Antenas Filiformes
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1 Antenas e Propagação Artur Andrade Moura [email protected] Antenas Filiformes 2 • Equações de Maxwell e Relações Constitutivas – Forma diferencial no domínio do tempo Lei de Faraday Equações de Maxwell Lei de Ampére Lei de Gauss Continuidade das linhas de força de B Relações Constitutivas ε - permitividade µ - permeabilidade Antenas Filiformes – Notação fasorial para grandezas sinusoidais (o mesmo para H) Equações de Maxwell Condutividade Relações Constitutivas Num meio linear, homogéneo e isotrópico ε, µ e σ são constantes. 3 Antenas Filiformes 4 • Determinação dos campos radiados – Normalmente é mais simples determinar os campos devidos às fontes recorrendo a vectores potenciais • A – vector potencial magnético • F – vector potencial eléctrico Antenas Filiformes 5 – Vector potencial magnético A devido a uma fonte de corrente J • Dado que • E usando a identidade vectorial (válida para qualquer vector) • Podemos definir o vector potencial magnético pela relação • Substituindo na equação de Maxwell para o rotacional de E vem • Da identidade vectorial (onde φe é um potencial eléctrico escalar arbitrário) • Podemos escrever para o campo eléctrico 6 Antenas Filiformes – Equação de onda • Aplicando o operador rotacional à equação e usando a identidade vectorial temos (1) • Substituindo as relações seguintes em (1) • Obtém-se sendo • Definindo a divergência de A pela condição de Lorentz • Obtemos finalmente Equação de onda Antenas Filiformes 7 – A equação de onda é uma equação não homogénea que permite calcular o vector potencial A a partir do conhecimento da densidade de corrente J da fonte – Uma vez obtido A podem-se calcular os campos pelas relações seguintes Obtém-se o campo magnético a partir de A A partir do campo magnético obtém-se o campo eléctrico, supondo a densidade de corrente nula pois estamos interessados nos pontos do espaço fora da fonte Antenas Filiformes 8 – A solução da equação de onda, para pontos do espaço fora da fonte, pode ser feita por analogia com o caso estático (w = 0 e k = 0) mas multiplicando pelo factor e-jKr – Para o caso da fonte estar na origem das coordenadas o integral a resolver é o seguinte Antenas Filiformes – Para o caso da fonte estar fora da origem das coordenadas o integral a resolver é o seguinte 9 Antenas Filiformes 10 • Dualidade • Se duas equações que descrevem o comportamento de duas grandezas distintas têm a mesma forma matemática as suas soluções são idênticas; as grandezas que ocupam as mesmas posições nas duas equações são ditas grandezas duais assim como as equações Grandezas Duais Equações Duais Antenas Filiformes 11 • Dipolo infinitesimal ou elementar (comprimento l << λ e raio a << λ) – Esta antena constitui o elemento base para o estudo das antenas filiformes de qualquer comprimento – Considerando a antena na origem dos sistema de coordenadas e orientada segundo o eixo dos zz temos Antenas Filiformes 12 – Partindo do potencial vector magnético – Considerando que a densidade de corrente pode ser substituída por uma corrente constante na direcção do eixo dos zz – No passo seguinte obtém-se o campo magnético calculando o rotacional do vector potencial, pela relação 13 Antenas Filiformes – A transformação de coordenadas rectangulares para esféricas é 0 0 – O rotacional em coordenadas esféricas terá apenas componente segundo φ que podemos obter pela expressão seguinte 14 Antenas Filiformes – Do rotacional do potencial vector obtém-se o campo magnético – Obtemos agora o campo eléctrico da equação de Maxwell • considerando J = 0 pois estamos interessados no campo eléctrico em pontos do espaço fora da fonte Impedância intrínseca de meio Antenas Filiformes 15 As expressões obtidas para os campos permitem distinguir três regiões espaciais em torno do dipolo elementar • Região reactiva do campo próximo Kr << 1 – No campo eléctrico dominam os termos proporcionais a 1/r3 Em fase entre si mas em quadratura com o campo magnético (a potência média associada é nula, daí o nome de região reactiva) Antenas Filiformes • Região de radiação do campo próximo Kr > 1 – No campo eléctrico o termo proporcional a 1/r3 é desprezável Existe uma componente relevante do campo eléctrico (Er) segundo a direcção da propagação pelo que não temos ainda uma onda TEM 16 Antenas Filiformes 17 • Região do campo distante Kr >> 1 – No campo eléctrico domina o termo proporcional a 1/r Esta é a região de interesse do ponto vista da radiação. Os campos eléctrico e magnético estão em fase, são perpendiculares entre si e estão num plano perpendicular à direcção radial da propagação, constituindo assim uma onda TEM (Transverse ElectroMagnetic). A impedância de onda é igual à impedância intrínseca do meio. No campo distante a onda electromagnética radiada comporta-se como uma onda plana. Impedância de onda Antenas Filiformes • Densidade de potência – É dada pelo vector de Poynting – Com componentes segundo r e θ 18 Antenas Filiformes • Potência Média Total – A potência média total na direcção radial é dada por – Podemos também escrever Prad + jQ 19 Antenas Filiformes 20 • Potência radiada – A parte real da potência média total é a potência média radiada que normalmente designamos apenas por potência radiada Prad Note-se que não depende de r, o que significa que terá sempre o mesmo valor qualquer que seja a esfera que se considera para integrar a densidade de potência. Isto significa que a densidade de potência W tem de diminuir proporcionalmente ao aumento da área da esfera de integração, isto é, W ~1/r2 • Potência reactiva Q – A parte imaginária da potência média total é a potência reactiva Decresce rapidamente com a distância r, sendo desprezável no campo distante Antenas Filiformes 21 • Resistência de radiação do dipolo elementar – A partir da potência radiada pode-se definir a resistência de radiação da seguinte forma 120π – Uma antena filiforme real pode ser aproximada pelo dipolo elementar se l << λ (usualmente considera-se l ≤ λ/50) – Para l = λ/50 obtém-se uma resistência de radiação de 0,361 Ω o que significa uma desadaptação elevada quando estas antenas são alimentadas por linhas de 50 ou 75 Ω Antenas Filiformes • Diagrama de radiação – A intensidade de radiação é dada por – Cujo máximo ocorre para θ = 90º Omnidireccional nos planos perpendiculares ao dipolo e tipo “figura de oito” nos planos que contêm o dipolo Diagrama de radiação normalizado 22 Antenas Filiformes 23 • Directividade – Aplicando a definição obtém-se para a directividade máxima do dipolo elementar • Área efectiva máxima Antenas Filiformes 24 • Dipolo pequeno ou electricamente curto (comprimento λ/50 < l ≤ λ/10 e raio a << λ) z’ = z e R ≈ r Distribuição de corrente linear com máximo na origem e nula nos extremos da antena Antenas Filiformes – Calculando o potencial vector com a distribuição de corrente triangular vem – Como z’ = z e R ≈ r obtemos o resultado seguinte Metade do valor do potencial vector do dipolo elementar 25 Antenas Filiformes 26 – Como o potencial vector do dipolo curto é metade do obtido para o dipolo elementar então os campos radiados serão também metade – Para o campo distante temos – Como a intensidade de radiação é proporcional a Eθ2 então a intensidade do dipolo curto será ¼ da do dipolo elementar – O mesmo para a densidade de potência Antenas Filiformes 27 – Do mesmo modo se conclui que quer a potência radiada quer a resistência de radiação do dipolo curto serão as do dipolo elementar multiplicadas por ¼ – A directividade e a área efectiva têm o mesmo valor do dipolo elementar – O diagrama de radiação normalizado é igual para os dois dipolos (curto e elementar) Antenas Filiformes 28 • Dipolo de comprimento finito (Regiões envolventes) • Região do campo distante Para o campo distante podemos considerar R e r paralelos e tomar as seguintes aproximações Nas amplitudes R≈r Nas fases R ≈ r – z’cosθ Antenas Filiformes 29 • Região do campo distante – As aproximações R ≈ r nas amplitudes e R ≈ r – z’cosθ nas fases são válidas para r ≥ 2l2/λ • Garantem um erro de fase menor que π/8 rad – Esta aproximação é estendida para outros tipos de antenas substituindo-se l pela maior dimensão da antena D Região do campo distante (Fraunhofer) • Define-se região reactiva do campo próximo se Região de Fresnel • Região de radiação do campo próximo se Antenas Filiformes • Dipolo de comprimento finito – Distribuição de corrente na antena Toma-se como analogia o que se passa numa linha de transmissão em circuito aberto e considera-se para a antena uma distribuição de corrente sinusoidal, com um máximo I0 e com nulos de corrente nos extremos. Distribuição de corrente para vários valores de l 30 Antenas Filiformes 31 • Determinação dos campos radiados distantes • Considera-se o dipolo de comprimento finito constituído por dipolos elementares de comprimento dz’. • Cada dipolo elementar colocado na sua coordenada z’ tem uma distribuição de corrente constante e igual ao valor da distribuição de corrente I(z’) para essa coordenada. • Recorrendo à sobreposição somam-se os campos distantes devidos a todos os dipolos elementares que constituem o dipolo finito. Esta soma é um integral onde se tomam as aproximações para o cálculo do campo distante, isto é, nas amplitudes R ≈ r e nas fases R ≈ r – z’cosθ 32 Antenas Filiformes • Determinação dos campos radiados distantes • A resolução do integral anterior pode fazer-se recorrendo a sendo • O resultado obtido é • E para o campo magnético vem Antenas Filiformes • Densidade média de potência radiada • Intensidade de radiação 33 Antenas Filiformes • Diagrama de radiação Para l ≤ λ não ocorrem lóbulos secundários Plano vertical 34 Antenas Filiformes • Diagrama de radiação – Para l ≥ λ teremos lóbulos secundários (na figura l = 1.25 λ) Diagrama 3D Plano vertical 35 Antenas Filiformes • Potência radiada – A resolução deste integral exige manipulações matemáticas extensas obtendo-se – Onde C = 0,5772 é a constante de Euler e os integrais Ci e Si ao lado estão tabelados 36 Antenas Filiformes 37 • Resistência de radiação, directividade e área efectiva • Resistência de entrada Dependendo do valor de l normalmente o valor da corrente de entrada será diferente do máximo I0 da distribuição de corrente; deve referir-se a resistência de entrada à corrente de entrada Iin Antenas Filiformes 38 • Dipolo de meio comprimento de onda • Utilizam-se as expressões para o dipolo de comprimento finito com l = λ/2 • Campos radiados distantes • Densidade de radiação, intensidade de radiação Antenas Filiformes 39 • Diagrama de radiação (normalizado) Omnidireccional nos planos perpendiculares à antena Direcção de máximo θ = π/2 Largura de feixe a meia potência de 78º Diagrama 3D Antenas Filiformes • Potência radiada • Directividade e área efectiva 40 Antenas Filiformes 41 • Resistência de radiação – Neste caso temos distribuição de corrente com Iin = I0 • Impedância de entrada – Normalmente para eliminar a parte imaginária de Zin reduz-se o comprimento físico l da antena para valores entre 0,47λ e 0,48λ, isto é, procura-se o valor de l correspondente à primeira ressonância onde Zin fica puramente real Antenas Filiformes 42 • Dipolo dobrado • Em certos casos práticos usam-se linhas de transmissão com impedâncias características mais elevadas que 50 Ω ou 75 Ω (por ex. 300 Ω). Para promover a adaptação podem usar-se modificações do dipolo, sendo um exemplo o dipolo dobrado. s→0 λ/2 Id Idd Com s muito pequeno podemos dizer que o campo distante radiado pelo dipolo dobrado é o dobro do dipolo de meio comprimento de onda, logo para as resistências de radiação teremos a relação Rdd = 4Rd Dipolo λ/2 Dipolo Dobrado Se em vez de dois elementos usarmos N elementos próximos teremos Rdd = N2Rd Antenas Filiformes 43 • Dipolo situado acima de um plano condutor perfeito e infinito – Recorre-se à teoria das imagens considerando uma antena virtual, a antena imagem, abaixo do plano condutor A localização da antena imagem é tal que o campo produzido pela antena real, em qualquer ponto acima do plano condutor, pode ser obtido somando o campo directo proveniente da antena real com o campo proveniente da antena imagem 44 Antenas Filiformes • Dipolo elementar vertical a uma altura h do plano condutor perfeito e infinito Imagem Aproximações para cálculo do campo distante Nas amplitudes r1 ≈ r2 ≈ r Nas fases r1 ≈ r – hcosθ r2 ≈ r + hcosθ Antenas Filiformes 45 – Campo directo – Campo reflectido (provem da antena imagem) Coeficiente de reflexão vale 1 – Somando os dois campos e aplicando as aproximações nas amplitudes e nas fases para o cálculo do campo distante temos Factor do elemento EF(θ) Factor de agrupamento AF(θ) Antenas Filiformes – Intensidade de radiação (máxima em θ = π/2) – Diagrama de radiação O número total de lóbulos vem dado pelo inteiro mais próximo de 2h/λ + 1 Plano Vertical 46 Antenas Filiformes – Potência radiada, directividade e resistência de radiação • Kh elevado então D0 e Rr ficam iguais às do dipolo isolado • Kh = 0 então D0 e Rr são o dobro do dipolo isolado • O máximo da directividade ocorre para h = 0,458λ 47 Antenas Filiformes 48 • O monopolo – Antena vertical com l = λ/4, alimentada na sua base junto a um plano condutor perfeito Monopolo • Acima do plano xy as antenas produzem o mesmo campo, logo a intensidade de radiação e densidade de potência são iguais nesse semiespaço • A potência radiada pelo monopolo e a resistência de radiação são metade do dipolo isolado Dipolo Equivalente • A directividade do monopolo é o dobro do dipolo isolado • A impedãncia de entrada é metade da do dipolo isolado Imagem 49 Antenas Filiformes • Dipolo elementar horizontal a uma altura h do plano condutor perfeito e infinito Usam-se as mesmas aproximações para cálculo do campo distante Nas amplitudes r1 ≈ r2 ≈ r Nas fases r1 ≈ r – hcosθ r2 ≈ r + hcosθ Imagem Supondo antena na direcção do eixo dos yy 50 Antenas Filiformes – Campo directo – Campo reflectido (provem da antena imagem) Coeficiente de reflexão vale -1 – Somando os dois campos e aplicando as aproximações nas amplitudes e nas fases para o cálculo do campo distante temos EF(θ) Nota: AF(θ) Antenas Filiformes – Intensidade de radiação – Diagrama de radiação O número total de lóbulos vem dado pelo inteiro mais próximo de 2h/λ com no mínimo 1 Plano vertical que contém a antena 51 Antenas Filiformes – Potência radiada, resistência de radiação e directividade R(kh) Notar que h = 0 não pode ser considerado pois antena ficaria sobre o plano condutor perfeito não radiando 52 Antenas Filiformes 53 • Efeito da terra (considerada como plana) – Campo distante para o dipolo elementar vertical a uma altura h da terra • O coeficiente de reflexão Rv depende das impedâncias intrínsecas do ar e da terra e dos ângulos de incidência e de refracção • O programa que iremos usar permite considerar este efeito de terra para vários tipos de solos Plano Vertical Antenas Filiformes 54 • Efeito da terra (considerada como plana) – Campo distante para o dipolo elementar horizontal a uma altura h da terra • O coeficiente de reflexão Rh depende das impedâncias intrínsecas do ar e da terra e dos ângulos de incidência e de refracção • Neste caso o diagrama não é muito diferente da situação de um plano condutor perfeito Plano vertical que contém a antena
