Momento Linear e sua Conservação

Mecânica
Momento Linear e sua Conservação
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1
Quantidade de Movimento (ou Momento Linear)
Na mecânica newtoniana definimos a grandeza física denominada quantidade de movimento (ou
momento linear) como aquela que resulta do produto da velocidade de uma partícula pela sua massa


p = mv .
( 1 )
onde a grandeza velocidade é definida como:

 dr
v=
dt
( 2 )
Veremos que nem sempre a definição (000) se aplica a todos os casos. Por exemplo, na mecânica
relativística adotamos outra relação entre momento e velocidade de uma partícula.
À primeira vista, parece ser uma mera definição de mais uma grandeza a partir de outras conhecidas.
A relevância dessa grandeza física (a quantidade de movimento) foi percebida e, consequentemente, introduzida por Newton.
A quantidade de movimento é uma grandeza fundamental na Física. Com o advento da teoria da
relatividade de Einstein, percebemos que ela é mais do que simplesmente uma grandeza derivada
de outras duas. Na mecânica relativística o momento é definido, em função da velocidade, como

p=

mv
1 − v2 / c2
( 3 )
onde (na expressão acima) é a velocidade da luz no vácuo. Assim, na mecânica clássica, temos duas
definições de momento linear.
Na Física moderna, particularmente na teoria quântica, o momento é considerado como uma
grandeza independente da massa e da velocidade. Por exemplo, sabemos que faz sentido falar
em quantidade de movimento mesmo para partículas de massa zero, como o fóton. Nesse caso,
obviamente, não faz sentido adotar a definição p = mv. Faz sentido, no entanto, falar de momento do
fóton. De fato, uma das formas de verificar tal asserção é lembrar que a energia E de uma partícula
de massa zero é dada pelo produto do módulo do momento da partícula pela velocidade da luz:
E = pc
( 4 )
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2
O fato é que podemos considerar o momento linear como uma grandeza física fundamental
que, muitas vezes, se relaciona com a grandeza velocidade.
Momento se torna uma grandeza fundamental na análise das colisões, por exemplo, e isso
porque essa grandeza é sempre conservada em todos os processos de colisão. Sua conservação nos
obriga a incluir a análise do momento total em várias circunstâncias. Em particular, no movimento
do centro de massa de corpos rígidos.
Em todos os processos existe a conservação
da quantidade de movimento total.
Impulso e Forças Impulsivas
Impulso é uma grandeza física e, às vezes, de grande relevância. Muitas vezes dizemos que uma
partícula adquire, durante uma colisão, um impulso. Assim, se uma partícula altera o seu momento


durante um intervalo de tempo, dizemos que ela adquiriu um impulso. Sejam p f e pi os momenta
(plural de momentum em latim) da partícula antes da colisão e depois da colisão, respectivamente.

Definimos impulso, uma grandeza vetorial, representada por I , como a variação de momento.
Ou seja,

 

I = ∆p = p f − pi
( 5 )
Pode-se pensar no impulso como uma variação do momento para dois instantes de tempo.
Assim, se o intervalo de tempo for ∆t, podemos escrever:



I ( ∆t ) = p ( t + ∆t ) − pi ( t )
( 6 )
De acordo com a segunda lei de Newton,



I (dt=
) dp
= dtF
( 7 )
Figura 1
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3
Se efetuarmos a soma do lado direito dessa expressão desde o instante de tempo t = 0, por
exemplo, até um instante de tempo final,Tf ,quando dois objetos que colidem não estão mais em
contato, obteremos o impulso da partícula que colidiu. Ou seja,
Tf 


p (T f ) − p ( 0 ) = ∫ F ( t ')dt '
0
( 8 )
O impulso ocorreu, nesse caso, por meio da variação da força em função do tempo. Escrevemos:

Tf 
∆I = ∫ F ( t ')dt '
0
( 9 )
Sendo o impulso uma grandeza vetorial, ele pode ser escrito em termos das suas componentes.
Para a componente x escrevemos:
Tf 
∆I x = ∫ Fx ( t ') dt '
0
( 10 )
Para a componente vale uma expressão análoga:
Tf 
∆I y = ∫ Fy ( t ') dt '
0
( 11 )
Podemos escrever uma expressão semelhante para a componente z.
Figura 2: Em todos os processos existe a conservação da quantidade
movimento total.
O que é importante destacar no mundo subatômico é o fato de que impulso é um conceito
que pode estar desvinculado do conceito de força e ele pode ser empregado quando falamos de
interação, em vez de forças. Ou seja, nem sempre impulso está relacionado a forças.
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4
Considere o caso em que um elétron incida numa região do espaço e que, repentinamente,
absorve um fóton. Como um resultado da absorção de um fóton ele muda o momento. Adquiriu
um momento sem, no entanto, podermos falar em forças agindo sobre o elétron.
O elétron recebe um impulso, mas esse impulso corresponde à variação do momento. Se inicial
mente o seu momento era p ' (veja figura), e no estágio final (depois da absorção do fóton) o seu

momento passou a ser p, o impulso associado a essa interação eletromagnética é:
  
I = p − p′
( 12 )
Momento Linear como Variável Dinâmica
O momento linear é a variável fundamental tanto na física clássica quanto na física moderna.
Em qualquer das formulações da mecânica, quer seja a newtoniana ou a relativística, as leis da
dinâmica são escritas de modo a estabelecer uma relação entre a taxa de variação instantânea do
momento de uma partícula e a força (ou forças) que age sobre ela. Ou seja, em qualquer dos dois
regimes (relativístico ou não), a segunda lei de Newton se escreve como:
 dp
F= .
dt
( 13 )
o que nos permite definir a força como o agente físico responsável pela variação da quantidade de
movimento. Em termos das componentes da força e do momento escrevemos:
dpx
= Fx
dt
dp y
= Fy
dt
dpz
= Fz
dt
( 14 )
Na mecânica newtoniana, essa relação decorre da definição de momento. Ou seja, a relação
acima é óbvia, uma vez que

 dp d ( mv )
dv
F=
=
=m
dt
dt
dt
( 15 )
Figura 3: Impulso é algo que pode ser definido sem
introduzir, necessariamente, o conceito de força.
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5
Consequentemente, momento linear é uma grandeza mais fundamental do que a grandeza
velocidade.
Observe-se que, no caso da teoria da relatividade, 000 é o agente responsável pela variação de
momento.
No caso não relativístico, forças podem ser entendidas como agentes responsáveis pela variação
tanto da velocidade quanto de momento.
No regime relativístico (velocidades próximas da velocidade da luz), entendemos que forças são
os agentes responsáveis pela variação do momento linear e não da velocidade. Na mecânica relativística, a relação entre taxa de variação da velocidade e força é mais complexa, pode







 dv
mdp md γv mγdv mvd γ
vd  v 2  
 dv vd ln 2  
=
m
=
=
+
= mγ  + γ 2
γ
 2 
 dt dt γ  = F
dt
dt
dt
dt
dt
dt
i




( 16 )
ou seja, na física moderna não existe uma relação entre força e taxa de variação instantânea
da velocidade. E isso demonstra a relevância do conceito de momento linear, especialmente no
contexto da Física Moderna.
Nas formulações mais avançadas da mecânica clássica e na própria mecânica quântica,
utilizamos o conceito de momento considerando-o independente daquele associado à velocidade.
A base de algumas formulações da mecânica consiste em tratar o momento como se fosse uma
variável dinâmica da teoria. Assim, definimos a função hamiltoniana H(x, y, z, px, py, pz) como dada
pela expressão:

p2
H ( x, y , z , p x , p y , p z ) =
+ U ( x, y , z )
2m
( 17 )
Nessa formulação,em vez de trabalhar com três variáveis, nós ampliamos esse número para seis
variáveis. Temos, assim, seis equações de primeira ordem:
∂H dx
=
∂Px dt
dP
∂H
=− x
∂x
dt
∂H dy
=
∂Py dt
dP
∂H
=− y
dt
∂y
∂H dz
=
∂Pz dt
dP
∂H
=− z
∂z
dt
( 18 )
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6
Note-se que, nesse formalismo, temos a rigor 6 equações de primeira ordem em vez de 3 equações de segunda ordem, como é o caso do formalismo newtoniano XXXX.
Assim, podemos formular a Mecânica sem falar em velocidade. Essa é a base do formalismo
hamiltoniano. No entanto, para a função hamiltoniana dada pela expressão, obtemos de (000) as
seguintes equações:
px dx
=
m dt
p y dy
=
m dt
pz dz
=
m dt
( 19 )
Consequentemente, a relação entre a taxa de variação instantânea das coordenadas e o
momento linear se torna uma consequência das equações de movimento.
No formalismo Hamiltoniano mais geral, no qual empregamos coordenadas generalizadas
(q1, q2, q3) bem como momentos canonicamente conjugados a estas variáveis (p1, p2, p3), a função
hamiltoniana depende dessas variáveis (H(q1, q2, q3, p1, p2, p3)) e cada uma delas é tratada como
variável independente. O fato é que, nas formulações mais avançadas da mecânica, o momento
linear ganha status de variável independente e é, por outro lado, generalizado para variáveis
angulares, por exemplo.
A formulação Hamiltoniana é a base para a formulação da mecânica quântica, na qual o momento
ganha, de uma vez por todas, o status de variável dinâmica independente das demais variáveis.
Conservação do Momento Linear Total
Para um sistema fechado, isto é, quando este sistema não interage com outros, vale o princípio
da conservação do momento linear total. Num sistema fechado, nenhuma partícula pertencente ao
sistema interage com outras partículas externas a esse sistema.
Lembramos que um sistema constituído de um número N de partículas, o estado clássico desse
sistema num determinado instante de tempo, designado por t, é caracterizado pelo N pares constituídos, associados ao momento e posição de cada um dos constituintes:








[ r1 (t ), p1 (t )] , [ r2 (t ), p2 (t )] ,....[ ri (t ), pi (t )] ,.....[ rN (t ), pN (t )])
( 20 )
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7

Definimos o momento linear total, representado pelo símbolo P , como a grandeza que resulta
da soma dos momentados constituintes do sistema. Ou seja,
 



P = p1 (t ) + p2 (t ) + ⋅⋅⋅ + pi (t ) + ⋅⋅⋅ pN (t )
( 21 )
ou, alternativamente,
 N 
P = ∑ pi (t )
( 22 )
i =1
A conservação do momento linear total, válida para um sistema fechado, pode ser formulada em
termos da taxa instantânea de variação do momento total da seguinte forma:

dP
=0
dt
( 23 )
Ou, de outra forma, esse princípio assegura que o momento linear total é constante:
 
P = P0
( 24 )
Ou seja, o momento linear total é uma grandeza física que é igual, é constante ao longo do
tempo, apesar de cada termo da soma não o ser. Ademais, ela é constante, não importando o
movimento das partículas que compõem o sistema. Diz-se que ela é uma grandeza física que é
conservada ao longo do tempo.
Tem-se verificado, experimentalmente, a validade da conservação do momento linear em todos
os processos físicos. Não são conhecidas exceções a essa regra.
Para demonstrar a validade da expressão (000), lembramos, primeiramente, que sobre a i-ésima
partícula atuam forças de duas naturezas: as forças internas e as forças externas.



F (i ) = Fext (i ) + Fint (i )
Figura 4: Verificando experimentalmente a
conservação do momento linear.
( 25 )
A seguir, admitiremos que as forças externas sejam nulas. Essa é a hipótese básica que faremos.
Figura 5
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8

O que foi denominado força interna Fint ( i ) agindo sobre a i-ésima partícula resulta ser uma soma
sobre forças internas





Fint (i ) = Fi 2 + Fi 3 + Fi 4 + .... + FiN
( 26 )


onde Fij é a força exercida pela j-ésima partícula sobre a i-ésima. Assim, F12 é a força exercida pela
partícula 2 sobre a partícula 1. No entanto, é bom lembrar que a partícula 1 exerce, de acordo
com a lei da ação e reação, uma força sobre a partícula 2 de mesmo módulo, mesma direção, mas
sentidos opostos. Escrevemos:


F12 = − F21 3ª Lei de Newton
( 27 )
De acordo com (000), cada partícula pode interagir com todas as demais. Pode-se mostrar que a
forma geral das forças internas é
 

ri − rj
 
Fij =   f ri − rj
ri − rj
(
(

)
( 28 )

)

onde f ri − rj é uma função que depende da distância entre as partículas. Os vetores ri e rj são os
vetores posição da i-ésima e j-ésima partícula, respectivamente.
Quando escrevemos a segunda Lei de Newton para cada uma das partículas, o resultado será:




dp1 
= F12 + F13 + F14 + .... + F1N
dt




dp2 
= F21 + F23 + F24 + .... + F2 N
dt




dp3 
= F31 + F32 + F34 + .... + F3 N
dt
.
.
.





dpN
= FN 1 + FN 2 + FN 3 + .... + FNN −1
dt
( 29 )
Figura 6: Center of Mass of a System of Particles.
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9
Portanto, temos um conjunto de N equações de movimento, equações acopladas. O próximo
passo consiste em somar essas equações. Tendo em vista a terceira lei de Newton, válida para
pares de força,
Resulta que a soma do lado direito de (000) se anula. Por exemplo, no caso de duas partículas, temos



dp1 dp2 
+
= F12 + F21 = 0
dt
dt
( 30 )
As forças são tais que, de acordo com (000), e de acordo com a terceira lei de Newton


Fij = − Fji
( 31 )
Consequentemente, na soma dos termos do lado direito de (000), temos o cancelamento das
forças duas a duas na soma, o que resulta em:
dp1 dp2 dp3 dpN
+
+
iii
=0
dt
dt
dt
dt
( 32 )
E, portanto, concluímos que, no caso em que as partículas interagem apenas entre si, o momento
linear total se conserva. Escrevemos:
dP d ( p1 + p2 + p3 iii pN )
=
=0
dt
dt
( 33 )
ou seja, a taxa de variação do momento linear total é igual a zero.
Como podemos entender a conservação do momento linear total? Temos
duas maneiras de entender tal fenômeno. A primeira é atribuí-lo à 3ª Lei de
Newton, aquela que se refere à ação de uma força e sua reação. No entanto,
veremos que a própria Lei de Newton pode ser deduzida por um princípio mais
geral, o princípio da homogeneidade do espaço.
Figura 7: Por que o canhão recua?
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Sistemas com Massa Variável
Pode-se aumentar a velocidade de um objeto aplicando uma força sobre ele. No entanto, essa
não é a única alternativa. Sabemos que, mediante a variação de massa de um foguete, podemos
aumentar sua velocidade. Variação da massa dos foguetes é o princípio da propulsão do foguete,
ou seja, ejetando massa, ele consegue aumentar (ou reduzir) sua velocidade.
Esse é um problema bastante geral, conhecido como problema onde a massa dos objetos é
variável. O princípio básico é a conservação da quantidade de movimento. Ou seja,


Pantes = Pdepois
( 34 )
Muitos sistemas físicos podem perder, ou mesmo ganhar, massa continuamente. Perder massa
pode ajudar a acelerar ou desacelerar objetos em movimento. O exemplo do foguete é um entre
muitos que envolvem massas variáveis. Por exemplo, numa esteira na qual é depositada alguma
substância granular, temos uma situação em que a massa é aumentada continuamente.
A seguir, consideraremos o caso de sistemas que perdem massa mediante a ejeção do combustível. Suponhamos que esse sistema seja um foguete espacial. Consideremos o caso em que o com
bustível seja ejetado a uma velocidade u em relação ao foguete e que essa velocidade se mantenha

constante. Imaginemos que, num determinado tempo t, sua massa seja Me sua velocidade seja V .
O momento linear total é, portanto, nesse instante de tempo dado por:


P = MV
( 35 )
Decorrido um intervalo de tempo infinitesimal, dt, podemos pensar em dois subsistemas:
aquele composto pelo foguete, cuja massa decresceu por um valor infinitesimal – dm – e o
combustível ejetado, de massa dm. Assim, espera-se uma variação de velocidade do foguete,que

representaremos por dV . Decorrido o intervalo de tempo dt, o momento total, que é a soma dos
momentos dos dois sistemas, é:



 
Pdepois = ( M + dM ) V + dV − dM u + V .
(
)
(
)
( 36 )
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11
Figura 8
De acordo com o princípio da conservação do momento linear, o momento acima é igual ao do
instante anterior ao intervalo dt. Assim, podemos escrever:



 
MV = ( M + dM ) V + dV − dM u + V .
(
)
(
)
( 37 )
Desprezando-se, por serem produtos de infinitésimos, na equação acima o termo que envolve

o produto dMdV , ela nos leva a uma relação bastante simples entre a variação da velocidade e a
massa expelida;
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12
Figura 9: Conservação da quantidade de movimento e a aceleração dos foguetes. / Fonte: Nasa.


MdV = dMu .
( 38 )
Dividindo-se a expressão acima pelo intervalo de tempo infinitesimal, obtemos:

 dV   dM
M
=
dt
  dt


 u.

( 39 )
Por outro lado, dividindo-se a expressão (39) por M, obtemos a equação diferencial para a
determinação da velocidade como função da massa:
 dM 
dV =
u.
M
( 40 )
Quando integrada, para valores constantes da velocidade de escape, a equação (40) nos dá a
determinação da velocidade de um foguete como função de sua massa:

   dM  M
V − V0 = u ∫
,
= u ln
M
M0
( 41 )
onde V é a velocidade do foguete quando sua massa era dada pelo valor M0. Dessa expressão
podemos concluir que o aumento da velocidade só é possível se a velocidade do fluido injetado
tiver o sentido oposto ao seu movimento. Caso contrário, ele se desacelerará.
Mecânica » Momento Linear e sua Conservação
13
Quando analisamos a equação (000) levando em conta o tempo, escrevemos:

 M (t )  
V ( t ) = Vo + ln 
( 42 )
u
M
o 


Finalmente, se uma força, designada por F , estiver agindo sobre o foguete, a equação de movimento é:

dV dM  
( 43 )
M
−
u=F
dt
dt
ou, analogamente,

d MV
(
dt
) − dM
dt


(V + u ) = F
( 44 )
Simetrias e Leis de Conservação
Sistemas físicos podem exibir determinadas simetrias. Elas se refletem no fato de que as leis
físicas que regem o comportamento desses sistemas são invariantes sob determinadas transformações. Isso acarreta algumas leis de conservação, ou seja, como resultado da invariância das
leis sob certas transformações, podemos prever que alguns processos físicos jamais ocorrerão.
Eles são proibidos.
Sabemos que todos os processos físicos devem respeitar algumas leis de conservação. São leis
de conservação fundamentais, que podem ser entendidas a partir de simetrias da natureza, ou
seja, da invariância das leis físicas sob determinadas transformações.
O fato de que podemos escolher a origem de um sistema de coordenadas em qualquer ponto do
espaço, assegurando sua homogeneidade, implica a lei da ação e reação de Newton e, consequentemente, a lei ou princípio da conservação do momento linear total.
A invariância das leis físicas sob rotações, invariância essa que decorre de uma propriedade do
próprio espaço, que é sua isotropia, acarreta a conservação do momento angular total.
O fato de que as leis físicas não mudam com o tempo e, consequentemente, são invariantes sob
translação no tempo tem como consequência a conservação da energia.
A conservação da carga elétrica decorre da invariância das leis físicas sob transformações de fase.
Outras transformações acarretam a conservação de grandezas, as quais são genericamente
denominadas números quânticos. Entre eles temos a paridade, a Hipercarga, o Isospin, a estranheza,
Mecânica » Momento Linear e sua Conservação
14
e assim por diante. Não nos debruçaremos sobre esse tema, uma vez que ele iria requerer, para um
bom entendimento, certo grau de formalismo.
Consequência da Simetria Translacional
Consideremos o caso em que dois sistemas de coordenadas difiram apenas pela localização do
ponto de origem O.
Podemos escolher qualquer ponto como origem do referencial: Simetria Translacional.
Nesse caso, os vetores de posição irão diferir apenas por um vetor constante, aqui designado

por r0:
  
r = r ′ + r0
( 45 )
A covariância das equações significa que uma determinada lei será escrita num sistema, o
sistema A da figura, como:
 

F (r ) = ma
( 46 )
enquanto no outro sistema, o sistema B, a lei se escreve:

  

F ′ = F (r ′ + r0 ) = ma′
( 47 )
A invariância de uma grandeza física quando efetuamos translações dessa grandeza tem
um sentido diferente de covariância e, em alguns casos, acarreta consequências interessantes.
Consideremos o potencial de interação entre duas partículas. Para assegurar a invariância por
translações, a energia potencial deve depender das coordenadas de acordo com a expressão:
 
U (r1 , r2 ) = U ( x1 − x2 , y1 − y2 , z1 − z2 )
( 48 )
Figura 10
Mecânica » Momento Linear e sua Conservação
15
Lembrando que a força é obtida como o gradiente dessa função, temos

∂U  ∂U
F12 = −
i−
∂x1
∂y1

∂U  ∂U
F21 = −
i−
∂y2
∂x2
 ∂U
j−
∂z1
 ∂U
j−
∂z2

k

k
( 49 )
Da expressão (000) decorre que a consequência da invariância da energia potencial por
translações no espaço assegura que a força que a partícula 1 exerce sobre a partícula 2 se relaciona
com a força que a partícula 2 exerce sobre a partícula 1 da seguinte forma:


F12 = − F21
( 50 )
que é o enunciado da terceira lei de Newton.
No caso do sistema de partículas que não estejam sob a ação de forças externas, sabemos
que, como resultado da terceira lei de Newton, o momento linear se conserva. Portanto, podemos
enunciar um princípio bastante geral:
A conservação do momento linear é uma consequência
da invariância da dinâmica (no caso, da energia potencial)
sob translações no espaço.
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Créditos
Este ebook foi produzido pelo Centro de Ensino e Pesquisa Aplicada (CEPA), Instituto de Física da Universidade de São Paulo (USP).
Autoria: Gil da Costa Marques.
Revisão Técnica e Exercícios Resolvidos: Paulo Yamamura.
Coordenação de Produção: Beatriz Borges Casaro.
Revisão de Texto: Marina Keiko Tokumaru.
Projeto Gráfico e Editoração Eletrônica: Daniella de Romero Pecora, Leandro de Oliveira e Priscila Pesce Lopes de Oliveira.
Ilustração: Alexandre Rocha, Aline Antunes, Benson Chin, Camila Torrano, Celso Roberto Lourenço, João Costa, Lidia Yoshino,
Maurício Rheinlander Klein e Thiago A. M. S.
Animações: Celso Roberto Lourenço e Maurício Rheinlander Klein.
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