Aula 18 - TH_ uma media

Inferência Estatística
Básica
Teste de Hipóteses para uma
média populacional
Cálculo do Valor p
Exemplo 1
Um restaurante compra frangos abatidos inteiros com peso
médio de 3 Kg há vários anos de um mesmo fornecedor.
Outro fornecedor propõe ao gerente do restaurante vender
frangos com peso médio maior que 3 Kg ao mesmo preço do
fornecedor antigo.
Antes de mudar de fornecedor, o gerente do restaurante
decidiu comprar 25 frangos do novo fornecedor e pesá-los.
Encontrou um peso médio amostral de 3.2 Kg com um desvio
padrão de 0.4 Kg.
Ao nível de 5% de significância, a afirmação do novo
fornecedor é confirmada pelos dados coletados pelo gerente?
Exemplo 1
Parâmetro:
µ = peso médio dos frangos do novo fornecedor, em Kg
Valor de comparação:
µ0 = 3.0 Kg
Hipóteses
H0: µ = 3.0
Ha: µ >3.0
Nível de significância: α = 0.05
Erro tipo I: Dizer que os frangos pesam, em média, mais do
que 3.0 Kg, quando eles pesam 3.0 Kg ou menos.
Erro tipo II: Dizer que os frangos não pesam, em média, mais
do que 3.0 Kg, quando eles pesam mais do que 3.0 Kg.
Teste de Hipóteses para uma Média Populacional
Hipóteses
H0: µ = µ 0
Ha : µ < µ 0
ou
H0: µ = µ 0
Ha : µ > µ 0
ou
H0: µ = µ 0
Ha : µ ≠ µ 0
Estatística de Teste
T =
x − µ0
s
n
T é a distância padronizada entre o valor observado na amostra ( x )
e o valor esperado sob H0 (µ0) para o parâmetro em teste (µ).
Teste de Hipóteses para uma Média Populacional
Qual é a distribuição de referência para os valores de T ?
Sabemos que, se os dados vêm de uma população com
distribuição Normal de média µ e desvio-padrão σ, então
T =
x − µ0
s
n
∼ tn−1
Ou seja, a distribuição de referência do teste de hipóteses para
uma média populacional é a distribuição t-Student com (n-1)
graus de liberdade.
Teste de Hipóteses para uma Média Populacional
Assim, a região de rejeição do teste será definida na
distribuição t-Student com (n-1) graus de liberdade
Distribuição t-student com
(n-1) graus de liberdade
A localização da região de rejeição na curva t-Student
dependerá da forma da hipótese alternativa do teste
Teste de Hipóteses para uma Média Populacional
Hipóteses
Região de Rejeição
H0: µ = µ 0
Ha : µ > µ 0
α
RR : Tobs > t( n −1;α )
H0: µ = µ 0
Ha : µ < µ 0
α
RR : Tobs < −t( n −1;α )
Teste de Hipóteses para uma Média Populacional
Hipóteses
Região de Rejeição
H0: µ = µ 0
Ha : µ ≠ µ 0
RR : Tobs < −t
α
( n −1; )
2
α/2
α/2
Tobs > t
α
( n −1; )
2
e
Exemplo 1 (continuação)
Hipóteses
H0: µ = 3.0
Ha: µ >3.0
µ = peso médio dos frangos do
novo fornecedor, em Kg.
Nível de significância: α = 0.05
Dados amostrais: x = 3.2 ; s = 0.4 ; n = 25
Supondo que os os dados vêm de uma população com
distribuição Normal média µ :
x − µ0
T =
s n
∼ tn−1
Exemplo 1 (continuação)
Região de Rejeição:
RR : Tobs > t(24;0.05)
RR : Tobs > 1.711
0.05
1.711
Valor observado da
estatística de teste
Tobs
3.2 − 3.0 0.20
=
=
= 2.5
0.4 25 0.08
Exemplo 1 (continuação)
Como o valor observado da estatística de teste
(Tobs=2.50) pertence à região de rejeição, rejeitamos H0
ao nível de 5% de significância.
Conclusão em termos do problema:
“Ao nível de 5% de significância, a amostra coletada pelo
comprador fornece evidências estatísticas suficientes a
favor da hipótese de que os frangos do novo fornecedor
têm peso médio maior do que 3.0 Kg.”
Exemplo 2
Sabe-se que o tempo até a cura de certo tipo de micose
dos pés quando tratada por uma determinada pomada
aplicada uma vez ao dia é de 10 dias, em média.
Um dermatologista deseja verificar se a aplicação da
mesma pomada duas vezes ao dia reduz o tempo médio
até a cura.
Para isso, selecionou 56 de seus pacientes atacados pela
micose e prescreveu o tratamento com aplicação da
pomada duas vezes ao dia. O tempo médio até a cura nos
pacientes da amostra foi de 8.7 dias, com um desvio
padrão de 4.5 dias.
Ao nível de 1% de significância, os dados mostram
evidências de que aplicar a pomada duas vezes ao dia
acelera a cura da micose?
Exemplo 2 (continuação)
Hipóteses
H0: µ = 10.0
Ha: µ <10.0
µ = tempo médio até a cura com a
aplicação do remédio duas vezes
ao dia, em dias.
Nível de significância: α = 0.01
Dados amostrais: x = 8.7 ; s = 4.5 ; n = 56
Como a amostra é grande (n > 30), vamos usar o Teorema
Central do Limite. Assim,
x − µ0
T =
s n
∼ Normal (0;1)
Exemplo 2 (continuação)
Região de Rejeição:
RR : Tobs < − z0.01
RR : Tobs < −2.33
Distribuição
Normal Padrão
0.01
-2.33
Valor observado da T = 8.7 − 10.0 = −1.30 = −2.16
obs
estatística de teste
0.60
4.5 / 56
Exemplo 2 (continuação)
Como o valor observado da estatística de teste
(Tobs=-2.16) não pertence à região de rejeição, não
rejeitamos H0 ao nível de 1% de significância.
Conclusão em termos do problema:
“Ao nível de 1% de significância, os dados do
experimento não fornecem evidências estatísticas
suficientes contra a hipótese de que o tempo médio até a
cura com a aplicação da pomada duas vezes ao dia seja
igual a 10 dias.”
Exemplo 3
Sabe-se que a temperatura corporal média em humanos é de
36.8 graus Celsius.
Um profissional de saúde esportiva acredita que pessoas que
fazem atividade física regularmente tenham uma temperatura
corporal média diferente do valor considerado como normal.
Para verificar sua hipótese, ele selecionou 28 pessoas que
praticavam atividade física regular e mediu sua temperatura
corporal em vários momentos do dia. Ao final do dia, obteve a
temperatura média de cada pessoa.
A média das temperaturas das pessoas estudadas (média
das médias diárias) foi de 36.50 graus Celsius, com um desvio
padrão de 0.25 graus Celsius.
Ao nível de 5% de significância, os dados mostram evidências
a favor da hipótese do profissional de saúde?
Exemplo 3 (continuação)
Hipóteses
H0: µ = 36.8
Ha: µ ≠ 36.8
µ = temperatura corporal média de
pessoas que praticam atividade física
regularmente, em graus Celsius.
Nível de significância: α = 0.05
Dados amostrais: x = 36.50 ; s = 0.25 ; n = 28
Supondo que os os dados vêm de uma população com
distribuição Normal média µ :
x − µ0
T =
s n
∼ tn−1
Exemplo 3 (continuação)
Região de Rejeição: RR : Tobs < −t(27;0.025) e
Tobs > t(27;0.025)
RR : Tobs < −2.05 e Tobs > 2.05
0.025
0.025
-2.05
2.05
Valor observado da
estatística de teste
Tobs
36.50 − 36.80 −0.30
=
=
= −6.00
0.05
0.25 / 28
Exemplo 3 (continuação)
Como o valor observado da estatística de teste
(Tobs=-6.00) pertence à região de rejeição, rejeitamos
H0 ao nível de 5% de significância.
Conclusão em termos do problema:
“Ao nível de 5% de significância, os dados mostram
evidências estatísticas suficientes a favor da hipótese do
profissional de saúde.”
Probabilidade de Significância (Valor p)
Definição do Valor p:
É a probabilidade de errar ao decidir pela rejeição da
hipótese nula com base nos dados observados.
Como calcular o Valor p:
O valor p é a probabilidade de a estatística de teste
ter valores mais “extremos” do que seu valor
calculado com os dados amostrais, supondo H0
verdadeira.
Cálculo do Valor p
O valor p é calculado na distribuição de
referência do teste.
A definição do que são os valores “mais extremos”
depende da hipótese alternativa do teste.
Cálculo do Valor p
Hipóteses
Valor p
H0: µ = µ 0
Ha : µ > µ 0
Valor p = P[Tn −1 > Tobs ]
Tobs
H0: µ = µ 0
Ha : µ < µ 0
mais extremos
Valor p = P[Tn −1 < Tobs ]
mais extremos
Tobs
Cálculo do Valor p
Hipóteses
H0: µ = µ 0
Ha : µ ≠ µ 0
Valor p
P[Tn −1 > Tobs ]
P[Tn −1 < − Tobs ]
-|Tobs|
|Tobs|
Valor p = P[Tn −1 < − Tobs ] + P[Tn −1 > Tobs ]
Pela simetria, P[Tn −1 < − Tobs ] = P[Tn −1 > Tobs ]
Então,
Valor p = 2 × P[Tn −1 > Tobs ]
Exemplo 1 (Cálculo do Valor P):
Hipóteses
H0: µ = 3.0
Ha: µ >3.0
Tobs
µ = peso médio dos frangos do
novo fornecedor, em Kg.
3.2 − 3.0
=
= 2.5
0.4 25
Valor p = P[T24 > Tobs ]
Valor p = P[T24 > 2.5]
Na tabela t-Student, linha 24, não existe o valor 2.5.
Ele está entre os valores 2.492 e 2.797.
Tabela t-Student
2.5
P[T24 > 2.492] = 0.01
0.005 < P[T24 > 2.5] < 0.01
P[T24 > 2.797] = 0.005
0.01
Entre 0.005 e 0.01
0.005
2.492 2.50 2.797
0.005 < Valor p < 0.01
Exemplo 1 (Cálculo do Valor P):
Como o valor p encontrado (0.005 < valor p < 0.01) é
menor do que o nível de significância do teste (0.05),
rejeitamos H0.
Conclusão em termos do problema (completa):
“Ao nível de 5% de significância, a amostra coletada pelo
comprador fornece evidências estatísticas suficientes a favor
da hipótese de que os frangos do novo fornecedor têm peso
médio maior do que 3.0 Kg (0.005 < valor p < 0.01).”
Exemplo 2 (Cálculo do Valor P):
Hipóteses
H0: µ = 10.0
Ha: µ <10.0
Tobs
µ = tempo médio até a cura com a
aplicação do remédio duas vezes
ao dia, em dias.
8.7 − 10.0
=
= −2.16
4.5 / 56
Como a amostra é grande (n > 30), vamos usar o Teorema
Central do Limite. Assim,
Distribuição
Normal Padrão
Valor p = P[ Z < Tobs ]
Valor p = P[ Z < −2.16]
0.0153
-2.16
Exemplo 2 (Cálculo do Valor P):
Como o valor p encontrado (0.0153) é maior do que o
nível de significância de 1%, não rejeitamos H0.
Conclusão em termos do problema:
“Ao nível de 1% de significância, os dados do
experimento não fornecem evidências estatísticas
suficientes contra a hipótese de que o tempo médio até a
cura com a aplicação da pomada duas vezes ao dia seja
igual a 10 dias (valor p = 0.0153).”
Exemplo 3 (Cálculo do Valor P):
Hipóteses
H0: µ = 36.8
Ha: µ ≠ 36.8
Tobs
µ = temperatura corporal média de
pessoas que praticam atividade física
regularmente, em graus Celsius.
36.50 − 36.80
=
= −6.00
0.25 / 28
Valor p = 2 × P[T27 > Tobs ]
Valor p = 2 × P[T27 > 6.00]
Na tabela t-Student, linha 27, não existe o valor 6.00. Ele está
depois do último valor tabelado, 3.690.
Tabela t-Student
6.00
P[T27 > 3.690] = 0.0005
P[T27 > 6.00] < 0.0005
0.0005
< 0.0005
3.690 6.0
Valor p < 2 x 0.0005
Valor p < 0.001
Exemplo 3 (Cálculo do Valor P):
Como o valor p encontrado (menor do que 0.001) é
menor do que o nível de 5% de significância adotado,
rejeitamos H0.
Conclusão em termos do problema:
“Ao nível de 5% de significância, os dados mostram
evidências estatísticas suficientes a favor da hipótese do
profissional de saúde (valor p < 0.001).”
Para aprender mais …
Exercícios de 10.1 e 10.2 da Seção 10
(continuação: itens iv, v e vi).
Próxima aula
Teste de Hipóteses para uma Proporção
Populacional
Como fazer um Teste de Hipóteses
usando um Intervalo de Confiança