0.2.3 Rotacional

8
0.2.3
Rotacional
O rotacional de num campo vectorial V num ponto r é um vector cujas componentes se
definem a partir do seguinte limite:
1
(rotV(r)) · n = lim
∆σ→0 ∆σ
V(r) · dλ
(24)
λ
em que λ V(r) · dλ é a circulação do campo V ao longo do percurso fechado λ que
delimita a superfı́cie ∆σ. (rotV(r)) · n é a componente do rotational na direcção n
perpendicular à superfı́cie ∆σ.
A partir desta definição segue-se de forma (quase) imediata o teorema de Stokes,
integrando o rotacional numa área finita σ:
σ
rotV(r) · dσ =
V(r) · dλ
(25)
λ
Expressão do rotacional em coordenadas cartesianas
O rotacional pode ser calculado a partir do seguinte determinante formal:
êx êy êz ∂ ∂ ∂ rotV = ∇ × V = ∂x
∂y
∂z Vx Vy Vz (26)
Significado fı́sico
Para ilustrar o significado do rotacional, consideremos uma massa de água que roda com
velocidade angular constante ω em torno de um eixo central vertical êz . A velocidade das
partı́culas de água à distância r do eixo é (em coordenadas cilı́ndricas) v = ω r êφ .
O rotacional de v, calculado a partir da definição, é:
1
(rotV(r)) · êz = lim
∆σ→0 ∆σ
1
v(r) · dλ = lim 2
r→0 πr
λ
ωr
ω r êφ · dλêφ = lim 2
r→0 πr
λ
dλ = 2ω
λ
(27)
A componente do rotacional na direcção de êz corresponde pois ao dobro da velocidade
angular.
0.2. CAMPOS E OPERADORES DIFERENCIAIS
0.2.4
9
Laplaciano
O laplaciano de um campo escalar φ é um operador diferencial de segunda ordem que
corresponde à divergência do gradiente desse campo:
lap φ = div(grad φ) = ∇ · ∇φ = ∇2 φ
(28)
O uso do operador ∇ permite-nos obter imediatamente as componentes cartesianas
do operador laplaciano:
∇2 φ =
∂ 2φ ∂ 2φ ∂ 2φ
+
+ 2
∂x2 ∂y 2
∂z
(29)
Significado fı́sico
Através de um desenvolvimento em série de Taylor em torno de um ponto r0 , é possı́vel
demonstrar que o laplaciano nesse ponto é proporcional à diferença entre o valor médio φ̄
do campo no elemento de volume em torno do ponto e o valor φ0 do campo em r0 . Este
resultado permite-nos interpretar imediatamente as equações que contenham o operador
laplaciano. Um exemplo particularmente importante é o da equação de Laplace que
(conforme veremos mais adiante na disciplina), governa o potencial electrostático no vazio:
∇2 V = 0
(30)
Esta equação basicamente informa-nos então que o valor médio do potencial em torno
de um ponto P é igual ao valor do potencial no próprio ponto P.
0.2.5
Alguns resultados importantes
Seguem-se alguns resultados particularmente importantes:
O rotacional do gradiente de um campo escalar V é nulo.
∇ × (∇V ) = 0
(31)
Então, a um campo vectorial V cujo rotacional seja nulo pode ser associado, com
imensas vantagens de cálculo, um campo escalar φ. É o que acontece, por exemplo, com o
campo electrostático E, a que se associa o potencial electrostático V , convencionando-se,
10
conforme veremos no decurso da disciplina, E = −∇V .
A divergência do rotacional de um campo vectorial A é nula.
∇ · (∇ × A) = 0
(32)
Então, a um campo vectorial B cuja divergência seja nula também pode ser associado,
com algumas vantagens de cálculo, um outro campo vectorial A. Conforme veremos, é
o que acontece, por exemplo, com o campo magnetostático B, a que se pode associar o
potencial vector A, convencionando-se B = ∇ × A.
0.2.6
Equações de Maxwell
Esta revisão dos operadores diferenciais justifica-se pelo facto de as leis básicas do electromagnetismo poderem ser escritas de forma muito compacta e elegante na forma de um
conjunto de equações diferenciais que relacionam os campos eléctrico E e magnético B
com as densidades de carga ρ e de corrente j presentes. Trata-se das célebres equações de
Maxwell, que constituem o principal objecto de estudo desta disciplina e que apresentamos
desde já:
∇·E=
ρ
0
∇×E=−
∂B
∂t
∇·B=0
(33)
(34)
(35)
∂E
j
+
(36)
∂t
0
Estas equações traduzem as propriedades básicas dos campos eléctrico e magnético, e
já eram praticamente todas conhecidas antes de Maxwell: a lei de Coulomb (eq. 33), a
inexistência de cargas magnéticas (eq. 35), a lei de Faraday (eq. 34) e a lei de AmpèreMaxwell (eq. 36).
No caso estático (∂E/∂t = 0, ∂B/∂t = 0), as equações de Maxwell reduzem-se a dois
pares de equações, que envolvem os campos eléctrico e magnético separadamente, e que
correspondem a dois domı́nios importantes designados electrostática e magnetostática.
Há toda a vantagem em estudá-los separadamente, dando depois lugar ao estudo da
electrodinâmica.
c2 ∇ × B =
Electrostática
0.3
Lei de Coulomb
Na Natureza existem dois tipos básicos de cargas eléctricas, ditas cargas positivas e cargas
negativas. A interacção básica entre duas cargas eléctricas q1 e q2 em repouso conduz a
uma força (dita força de Coulomb) que tem as seguintes propriedades:
• diminui com o quadrado da distância r entre as cargas;
• aumenta proporcionalmente a cada uma das cargas presentes;
• actua na direcção r̂ da linha que une as cargas;
• é repulsiva entre cargas do mesmo tipo e atractiva entre cargas de tipos diferentes.
Estas propriedades podem ser sintetizadas matematicamente na expressão da lei de
Coulomb para a força F21 que actua na carga q2 devido à carga q1 :
F21 = k
q1 q2
r̂21
r2
(37)
em que r̂21 = (r2 − r1 )/r e r = |r2 − r1 |, sendo r2 e r1 as posições das cargas q2 e q1 ,
respectivamente. k é uma constante, dita constante de Coulomb que depende do sistema
de unidades utilizado. No sistema internacional (SI), k costuma exprimir-se em função
de uma outra constante 0 , designada permitividade eléctrica do vazio:
k=
1
4π0
(38)
0 é designada permitividade eléctrica do vazio e o seu valor é, por definição:
0 =
107
∼ 8.85 × 10−12 F/m
4π c2
11
(39)
12
onde c = 299 792 458 m/s é a velocidade da luz no vazio
0.4
2
.
Princı́pio da sobreposição e campo eléctrico
A lei de Coulomb traduz a força entre duas cargas eléctricas em repouso mas não responde
à questão: existe alguma alteracção a essa força na presencça de uma terceira carga? A
resposta é: não. Isto significa que a força resultante na terceira carga Q devido à interacção
com as duas cargas iniciais q1 e q2 corresponde simplesmente à soma (vectorial) das forças
entre Q e q1 , e Q e q2 , consideradas separadamente:
FQ = FQ1 + FQ2 = k
qi
Q q1
Q q2
r̂Q1 + k 2 r̂Q2 = Q
k 2 r̂Qi = QEQ
2
rQ1
rQ2
rQi
q
(40)
i
Esta propriedade importante da força de Coulomb é conhecida por princı́pio da sobreposição. Daqui segue também a definição, com vantagem, do campo eléctrico EQ na
posição da carga Q, devido às outras cargas presentes:
EQ =
qi
k
qi
r̂Qi
2
rQi
(41)
O conhecimento do campo eléctrico numa dada zona do espaço permite-nos determinar
a dinâmica de uma carga Q que lá seja colocada:
FQ = QEQ
0.4.1
(42)
Aproximações macroscópicas
A carga eléctrica encontra-se quantificada na Natureza. As cargas conhecidas constitutem
múltiplos inteiros da carga elementar3 , correspondente à carga do protão:
e = 1.6 × 10−19 C
(43)
Esta carga elementar é de tal forma reduzida em comparação com as cargas envolvidas em muitos dos processos eléctricos que se torna útil em muitas situações tomar as
2
Actualmente, no SI, o valor da velocidade da luz no vazio é definido, e é deste valor e da definição
de segundo que decorre a definição do metro.
3
O protão é constituı́do por quarques, cuja carga é e/3 ou 2e/3, mas os quarques não existem isolados na Natureza. Mas se existissem (existirem) isolados, isso também não alteraria o princı́pio da
quantificação da carga.
13
0.5. LEI DE GAUSS
distribuições de carga como sendo aproximadamente contı́nuas. Esta abordagem tem a
vantagem de se poder utilizar a ferramenta poderosa do cálculo diferencial e integral. É
costume definir-se assim a densidade de carga, ρ:
ρ=
dq
dτ
(44)
O campo eléctrico criado por uma distribuição ρ de carga obtém-se considerando:
qi → dq = ρ(r)dτ
(45)
e aproximando a soma de todas as cargas por uma soma de Riemann, i.e., um integral
em todo o volume τ onde se define ρ:
→
k
qi
(46)
τ
A eq. 41 pode então ser reescrita:
E=
τ
ρ(r)dτ
r̂
r2
(47)
Podem-se obter expressões análogas para outras distribuições em que a carga esteja
concentrada em regiões reduzidas do espaço, podendo ser descrita aproximadamente por
densidade superficiais ou até lineares de carga, σ e λ, respectivamente:
E=
k
σ(r)dS
r̂
r2
(48)
k
λ(r)ds
r̂
r2
(49)
S
E=
0.5
l
Lei de Gauss
Uma ferramenta usada frequentemente para facilitar a visualização do campo eléctrico
é a noção de linhas de campo, que divergem a partir das cargas positivas e convergem
em cargas negativas, sendo tangentes ao campo em causa em todos os pontos do espaço.
A intensidade do campo é sugerida neste tipo de representação pela densidade de linhas
14
de campo. Por exemplo, no caso de uma carga pontual q, a densidade de linhas de
campo que atravessa uma superfı́cie esférica de raio r centrada na carga cai com o inverso
do quadrado do raio, o que traduz a dependência do campo eléctrico com o inverso do
quadrado da distância à carga.
Uma forma mais precisa de traduzir este conceito é através da noção de fluxo dφ
do campo E através de uma superfı́cie elementar dS. O fluxo é uma quantidade que é
tanto maior quanto maior for a superfı́cie e quanto maior for a componente E⊥ = E⊥ n̂ do
campo perpendicular á superfı́cie (a componente paralela E à superfı́cie não a ”atravessa”
e portanto não contribui para o fluxo):
dφ = E⊥ dS = (E⊥ n̂) · (dSn̂) = E · dS
(50)
Se a superfı́cie S em causa for fechada, é possı́vel demonstrar que o fluxo do campo
eléctrico criado por uma carga eléctrica q através da superfı́cie tem o seguinte valor:
E · dS =
S
q/0 se a carga estiver no interior da superfı́cie
0 se a carga estiver no exterior da superfı́cie
(51)
Atendendo ao princı́pio da sobreposição, o campo em qualquer ponto do espaço é simplesmente a soma dos campos criados individualmente por cada uma das cargas presentes.
O resultado 51 pode exprimir-se então, de forma geral, como:
E · dS =
S
Qint
0
(52)
onde Qint é a carga contida no interior da superfı́cie S. Este resultado, conhecido
por lei de Gauss, é equivalente à lei de Coulomb, no caso estático. Ao contrário do que
acontece com a lei de Coulomb, permanece válido quando as cargas se encontram em
movimento.
15
0.5. LEI DE GAUSS
0.5.1
Forma diferencial da lei de Gauss
Conforme vimos na secção 0.4.1, é particularmente útil e apropriado considerar as distribuições de carga como sendo aproximadamente contı́nuas, definindo em particular a
densidade (volúmica) de carga ρ. A lei de Gauss (eq. 52) pode assim reescrever-se:
1
E · dS =
0
S
ρ(r)dτ
(53)
τint
onde tauint é o volume contido na superfı́cie S. Usando o teorema de Gauss, ficamos
com:
1
div E dτ =
0
τint
div E =
ρ
0
ρ(r)dτ
(54)
τint
e, logo,
(55)