Física Geral I - F 128 Aula 7 Energia Cinética e Trabalho 2o semestre, 2011 Energia As leis de Newton permitem analisar vários movimentos. Essa análise pode ser bastante complexa, necessitando de detalhes do movimento que são inacessíveis. Exemplo: qual é a velocidade final de um carrinho na chegada de um percurso de montanha russa? Despreze a resistência do ar e o atrito, e resolva o problema usando as leis de Newton. vi = 0 vf = ? F128 – 1o Semestre de 2012 2 Energia Vamos aprender uma técnica muitas vezes mais poderosa (e mais simples) para analisar o movimento. Essa maneira acabou sendo estendida a outras situações, tais como reações químicas, processos geológicos e funções biológicas. Essa técnica alternativa envolve o conceito de energia, que aparece em várias formas. O termo energia é tão amplo que é difícil pensar em uma definição concisa. Tecnicamente, a energia é uma grandeza escalar associada a um estado de um ou mais corpos (sistema). Entretanto, esta definição é excessivamente vaga para ser útil num contexto inicial. Devemos nos restringir a determinadas formas de energia, como a manifestada pelo movimento de um corpo, pela sua posição em relação a outros, pela sua deformação, etc. F128 – 1o Semestre de 2012 3 Energia Energia é um conceito que vai além da mecânica de Newton e permanece útil também na mecânica quântica, relatividade, eletromagnetismo, etc. A conservação da energia total de um sistema isolado é uma lei fundamental da natureza. F128 – 1o Semestre de 2012 4 Energia Importância do conceito de energia: • Processos geológicos • Balanço energético no planeta Terra • Reações químicas • Funções biológicas (maquinas nanoscópicas) ADP ATP ( energia armazenada) ATP ADP ( energia liberada) • Balanço energético no corpo humano F128 – 1o Semestre de 2012 5 Energia cinética e trabalho A energia cinética K é a energia associada ao estado de movimento de um objeto. A energia cinética K de um objeto de massa m, movendo-se com velocidade v (muito menor que a velocidade da luz) é: 1 K = mv 2 2 A unidade de energia cinética no SI é o joule (J): 1 joule = 1 J = 1 kg.m2.s-2 Quando se aumenta a velocidade de um objeto aplicando-se a ele uma força, sua energia cinética aumenta. Nessa situação, dizemos que um trabalho é realizado pela força que age sobre o objeto. “Realizar trabalho”, portanto, é um ato de transferir energia. Assim, o trabalho tem a mesma unidade que a energia e é uma grandeza escalar. F128 – 1o Semestre de 2012 6 Energia cinética e trabalho Veremos a relação entre forças agindo sobre um corpo e sua energia cinética. Problema 1-D: um corpo de massa m desloca-se na direção-x sob ação de uma força resultante constante que faz um ângulo θ com este eixo. Da segunda lei de Newton a aceleração na direção-x é: F Fx Fx 2 2 ax = v − v 0 = 2a x d = 2 d m v v m 0 θ x • • 1 1 2 m 2 m v − mv0 = Fx d Então: d 2 2 O lado esquerdo representa a variação da energia cinética do corpo e o lado direito é o trabalho, W, realizado pela força para mover o corpo por uma distância d: W = Fxd = F ⋅ d (o produto escalar vem do fato que Fx = F cosθ) Se um objeto está sujeito a uma força resultante constante, a velocidade varia conforme a equação acima após percorrer uma distância d. F128 – 1o Semestre de 2012 7 Trabalho de força constante: força gravitacional Se o corpo se eleva de uma altura d, então o trabalho realizado pela força peso é: v W = mgd cosθ= mgd cos 1800 = − mgd Fg vo d Fg O sinal negativo indica que a força gravitacional retira a energia mgd da energia cinética do objeto durante a subida. Agora, qual é o trabalho realizado pela força peso sobre um corpo de 10,2 kg que cai 1,0 metro? W = mgd = 10,2×9,8×1,0 ≈ +100 J Neste caso, qual é a velocidade final do corpo, se ele parte do repouso? ΔK = 1 2 1 2 1 2 mv f − mvi = mv f = W ⇒ 2 2 2 F128 – 1o Semestre de 2012 vf = 2W 200 = = 4,4 m/s m 10,2 ( O mesmo resultado, obviamente, poderia ter sido obtido diretamente da equação de Torricelli). 8 Trabalho de forças constantes Modelo para resolver o problema: f at N mg F Δx Trabalho realizado pelos carregadores: Trabalho realizado pela força de atrito: Se o carrinho se desloca com velocidade constante: Wc = FΔx Wa = f aΔx cos π = − f aΔx ΔK =0 E a força resultante é nula, pois não há aceleração: ∑i Fi = F + fa Isto é consistente com o fato de que o trabalho total ser nulo: Wc+Wa = 0. (O trabalho da força peso e normal são nulos, pois o deslocamento é perpendicular a estas forças!) F128 – 1o Semestre de 2012 9 Trabalho e energia cinética em 2D ou 3D (Força resultante constante com 3 componentes) Δ s Se uma força resultante F constante numa provoca um deslocamento partícula de massa m, o trabalho de F é: Para cada componente: 1 1 Fx Δx = mvx2 − mv02x 2 2 W = F ⋅Δs 1 1 Fy Δy = mv y2 − mv02y 2 2 1 1 Fz Δz = mvz2 − mv02z 2 2 Então: 1 1 W = F ⋅Δs = Fx Δx + Fy Δy + Fz Δz = m(v 2x +v 2y + v 2z ) − m( v 0 2x +v 0 2y + v 02z ) 2 2 Ou seja: F128 – 1o Semestre de 2012 1 1 2 W = mv − mv02 2 2 10 Trabalho de uma força variável (1-D) Seja F = F(x) a força resultante que atua sobre uma partícula de massa m. Dividimos o intervalo (x2 - x1 ) em um número muito grande de pequenos intervalos Δxi. Então: W = ∑ i FiΔxi No limite, fazendo Δxi à 0 Δxi à 0 x2 W = ∫ F ( x)dx x1 (O trabalho é a área sob a curva de força em função da posição!) F128 – 1o Semestre de 2012 11 Energia cinética e trabalho Substituindo a força pela segunda lei Newton teremos: xf xf W = ∫ F(x) dx = m∫ xi xi x f (v f ) vf dv dx dx = m ∫ dv = m∫ v dv dt dt x (v ) v i i i 1 = m(v 2f − vi2 ) = ΔK 2 Ou seja: 1 W = m(v 2f − vi2 ) = ΔK 2 Este é o teorema do trabalho-energia cinética: W = área = ΔK “O trabalho da força resultante que atua sobre uma partícula entre as posições x1 e x2 é igual à variação da energia cinética da partícula entre estas posições”. F128 – 1o Semestre de 2012 12 Trabalho realizado por uma força elástica Força da mola: F(x) = − kx F(x) F(x) = − kx xf Wmola = xi xf ∫ F(x) dx xi x xf Wmola F x (mola sendo esticada) F128 – 1o Semestre de 2012 1 = −k ∫ xdx = − k ( x 2f − xi2 ) 2 xi Se o trabalho sobre a mola (massa) for realizado por um agente externo, seu valor é o obtido acima, porém com sinal trocado. Se xi < xf à W < 0 13 Teorema do trabalho-energia cinética: força variável v Uma massa m atinge uma mola não distendida com velocidade 0 . Qual é a distância que a massa percorre até parar? v0 k O trabalho da força da mola até a massa parar é: m Δx 1 1 W = − k ( x 2f − xi2 ) = − kx 2f 2 2 A variação da energia cinética será: ΔK = (pois xi = 0) 1 1 2 2 2 m ( v f − vi ) = − mv0 2 2 Portanto, ΔK = W ⇒ kx 2f = mv02 ⇒ x f = − F128 – 1o Semestre de 2012 m v0 ⇒ k Δx = m v0 k 14 Trabalho de uma força variável: 3D O trabalho infinitesimal dW de uma força F agindo em uma partícula ao longo de um deslocamento infinitesimal ds é: F ds ds F dW =F ⋅ ds (Trajetória C) Portanto o trabalho total, W, será a soma de F (em cada instante devemos calcular dW = Fds cosθ) θ todos estes trabalhos infinitesimais, dW, ao longo da trajetória descrita pela partícula. Esta soma leva uma nome e uma símbolo especial; é a Integral de Linha W = ∫dW =∫ F ⋅ ds = ∫ F ds cosθ ds C Se F = Fx i + Fy ˆj + Fz kˆ e Fx = Fx (x ) ; Fy = Fy ( y ) ; Fz = Fz (z ) F128 – 1o Semestre de 2012 C C xf yf zf xi yi zi W = ∫ Fx dx + ∫ Fy dy + ∫ Fz dz 15 Exemplo: Movimento circular uniforme v Ausência de trabalho no movimento circular uniforme ds A força centrípeta não realiza trabalho: dW = Fc ⋅ ds = 0 , pois Fc ⊥ ds F c Ou, pelo teorema do trabalho-energia cinética: ΔK = W = 0 v =cte A força Fc altera apenas a direção do vetor velocidade, mantendo o seu módulo inalterado. F128 – 1o Semestre de 2012 16 Potência Até agora não nos perguntamos sobre quão rapidamente é realizado um trabalho! A potência P é a razão (taxa) de realização do trabalho por unidade de tempo: dW P= dt Unidade SI: J/s = watt (W) Considerando o trabalho em mais de uma dimensão: dW dr P= =F⋅ dt dt dW = F ⋅ dr O segundo termo é a velocidade. Então: P= F ⋅v F128 – 1o Semestre de 2012 17 Trabalho e potência 100 m rasos × Maratona P. A. Willems et al, The Journal of Experimental Biology 198, 379 (1995) 100 m rasos Maratona (42.142 m) Trabalho realizado sobre o corredor: 2,1 × 104 J Trabalho realizado sobre maratonista: 5,9 × 106J Potência: 2,1×104 J P100 = = 2100 W 10 s Potência: F128 – 1o Semestre de 2012 5,9×106 J P100 = = 816 W 2×60×60 s 18 Um pouco de história definição da unidade cavalo-vapor: 1 cv = 550 lb.ft/s 1 cv = 746 W James Watt 1736-1819 v = 1,0 m/s m ~ 76 kg Esquema de máquina a vapor de James Watt (1788) F128 – 1o Semestre de 2012 Unidade de potência criada por Watt para fazer o marketing de sua máquina em uma sociedade fortemente dependente do (e acostumada ao) trabalho realizado por cavalos. 1a motivação: retirada da água das minas de carvão. 19 Energia cinética relativística: curiosidade (energia cinética relativística) relativística K/mc2 ⎛ ⎞⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜ 1 ⎟⎟ 2⎜ ⎜ K = m0 c ⎜ −1⎟⎟ 2 ⎟⎟ ⎜⎜ v ⎟⎟ ⎜⎜ 1− 2 ⎟⎠ ⎝ c clássica No limite para v << c : 1 K = m0 v 2 2 v/c (energia cinética clássica) F128 – 1o Semestre de 2012 20