Os Números Racionais e Irracionais Critérios de divisibilidade

Colégio Estadual Tereza Francescutti
03/03/2011
Máximo divisor
múltiplo comum:
comum
e
Professor Paulo Hollweg
mínimo
Os Números Racionais e Irracionais
Vimos anteriormente que o conjunto dos
números racionais é o conjunto denotado por
a
Q
x /x
, a Z e b Z , b 0 . Mas se tivéssemos
b
um número expresso na sua forma decimal, por
exemplo, 7,454545..., ou 0,1010010001... Como
poderíamos afirmar se esses números são racionais ou
irracionais? Nosso objetivo agora é encontrar uma forma
de responder essa pergunta.
Sabemos que os números racionais podem ser
expressos em forma de fração irredutível, ou seja, na
Dados dois números naturais m e n,
chamaremos de maior divisor comum entre n e m o
número natural mdc (m,n) que é obtido pelo produto
dos fatores comuns entre m e n. Assim podemos dizer
que dois números naturais n e m são primos entre si
quando mdc (n,m) = 1.
Exemplo: Vamos calcular o m.d.c. entre 120 e 36.
120 2
60
2
30
2
15
3
5
5
1
23.3.5
36
18
9
3
1
2
2
3
3
22.32
a
onde a e b são números primos entre si e,
b
além disso, b 0 , porém os números irracionais não
forma
têm essa propriedade, sendo assim precisamos saber
como escrever um número fracionário em sua forma
decimal. Mas antes de aprendermos a escrever um
número decimal na sua na forma fracionária e viceversa, vejamos alguns critérios de divisibilidade que
facilitarão nosso trabalho.
Assim o m.d.c.(120, 36) = 22.3 = 12
Se tivermos, por exemplo, a situação de os
números a e b serem primos entre si, o mdc
desses dois números será sempre igual a 1.
O mínimo múltiplo comum entre m e n,
denotado por m.m.c.(m,n) pode ser calculado pelo
produto de todos os fatores primos na decomposição de
m e n, considerados uma única vez e de maior
expoente.
Exemplo: Vamos calcular o m.m.c. entre 120 e 36:
120
2
36
2
60
2
18
2
30
2
9
3
15
3
3
3
5
5
1
22.32
3
1
2 .3.5
3
Critérios de divisibilidade
Vejamos agora alguns critérios de divisibilidade.
Divisibilidade por 2
Um número é divisível por 2 quando é par, ou
seja, seus possíveis algarismos da unidade são 0, 2, 4, 6
ou 8.
Exemplo:
Divisibilidade por 3
2
Assim o m.m.c (120, 36) = 2 .3 .5 = 360.
Um número é divisível por 3 quando a soma dos
seus algarismos é divisível por 3.
É fácil ver que para obtermos o m.m.c. entre
dois números que são primos entre si, basta
multiplicarmos esses dois números.
Exemplo:
123 (S= 1 + 2 + 3 = 6), 36 (S=3+6=9),
1.478.391 (S=33), 570 (S=5+7+0=12).
Obs.: Existe uma relação entre o m.m.c e o m.d.c de
dois números naturais a e b. Temos que
mmc(a,b).mdc(a,b)=a.b, ou seja, o produto entre o
m.m.c e o m.d.c de dois números é igual ao produto
entre esses dois números a e b.
Se dois números naturais n e m são primos
entre si então as razões
42, 100, 1.445.086 , 8, 354.
Divisibilidade por 4
Um número é divisível por 4 quando os dois
últimos algarismos formam um número divisível por 4.
n
m
e
são ditas irredutíveis,
m
n
Exemplo:
200.
caso contrario, n e m possuem fator comum, ou seja,
são frações redutíveis, em outras palavras, podem ser
simplificadas, eliminando os seus fatores em comum.
956, 844, 1.336, 120, 8.357.916, 752,
Divisibilidade por 5
Um número é divisível por 5 quando termina em
0 ou 5.
1
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Exemplo:
Professor Paulo Hollweg
475, 800, 1.267.335, 10, 65
Exemplo:
100 - 120 - 1.252.780 - 1.389.731.630
Divisibilidade por 6
Divisibilidade por 11
Um número é divisível por 6 quando é divisível
por 2 e 3 ao mesmo tempo.
Exemplo: 36, 24, 126, 1476
Um número é divisível por 11 quando a
diferença entre as somas dos algarismos de ordem
ímpar e de ordem par, a partir da direita for múltipla de
11.
Divisibilidade por 7
Exemplo:
Para verificarmos se um número dado é divisível
por 7, tome o último algarismo e calcule seu dobro.
Subtrair esse resultado do número formado pelos
algarismos restantes. Se o resultado for divisível por 7
então, o número original também será divisível por 7.
S (ordem ímpar) = 7 + 2 + 7 + 7 = 23
Exemplo:
7.973.207
S (ordem par) = 0 + 3 + 9 = 12
Diferença = 11.
238 : 8 x 2 = 16
23 - 16 = 7 : como 7 é divisível por 7 , 238 também é
divisível.
Dízimas Periódicas
693
I – Conversão de Frações Ordinárias em
Números Decimais
3x2=6
69 - 6 = 63
63
Sabemos que para transformarmos uma fração
ordinária em um número decimal basta dividirmos o
numerador
pelo
denominador
dessa
fração.
Estudaremos agora as três maneiras como isso ocorre, e
para tal transformaremos as frações ordinárias em
números decimais.
3x2=6
6 - 6 = 0: como 0 é divisível por 7, 693 também é
divisível.
Exemplo:
235
5 x 2 = 10
1º Caso: Ao transformarmos a fração
23 - 10 = 13: como 13 não é divisível por 7, 235
também não é divisível.
número decimal, encontraremos 0,75 e resto zero.
Nesse caso diremos que a fração se converte num
número decimal exato, ou numa decimal exata.
Divisibilidade por 8
2º Caso: Ao transformarmos a fração
Um número é divisível por 8 quando os três
últimos algarismos formam um número divisível por 8.
Exemplo:
5
3
num
número decimal, encontraremos 1,666.... Nesse caso
diremos que a fração se converte num número
decimal periódico, ou numa dízima periódica. O
algarismo 6 que se repete infinitamente é chamado
período da dízima. A dízima 1,666... é uma dízima
periódica simples, já que, logo após a vírgula vem o
período 6.
876.400 - 152 - 245.328.168
Divisibilidade por 9
Um número é divisível por 9 quando a soma dos
seus algarismos é divisível por 9.
Exemplo:
3
em um
4
3º Caso: Ao transformarmos a fração
36 - 162 - 5463 - 5.461.047
7
12
num
número decimal, encontraremos 0,58333... Nesse caso
Divisibilidade por 10
em 0.
diremos que a fração
7
se converte num número
12
decimal periódico, ou numa dízima periódica. O
número 3 é o período da dízima e o número 58 que o
Um número é divisível por 10 quando termina
2
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antecede é chamado de parte não periódica, não
período ou ante período. A dízima 0,58333... é uma
dízima periódica composta, já que após a vírgula
vem o ante período 58 e somente após vem o período
3.
Exemplo 6: A fração ordinária e irredutível 8/117 se
converterá numa Dízima Periódica Simples já que o seu
denominador 117 só contém os fatores primos 3 e 13.
3º Caso: Dízima Periódica Composta – Uma fração
ordinária e irredutível se transformará numa Dízima
Periódica Composta quando seu denominador, além dos
fatores primos 2, 5 ou 2 e 5, contiver outros fatores
primos quaisquer. O número de ordens, ou casas
decimais, do ante período será dado pelo maior
expoente dos fatores 2 ou 5.
II – Notação de uma Dízima Periódica
Uma Dízima Periódica poderá ser representada de
três formas diferentes:
0, 272727 ...
0, (27)
0, 03888 ...
0, 03(8)
0, 27
Exemplo 7: A fração ordinária e irredutível 2/15 se
converterá numa Dízima Periódica Composta já que o
seu denominador 15 contém além do fator primo 3, o
fator primo 5 (15 = 3 x 5). Essa Dízima Periódica
Composta terá um ante período com 1 casa decimal, já
que o expoente do fator 5 é 1.
0, 038
III – Os Casos da Conversão de Frações
Ordinárias em Números Decimais
1º Caso: Número Decimal Exato – Uma fração
ordinária e irredutível se transformará numa decimal
exata quando seu denominador contiver apenas os
fatores primos 2 , 5 ou 2 e 5. O número de ordens, ou
casas decimais, será dado pelo maior expoente dos
fatores 2 ou 5.
Exemplo 8: A fração ordinária e irredutível 75/52 se
converterá numa Dízima Periódica Composta já que o
seu denominador 52 contém além do fator primo 2, o
fator primo 13 (52 = 22 x 13). Essa Dízima Periódica
Composta terá um ante período com 2 casas decimais,
já que o expoente do fator 2 é 2.
Exemplo 1: A fração ordinária e irredutível 7/4 se
converterá numa decimal exata já que o denominador 4
só contém o fator primo 2, pois (4=22 ). Essa decimal
exata terá 2 casas decimais, já que o expoente do fator
2 é 2.
Exemplo 9: A fração ordinária e irredutível 7/680 se
converterá numa Dízima Periódica Composta já que o
seu denominador 340 contém além dos fatores primos 2
e 5, o fator primo 17 (680 = 23 x 5 x 17). Essa Dízima
Periódica Composta terá um ante período com 3 casas
decimais, já que o expoente do fator 2 é 3.
Exemplo 2: A fração ordinária e irredutível 71/125 se
converterá numa decimal exata já que o seu
denominador 125 só contém o fator primo 5 (125 =53 ).
Essa decimal exata terá 3 casas decimais, já que o
expoente do fator 5 é 3
IV – Geratriz de uma dizima periódica:
Definimos Geratriz de uma dízima periódica
como sendo a fração ordinária que originou essa dízima.
Exemplo 3: A fração ordinária e irredutível 93/80 se
converterá numa decimal exata já que o seu
denominador 80 só contém os fatores primos 2 e 5 ( 40
= 24 x 5 ). Essa decimal exata terá 4 casas decimais, já
que o expoente do fator 2 é 4.
Exemplo 1: 1/3 é a geratriz da dízima periódica simples
0,333...
Exemplo 2: 23/30 é a geratriz da dízima periódica
composta 0,7666...
2º Caso: Dízima Periódica Simples – Uma fração
ordinária e irredutível se transformará numa Dízima
Periódica Simples quando seu denominador contiver
apenas fatores primos diferente dos fatores primos 2 , 5
ou 2 e 5.
V – Geratriz de uma dizima periódica
simples:
Exemplo 4: A fração ordinária e irredutível 16/9 se
converterá numa Dízima Periódica Simples já que o seu
denominador 9 só contém o fator primo 3.
A geratriz de uma dízima periódica simples é a
fração cujo numerador é o período e cujo denominador
é formado por tantos “noves” quantos forem os
algarismos do período. Se a dízima possuir parte inteira,
ela deve ser incluída à frente dessa fração, formando
um número misto.
Exemplo 5: A fração ordinária e irredutível 43/77 se
converterá numa Dízima Periódica Simples já que o seu
denominador 77 só contém os fatores primos 7 e 11.
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Professor Paulo Hollweg
Exemplo 1: Calcular a geratriz de 0,555...
0,555...
casas decimais e se for uma dízima periódica composta
determine o número de casas decimais do ante período.
5
9
Exemplo 2: Calcular a geratriz de 1,363636...
1,363636... 1
36
99
1
4
11
15
11
Exemplo 3: Calcular a geratriz de 2,006006006...
2,006006006...
2
006
999
2
2
333
3
40
01)
6
04) 21
20
02) 11
26
05) 91
13
03) 12
3
06) 56
8
07) 224
17
08) 34 16
23
33
09) 132
25
10) 875
668
333
n
11) 2
12 16 30
20 24 32
12)
p
5
13). Determine todos os valores possíveis de m,p e q
para que a fração
VI - Geratriz de uma dizima periódica
composta:
56
se converta numa decimal
m
2 .5p.7q
exata com três casas decimais.
14). Determine os valores naturais de m e p para a
A geratriz de uma dízima periódica composta é a
fração cujo numerador é o ante período, acrescido do
período e diminuído do ante período e cujo denominador
é formado por tantos “noves” quantos forem os
algarismos do período, acrescido de tantos “zeros”
quantos forem os algarismos do ante período. Se a
dízima possuir parte inteira, ela deve ser incluída à
frente dessa fração, formando um número misto.
fração
ordens decimais e tenha o maior valor possível.
15). Que relação deve haver entre a e b de modo que a
fração
036 03
900
33
900
16). Determine o valor mínimo da soma dos naturais
m+n de modo que a fração
11
300
430 4
990
1
426
990
Calcule as geratrizes das dízimas periódicas:
236
165
17)
18)
19)
20)
21)
22)
23)
Exemplo 3: Calcular a geratriz de 2,14272727...
2,14272727...
2
1427 14
9900
352
se converta numa
34m.9n
dízima periódica composta com 2 algarismos na parte
não periódica.
Exemplo 2: Calcular a geratriz de 1, 430 .
1, 4303030... 1
25a
seja a geratriz de uma dízima periódica
125b.51
simples.
Exemplo 1: Calcular a geratriz de 0,03666...
0, 03666 ...
37
se converta numa decimal exata com 4
m
4 .25p
2357
1100
Obs.: Para facilitar as operações entre números
decimais, toda dízima periódica deve ser convertida em
sua fração geratriz e somente aí serem efetuadas as
operações necessárias. Fica mais fácil se trabalharmos
com todos os números no mesmo formato, ou
fracionários ou decimais.
0,555...
2,(36)
1,(09)
5,018018018...
1,04727272...
1,32(4)
1,05(3)
24)
25)
26)
27)
28)
29)
30)
Calcule o valor das expressões abaixo:
31)
Exercícios:
Determine a natureza de cada uma das
frações quando convertidas em números decimais. Se a
resposta for uma decimal exata, determine o número de
0,444...
0,666...
32) 0,(15) – (0,333...)2 =
4
1,030303...
0,003003003...
2,027027027...
0,0666...
2,06818181...
1,291666...
3,61666...
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33). O quociente
Professor Paulo Hollweg
(E) 1 dia, 9 horas, 50 minutos e 24 segundos
x
dos números x = 0,01010101... e
y
39). (UFRGS 2002) Os
y = 0,1010101010... é:
a:
(A) irracional (B) 10 (C) um inteiro diferente de 10
(D) 0,001
(E) 0,1
34). Se a = 0,333... e b = 0,444..., então
a:
(A) 0,222...
(B) 0,444...
(D) 0,777...
(E) 0,999...
3
1
(A) 1 hora, 4 minutos e 4 segundos
(B) 1 hora, 26 minutos e 4 segundos
2a b é igual
(C) 1 hora, 26 minutos e 24 segundos
(C)0,666...
(D) 1 hora, 40 minutos e 4 segundos
(E) 1 hora e 44 minutos
2
35). O valor de
(0,2)
(A)0,0264
(B)0,0336
(0,16) é:
40). (UFRGS 2001) 0,3 semanas corresponde a:
(C)0,1056 (D)0,2568
(A) 2 dias e 11 horas
(E) 0,6256
(B) 2 dias, 2 horas e 4 minutos
36). A expressão
y
(D)
x
y
y
x
1
(C) 2 dias, 2 horas e 24 minutos
x
, para x 0 e
y
(D) 2 dias e 12 horas
0, equivale a:
(A) –y
x y
x
(E) 3 dias
(B)
y
x
(E)
x y
y
x
41).
(UFRGS
2008)
Se
y 0,060606... , então x+y é igual a:
(C) –x
(A) 1,01
(D)
37).(UFRGS 1999) A dívida de uma pessoa dobra a
cada três meses. Se a dívida está acumulada hoje em
1200 reais, há seis meses atrás a dívida era de:
(A) R$ 75,00
3
de um dia correspondem
50
(B) 1,11
100
99
(E)
0,949494...
(C)
10
9
110
9
Gabarito
(B) R$ 150,00 (C) R$ 300,00
(D) R$ 450,00 (E) R$ 600,00
38). (UFRGS 2000) Considerando que um dia equivale
a 24 horas, 1,41 dias equivale a:
(A) 1 dia, 4 horas e 10 minutos
(B) 1 dia, 9 horas e 8 minutos
(C) 1 dia, 9 horas, 50 minutos e 4 segundos
(D) 1 dia, 9 horas, 50 minutos e 40 segundos
5
33-E
34-B
35-B
36-D
38-E
39-C
40-C
41-D
37-C
e