Aula 6 Ótica geométrica (complementos)

Aula 6
Ótica geométrica (complementos)
Referência: E. Hecht, óptica, Fundação Calouste Gulbekian, segunda edição portuguesa (2002);
Óptica moderna – Fundamentos e Aplicações S. C. Zílio (e-book)
-Desenho e Fabricação Óptica – S. C. Zílio (e-book)
-Internet
-Artigos RBEF, The Physics Teacher, Physics Education, American Journal of Physics, European Journal
of Physics, etc...
Na aula anterior estudamos a teoria paraxial aplicada a sistemas de lentes esféricas
e delgadas. Duas aproximações foram realizadas:
1- todas as lentes eram delgadas;
2- A teoria de primeira ordem era suficiente para a sua análise;
Sistemas óticos reais que exigem precisão, no entanto, não são compatíveis com
estes pressupostos.
LENTES ESPESSAS
Plano
principal
objeto
Foco objeto
Fo
V1
H1
Veremos que uma lente espessa pode ser encarada como um conjunto
de lentes delgadas
LENTES ESPESSAS
Plano
principal
imagem
Foco imagem
V2
Fi
H2
Veremos que uma lente espessa pode ser encarada como um conjunto
de lentes delgadas
OS SEIS PONTOS CARDINAIS (2 focais, 2 principais e 2 nodais)
Pontos principais objeto e imagem
Fo
Fi
H1
H2
Pontos focais
PONTOS NODAIS
N1
O
N2
Numa lente imersa num meio único,
normalmente o ar, os pontos nodais
(N1 e N2 ) e os pontos principais (H1
e H2 ) coincidem
Centro ótico
Nas lentes simétricas, os planos principais se distribuem simetricamente
Regra útil: para lentes de vidro no ar, a
separação H1 H2 é aproximadamente igual
a um terço da espessura V1 V2
A lente plástica plana de um retroprojetor pode ser usada para figuras cômicas
Formulação Matricial
Ideal para descrever sistemas com muitos elementos óticos
θe
θi
Ye = S11 Yi + S12 θi
θe = S21 Yi + S22 θi
Yi
Ye
 Ye   S11
  = 
 θ e   S 21
Re = S Ri
S12  Yi 
 
S 22  θ i 
Rn = S n S n −1 ....S1 Ri
Ex. Matriz S para uma lente positiva
s’
s
d’
objeto
f
d
f
imagem
Na aproximação paraxial, d e d’ são muito menores do que f
Para o raio 1: Yi = Ye = +d’ , θi ≈ d’/f, θe = 0
Para o raio 2 :Yi = Ye = -d , θi =0, θe ≈ d’/f
raio 1
raio 1
 Ye   S11
  = 
 θ e   S 21
 d '   S11
  = 
 0   S 21
S12  Yi 
 
S 22  θ i 
S12  d ' 
 d '
S 22  f 
 
s’
s
d’
objeto
θi
f
d
f
raio 2
raio 2
imagem
− d   S
 d '  =  11

  S 21
 f 
S12  − d 


S 22  0 
Temos, então:
 1 0


−
1
S=
1

 f

aberrações
Teoria de terceira ordem
senθ = θ −
θ3
3!
+
θ5
5!
−
Paraxial ou
primeira ordem
Os desvios em relação à teoria de primeira ordem dão origem às aberrações
primárias.
Aberração esférica:
esférica consiste na dependência da distância focal com a
abertura para raios não paraxiais.
Aberração esférica longitudinal
h
C
F
R
n
n1 n2 n2 − n1
2
+
=
+h  1
s o si
R
 2 so
 1 1
n2  1 1  
 +  +
 −  
2 s i  R si  
 so R 

2
Termo adicional
2
Foco paraxial
Coma: aberração primária monocromática, que degrada a imagem de
objetos pontuais não axiais. A origem do coma reside no fato de que os
“planos” principais só são realmente planos na região paraxial, sendo de fato
superfícies curvas.
Plano
principal
objeto
Foco objeto
Fo
V1
H1
A distância focal efetiva varia quando se consideram raios que atravessam a
lente em posições não axiais. Quando a imagem se forma sobre o eixo ótico,
esta situação é irrelevante; no entanto, para feixes de raios oblíquos e imagens
não axiais, o coma torna-se bem visível.
Ótica da partículas carregadas
Refração de um feixe de partículas
d
E=0
E=0
v2y = v1y
θr
v2x
θi
v1y
v1x
V1
V1
V2
E = (V2 –V1)/d
V2
Supondo que o elétron foi acelerado a partir do repouso
q(V1 –Vo )= ½ mv12
d
E=0
Quando cruza a superfície equipotencial, a
componente tangencial de sua velocidade
(vosenθi) não mudará, mas a componente
normal (vocosθi) mudará para vocos(θr).
Então
E=0
v2y = v1y
θr
v2x
θi
v1 senθ i = v2 senθ r
v1y
v1x
V1
V1
V2
V2
E = (V2 –V1)/d
senθ i v1
=
=
senθ r v 2
(V1 − Vo ) n1
=
(V2 − Vo ) n 2
Analogia com lentes óticas
+
+
+
+
+
+
-
-
Ótica de partículas em campos axialmente simétricos
Na ausência de campos magnéticos, a equação do movimento de uma partícula
carregada e escrita como
d x
∂φ
m 2 =q
∂x
dt
2
d 2x
∂φ
m 2 =q
∂x
dt
d 2x
∂φ
m 2 =q
∂x
dt
Na ausência de fontes, a equação de Lapace pode ser escrita como
∂ φ ∂ φ ∂ φ
+
+
=
0
2
2
2
∂x
∂y
∂z
2
2
2
De modo geral, não há solução analítica para a maioria dos casos, mas pode-se
resolver numericamente. A maioria das lentes eletrostáticas, sao feitas por campos
elétricos com simetria axial, obtidas por tubos ou aberturas cilíndricas.
Lente eletrostática consistindo de dois tubos cilindricos. a)
representação esquemática, b) o potencial e sua segunda
derivada, c) analogia com a ótica geométrica.
Solução numérica: Método da relaxação
∂
∂
∇U = 2U+ 2U
∂x
∂y
2
2
2
∂
∆U U(x+∆x 2, y)−U(x−∆x 2, y)
=
U≈
∂x
∆x
∆x
Segunda derivada
∂2
∂  U ( x + ∆x 2, y ) − U ( x − ∆x 2, y ) 
U
= 
2

∂x
∂x 
∆x

Vamos calcular o primeiro termo da expressão acima:
1  ∂
∂

=
U
(
x
+
∆
x
2,
y
)
−
U
(
x
−
∆
x
2,
y
)


∆x  ∂x
∂x

∂
U ( x + ∆x 2, y )
∂x
1
U ( x, y ) = (U ( x + ∆, y ) + U ( x, y + ∆) + U ( x − ∆, y ) + U ( x, y − ∆))
4
(x,y+∆)
(x-∆,y)
(x,y)
(x,y-∆)
(x+∆,y)
Representação de uma lente espessa
Plano principal
Plano de referência
P
P1
P2
objeto
F2
imagem
F1
f2
f1
Q
F1
Plano principal
F2
A partícula entrando na lente paralela ao eixo ótico segue uma linha reta até o
plano principal P2, onde a trajetória é refratada de tal modo que passa pelo ponto
focal F2.
A partícula passando pelo ponto focal F1 segue uma linha reta até o plano
principal P1e é então refratada de tal modo que deixa a lente paralela ao eixo
ótico.
Trajetórias paralelas na entrada, se cruzam no ponto focal F2.
Algumas relações úteis podem ser obtidas a partir da lente espessa:
( P − F1 )(Q − F2 ) = f 1 f 2
f1
(Q − F2 )
M =−
=−
( P − f1 )
f2
magnificação linear (r2/r1).
Geometria de lentes
V1
V2
D
0.1 D
V1
V2
V3
D
0.1 D
V1
V2
V3
V4
D
0.1 D
0.1 D
Programas de simulação
Lente einzel
16
100 eV
90 eV
80 eV
70 eV
Q/D
12
8
4
12
14
16
18
20
22
24
26
P/D
( P − F1 )(Q − F2 ) = f 1 f 2