
Nesse caso, a rotina guarda os dados dessa usina e analisa a próxima IUH de
montante, onde IUH refere-se a um índice pré-determinado para cada Usina no
programa.
 Não encontrar Usina
Caso não haja usina de montante, o programa guarda os dados dessa usina como
uma usina de “Fio D’Água de Cabeceira”.
Nesse caso, a usina agregada formada será um conjunto de usinas a fio d’água sem
qualquer reservatório a montante que possa influenciar na vazão afluente que chega
a cada uma dessas usinas. Dessa maneira, sua geração, para cada cenário de vazão
incremental, é fixa e passa a ser calculada a priori. Essas parcelas de geração fixa
serão descontadas da parcela de Demanda na solução do problema de programação
linear para o despacho hidrotérmico.
 Usina ser Reservatório
A rotina quebra a cascata e retorna para a rotina principal, que também pode ser
outra instância (stack) da “Identifica_Agregada” (vide caso abaixo),
com os
elementos identificados
 Mais de uma Usina encontrada (bifurcação)
Caso haja bifurcações na cascata, ou seja, uma usina ter mais de uma montante o
programa chama a si mesmo – recursão – para cada uma dessas montantes,
retomando o processo até que para cada ramo seja encontrado ou um Reservatório
ou uma Fio D’Água de Cabeceira.
Após esses passos, temos todos os elementos identificados e que podem formar uma
Agregada. Porém, pode-se ainda escolher entre as opções (a) e (c) descritas no item 3.2.
Ou seja, caso a cascata identificada possua reservatórios em paralelo, podemos formar
uma única Agregada com todas as usinas ou criar uma contendo apenas o Conjunto de
Fio ’Águas outras para cada reservatório em paralelo.
26
Figura 12. Fluxograma de algoritmo para identificação de uma Usina Agregada
27
4.
Cálculo da envoltória convexa
Encontrar a envoltória convexa ou fecho convexo de um conjunto de pontos é um
problema clássico em Geometria Computacional e, para nosso estudo, condição
necessária para a construção de um modelo linear por partes para a função de produção
tridimensional
que apresentará em geral um comportamento não
côncavo.(Capitulo 2.2 e 5).
De forma geral, dado um conjunto de pontos S, a envoltória convexa deste conjunto é o
menor polígono convexo que contém S. Algumas definições, das muitas existentes para
o fecho convexo, são apresentadas a seguir. [19]
1. Dados dois pontos distintos
, com
segmento
que
e
em
, o segmento
. Um conjunto
é o conjunto de pontos
é dito convexo se
,
o
. Um polígono com um vértice reflexo - ângulo interior maior
- não é convexo. (Figura 13) .
Figura 13. Polígono com vértice reflexo não é convexo [18]
2. Uma combinação convexa de um conjunto de pontos
em
é uma
combinação linear dos pontos em S, podendo ser também um vetor, onde todos
os coeficientes são não negativos e cuja soma é igual a um. Ou seja, dado um
número finito de pontos, a combinação convexa desses pontos é um ponto na
forma
onde
28
e
. Por
exemplo, toda combinação de dois pontos está sobre o segmento de reta que liga
esses pontos.
3. O fecho convexo do conjunto S de pontos em
é o conjunto de todos os
pontos que são combinação convexa dos pontos em S.
4. (Teorema de Carathéodory) O fecho convexo de um conjunto S de pontos em
é o conjunto de todos os pontos que são combinação covexa de n+1 pontos
de S. Logo, a envoltória convexa de um conjunto de pontos no plano é o
conjunto de combinações convexas, nesse caso planos, dos seus subconjuntos
de três pontos.
5. O fecho convexo de um conjunto S de pontos é a interseção de todos os
conjuntos convexos contendo S.
6. O fecho convexo de um conjunto S de pontos em
é a intersecção de todos os
semi-espaços contendo S. Um semi-espaço no plano é um semiplano.
7. O fecho convexo de um conjunto S de pontos no plano é o menor polígono
convexo contendo P que contém S; menor no sentido que não existe outro
polígono P’ tal que
.
8. O fecho convexo de um conjunto S de pontos no plano é o polígono convexo P
com menor área tal que
9. O fecho convexo de um conjunto S de ponto no plano é a união de todos os
triângulos determinados por pontos em S.
4.1
Algoritmos para a construção da envoltória convexa
Com base nas definições apresentadas na seção anterior e em [22] e [23], mostraremos a
ideia de alguns algoritmos, que seguem diferentes abordagens, para a construção do
fecho convexo de um conjunto S de pontos em
29
.
4.1.1.
Brute Force:
Dado um conjunto de pontos P, a idéia é testar cada combinação de (N) pontos, onde N
é a dimensão do problema, e verificar se essa combinação gerou um segmento de reta,
plano, ou hiperplano que pertence à envoltória convexa. Em 2D, o segmento de reta
pertence a envoltória convexa se todos os outros pontos estão abaixo da extensão desse
segmento de reta, como mostra a Figura 14 abaixo.
Figura 14. Exemplo de Brute Force para caso bi-dimensional. [22]
4.1.2.
Gift Wrapping:
Também chamado de Jarvis’s March, a idéia é achar pontos que pertençam à envoltória
convexa se deslocando o menos possível, no sentido angular.
Começando pelo ponto mais a esquerda do conjunto, uma vez que sabemos que este
ponto pertencerá à envoltória, o algoritmo fará vários processos iterativos de modo a
encontrar o vértice, de todos que ele pode se conectar, com o menor deslocamento antihorário de todos. A Figura 15 ilustra esse processo.
Figura 15. Processo de envelopamento de pontos em 2D [22]
30
4.1.3.
Divide-and-Conquer:
O principal “lema” desse algoritmo é que achar a envoltória convexa de pequenos
conjuntos é mais “fácil” do que encontrá-la em conjuntos mais largos.
Porém, é
necessário um modo rápido de se juntar os conjuntos convexos em um, como mostrado
na Figura 16 abaixo. E isso é realizado achando-se as tangentes que ligam esses
conjuntos e descartando os pontos que se localizarem dentro dessa nova envoltória.
Figura 16. Agrupando conjuntos convexos em um [23]
4.1.4.
Quick Hull:
A idéia principal desse algoritmo é descartar pontos que não estão na envoltória
convexa da maneira mais rápida possível, como mostra a Figura 17. Quadrilátero Inicial
no Quick Hull.
Para tanto, o algoritmo, no caso bidimensional, começa computando os pontos de
máximo e mínimo nas coordenadas x- e y-, esses pontos claramente pertencem à
envoltória. Conectando esses pontos é obtido um quadrilátero onde todos os pontos que
estiverem dentro deste polígono podem ser descartados sem qualquer consideração.
Figura 17. Quadrilátero Inicial no Quick Hull.[23]
31
4.2
Implementação no programa
Diante do já mostrado, foi desenvolvido um algoritmo para calcular a envoltória
convexa de N  M, onde M é o conjunto de pontos necessários para se definir uma
região compacta abaixo da curva GH(Q, V). Algoritmos para a determinação de
envoltórias convexas em espaços tridimensionais são custosos do ponto de vista
computacional. Porém, com base na proposta descrita pelo algoritmo Brute Force, foi
desenvolvido em [12] um algoritmo próprio e eficiente que levou em consideração o
conhecimento que se tem sobre a forma da função de produção e pôde ser adaptado as
particularidades da função de produção. Neste trabalho estendeu-se esse algoritmo para
n dimensões, de forma a comportar a nova modelagem da FPHAG para o caso em V,
descrito na seção 3.3.
Esse algoritmo calculará os hiperplanos que definem uma modelagem linear por partes
para a envoltória convexa da região abaixo da curva de produção real da usina (FPH),
tendo como abscissas o plano
. Essa envoltória é definida como “menor”
função côncava cujo gráfico está acima da função original não-côncava, em todos os
seus pontos, e é representado pelo conjunto de
planos ou hiperplanos que passarão a
constituir a FPHA da usina individual ou a FPHAG da Usina Agregada, dependendo da
modelagem adotada.
4.2.1.
Dados de Entrada
A rotina que calculará os planos que definirão a envoltória convexa deve receber como
dados de entrada:

Número de pontos discretizados para a função

Número de dimensões

Os pontos correspondentes as variáveis independentes, ou abcissas, em forma
de Matriz ( No caso em estudo, os pontos de defluência “
” e de volume
útil “ ”.

Os valores da função para cada um desses pontos ( No caso em estudo, a função
de produção da Usina Agregada )
32
4.2.2.
Construção dos planos
Primeiramente, o programa gera de forma recursiva todas as combinações de “n+1”
pontos, onde “n” é o número de abcissas, que poderiam definir planos. Feito isso, são
descartadas as combinações onde os pontos são colineares, uma vez que estas não
geram planos.
Em seguida, a rotina calculará o plano definido por cada uma dessas combinações e
verificará se esse plano pertence à envoltória convexa. Ou seja, para cada combinação
não colinear, são realizados os procedimentos abaixo:
1. Constroem-se as matrizes que definirão o sistema linear do tipo
, onde,
para o calculo dos coeficientes do plano, A é a matriz que corresponde as
coordenadas do ponto “n”, b é o vetor das soluções de cada ponto e x é o vetor
dos coeficientes dos planos. Essas matrizes são exemplificadas para o caso com
três dimensões :
2. Resolve pelo método de Gauss o sistema linear, se este for determinado, para
achar
que será o vetor com os coeficientes dos planos.
3. Verifica se para todos os pontos, com exceção daqueles que formaram o plano,
se o valor do ponto aplicado ao plano é maior que o da função, ou seja, se o
plano criado está sempre acima da função real para todos os pontos.
4. Caso o passo acima (três) seja validado e o plano já não exista, ou não seja
muito "parecido" com algum que já exista, esse plano passa a ser um dos que
irão compor a envoltória convexa. Um plano é semelhante a outro já existente
caso seus coeficientes estejam dentro de certa tolerância em relação à
proximidade com os coeficientes dos planos já existentes. Geralmente, essa
tolerância está na casa dos
casas decimais.
33
4.2.3.
Saída
Por fim, a rotina retorna para o usuário - ou para o programa que a chamou - os
seguintes dados de saída:
 Número de planos que compõem a envoltória convexa
 Os coeficientes de cada hiperplano
 Os “
” pontos que compuseram cada um desses hiperplanos ou planos
No caso em que a entrada é composta pelos pontos discretizados de
Função de Produção Exata da Agregada (
e
e a
), a rotina criada obtém com extrema
acurácia, para a função real, os planos que compõem a envoltória convexa para uma
aproximação linear por partes.
O procedimento para avaliar a acurácia entre o modelo linear por partes criado e a
função real de entrada é descrito a seguir.
4.2.4.
Análise de Sensibilidade
Para avaliar a eficácia do algoritmo criado, pode-se realizar um estudo de sensibilidade,
comparando o valor de uma função real com a aproximação obtida pela aproximação
linear por partes, com base nos seguintes procedimentos:
1. Primeiramente, é montada uma grade de pontos com os valores das variáveis
independentes e da função real.
2. Obtêm-se, pelo algoritmo, os planos que compõem a envoltória convexa para a
região abaixo da função.
3. Monta-se uma grade de pontos com as variáveis independentes, diferente da do
passo um e mais ampla, e calcula-se o valor da função real e da função
aproximada.
4. Computam-se os desvios entre os valores calculados no passo três.
34
A grade de discretização foi montada para um número variável de pontos, enquanto a
grade de pontos para a comparação das funções manteve-se na faixa dos mil pontos.
Os resultados para funções côncavas e convexas genéricas em diversas dimensões
foram promissores. Os desvios encontrados não ultrapassaram o valor de 2%, mesmo
em casos onde a grade de discretização na montagem da envoltória convexa fora criada
com poucos pontos. Como, por exemplo, 3 (três) pontos para cada eixo de variável
independente em um caso da quarta dimensão ou 5 (cinco) pontos em um caso
tridimensional –
É claro que se deve ter um número mínimo de pontos compondo a grade de entrada do
algoritmo, uma vez que se corre o risco de perder a forma da função e,
consequentemente, criar um modelo linear que não representa corretamente uma
aproximação da função real. Tal fato é exemplificado abaixo, para o caso bidimensional
e a função parábola
.
Figura 18. Gráficos mostrando os 3 pontos dados como entrada para o programa e a comparação
entre a função real (
) e o modelo linear criado para uma grade de pontos.
Apenas três pontos não são suficientes para a função ter de fato o contorno de uma
parábola, vide Figura 18. Desse modo, é inviável a criação de uma aproximação que
represente essa função.
35
Com o aumento do número de pontos na entrada da rotina do cálculo da envoltória
convexa, a forma da função é mantida e o modelo linear obtido representará
corretamente a função real. Isso ocorre na Figura 19. Com dez pontos de entrada, os
desvios entre as duas funções ainda pode ser levemente percebido, o que não ocorre, por
captar todas as peculiaridades da função real, no caso com 100 (cem) pontos.
Figura 19. Gráficos de comparação entre a função real e a aproximada
36
5.
Modelo linear por partes para a
FPHM
Nessa seção, será mostrada a aproximação da Função de Produção Hidroelétrica
Múltipla – FPHM, discutida na capitulo 3 (três) – por um modelo linear por partes,
através de uma mescla das metodologias propostas em [12] e [5].
Essa aproximação será uma extensão do que é atualmente feito para a FPHA individual,
mostrada no capitulo 2 (dois), agora para o conceito idealizado de uma usina agregada,
onde a geração dessa usina agregada é representada pela soma das gerações de todas as
usinas que a compõem em função apenas das variáveis operativas das usinas de
montante com armazenamento.
A estratégia para a consideração do vertimento, para esse estudo inicial, será a
representar, para cada usina de montante, o turbinamento e o vertimento como uma só
variável, denominada vazão defluente, como [5] e 2.2.1. Isso foi adotado por duas
razões:
 O efeito da vazão turbinada e vertida das usinas de montante é rigorosamente o
mesmo para as usinas a fio d’agua em jusante
 A representação do vertimento causa um grande aumento na dimensão na função
quando há vários reservatórios em paralelo à montante.
É válido ressaltar que, caso exista alguma Usina Agregada que não tenha em sua
composição um reservatório e também não exista um reservatório mais a montante na
cascata (como quando usamos a opção (c) na seção 3.3.2), sua geração será fixa, em
37
cada período analisado. Portanto, não é necessária a criação de um modelo linear ou
aproximações para essas Usinas Agregadas.
Figura 20. Usina Agregada com apenas fio d’águas, sem reservatório a montante.
A seguir, descrevem-se todos os passos da construção da Função de Produção
Hidroelétrica Aproximada Múltipla – FPHAG:
5.1
Hipóteses iniciais e dados disponíveis
As hipóteses gerais são as mesmas que as assumidas para o modelo individualizado da
seção 2. Ou seja, para cada uma das usinas que compõem a Agregada, assume-se um
fator de eficiência constante para o conjunto turbina-gerador. As perdas hidráulicas
são calculadas como um percentual da geração, e não variam com a vazão
defluente. Ambos os parâmetros podem ser computados a priori a partir do estado do
reservatório (volume armazenado) no início do período de estudo, e uma estimativa da
vazão média defluente ao longo do período de programação. As zonas proibidas de
geração são ignoradas.
A cota de montante do reservatório é calculada por um polinômio de quarto grau em V,
e a curva-chave do canal de fuga é um polinômio de quarto grau de Q e, em algumas
usinas, da soma de Q e S. A produtividade por unidade de queda de cada usina
(comumente denominada de produtibilidade específica), expressa em
é conhecida.
Os coeficientes de evaporação mensal dos reservatórios são dados. Os limites para o
volume armazenado, turbinamento, vertimento e geração hidroelétrica também são
todos conhecidos. A grande maioria destes dados está contida no arquivo de cadastro de
usinas hidroelétricas, fornecidos pelo ONS – Operador Nacional do Sistema.
38
5.2
Cálculo da função exata em uma grade de
discretização.
A definição de uma grade de discretização para a geração da Usina Agregada dependerá
do número de reservatórios que a compõem.
Primeiramente, a variável de volume útil
é discretizada para cada reservatório tendo
como limites suas restrições operativas.
A variável de defluência
também é discretizada para cada reservatório, mas os limites
de defluência mínima e defluência máxima serão os da Usina Agregada que são
calculados da seguinte forma:
 O valor de defluência mínima é dado pelo valor máximo entre os valores de
turbinamento mínimo restritivo das usinas no conjunto formado pelo
reservatório e a cascata de fio d’águas a jusante.
 O valor de defluência máxima é dada pelo valor máximo entre os valores de
turbinamento máximo restritivo das usinas no conjunto formado pelo
reservatório e a cascata de fio d’águas a jusante.
Também são incluídos os pontos de não diferenciabilidade, ver seção 8.1, caso existam.
Esses pontos ocorrem onde o turbinamento máximo de uma das usinas que compõem a
agregada atinge o máximo. Nesse sentido, é importe que se inclua cada um desses
pontos na grade de discretização da função de produção exata – FPHM.
Além disso, podem-se incluir pontos além do turbinamento máximo encontrado para a
Usina Agregada, para que a grade em
contenha pontos onde exista vertimento para
todas as usinas que compõem essa Agregada.
Dessa maneira, a grade de discretização para a defluência englobará os pontos mais
extremos possíveis, melhorando a acurácia do modelo linear por partes a ser criado.
Portanto, para cada ponto
da grade
, onde
é o número
de reservatórios em paralelo na configuração, é calculada a geração da Usina Agregada
pela expressão discutida na seção 3.3.
39
5.3
Cálculo da envoltória convexa
Como função de produção individual em geral apresenta trechos não convexos, o
mesmo pode se esperar para a função agregada. Desta forma, aplica-se o algoritmo
estendido para
(onde
se refere ao número de reservatórios presentes nessa
configuração), discutido no item 4, para obter os hiperplanos que definem a envoltória
convexa da função.
A Figura 21 a seguir ilustra uma região hipotética definida por essa envoltória convexa
tridimensional, denotada por C, onde existia apenas um reservatório na configuração.
Os pontos brancos correspondem àqueles onde a FPHM real não encosta em sua
envoltória convexa, indicando as regiões onde essa função não é côncava.
Figura 21. – Exemplo de envoltória convexa para a região abaixo da FPHM com um reservatório
[21]
Como foi discutido no item 3.3, caso existam situações onde o número de reservatórios
em paralelo torne muito elevado o custo computacional para o calculo da envoltória
convexa da Usina Agregada em questão, pode-se recorrer a decomposições alternativas
para a definição dessa Agregada. A Figura 22 exemplifica o caso onde M = 3, para o
qual a quantidade de variáveis na função agregada é 6, 5, 4 ou 3, nas decomposições (a),
(b) e (c), respetivamente. Nestas variantes, as variáveis da FPHM incluem as
defluências de todos os reservatórios de montante, porém apenas os armazenamentos
40
dos reservatórios da usina agregada (incluídos na região pontilhada). Os demais
reservatórios possuem uma FPHA individual, como em [4].
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
Figura 22. Formas alternativas de definir as usinas agregadas, a fim de diminuir o custo
computacional no cálculo da envoltória convexa da função
5.4
Aplicação de um fator de ajuste
O modelo agregado, assim como o individual, é, em geral uma aproximação otimista da
função de produção exata que, em nosso estudo, consiste na
. Uma representação
mais realista é obtida aplicando-se um fator de correção α, da mesma forma que foi
mostrado no item 2.2 deste trabalho. Esse fator minimiza o desvio quadrático médio
entre a
inicial e a
.
(28)
Este procedimento está ilustrado na Figura 23, para uma agregada com um reservatório
e valor fixo de volume útil.
41
Figura 23. Esquema ilustrativo do ajuste realizado na FPHAG0 na grade D  V, para minimizar o
erro médio quadrático em relação à FPHM.
O cálculo de α é semelhante ao que foi idealizado no modelo linear para usinas
individuais e sua expressão é mostrada abaixo:
m

n
 FPHAG (d , v )GH (d , v )
0
i 1 j 1
j
i
j
(29)
m
n
 FPHAG (d , v )
0
i 1 j 1
5.5
i
i
2
j
Expressão final para a função
Realizado os procedimentos descritos anteriormente, a formulação matemática da
FPHAG a ser utilizado no problema de otimização de despacho hidrotérmico é dada
por:
(30)
para cada Usina Agregada , período e cenário , onde:
42
: número de hiperplanos (cortes) da FPHAG para a usina i, período e cenário
: parâmetros de cada hiperplano
Volume útil do reservatório
Defluência do reservatório
a montante na cascata
a montante na cascata
Geração da -ésima Usina Agregada durante o período e cenário
Geração máxima da -ésima Usina Agregada durante o período
Sendo
o termo independente e
os termos associados ao armazenamento e
defluência, respectivamente, de cada usina de montante, para a
ésima restrição da
ésima usina agregada. Observe que, devido ao impacto das afluências às usinas a fio
d´água na geração da usina agregada, os termos da função variam com o período
cenário .
43
eo
6.
Reformulação do problema de
coordenação hidrotérmica
considerando a modelagem
proposta
Este capítulo tem como objetivo principal a formulação do problema do planejamento
energético de médio / longo prazo, considerando o uso do modelo linear recém-criado
(FPHAG). O planejamento em questão é uma otimização de vários estágios que visa à
minimização do custo total de operação do sistema.
O uso da Função de Produção Hidroelétrica Aproximada Múltipla permitirá que se
resolva o problema de despacho hidrotérmico, considerando ainda as características da
operação individualizada, porém com um número bem menor de equações para as
restrições do problema de programação linear, o que diminui o esforço computacional
do programa sem perda de acurácia.
Para tanto, é necessário uma reformulação do problema de programação linear,
anteriormente criado para o modelo individualizado, por causa das características inatas
ao modelo agregado, como:
 Variável de geração (
) da usina agregada ao invés das gerações individuais
de cada usina
 Eliminação das variáveis e restrições associadas ao balanço hídrico para as
usinas a fio d’água, uma vez que a operação é ditada pelas usinas com
reservatório
44
 Inclusão de parcelas conhecidas a priori no lado direito de algumas restrições,
referentes a operação das usinas a fio d’água “de cabeceira” em cada cenário.
Na sequência, são descritas as principais equações do problema de planejamento da
operação energética, comparando os dois modelos.
6.1
Função Objetivo
Como comentado acima, a função objetivo do problema visa minimizar o valor do custo
total de operação do sistema1. Esse custo é composto pelo custo do combustível das
UTEs ao longo do horizonte de planejamento e a penalidade do déficit.
(31)
Onde:
Custo de operação no período ;
NSIS
Número de subsistemas;
Número de usinas térmicas do subsistema s;
Custo da usina térmica n do subsistema s no período t;
Geração da usina térmica n do subsistema s no período t;
Custo de déficit associado ao subsistema;
Déficit do subsistema s para o período t;
Custo futuro associado ao período t;
Taxa de desconto;
1
Atualmente consideram-se parcelas de aversão a risco na função objetivo, porém isto não tem relação
com a modelagem proposta neste trabalho.
45
6.1.1.
Penalidades para violação de restrições
Para que o problema de programação linear (PPL) seja sempre viável, é utilizado um
artifício, colocando uma variável de folga em cada uma das restrições. Essas variáveis
têm um custo associado, ou penalidade, bem alto, de forma que apenas serão utilizadas
caso o problema seja inviável. Essas folgas, são também otimizadas pela rotina de
resolução do PPL, o que dá um parecer a um usuário experiente sobre qual restrição que
mais está prejudicando o problema e onde possíveis medidas podem ser adotadas de
forma eficiente.
6.2
Função de produção hidroelétrica
Consistem nas expressões finais para o modelo aproximado da função de produção pelo
método linear por partes. Tais expressões foram discutidas nas seções 2.2, para o
modelo individualizado e 5.5, para o modelo agregado.
6.2.1.
Formulação com gerações individuais

GH i ,t   (  0
i ,k
 V
i ,k
t
Vi  Q
i ,k
Qit )   S
0  Qi ,t  Qi ,t
i ,k

S it , k  1,..., Ki ,
(32)
GHi ,t  GH i ,t ,
para cada usina i e período t
6.2.2.
Formulação com FPHAG
(33)
para cada Usina Agregada , período e cenário .
46
Nessa restrição também será tratada a exceção para o caso onde existam agregadas em
um sistema com caso em V, onde a opção (c) discutida na seção 3.3 é tomada. Ou seja,
uma agregada que não contenha reservatórios, com agregadas individuais para cada
reservatório a montante.
Neste caso, a restrição para essa Usina Agregada em especial será:
(34)
Portanto, foi construído um modelo próprio para essa usina agregada. Mas é garantido,
com essa modificação, que sua operação é definida pela defluência dos reservatórios a
montante.
6.3
Balanço hídrico
Segundo o princípio de conservação da massa, o volume da água que aflui a um
reservatório deve ser igual ao volume que deflui do mesmo, em qualquer instante de
tempo. Dito de outro modo, a quantidade de volume que chega ao reservatório deve ser
igual à soma dos volumes evaporado, infiltrado, deplecionado e resultante da variação
do nível no reservatório durante o estágio. Desse modo, desprezando os efeitos de
evaporação e da infiltração, tem-se que:
6.3.1.
Formulação Tradicional
(35)
Em que,
é o número de períodos/estágios considerados ;
é o número de usinas hidroelétricas UHEs presentes na configuração;
47
é o conjunto de usinas hidroelétricas UHEs localizadas imediatamente à
montante da i-ésima UHE;
é o índice associado ao conjunto de
;
é o volume armazenado no reservatório da i-ésima UHE no final do estágio
t em (hm3)
é a vazão turbinada pela x-ésima UHE durante o estágio t (m3/s)
é a vazão vertida pela x-ésima UHE durante o estágio t (m3/s)
é o fator de conversão da unidade de vazão (m3/s) para a unidade de
volume (hm3) considerando a duração do estagio de interesse;
é a vazão afluente incremental ao reservatório da i-ésima UHE no período t
(m3/s)
No modelo individualizado, cada usina terá sua restrição própria e influenciará em sua
jusante. As usinas a fio d’água também são consideradas. Para este caso o volume
é
nulo nessa restrição.
6.3.2.
Formulação com FPHAG
No modelo agregado, as usinas a fio d’água não terão qualquer restrição a elas
associadas na resolução do problema linear. O balanço hídrico para essas usinas é
automaticamente considerado na construção do modelo para a função de produção
múltipla FPHAG.
Quanto às usinas com reservatório, que ditam a operação do sistema, duas modificações
são necessárias, em relação ao modelo tradicional:
 Como uma das variáveis de decisão é a defluência das Usinas Agregadas , ao
invés da defluência da usina individualizada imediatamente à montante, deve ser
considerada a defluência
do conjunto de
usinas Agregadas
imediatamente à montante do reservatório i.
 De forma consequente a primeira modificação, deve-se incluir como vazão
afluente adicional a cada reservatório, a soma dos valores (conhecidos) de
vazões naturais incrementais das usinas a fio d’água a montante, até o primeiro
reservatório antecessor na cascata. Esse conjunto de fio d´águas a montante é
representado como
48
(36)
Onde,
é o número de reservatórios no sistema;
é a defluência da Usina Agregada i durante o período t;
é a defluência da usina agregada m, imediatamente à montante, durante o
período t;
é a afluência incremental de cada usina a fio d’água j, no estágio t, que
pertence
ao conjunto
6.4
Atendimento à demanda
Essas restrições garantem que a energia gerada total nas UHEs e UTEs (incluindo o
défict) seja igual à demanda de energia do sistema para cada estágio do horizonte de
planejamento.
6.4.1.
Formulação Tradicional
(37)
Em que,
é o número total de UHEs do sistema;
é a energia gerada pela i-ésima UHE no estágio t (MWh);
é o número de usinas térmicas da configuração;
49
é a energia gerada pela j-ésima usina termoelétrica UTE no estágio t
(MWh);
6.4.2.
Formulação com FPHAG
Para o modelo agregado o conjunto de gerações individuais é substituído pela variável
referente à geração da Usina Agregada. Para isso, todas as usinas devem pertencer ao
mesmo conjunto para o qual a restrição se aplica (ex: mesmo subsistema), o que em
geral já ocorre nos modelos de médio e longo prazo.
É considerada a exceção, conforme já discutido anteriormente, do caso onde existam
Usinas Agregadas sem reservatório em sua configuração e sem usinas agregadas à
montante. Para esse caso se faz necessário descontar, na parcela da Demanda, a geração
dessas usinas agregadas, que é fixa uma vez que as depende apenas do cenário de
vazão afluente.
(38)
Onde.
é o número de Usinas Agregadas que possuem restrição no PPL;
é o número de Usinas Agregadas que não possuem restrição no PPL, ou
seja, compostas apenas de usinas a fio d’água e que não possuem
reservatório a montante na cascata.
é a geração da Usina Agregada, no período t, que possui geração fixa
calculada a priori.
6.5
Limites para as variáveis de geração
6.5.1.
Formulação Tradicional
50
No modelo individualizado, cada usina tem seu limite próprio de Geração, que entra no
problema de programação linear como uma inequação linear:
(39)
Onde,
é a variável de geração individual da usina i no período t;
é a geração máxima dessa usina i, com base nas características operacionais;
6.5.2.
Formulação com FPHAG
No modelo agregado, as restrições de geração são para cada Usina Agregada. Portanto,
as inequações lineares são da seguinte forma:
(40)
Em que,
é a variável de geração agregada da usina agregada i no período t;
é a geração máxima da Usina Agregada i;
é a geração máxima da usina individual j;
é o numero de usinas individuais que compõem a usina agregada i;
6.6
Limites para as variáveis de operação hidráulica
6.6.1.
Formulação Tradicional
51
No modelo individualizado, consiste de inequações lineares que definem os limites das
variáveis de vazão turbinada
6.6.2.
e vazão vertida
de cada usina UHE da configuração.
Formulação com FPHAG
Já no modelo agregado, essas inequações definem o limite da variável de decisão
defluência
6.7
para cada usina agregada i.
Síntese das modificações
Abaixo, uma tabela mostra uma síntese dos blocos das restrições para o PPL que foram
ou removidas ou modificadas ou inseridas, para a utilização do modelo agregado –
FPHAG
Tabela 1. Síntese das Modificações para o Problema da Coordenação Hidrotérmica considerando a
modelagem FPHAG
►
Variável
(1...NDAM)
(1...NUSIH)
GH
GHA
(1...NDAM)
(1...NUSIH)
(1...NUSIH)
(1...NDAM)
(1...NFPHA)
(1...NFPHAG*)
Modificado
Removido
Removido
Inserido
-
-
Modificado
-
-
-
Removido
Inserido
Modificado
Removido
Removido
-
Removido
-
Removido
Inserido
-
-
Inserido
Removido
Inserido
Inserido
-
Removido
R
H
S
(1...NFPHAG
FPHAG
*)
(1...NSIST)
Defluência
(1...NFPHA)
Vertimento
DEM
Turbinamento
FPHA
BHID
Restrição ▼
Volume
52
7.
Pós-processamento após a
resolução do problema para obter
operação individualizada das
usinas
A saída do problema de otimização (PPL) para o modelo agregado terá como principais
soluções a geração
reservatórios
da usina agregada i e a defluência e armazenamento dos
que compõem o sistema, em cada período t analisado.
Dessa forma, é necessário realizar um tratamento desses dados para atribuir a cada usina
sua parcela de geração individualizada, assim como a obtenção dos valores de
turbinamento
e vertimento
para a operação hidráulica de todas as usinas
do sistema.
7.1
Gerações individuais
O cálculo preliminar da parcela de geração
a ser atribuída a cada usina
individualizada j é feito utilizando-se como referência a parcela
usina na geração exata da usina agregada
da geração dessa
, obtida a partir dos valores de
de cada reservatório dessa usina agregada. Obtidos
como resultado do PPL.
(41)
53
Feita essa parte preliminar, foi desenvolvida uma rotina proposta para o caso de alguma
Usina Individual atingir sua geração máxima. Nesse caso, essa a geração dessa Usina é
fixada com sua geração máxima
e existirá uma sobra de geração,
, que deve ser alocada entre as outras usinas a jusante que pertencem à
Usina Agregada. A rotina é resumida a seguir.
Inicialização: Analisa a geração de cada usina individual na cascata. Caso
(
Geração da usina é maior que o máximo) o algoritmo é chamado.
Algoritmo : Atualiza o índice do conjunto
de usinas que
podem ter acréscimo em sua geração (não atingiram o máximo). Atualiza cada geração
individual por
. Analisa as gerações das usinas, se
encontrar usina com geração acima da permitida,
7.2
, repete o algoritmo.
Operação hidráulica
A operação hidráulica de cada usina individual, isto é o valor de turbinamento e
vertimento, é automaticamente calculado na rotina que obtém a parcela de geração
individualizada de cada usina pertencente à usina agregada. Esse cálculo tem como base
a defluência dos reservatórios de montante e as afluências incrementais que chegam a
cada usina para o período t.
 Para os reservatórios
 Para as usinas a fio d’água de jusante
Agora, a defluência que chega à primeira usina a jusante do reservatório é calculada
como:
. Caso exista outra usina a fio d’água a jusante desta usina j,
a defluência será
e assim por diante, percorrendo as usinas
que compõem a agregada.
54
Dessa maneira, os valores de turbinamento e vertimento são obtidos de forma
semelhante:
55
8.
Resultados numéricos para o
sistema brasileiro
Nesta seção serão discutidos e ilustrados os resultados obtidos na aplicação da
metodologia proposta em diversos conjuntos e topologias hidrológicas presentes no
sistema real brasileiro. Utilizaremos os dados oficiais das usinas na programação da
operação realizada pelo ONS. O programa desenvolvido para obter tais resultados foi
escrito em FORTRAN, por diversos motivos, como, por exemplo: compatibilidade com
a linguagem utilizada atualmente nos softwares de coordenação hidrotérmica do sistema
brasileiro (Fortran e C) e possibilidade de comparação direta com o modelo
individualizado (FPHA), em termos de custo computacional, já que este já havia sido
implementado em Fortran.
O capitulo foi dividido em três partes para melhor entendimento e distribuição dos
dados e resultados. Primeiramente, será abordado o formato da função de produção
hidroelétrica múltipla – FPHM. Feito isso, serão mostrados os resultados obtidos após a
aproximação pelo modelo linear por partes para a função de produção – FPHAG.
Finalmente, serão discutidos os resultados preliminares para a coordenação hidrotérmica
utilizando o modelo proposto.
8.1
Analise do formato da FPHM
Iremos, inicialmente, realizar uma analise detalhada da função de produção múltipla
exata – FPHM para um conjunto de quatro usinas hidroelétricas. A topologia desse
conjunto, que formará uma Usina Agregada, é mostrada na Figura 24. Na Tabela 2, são
listadas características das usinas do exemplo em questão. A Tabela 3 mostra os
coeficientes dos polinômios cota montante
ou jusante
para cada usina, os
polinômios cota montante para as usinas a fio d’água foram emitidos, uma vez que são
constantes.
56
Estreito
M. Moraes
(
Jaguara
Igarapava
Figura 24. Topologia hídrica do conjunto de Usinas do exemplo
Tabela 2. Características das Usinas que compõem a Agregada
Produtividade
Usina
Perdas
Específica
(% ou m)
(MW/(m3/s)
m=1
0,0083
0,80%
1328,0
478,0
j=1
0,0088
1,50%
2028,0
1150,0
j=2
0,0089
1,34%
1076,0
450,0
j=3
0,0090
0,30 m
1480,0
230,0
Total
-
-
5921,0
2308,0
Os limites para o armazenamento do reservatório de Mascarenhas de Moraes é
e
Tabela 3. Polinômios cota para o caso em questão.
Coef
=1
=1
=2
=3
=4
0
6,42e-2
6,19e+2
5,57 e+2
5,10e+2
4,94e+2
1
8,09e-03
1,73e-3
1,22e-3
1,77e-3
7,82e-4
2
-3,70e-07
-4,89e-8
-7,51e-8
-7,40e-8
-1,04e-7
3
-7,11e-11
-
2,16e-12
1,12e-11
-
4
9,12e-15
-
-
-4,80e-16
-
Uma grade de pontos é mostrada na Tabela 4, com as gerações individuais e os valores
de
e
de cada usina e a geração total para cada ponto de defluência do
reservatório, mantendo as afluências naturais incrementais constantes nos valores
57
médios de cadastro MLT e o volume de água do reservatório em 50% de sua capacidade
máxima.
Tabela 4. Grade de pontos para a FPHM – Exemplo Ilustrativo
m=1
j=1
j=2
j=3
Qdef
Qtur
Qver
GHind
Qtur
Qver
GHind
Qtur
Qver
GHind
Qtur
Qver
GHind
GHTOT
0,0
-
-
0,0
272
-
155,13
548,0
-
232,47
1115
-
171,65
559,26
265,6
265,6
-
89,5
538
-
304,89
813,6
-
341,89
1381
-
210,82
947,14
531,2
531,2
-
177,1
803
-
453,30
1076
3,2
447,93
1480
166,2
228,11
1306,44
796,8
796,8
-
262,7
1069
-
600,42
1076
268,8
443,75
1480
431,8
226,23
1533,14
1062,
4
1062
-
346,4
1334
-
746,31
1076
534,4
439,62
1480
697,4
224,55
1756,97
1328,
0
1328
-
428,3
1600
-
891,05
1076
800
435,53
1480
963,0
223,07
1978,04
1593,
6
1328
265,6
423,7
1866
-
1034,69
1076
1065,6
431,47
1480
1228
221,78
2111,70
1859,
2
1328
531,2
419,1
2028
103,7
1120,02
1076
1331,2
427,42
1480
1494
220,69
2187,33
À medida que a defluência do reservatório cresce, existe a possibilidade de que alguma
UHE a Jusante na composição da Usina Agregada atinja seu valor máximo de
turbinamento, passando a verter água. Isso é bem exemplificado na Tabela 4, onde as
afluências incrementais estão fixadas em 272,5, 277,5 e 567 m3/s, para Estreito, Jaguará
e Igarapava respectivamente.
Observa-se que para o terceiro ponto de
, a afluência que chega a Jaguará é de
, resultando em um vertimento de
58
.
Nesse mesmo ponto, a afluência que chega a Igarapava é de
causa
, o que
.
O sexto ponto de defluência é o valor máximo operacional de M. de Moraes. Portanto,
nos próximos pontos essa usina passará a verter.
Finalmente, Estreito só atinge, nesse caso, seu valor máximo no ultimo ponto mostrado
da Tabela 3, onde
e, por conseguinte, verte
.
Os pontos onde uma usina individual atingiu seu máximo operacional de turbinamento
são chamados de pontos de não diferenciabilidade da Usina Agregada, uma vez que a
partir desse ponto, um acréscimo na afluência da usina em questão causará, devido ao
vertimento, uma variação brusca na produtividade da Agregada, reduzindo a eficiência
do conjunto.
O gráfico da geração exata dessa usina agregada, em função do armazenamento e da
defluência do reservatório de montante, encontra-se na Figura 25. Também é disposto,
na Figura 26, uma analise de sensibilidade da geração desse conjunto quando a
afluência incremental
constante o par
em uma usina a fio d’água específica é variada, mantendo-se
e as afluências naturais das outras usinas. Em cada caso, os
pontos de não diferenciabilidade aparecem nos instantes que as usinas de jusante
atingem ou seu turbinamento ou potência máxima.
59
Figura 25. Geração Hidroelétrica do conjunto ( M. de Moraes, Estreito Jaguará e Igarapava) em
função da operação de M. de Moraes.
Figura 26. Análise de sensibilidade em relação à variação na vazão incremental de cada uma das
usinas a fio d´’agua, respectivamente da esquerda para a direita.
Em seguida, apresentamos primeiramente a topologia hidráulica na Figura 27, onde o
índice M refere-se à usina agregada criada e, em seguida, a função de produção
múltipla, Figura 28 e Figura 29.
60
Figura 27. Topologia e Usinas Agregadas formadas
É válido ressaltar que mudamos a ordem dos eixos de defluência e volume do
reservatório de montante nos gráficos acima. Isso foi feito apenas para dar outra visão
do gráfico da geração hidroelétrica múltipla
Agregada 1
200.000
180.000-200.000
Geração Hidroelétrica (MW)
180.000
160.000-180.000
160.000
140.000-160.000
140.000
120.000-140.000
120.000
100.000-120.000
100.000
80.000
60.000
40.000
20.000
100.0
90.0
80.0
70.0
V(%)
60.0
50.0
30.0
40.0
20.0
.0
10.0
.000
728.00 80.000-100.000
655.20
582.40
60.000-80.000
509.60
436.80
40.000-60.000
364.00
291.20
20.000-40.000
218.40
145.60
.000-20.000
72.80
0.00
Defluência (m³/s)
Figura 28. Geração Hidroelétrica para a Usina Agregada ( M = 1)
61
Agregada 2
600.000
Geração Hidroelétrica (MW)
500.000
500.000-600.000
400.000
400.000-500.000
300.000-400.000
300.000
200.000
100.000
100.0
90.0
80.0
70.0
V(%)
60.0
50.0
30.0
40.0
20.0
.0
10.0
.000
1,288.00 200.000-300.000
1,159.20
1,030.40 100.000-200.000
901.60
772.80
.000-100.000
644.00
515.20
386.40
257.60
128.80
0.00
Defluência (m³/s)
Figura 29. Geração Hidroelétrica para a Usina Agregada ( M = 2)
8.2
Modelagem linear por partes da FPHAG
Nessa seção, serão apresentados resultados da aproximação da FPHM por um modelo
linear por partes, resultando na FPHAG. Feito isso, será realizada uma comparação
entre a função aproximada com a geração real da usina agregada e com a aproximação
pelo modelo individualizado. O confronto dos modelos apresentará os desvios em
relação à função exata e o número de cortes ou restrições de geração construídos.
No sentido de permitir uma avaliação do modelo agregado para diferentes condições,
consideraremos 12 cenários diferentes para os dados de entrada das afluências
incrementais das usinas a fio d’água (necessários para gerar a FPHM), que
correspondem aos doze meses extraídos do histórico. Por isso, são construídos 12
diferentes funções de produção múltipla – FPHM, assim como 12 aproximações dessa
função pelo modelo linear por partes – FPHAG, para cada usina agregada. Também será
computada a aproximação linear para cada usina individual (FPHA), por motivos de
comparação.
62
8.2.1.
Descrição do sistema
De forma a analisar o modelo de forma mais ampla, o sistema será composta de diversas
cascatas totalizando 51 usinas, que fazem parte do sistema hídrico brasileiro.
Os índices das usinas, mostrados na Figura 30, são os mesmos utilizados no
planejamento central do sistema Brasileiro, que é realizado pelo Operador Nacional do
Sistema, com a cadeira de otimização descrita em [9]. Todas as informações
características a essas usinas encontram-se disponíveis para acesso no site da ONS
(http://www.ons.org.br).
Figura 30. Cascata de Usinas Hidroelétricas e Usinas Agregadas formadas.
Para a criação dos modelos aproximados, foi considerada uma grade de discretização de
5 pontos para o armazenamento (
), tanto para a FPHA quanto para a FPHAG, com
uma janela de 20% em torno do volume inicial (ver tabela V em [12] ). O turbinamento,
no modelo individualizado, também foi discretizado em 5 pontos, uma vez que produz o
melhor “trade-off” entre acurácia e tempo de processamento na resolução do problema
de despacho hidrotérmico [12]. Quanto a defluência no modelo agregado, a
63
discretizamos em 3 pontos quanto a operação do reservatório de montante por duas
razões: (i) pontos adicionais de
vão ser automaticamente incluídos quando alguma
usina a jusante atingir seu máximo operativo de turbinamento; (ii) como a FPHAG
tende a apresentar mais pontos em sua envoltória convexa (uma vez que é composta por
mais de uma função de produção individual), utilizar o mesmo número de “breakpoints”
para os dois modelos geraria um número maior de cortes para a FPHAG, aumentando o
tempo computacional.
8.2.2.
Inequações construídas para algumas usinas agregadas
Na Tabela 5, apresentaremos os planos que definem a envoltória convexa da Função de
Produção Hidroelétrica Múltipla Aproximada para algumas usinas agregadas. Os cortes
das demais usinas agregadas encontram-se no Apêndice [11]. Por motivos visuais,
apresentamos apenas os cortes para o um cenário, lembrando que existem 12 períodos e
que para cada período ou estágio são construídos FPHAGs diferentes e, portanto, cortes
diferentes.
Tabela 5. Coeficientes dos Planos ou Cortes que definem a FPHAG para cada usina Agregada
Índice da Agregada
M = 1 (3 USIH)
M=2 (1 USIH)
M=3 (6 USIH)
RHS/
(MW)
224,17
232,00
224,95
225,42
225,73
-66,06
0,00
-49,41
-10,03
-72,85
-67,84
-66,06
0,1598
0,2018
0,1610
0,1624
0,1638
0,7266
0,7833
0,7365
0,7675
0,7167
0,7197
0,7239
0,0388
0,0000
0,0350
0,0326
0,0311
0,0128
0,0000
0,0096
0,0019
0,0157
0,0143
0,0132
1553,81
1580,72
1555,16
1556,46
1557,69
1675,59
0,90002
0,9427
0,9006
0,9017
0,9033
0,7191
0,03587
0,0000
0,0341
0,0323
0,0307
0,0612
64
1673,73
1677,12
1677,86
1677,86
1674,18
1675,48
1677,54
0,7459
0,7201
0,7220
0,7247
0,7476
0,7487
0,7493
0,0359
0,0582
0,0552
0,0524
0,0341
0,0323
0,0307
Cada um desses cortes comporá uma restrição no PPL para a geração da usina
hidroelétrica. Como mostrado anteriormente,

É interessante observar que a usina agregada #2
independente
tem valores de coeficiente
negativos. A princípio, esses valores seriam considerados
inadequados, uma vez que para valores nulos de defluência e armazenamento sua
geração seria negativa, fato certamente incoerente. Porém, essa usina agregada é
composta de apenas uma usina e essa usina possui restrições de turbinamento mínimo o
que explica os valores negativos para o lado direito das equações dos planos que
compõem sua envoltória convexa. Ou seja, não é necessário representar bem a função
para o ponto de defluência nula.
Um dos objetivos principais da FPHAG é obter um conjunto de variáveis e restrições
mais conciso para o problema de coordenação hidrotérmica se comparado com o
modelo individualizado. Dessa maneira, é apresentado na Tabela 6 o número médio de
cortes, considerando os 12 períodos analisados, tanto na FPHA quanto na FPHAG.
Como estamos fazendo referencia a cada Usina agregada, o número médio de cortes no
modelo individualizado foi calculado como a soma das médias do número de cortes de
cada usina individual que compõem o índice da usina agregada em questão.
65
Tabela 6. Número de restrições de geração para os modelos agregado e individualizado.
Índice da
# restrições
# restrições
Índice da
# restrições
# restrições
Agregada
(FPHAG)
(FPHA)
Agregada
(FPHAG)
(FPHA)
1
6.0
11.0
13
7.0
14.0
2
7.0
11.0
14
10.5
18.0
3
10.2
31.0
15
9.3
27.0
4
13.3
19.0
16
11.1
19.0
5
7.0
14.0
17
9.0
29.0
6
9.0
15.0
18
7.0
11.0
7
9.0
28.0
19
7.0
11.0
8
5.0
11.0
20
8.7
11.0
9
11.0
15.0
21
8.8
19.0
10
7.0
11.0
22
11.1
19.0
11
12.0
19.0
23
8.4
26.0
12
11.3
15.0
Média
8.94
17.57
Podemos perceber que a modelagem proposta nesse documento reduz o número de
restrições de geração hidroelétrica em cerca de 50 % em relação à modelagem
individual. Portanto, uma grande vantagem dessa abordagem é diminuir o tamanho do
problema de programação linear para o despacho hidrotérmico e, se possível, sem perda
sensível de acurácia como será mostrado a seguir.
É válido ressaltar que se utilizássemos mais pontos para discretizar a variável de
defluência o número de cortes gerados aumentaria. Por exemplo, ao testarmos 5 pontos,
mais os pontos de quebra no turbinamento máximo, o número de cortes gerados para o
sistema em questão foi de, aproximadamente, 21, tornando o modelo agregado menos
viável em comparação com o individual.
Ainda, como foi discutido no Capitulo 6,
reduções adicionais para o PPL foram
implementadas, uma vez que equações de balanços hídricos e algumas restrições
66
operativas, como demanda, foram adequadas para as usinas agregadas. As equações de
balanço hídrico, onde possuíam uma restrição por usina para o modelo individualizado,
com a modelagem agregada possuem uma restrição por reservatório. Já as equações de
demanda por exemplo, que possuíam variáveis para cada usina individual, passam a
possuir variáveis para cada usina agregada.
8.2.3.
Análise dos desvios
Para analisar o erro relativo existente entre a aproximação linear que fizemos para a
função de produção exata de uma Usina Agregada, selecionamos determinado número
de “pontos de operação”
para o reservatório de montante e compomos uma
grade de pontos. Para cada um desses pontos, calculamos tanto geração exata dessa
usina agregada – FPHM quanto à geração aproximada pelo modelo linear por partes –
FPHAG.
A Figura 31 mostra a média desses desvios para cada uma das 23 Usinas Agregadas. A
título comparativo, calculamos também a média dos desvios utilizando o modelo
individualizado. O desvio da FPHA, nesse caso, foi calculado como a soma dos desvios
entre a geração real e a aproximada de cada usina individualizada que compõe a Usina
Agregada.
20
18
FPHA
Erro médio (MW)
16
FPHAG
14
12
10
8
6
4
2
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
Índice da usina Agregada
Figura 31. Comparação entre acurácia do modelo individualizado FPHA e do modelo proposto
FPHAG quanto as suas funções exatas (MW).
67
É importante ressaltar que o objetivo da Função de Produção Hidroelétrica Múltipla
Aproximada não é obter um modelo mais acurado do que [12], mas sim obter um nível
de acurácia o mais perto possível deste, com a vantagem de se modelar usinas
agregadas, diminuindo o tamanho do problema para o cálculo do despacho
hidrotérmico.
Olhar apenas os desvios absolutos em MW pode ser ilusório, por exemplo: A diferença
de 6 MW entre os desvios da Usina Agregada #9 pode ser desprezível caso a geração da
usina seja alta. Por esse motivo, mostramos na Tabela 7 abaixo os desvios médios
relativos para cada um dos modelos analisados.
Tabela 7. Desvio Médio Relativo da FPHA e FPHAG quando comparados com sua respectiva
função de produção exata.
Índice da
Desvio (%)
Desvio (%)
Índice da
Desvio (%)
Desvio (%)
Agregada
FPHAG
FPHA
Agregada
FPHAG
FPHA
1
0,3
0,40
14
0,48
0,62
2
0,8
0,73
15
0,24
0,06
3
0,75
0,54
16
1,95
0,00
4
1,28
0,62
17
0,23
0,31
5
3,2
4,67
18
5,88
10,25
6
0,22
0,33
19
3,08
3,20
7
0,23
0,07
20
0,78
0,20
8
0,31
0,00
21
1,05
0,49
9
0,75
0,99
22
0,62
0,42
10
0,55
0,12
23
0,89
0,82
11
0,22
0,73
5,88
10,25
12
0,36
0,08
1,09
1,22
13
0,99
0,00
Valor
máximo
Média
68
Os resultados indicam, primeiramente, uma boa acurácia da modelagem agregada para a
função de produção hidroelétrica. Pode ser visto que a FPHAG produz resultados
similares ao modelo individualizado e, em alguns casos com maior eficácia.
No
exemplo em questão, o modelo agregado teve média de erro relativo inferior,
principalmente devido a Usina Agregada #18. Em geral, é observado que o modelo
Agregado obtém uma acurácia de apenas 10% inferior ao modelo individualizado e com
menor variância. A principio acredita-se que, ao somar as gerações de todas as usinas, o
comportamento fortemente côncavo da função para as usinas a fio d´água tende a
atenuar os trechos não côncavos da função individual da usina com reservatório,
favorecendo uma melhor aderência da envoltória convexa para a função de produção
aproxima.
8.3
Problema de coordenação hidrotérmica com a
FPHAG
Por fim, essa seção apresentará estudos de caso de aplicação do modelo agregado –
FPHAG – para um problema simplificado de despacho hidrotérmico, composto de 12
meses. Considerou-se um cenário determinístico para esse horizonte, pois o objetivo era
de simplesmente avaliar a acurácia e eficiência da modelagem à medida que cada
reservatório excursionasse por diversos valores de volume armazenado e as usinas
estivessem sujeitas a diferentes níveis de valores de afluência natural incremental.
A biblioteca OSL [18] foi utilizada para a resolução do problema de programação linear
da função objetivo, sujeito as restrições montadas e discutidas no capítulo 6. Os
experimentos foram realizados em um computador com processador Intel Quad Core ™
@2,83 GHz, 4 GB de memória RAM e sistema operacional de 32 bits.
Os casos analisados são apresentados na Tabela 8 abaixo. Foram escolhidas algumas
cascatas representativas, onde a cada caso será aumentado o número de cascatas e
usinas que representam o sistema e, por fim, será analisado um caso com a maioria das
UHE que compõem o sistema interligado brasileiro (SIN), como mostrado na Figura 32.
Os casos compreendem 40 usinas térmicas com custos de geração quadráticos, que
69
foram considerados no problema de acordo com a modelagem linear por partes
dinâmica apresentada em [24].
Figura 32. Diagrama Esquemático das Usinas Hidroelétricas do SIN ( 2015)
70
Tabela 8. Tabela com descrição dos casos que serão analisados para o problema de coordenação
hidrotérmica utilizando a FPHAG.
Número Total de
Número de
Número de Usinas
Usinas
Reservatórios
Agregadas
1
7
2
2
2
10
5
5 + ITAIPU
3
50
24
23
4
100
51
50
Caso
8.3.1.
Análise do tamanho do problema
Como visto na seção anterior, a construção da função de produção hidroelétrica
aproximada pelo modelo linear por partes para as Usinas Agregadas, diminui em cerca
de 50% o número de planos que representam sua envoltória convexa, em comparação
com o modelo individualizado. Esses planos definem restrições de Geração para o
problema de despacho hidrotérmico como um PPL.
Ainda, como mostrado no capitulo 6, o modelo agregado permite diminuir o tamanho
do PPL em outras restrições, como nas equações de balanço hídrico e alteração de
restrições operativas (
).
Nas tabelas a seguir são mostrados, para cada caso e para ambas as modelagens, o
número de colunas, linhas e elementos que compõem a Matriz Linear que representa o
problema.
Tabela 9. Características da matriz linear do PPL para o caso 07 UHE
Caso 07 UHE
Modelo
Modelo
Discrepância
Agregado
Individualizado
Relativa
# Linhas
611
984
61%
# Colunas
192
456
138%
# Elementos
2355
3884
65%
71
Tabela 10 Características da matriz linear do PPL para o caso 10 UHE
Caso 10 UHE ( ITAIPU)
Modelo
Modelo
Discrepância
Agregado
Individualizado
Relativa
# Linhas
888
1296
49%
# Colunas
360
588
63%
# Elementos
3441
5141
49%
Tabela 11 Características da matriz linear do PPL para o caso 50 UHE
Caso 50 UHE
Modelo
Modelo
Discrepância
Agregado
Individualizado
Relativa
# Linhas
4576
6024
32%
# Colunas
1200
2832
136%
# Elementos
17980
23914
33%
Tabela 12 Características da matriz linear do PPL para o caso 100 UHE
Caso 100 UHE
Modelo
Modelo
Discrepância
Agregado
Individualizado
Relativa
# Linhas
9419
14388
53%
# Colunas
2472
5196
110%
# Elementos
36970
57309
55%
72
É possível perceber redução significativa no tamanho da Matriz que representa o
problema linear para o despacho hidrotérmico o que é uma grande vantagem ao utilizar
a modelagem proposta nesse documento.
8.3.2.
Análise do custo computacional
Espera-se que a diminuição vista na seção anterior impacte diretamente o tempo
computacional na resolução do problema de programação linear.
As Tabelas 13 a 16 mostram para cada sistema de estudo o custo computacional para a
preparação e montagem da Matriz Linear e a resolução do PPL tanto para a modelagem
agregada quanto a individualizada. Também é mostrada o número de iterações
necessárias para a convergência do problema em questão.
Tabela 13. Custo computacional de ambas modelagens para o caso 07 UHE
CASO 07 USINAS
FPHAG
Duração
FPHA
%
(segundos)
Duração
%
(segundos)
Preparação
0,02
0,8
0,02
0,17
Montagem
0,28
13
0,67
2,70
Resolução
4,45
83,56
13,77
91,78
# Iterações
11
09
A FPHAG foi concebida visando aplicações para o planejamento do despacho
hidrotérmico de sistemas de grande porte, e para o médio ou longo prazo, onde a
incerteza passa a ser motivo de foco e importância. Porém, o caso com apenas sete
usinas, mostrado na Tabela 13, por ter convergência demorada em termos de iterações,
conseguiu evidenciar a eficiência do modelo agregado perante o individualizado. O
custo computacional foi reduzido consideravelmente, sendo a FPHAG cerca de 3 vezes
mais rápida que a FPHA.
73
Tabela 14. Custo computacional de ambas modelagens para o caso 10 UHE
CASO 10 USINAS (ITAIPU)
FPHAG
Duração
FPHA
%
(segundos)
Duração
%
(segundos)
Preparação
0,02
2,12
0,02
2,14
Montagem
0,32
40,06
0,28
37,53
Resolução
0,12
16,71
0,20
26,54
# Iterações
1 (uma)
1 (uma)
Já para uma pequena cascata englobando Itaipu, a convergência se deu rapidamente em
apenas uma iteração para aproximação dos custos quadráticos de geração, o que indica
que as usinas térmicas ou estão em sua geração mínima ou máxima. Dessa maneira, os
ganhos totais em eficiência para a FPHAG se tornam negligíveis perante o modelo
individualizado.
Tabela 15. Custo computacional de ambas modelagens para o caso 50 UHE
CASO 50 USINAS
FPHAG
Duração
FPHA
%
(segundos)
Duração
%
(segundos)
Preparação
0,02
0,24
0,02
0,06
Montagem
0,48
6,95
0,44
1,49
Resolução
5,33
76,71
27,55
95,45
# Iterações
5
6
Para um caso mais abrangente, com 50 usinas individuais, o impacto do uso de Usinas
Agregadas com a consequente aproximação da Função de Produção Hidroelétrica
Múltipla é ainda mais evidenciado. A FPHAG quase chega à marca de cinco (5) vezes o
tempo computacional necessário para resolução do PPL, quando comparada ao modelo
Individualizado.
74
Tabela 16. Custo computacional de ambas modelagens para o caso 100 UHE
CASO 100 USINAS
FPHAG
Duração
FPHA
%
(segundos)
Duração
%
(segundos)
Preparação
0,05
0,31
0,02
0,01
Montagem
0.94
4,84
0,61
0,35
Resolução
28,28
82,85
145,25
96,65
# Iterações
3
5
Por fim, foi estudo um caso com a maioria das usinas hidroelétricas do Sistema
Interligado Brasileiro. Para esse caso, os tempos computacionais para os modelos
encontram-se na Tabela 16. Novamente, percebe-se ganho computacional considerável,
cerca de 5 vezes superior, ao utilizar o modelo proposto nesse documento, perante o
modelo individualizado das usinas hidroelétricas.
75
9.
Conclusões
9.1
Considerações Gerais
Um aspecto de fundamental importância nos modelos de coordenação hidrotérmica é a
modelagem da geração das usinas hidroelétricas que é, em geral , uma função não linear
do seu estado – volume armazenado e de sua operação – turbinamento e vertimento.
Essa função costuma ser chamada de Função de Produção Hidroelétrica Individual –
FPH.
Este trabalho apresentou um novo modelo para a representação do parque hidráulico,
sendo um intermediário entre a modelagem equivalente e a individualizada, onde usinas
com reservatório são agrupadas com sequencias de usinas a fio d’água a jusante na
cascata, formando uma usina agregada. Dessa maneira, precisamos construir funções de
produção apenas com base nas usinas com reservatório, sem perda sensível de acurácia
e com a principal vantagem de diminuir razoavelmente o número de equações e
restrições no problema de programação linear (PLL) para o despacho hidrotérmico. Ao
modelo da geração de tais usinas agregadas deu-se o nome de Função de Produção
Hidroelétrica Múltipla- FPHM e a aproximação dessa função por um modelo linear por
partes, necessário para a resolução do despacho hidrotérmico por um problema de
programação linear, foi chamada de Função de Produção Hidroelétrica Múltipla
Aproximada – FPHAG.
Essa nova abordagem permite se representar as características individuais das usinas
dentro do problema de coordenação hidrotérmica, como balanço hídrico, afluências
naturais, evaporação, geração (FPHAG) e eventuais restrições de defluências ou
afluência mínima para as usinas hidroelétricas, sem premissas de operação préestabelecidas.
76
Os resultados comprovaram, de forma preliminar, a eficiência do uso do modelo
proposto. O reduzido número de restrições geradas no PPL permite menor
complexidade e menor custo computacional ao se resolver o problema do despacho
hidrotérmico. Também foi mostrado, para dados reais de usinas hidroelétricas que
compõem o sistema interligado nacional (SIN) que o uso da FPHM não resulta em
perda sensível de acurácia, quando comparado com o modelo individual.
Em particular, o modelo agregado torna-se mais interessante para o planejamento de
médio e longo prazo, como uma abordagem mais acurada para a representação das
usinas quando comparada ao modelo de reservatórios equivalentes de energia, hoje
utilizado pelo NEWAVE. Para o planejamento com horizontes mais longos, considerase apenas usinas com regularização mensal, o que propicia a existência de diversas
usinas com modelagem a fio d’água na topologia, o que aumenta a eficácia do modelo
proposto. Além disso, alguns aspectos que não poderiam ser representados pelo modelo
agregado já não são considerados em geral para esses horizontes, como, por exemplo, o
unit commitment das usinas hidroelétricas, tempos de viagem da água, restrições de
rampa de geração e restrições elétricas internas aos subsistemas de energia.
Ainda, é notório ressaltar que restrições ambientais tem forçado a maioria das novas
usinas hidroelétricas a serem construídas como fio d’águas, tornando ainda mais
interessante e eficiente o uso da FPHM.
77
9.2
Trabalhos Futuros
O modelo agregado ainda necessita de mais testes tanto comparativos com os modelos
de coordenação existentes (DECOMP e NEWAVE) tanto testes qualitativos para ser
validado e reconhecido perante a comunidade cientifica nacional. Porém, trabalhos
futuros já estão sendo avaliados, como:
 Desenvolvimento do modelo para o tratamento estocástico no planejamento em
longo prazo para grandes sistemas.
 Integração com o software de coordenação hidrotérmica DECOMP
 Modelagem híbrida, onde se integraria a modelagem individualizada para
alguma usina especifica. Essa usina não faria parte de nenhuma usina agregada e
permitira maior nível de detalhamento em certas usinas especificas e importantes
do sistema.
78
10.
Referências
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81
11.
Apêndice A : Coeficientes dos
planos que formam as envoltórias
convexas das usinas agregadas para
o caso de 50 usinas ( seção 8.2 )
Índice da Agregada
RHS/
M=4
82
(MW)
46.41
1.6717
0.0130
48.38
1.7527
0.0000
47.69
1.7052
0.0045
46.02
1.6289
0.0210
46.17
1.6340
0.0194
46.23
1.6384
0.0184
46.77
1.5997
0.0248
45.70
1.6237
0.0239
57.49
1.3361
0.0448
58.14
1.3424
0.0383
46.24
1.6237
0.0212
58.07
1.3967
0.0212
58.35
1.4003
0.0194
58.60
1.4012
0.0184
M=5
M=6
M=7
83
-33.92
0.8854
0.0109
0.00
1.0152
0.0000
-29.93
0.8898
0.0096
-27.18
0.8960
0.0087
-25.23
0.9025
0.0081
-15.35
0.8232
0.0109
-8.70
0.8187
0.0096
96.07
0.6934
0.0000
-2.30
0.8126
0.0087
3.57
0.8060
0.0081
0.00
0.6169
0.0000
-2.80
0.6059
0.0640
-2.79
0.6059
0.0637
-2.78
0.6059
0.0634
-2.75
0.6060
0.0627
-2.55
0.5979
0.1195
-0.94
0.6003
0.0645
-0.94
0.6003
0.0643
-0.91
0.6003
0.0640
-0.90
0.6003
0.0637
-0.86
0.6002
0.0634
8.38
0.5920
0.0000
-0.78
0.6002
0.0627
-0.50
0.4933
0.1291
-0.49
0.4933
0.1282
3.67
0.4744
0.2589
M=8
M=9
84
4.00
0.4751
0.1295
4.01
0.4751
0.1274
3.99
0.4751
0.1289
4.02
0.4751
0.1270
5.49
0.4738
0.0000
-0.02
0.4028
0.0556
0.00
0.4029
0.0000
7.50
0.3750
0.0556
7.56
0.3749
0.0000
55.08
0.8781
0.0295
165.28
0.9582
0.0000
65.88
0.8804
0.0266
79.47
0.8872
0.0230
362.37
0.6428
0.0487
332.65
0.7058
0.0295
370.79
0.6566
0.0405
365.62
0.6658
0.0379
527.16
0.5664
0.0590
476.25
0.6000
0.0487
514.61
0.5793
0.0532
481.13
0.5977
0.0491
330.48
0.7161
0.0266
431.91
0.6256
0.0440
335.46
0.7210
0.0245
412.78
0.6408
0.0405
344.19
0.7229
0.0230
M = 10
M = 11
M= 12
85
-50.05
0.6275
0.0301
0.00
0.6647
0.0000
-32.90
0.6318
0.0198
-60.03
0.6144
0.0467
-58.44
0.6150
0.0453
55.17
0.6171
0.0021
190.25
0.3290
0.0146
201.51
0.3645
0.0000
190.96
0.3296
0.0137
191.55
0.3306
0.0129
191.71
0.3310
0.0127
198.89
0.3552
0.0034
193.28
0.3197
0.0152
260.31
0.1320
0.0244
257.38
0.1614
0.0137
257.92
0.1624
0.0129
258.18
0.1626
0.0127
105.25
0.4706
0.0113
112.45
0.4852
0.0000
105.36
0.4706
0.0111
105.47
0.4708
0.0109
132.92
0.4233
0.0158
126.82
0.4372
0.0113
132.95
0.4235
0.0156
132.81
0.4240
0.0153
338.90
0.1913
0.0226
M= 13
M = 14
86
126.69
0.4377
0.0111
336.74
0.1986
0.0156
337.05
0.1986
0.0153
360.41
0.1883
0.0059
126.73
0.4379
0.0109
372.20
0.1850
0.0000
-14.60
0.3809
0.0141
0.00
0.3980
0.0000
-14.31
0.3810
0.0138
-13.79
0.3814
0.0133
17.74
0.3515
0.0141
18.23
0.3515
0.0138
70.18
0.3344
0.0000
18.85
0.3513
0.0136
19.60
0.3511
0.0133
70.99
0.4868
0.0009
71.86
0.5158
0.0000
71.02
0.4870
0.0009
71.07
0.4882
0.0008
76.15
0.2677
0.0043
78.26
0.2964
0.0009
76.46
0.2695
0.0039
75.16
0.2504
0.0086
77.87
0.2581
0.0043
78.30
0.2967
0.0009
79.53
0.2558
0.0036
M= 15
M= 16
M=17
87
78.62
0.2574
0.0039
78.35
0.2968
0.0009
89.80
0.2430
0.0000
226.62
0.6715
0.0084
234.25
0.7015
0.0000
226.86
0.6717
0.0081
227.08
0.6722
0.0079
227.29
0.6728
0.0076
250.88
0.5783
0.0149
248.12
0.6051
0.0084
249.06
0.6008
0.0089
252.69
0.5708
0.0167
252.43
0.5733
0.0157
248.19
0.6083
0.0076
543.11
0.6781
0.0000
593.05
0.7198
-0.0125
543.11
0.5870
0.0000
512.81
0.5472
0.0177
529.93
0.5689
0.0077
525.02
0.5272
0.0208
514.37
0.5408
0.0193
670.64
0.3661
0.0345
673.91
0.3854
0.0208
675.04
0.3870
0.0196
679.35
0.3886
0.0177
-0.69
0.3129
0.0567
M= 18
M=19
M=20
88
0.00
0.3197
0.0000
-0.64
0.3131
0.0520
-0.62
0.3132
0.0509
0.31
0.2996
0.1133
0.19
0.3060
0.0567
0.37
0.3005
0.0994
0.20
0.3062
0.0544
0.25
0.3064
0.0509
0.28
0.3064
0.0497
-46.20
0.3697
0.0101
0.00
0.4414
0.0000
-24.66
0.3930
0.0054
-8.86
0.4158
0.0019
-50.62
0.3594
0.0121
-47.12
0.3632
0.0109
-46.20
0.3672
0.0103
-71.44
0.2061
0.0083
0.00
0.2428
0.0000
-70.88
0.2062
0.0082
-46.40
0.2139
0.0054
-81.01
0.1772
0.0166
-71.06
0.2060
0.0083
-66.64
0.1806
0.0141
-61.94
0.1850
0.0125
1632.48
0.5292
0.0223
1656.18
0.5475
0.0000
M = 21
M = 22
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