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Projeto
MATEMÁTICA
1ª SÉRIE
Natal - 2017
Projeto #QueroAprender
Facebook: /QueroAprenderRN
www.educacao.rn.gov.br.escolasnarede
Robinson Faria
Governador do Estado
Cláudia Sueli Rodrigues Santa Rosa
Secretária de Estado da Educação e da Cultura
Mônica Maria Guimarães
Secretária Adjunta de Estado da Educação e da Cultura
Marino Azevedo
Subsecretário de Estado da Educação e da Cultura
Lúcia de Fátima Palhano de Oliveira Barbosa
Coordenadora de Desenvolvimento Escolar - CODESE
Geralda Efigênia Macedo da Silva
Subcoordenadoria de Ensino Médio
Maria Lúcia Soares da Costa Lima Figueiredo
Subcoordenadoria de Ensino Fundamental
EQUIPE TÉCNICA
Coordenação Pedagógica
João Maria de Lima
SEEC e Conexão ENEM
Atuação Voluntária
Português
Marco Aurélio Valério da Silva
Escola Estadual Lourdes Guilherme
Mat. 35.953-0
Matemática
Raphael Moreira Santos
Escola Estadual Padre Monte
Mat. 1350277
Tamyris Rezende Ferreira
Escola Estadual Moreira Brandão
Mat. 1303660
Biologia
Luís Eduardo Alves Lago
Escola Estadual Dom José Adelino Dantas
Mat. 1290037-1
Química
Ilton Sávio Batista Martins
Escola Estadual Cônego Luiz Wanderley e CENEP
Mat. 2101742
Física
Augusto Macedo
UFRN
Atuação Voluntária
Diagramação
José Makary Paiva do Amaral
Educador(a),
O projeto #QueroAprender tem como objetivo auxiliar estudantes na
aprendizagem referente a conteúdos e habilidades de alguns componentes curriculares
do 8º e 9º anos do Ensino Fundamental – Português e Matemática – e da 1ª à 3ª série
do Ensino Médio – Português, Matemática, Biologia, Física e Química. Apresentado em
quatro semanas de aula, em horário normal do seu componente curricular, o
#QueroAprender é uma forma de ajudar jovens, que estão iniciando o ano letivo, e de
auxiliar o professor a conhecer melhor a turma.
Ao término de cada semana, propomos que realize atividades de revisão, no
entanto cabe a você, educadora ou educador, que vive o dia a dia de sua turma, avaliar
se, de fato, é necessário. Na última semana, além da revisão, sugerimos uma avaliação
de aprendizagem, com questões disponíveis no material ou selecionadas por você. A
apostila contém breves explicações sobre os conteúdos, dicas de estudo e uma
variedade de exercícios. É imprescindível que se aproprie desse material antes da
aplicação das aulas. Você conhecerá os objetivos de cada aula, e, assim, poderá atuar
com as estratégias mais focadas para atingi-los diante das especificidades de suas
turmas.
Recomendamos a resolução prévia dos exercícios sugeridos com vistas a refazer
as trilhas de raciocínio e antecipar eventuais pontos de dificuldade. Fazendo a gestão de
aprendizagem para cada estudante, é mais fácil identificar se a meta foi atingida.
Sempre que julgar necessário, (re)organize e distribua o tempo de aplicação das
propostas, acrescente informações conceituais e materiais de apoio didático. Todo o
material foi estruturado por professores da Rede Estadual de Ensino, os quais
vivenciam, assim como vocês, a realidade da sala de aula no cotidiano. Conte com a
equipe da sua escola para esclarecer qualquer dúvida que possa surgir.
Bom trabalho!
Natal, janeiro de 2017.
Cláudia Sueli Rodrigues Santa Rosa
Secretária
Estudantes,
O projeto #QueroAprender tem como objetivo auxiliá-los na aprendizagem
referente a conteúdos e habilidades de alguns componentes curriculares do 8º e 9º anos
do Ensino Fundamental – Português e Matemática – e da 1ª à 3ª série do Ensino Médio
– Português, Matemática, Biologia, Física e Química. Apresentado em quatro semanas
de aula, o #QueroAprender é uma forma de ajudar vocês, que estão iniciando o ano
letivo, e de auxiliar o professor a conhecer melhor a turma.
A apostila contém breves explicações sobre os conteúdos, dicas de estudo e uma
variedade de exercícios. É importante que você estude por esse material antes das
aulas. Isso ajudará o seu ritmo de estudo e facilitará o seu processo de aprendizagem.
Recomendamos a resolução prévia dos exercícios com vistas a antecipar
eventuais pontos de dificuldade. Todo o material foi estruturado por professores da
Rede Estadual de Ensino, os quais vivenciam a realidade da sala de aula no cotidiano.
Conte com a equipe da sua escola para esclarecer qualquer dúvida que possa surgir.
Bom trabalho!
Natal, janeiro de 2017.
Cláudia Sueli Rodrigues Santa Rosa
Secretária
AULA 1 - Reconhecimento dos
conjuntos numéricos e suas operações.
1. Conjunto dos números naturais (ℕ):
A organização da raça humana trouxe a precisão da contagem e com o tempo, isso vem
se modificando.
Para entendermos melhor o mundo que estar em nossa volta faremos o uso de números e
suas propriedades que vários estudiosos pesquisam até hoje. Começaremos pelo conjunto
dos números naturais (ℕ). Costumeiramente chamamos do conjunto da contagem.
ℕ={0,1,2,3,4,5,6,7,8,… }
Subconjunto dos números naturais (ℕ)
 Conjunto dos Naturais não nulos.
IN* = {1, 2, 3, 4, 5, ...}
 Conjunto dos Naturais pares
INp = {0, 2, 4, 6, 8, ...}
 Conjunto dos Naturais ímpares
INi = {1, 3, 5, 7, 9, ...}
A partir dele sugiram inúmeros conjuntos e posteriormente, as primeiras operações:
Adição, Subtração, Multiplicação e Divisão. Nos naturais (ℕ) nos temos a Adição e
Multiplicação.
ADIÇÃO (SOMA):
Considerações importantes:

Soma menos a Parcela é igual à outra parcela
EXEMPLO:
213 – 41 = 254 ∴ 254 – 41 = 213 ou 254 – 213 = 41

A soma de dois números naturais sempre será igual a um número natural.
EXEMPLO:
4 + 5 = 9 , 32 + 8 = 40
2
MULTIPLICAÇÃO:
Produto
pelo Fator é igual ao outro Fator.
EXEMPLO: 75 ÷ 5 = 15 ou 75 ÷ 15 = 5
Propriedades:
a) 3x4=4x3 (Comutativo)
b) 3(4x2)=2(3x4) (Associativo)
c) 4x1=4 (Existência do elemento neutro)
2. Conjunto dos números inteiros (ℤ)
Os seus elementos são os números naturais e seus respectivos opostos incluindo o
número zero, ou seja, é infinito para esquerda da reta inteira e para a direita.
ℤ={−∞,…,−1,0,1,…}
Subconjunto dos números inteiros (ℤ)
 Conjunto dos Inteiros não nulo
Z* = { ... ,-3, -2, -1, 1, 2, 3, ... } = Z - {0}
3

Conjunto dos inteiros não negativos
Z+ = {0,1,2,3,4,5,...} = Z+ = IN

Conjunto dos inteiros não positivos
Z_ = {0,-1,-2,-3,-4,-5,...}

Conjunto dos inteiros positivos
Z+* = {1, 2, 3, 4, 5, ...} = Z+* = IN *

Conjunto dos inteiros negativos
Z - * = { ... ,-3, -2, -1}
Com esse novo conjunto pode falar de mais uma operação, a subtração (diferença) sem
aparecer nenhum problema.
SUBTRAÇÃO OU DIFERENÇA:
Considerações importantes:

Diferença + Subtraendo é igual ao minuendo
EXEMPLO:
390+15= 405

A diferença de dois números inteiros sempre será igual a um número inteiro.
EXEMPLO:
30-10 = 20

A soma dos termos de uma subtração é igual ao dobro do minuendo
EXEMPLO: 7 – 3 = 4 à 7 + 3 + 4 = 14

Aumentando-se ou diminuindo-se o minuendo de uma quantidade qualquer, o resto
também fica aumentado ou diminuído da mesma quantidade.
EXEMPLO:

Aumentando-se ou diminuindo-se o subtraendo de uma quantidade qualquer, o
resto também fica diminuído ou aumentado da mesma quantidade.
EXEMPLO:

Chamamos de módulo à distância ou afastamento desse número até o zero, na reta
numérica. Representa-se o módulo por | |. Observe:
Então; |-6| = 6, ou seja, -6 está seis unidades afastado da origem.
4
3. Adição e subtração de números inteiros (ℤ). à JOGO DE SINAL DA SOMA E SUBTRAÇÃO.
1. Efetue as operações abaixo:
a) - 4+26 = 22, pois como são sinais diferentes subtrai e repete o sinal do maior em módulo.
b) -17+14 =
c) -12-16 =
d) 25+20 =
e) -16+21 =
f) -14+17+32 =+3 – 32 = -29
g) 25+15-11 =
h) -9+11+3 =
DIVISÃO:
5
Considerações importantes:
 O maior resto possível em uma divisão é igual ao divisor menos uma unidade.
(Rmáx = divisor – 1)

Multiplicando-se ou dividindo-se o dividendo e o divisor por uma quantidade
qualquer, o quociente não se altera, porém o resto também fica multiplicado ou
dividido pela mesma quantidade.
6
4. Multiplicação e divisão de números inteiros (ℤ).
JOGO DE SINAL DA MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO.
Opera normalmente fazendo jogo de sinais.
1. Efetue e registre as operações.
349 + 61 = ______
31 ´ 507 = ______
1 320 – 74 = ______
4 004 : 44 =______
Em seguida indique o nome de cada número abaixo de acordo com a operação:
a)1 320
b)31
c)91
d) 410
e) 15 717
f) 61
g)4 004
h)74
i)507
j)349
k) 44
l) 1 246
2. Complete. Procure economizar os cálculos.
a) ______ + 1 873 = 1 873 + 959
b) 462 ´ ______ = 0
c) 26 549 : 1 = ______
d) 576 – ______ = 1
e) ______ ´ 968 = 968
f) 336 ´ ______ = 85 ´ 336
g) ______ – 0 = 638
h) 1 297 + ______ = 8 390
i) 1 001 – 845 = ______
7
3. Complete os algoritmos, preenchendo cada  com o algarismo correspondente.
4. Assinale as afirmativas verdadeiras.
QUESTÕES CONTEXTUALIZADAS RESOLVIDAS:
1. Veja duas opções para a compra de um telefone celular:
a) Qual é o preço na compra a prazo?
b) Calcule a diferença do preço a prazo pelo preço a vista.
Resposta:
a) Como são oito parcelas de R$ 195,00, então basta multiplicar:
8 x 195 que é igual a R$ 1560,00.
b) 1560,00 – 1490,00 é equivalente a 1560 – 1490 = 70
2.
Desastres Ecológicos e a Sobrevivência do Mar
Pedro é um, ecologista que estuda os peixes que vivem próximos aos corais de recife.
Ele quer saber qual a espécie mais afetada com os desastres ecológicos de vazamento de
óleo. Ele tem uma lista com o número de peixes que observou, antes e depois, na área
afetada pelo vazamento de óleo.
Veja abaixo:
a) Qual espécie de peixe foi mais afetada pelo vazamento de óleo?
b) Qual espécie de peixe não foi afetada?
c) Quantos peixes ornamentais morreram?
d) No total dos peixes estudados, quantos peixes havia antes do vazamento de óleo e quantos
sobreviveram após o vazamento?
e) No total, quantos peixes morreram?
Resposta:
a) Peixes ornamentais.
b) Tubarões.
8
c) 180 peixes ornamentais (238 – 58 = 180).
d) Antes o total era de 681 (238 + 434 + 9 = 681);
depois do vazamento: 458 (58 + 391 + 9 = 458) sobreviveram.
e) 223 (681 – 458 = 223).
3.
A temporada de Fórmula 1 de 2011.
A temporada 2011 presenciou o domínio da equipe Red Bull e do piloto Sebastian
Vettel.
Vettel conquistou o título antes do final da temporada, ficando 122 pontos à frente
do vice-campeão, Jenson Button.
Button, aliás, realizou uma das melhores temporadas de sua carreira. Mesmo sem ter
um arro para competir contra a Red Bull, ele venceu três GPs e ficou bem à frente da estrela
do time, Lewis Hamilton, no mundial de pilotos.
A seguir, a tabela com os pontos dos melhores pilotos de 2011.
De acordo com a tabela com a classificação e pontuação dos pilotos, responda:
a) Quantos pontos seriam necessários para o brasileiro Massa chegar à frente de Vettel?
b) Quantos pontos seriam necessários para o russo Petrov chegar à frente de Massa?
c) Se juntarmos os pontos de Petrov e Massa quantos pontos ainda faltariam para chegar à
frente do campeão?
Resposta:
a) 275 pontos. Para empatar Massa precisaria de 274 pontos (392 – 118), assim para chegar à
frente necessitaria de 1 ponto a mais.
b) 82 pontos. Para empatar Petrov precisaria de 81 pontos (118 – 37), assim para chegar à
frente necessitaria de 1 ponto a mais.
c) 238 pontos. Massa e Petrov possuem 155 pontos ( 118 + 37), assim precisariam de 237
pontos ( 392 – 155) para empatar e 1 ponto a mais para passar à frente do campeão.
9
1. Alana está juntando dinheiro para sua viagem de formatura. Ela já tem guardados R$
105,00. No seu aniversário, seu pai lhe deu uma nota de R$ 50,00, além disso, seus tios lhe
deram mais R$ 155,00. Quantos reais ela já tem para a sua viagem?
2. Hoje, Lili, ao sair de casa, abasteceu seu carro com R$ 42,00. Chegando ao banco ela pagou
R$ 132,00 de conta de energia, R$ 80,00 de água e R$ 320,00 do seu cartão de crédito.
Quantos reais Lili gastou neste dia?
3. No sábado corri 1 200 metros. No domingo, corri 700 metros a mais que no sábado.
a) Quantos metros corri no domingo?
b) Quantos metros corri neste fim de semana?
4. Thiago está participando de um campeonato de basquete e já disputou três jogos. No
primeiro jogo ele marcou 36 pontos, no segundo ele fez 5 pontos a mais que no primeiro e no
terceiro ele fez o dobro dos pontos da segunda partida. Quantos pontos Thiago fez nesse
campeonato?
5. De acordo com o Código de Trânsito Brasileiro, um motorista que tiver 20 ou mais pontos
negativos em sua Carteira Nacional de Habilitação (CNH) perde o direito dedirigir por um
período. A tabela abaixo apresenta os pontos perdidos quando um motorista comete uma
infração, de acordo com a sua gravidade.
I) Calcule quantos pontos um motorista perde se cometer as infrações indicadas nos casos
abaixo:
a) Duas infrações médias e duas graves.
b) Três infrações leves e uma gravíssima.
c) Quatro infrações médias.
II) Complete a informação a seguir:
"O número de pontos correspondente a uma infração gravíssima e duas infrações
médias é igual ao número de pontos correspondente a _____ infrações leves."
III) Escreva duas possibilidades diferentes para que um motorista acumule 17 pontos.
6. A tabela abaixo registra as distâncias aéreas (em quilômetros) entre três cidades
brasileiras. Consulte-a, faça cálculos e responda:
Brasília
Brasília
Fortaleza
Rio de Janeiro
Fortaleza
Rio de Janeiro
-
1 750
925
1 750
-
2 250
925
2 250
-
10
a) Qual é a distância percorrida em uma viagem do Rio de Janeiro a Fortaleza com escala em
Brasília?
b) Qual é a distância percorrida em uma viagem de ida e volta do Rio de Janeiro a Fortaleza
sem escalas?
c) Se de Brasília a Fortaleza um avião gastou 4 horas, qual foi a sua velocidade média?
d) Invente um problema usando os dados da tabela. Dê para um colega resolvê-lo.
7. Luciano ganhou R$ 14,00 no seu primeiro dia de trabalho e nos três dias seguintes recebeu
sempre o dobro do dia anterior. Marta ganhou R$ 5,00 no primeiro dia e nos três dias
seguintes recebeu sempre o triplo do dia anterior.
Complete a tabela abaixo. Em seguida, responda às questões propostas.
o
o
1 dia
o
2 dia
o
3 dia
4 dia
Luciano
Marta
Quem recebeu mais no:
a) terceiro dia? Quanto a mais?
b) quarto dia? Quanto a mais?
c) total dos quatro dias? Quanto a mais?
8. Descubra o preço de cada CD gravado, de cada DVD e de cada CD virgem a partir das
compras efetuadas por Laís, Raul e Fábio. Laís comprou 4 CDs de mesmo preço e pagou
R$ 52,00 por eles. Raul comprou 3 CDs e um DVD e gastou R$ 56,00. Fábio comprou um DVD
e dois CDs virgens e gastou R$ 25,00.
GABARITO
1. Resposta: R$ 310,00.
2. Resposta: R$ 574,00.
3. Resposta: a) 1 900 metros e b) 3 100 metros
4. Resposta: 159 pontos.
5. Resposta:
I) a) 18 pontos (2 ∙ 4 = 8; 2 ∙ 5 = 10; 8 + 10 = 18).
b) 16 pontos (3 ∙ 3 = 9; 9 + 7 = 16).
c) 16 pontos (4 ∙ 4 = 16)
II) 5 infrações leves (2 ∙ 4 = 8; 7 + 8 = 15; 15 ÷ 3 = 5)
III) Resposta pessoal.
Exemplos:
1 leve, 1 média e duas graves (3 + 4 + 10 = 17).
3 médias e uma grave (12 + 5 = 17).
1 leve e 2 gravíssimas (3 + 14 = 17).
6. Resposta:
a) 2 675 km (925 + 1 750 = 2 675)
b) 4 500 km (2  2 250 = 4 500 ou 2 250 + 2 250 = 4 500)
c) 437,50 km/h (distância de Brasília a Fortaleza: 1 750 km. 1 750 : 4 = 437,5)
d) Resposta pessoal.
7. Resposta:
1o dia
2o dia
3o dia
4o dia
Luciano
R$ 14,00
R$ 28,00
R$ 56,00
R$ 112,00
Marta
R$ 5,00
R$ 15,00
R$ 45,00
R$ 135,00
8. Resposta:
Cada CD: R$ 13,00 (52 : 4); cada DVD: R$ 17,00 (3  13 = 39, 56 – 39 = 17); cada CD virgem: R$
4,00 (25 – 17 = 8, 8 : 2 = 4).
11
TESTE AVALIATIVO PARA O FINAL DA 1° AULA
1. (SISTEMA ARIS DE SÁ) O dono de uma lanchonete possui R$ 850,00 para cobrir os gastos de
um dia de seu estabelecimento. Nesse dia, ele gastou R$ 220,00 com pães, R$ 130,00 com
frutas, R$ 182,00 com sucos e R$ 205,00 com queijo e presunto. Após pagar as despesas,
quanto sobrará para o dono da lanchonete?
a) R$ 113,00
b) R$ 103,00
c) R$ 13,00
d) R$ 10,00
e) R$ 8,00
2. (SISTEMA ARIS DE SÁ) Uma fábrica de chocolates caseiros, localizada perto da cidade de
Gramado (RS), produz dois tipos de chocolates: ao leite e crocante. Os pacotes com
chocolates ao leite contêm 10 unidades em cada um, e os pacotes com chocolates crocantes
contêm 2 unidades em cada. Uma encomenda entregue pela fábrica continha 3 600 unidades
entre chocolates ao leite e crocantes. Sabendo-se que 1 320 eram crocantes, quantos pacotes
de chocolate tinha essa encomenda?
a) 892
b) 888
c) 852
d) 848
e) 248
3. (SISTEMA ARIS DE SÁ) Faltam 31 dias para o aniversário de João. Quantas semanas
completas faltam para o aniversário dele?
a) 3
b) 4
c) 5
d) 6
e) 7
4. (SISTEMA ARIS DE SÁ) Os números 3, 6, 10, ... chamam-se números triangulares, pois
podem ser representados pelas figuras
Ricardo tem uma coleção de moedas de R$ 0,50 (cinquenta centavos). Certo dia resolveu
separar essas moedas, seguindo o formato dos números triangulares acima e obtendo 5
grupos. Assim, podemos afirmar que Ricardo tem entre
a) 12 e 15 reais.
b) 32 e 35 reais.
c) 20 e 23 reais.
d) 25 e 28 reais.
e) 16 e 19 reais.
5. (SISTEMA ARIS DE SÁ)
Renúncia de Bento XVI é a primeira em quase 600 anos
CIDADE DO VATICANO – O papa Bento XVI será o primeiro pontífice em quase 600 anos a
renunciar às suas funções. Com o anúncio feito nesta segunda-feira, abre-se o caminho para
um conclave antes do fim de março a fim de escolher o substituto.
O título da reportagem poderia ter sido: Renúncia de Bento XVI é a primeira em quase
a) seis décadas.
b) seis quinquênios.
c) seis séculos.
d) seis milênios.
e) sessenta séculos.
6. (SISTEMA ARIS DE SÁ) O pai de Carolina mediu o comprimento da mesa da sala com sua
mão e contou 8 palmos. Ela também mediu a mesa do mesmo modo e contou 11 palmos.
Qual é o tamanho do palmo de Carolina, se o palmo de seu pai mede 22 centímetros?
a) 12 cm
b) 13 cm
c) 14 cm
d) 16 cm
e) 19 cm
7. (G1 - utfpr) Aline comprou 4 cadernos e pagou R$15,0 Assinale quanto ela pagaria se
tivesse comprado 16 cadernos.
a)
b)
d)
e)
c)
12
8. (IFRN) Considere um correntista de um banco que apresenta a seguinte situação em seu
saldo bancário:
Sabendo-se que a soma algébrica desta movimentação apresentada é o saldo atual do
correntista, então esse saldo será de:
a)R$ 129,22 negativo
b) R$ 129,82 positivo
c) R$ 130,22 negativo
d) R$ 130,72 positivo
e) R$ 140,70 positivo
9. (UEG) Renata vai ao supermercado comprar exatamente quilo de determinado produto
que é vendido em embalagens de diferentes conteúdos, conforme apresenta a tabela a
seguir.
Embalagem
gramas
gramas
gramas
Preço
Renata pagará o menor preço por 1 quilo desse produto se comprar
a)
embalagens de
gramas.
b)
embalagens de
gramas.
c)
embalagens de
gramas e
de
gramas.
d)
embalagem de
gramas e
de
gramas.
d) 3 embalagem de
gramas e 5 de
gramas.
10. (PUCRS) A vigésima Copa do Mundo será realizada no Brasil em 2014. A cada quatro anos
o evento se repete. A edição de número 35 será realizada no ano de
a) 2049
b) 2055
c) 2070
d) 2074
e) 2078
13
AULA 2- Potenciação e Radiciação.
Potenciação: Potência de um número real com expoente inteiro.
Sendo a um número real e n um número inteiro.
Exemplo
3
2 , 2 é base e 3 é expoente.

expoente inteiro e maior que 1.
a n  a 
a 
a
 a

a

n fatores
2
Exemplo: 4 = 4 . 4 = 16 ; sendo 4 a base , 2 o expoente e 16 o valor da potência.

expoente 1.
a1  a
1
Exemplo: 3 = 3

expoente é zero, com a base não nula.
a 0  1, a  0
Exemplos:
-1
-2
5 = ,7 =
=
1. Se a base é negativa e o expoente é par, então a potência é positiva.
2
Exemplo: (-2) = (-2).(-2) = 4
2.Se a base é negativa e o expoente é ímpar, então a potência é negativa.
3
Exemplo: (-2) = (-2).(-2).(-2) = -8
14
Propriedades da Potenciação

Multiplicação de potência de mesma base
Na multiplicação de potências de mesma base, a potência resultante é
obtida conservando-se a base e somando-se os expoentes.
a m  a n  a m n
Exemplo:
3
4
2 .2 = 2
3+4
=2
7
Divisão de potências de mesma base
Na divisão de potências de mesma base, a potência resultante é obtida conservandose a base e subtraindo-se os expoentes.
am : an 
am
 a mn , a  0
n
a
Exemplo:
Potência de uma potência
Em potências de potência, a potencia o resultante é obtida conservando-se
a base e multiplicando-se os expoentes.
a 
m
n
 a m. n
Exemplo:
Se liga ae!
 22   2  2  4 é diferente de  22  2  2  4
No primeiro caso tanto o sinal quanto ao número estão ao quadrado e no
segundo caso apenas o número está elevado ao quadrado.
Potência de um produto ou de um quociente
A potência de um produto ou de um quociente de dois ou mais fatores pode ser
obtido elevando-se cada termo ao mesmo expoente do produto ou ao mesmo expoente do
quociente.
( a  b) n  a n  b n
Exemplo:
n
an
a
a :b     n
b
b
n
n
,
b  0.
Exemplo:
15
Potência com Expoente Racional
am/n  n am
com a  IR, nIN, a > 0, n > 0 e m > 0
Exemplo:
Notação Científica
Notação científica é uma forma de escrevermos um número muito grande
ou muito pequeno de um modo simplificado, ou seja:
Notação científica: a  10 n , sendo 1  a  10 .
Modo Prático
 Números maiores que 1: deslocamos a vírgula para a esquerda, até atingir o primeiro
algarismo do número. O número de casas deslocadas para a esquerda corresponde ao
expoente positivo da potência de 10
Exemplo:
7
58 000 789  5,8000789 x 10
 Números menores do que 1: deslocamos a vírgula para a direita, até o primeiro algarismo
diferente de zero. O número de casas deslocadas para a direita corresponde ao expoente
negativo da potência de 10
Exemplo:
-5
0,000 045  4,5 x 10
Vamos Praticar!
1. Assinale apenas os itens que apresentam resultado correto
2
a) 6 = 12
2
b) 6 = 36
3
c) 5 = 125
4
d) 4 = 64
2. Escreva o número na forma indicada:
a) 16 na forma de potência de base 4.
b) 16 na forma de potência de expoente 4.
c) 729 na forma de potência de expoente 3.
d) 64 na forma de potência de base 2.
3. Complete os espaços com os números 13, 71 e 4 913.
3
a) 17 = .
b) .
2
= 5 041
c) 2= 8 192
16
4. Complete as sequências abaixo.
8
7
6
5
4
a) 2 = 256, 3 = 2 187, 4 = 4 096, 5 = ______, 6 = ______, ________, ________.
0
2
4
6
8
b) 2 = _____, 2 = _____, 2 = _____, 2 = _____, 2 = ____, ________, ________.
5. Verifique se cada afirmação é verdadeira (V) ou falsa (F).
a) 2  2 = 2
3
4
2 3
b) (3 ) = 3
3+4
2+3
10
4
c) 2 : 2 = 2
2 3
d) (3 ) = 3
10 – 4
23
6. Escreva na forma de potência e calcule:
a) O cubo de 1.
___________________________________________________________________________
b) 5 elevado a terceira potência.
____________________________________________________________________________
c) 10 elevado a zero.
____________________________________________________________________________
d) 10 elevado a quinta potência.
____________________________________________________________________________
e) 3  3  3  3  3  3  3.
____________________________________________________________________________
f) a  a  a  a  a.
____________________________________________________________________________
17
7. Complete a tabela. A primeira linha já está preenchida.
Base Expoente Potência
3
5
3
5 = 125
7
2
3
4
9
3
Leitura
5 elevado ao cubo é igual a 125.
11 elevado ao quadrado é igual a ____________.
5
3 = _____
QUESTÕES CONTEXTUALIZADAS RESOLVIDAS:
1. Leia estas duas informações:
• O diâmetro do Sol mede cerca de 1,4 milhão de quilômetros.
• A massa do Sol é cerca de 333 mil vezes maior do que a massa da Terra; a massa da Terra é
24
de aproximadamente 6 10 kg.
a) Faça a decomposição do primeiro número usando potências de base 10.
b) Escreva o número que representa a massa do Sol, de forma simplificada, usando potência
de base 10.
1. Resposta:
6
5
a) 1 400 000 = 1  10 + 4  10 (1,4 milhão = 1 400 000)
27
24
24
27
b) 1 998  10 (333 000  6  10 = 1 998 000  10 = 1 998  10 )
2. Uma unidade astronômica (AU) corresponde a 149 600 000 km (ou 1 496  10 ). Use
calculadora para responder às questões abaixo:
a) A distância média de Júpiter ao Sol é de 5,20 AU. Essa distância equivale a quantos
quilômetros?
b) A distância média de Saturno ao Sol é de 1 427 000 000 km. De quantas AU é
aproximadamente essa distância?
5
2. Resposta:
4
5
a) 777,92 milhões de km = 777 920 000 km = 77 792 10 km (5,2  1 496  10 )
b) 9,54 AU (1 427 000 000 : 149 600 000)
3. Leia as informações e registre os números destacados usando potência de base 10.
“Existem cerca de 180 línguas indígenas e dialetos sendo praticados no Brasil por
330 000 índios, aproximadamente, e por algumas comunidades ribeirinhas do norte do país.
Nos primeiros anos da colonização brasileira, calcula-se que havia cerca de
6 000 000 índios e falava-se cerca de 180 línguas indígenas.”
3. Resposta:
4
a) 33  10
6
b) 6  10
4. Os computadores reconhecem impulsos elétricos (negativo ou positivo). A cada impulso
elétrico chamamos de bit (dígito binário: 0 ou 1). Um conjunto de 8 bits determina um byte
(B).
Então: 1 bit (0 ou 1)  2 dígitos
Como 1 byte são 8 bits, temos:
(0 ou 1) ∙ (0 ou 1) ∙ (0 ou 1) ∙ (0 ou 1) ∙ (0 ou 1) ∙ (0 ou 1) ∙ (0 ou 1) ∙ (0 ou 1)
2 dígitos
8
Logo: 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 = 2 dígitos.
De acordo com o American Standard Code for Information Interchange (ASCII) cada
byte representa um caractere ou sinal (letras maiúsculas, letras minúsculas, algarismos, sinais
de pontuação etc.)
18
Todo computador possui um disco rígido (HD) que define a sua capacidade de
armazenamento.
Assim como existem discos rígidos também existem os discos removíveis. O pen drive
é um exemplo de disco removível. Ele é um dispositivo de armazenamento de dados e tem
aparência de um chaveiro.
8
a) Calcule o valor da potência 2 .
b) Sabemos que 1 kilobyte (KB) = 1 024 bytes. Decomponha o número 1 024 em um produto
de fatores iguais e escreva-o na forma de potência.
C) Sabemos que 1 megabyte (MB) = 1 204 KB e que 1 gigabyte (GB) = 1 024 MB. Quantos
bytes possui um pen drive de 4 GB?
4. Resposta:
a) 256
10
b) 2
3
c) 4 GB = 4 × 1 024 × 1 024 × 1 024 bytes = 4 × (1 024) bytes.
OLIMPÍADAS - APROFUNDAMENTO
5. (OBM) O número n = 9999...99tem 2011 algarismos e todos iguais a 9. Quantos algarismos
9 tem o número n 2 ?
5. Resposta: Observando as multiplicações:
9  9 = 81
99  99 = 9801
999  999 = 998001
9999  9999 = 99980001
...
Percebemos que, quando elevamos
99 ... 9 ao quadrado, obtemos 99 ... 9 8 00 ... 0 1 .
a
a 1
Podemos até provar isso matematicamente!
2


 99 ... 9  = (10a – 1)2 = 102a – 2 ∙ 10a + 1 = 1 00 ... 0 – 2 00 ... 0 + 1 =


2a
a
 a 
=
99 ... 9 8 00 ... 00 + 1 = 99 ... 9 8 00 ... 0 1 .
a 1
a
a 1
a 1
19
a 1
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1. Nos cálculos de Arquimedes apareciam sempre contas de multiplicar em que o número 10
aparecia repetidas vezes. Fazer contas com aqueles números enormes era muito difícil.
Arquimedes construiu, então, uma tabela e elaborou um método de escrever números
grandes, utilizando algarismos especiais, que ele chamou de "miríades" - e que hoje
conhecemos como expoentes.Para isso, ele se utilizava principalmente de potências de base
dez. Veja o quadro abaixo:
Número de vezes que o 10
aparece como fator na
multiplicação
Resultado
1
10
2
100
3
1000
4
10000
5
100000
Realize as atividades a seguir:
a) Complete a tabela de Arquimedes até 10.
b) Represente em potência de 10 os seguintes números:
• 100 bilhões: ______________________
• 1 trilhão: _________________________
4
2
-2
2
4
-4
2. (PUC-SP) O número de elementos distintos da sequência 2 , 4 , 4 (-4) , (-2) , (-2) é:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
8
-3
3. (FEI-SP) O valor da expressão B = 5 . 10 . 4 . 10 é:
6
6
9
a) 20
b) 2 . 10
c) 2 . 10
32
-4
d) 20 . 10
3 2
4. Calcule 4 e (4 ) .
5. Você já conhece a sequência dos números naturais ímpares: 1, 3, 5, 7, 9, 11, ...
Observe agora:
2
• A soma de dois primeiros números ímpares: 1 + 3 = 4 (2 )
2
• A soma dos três primeiros números ímpares: 1 + 3 + 5 = 9 (3 )
2
• A soma dos quatro primeiros números ímpares: 1 + 3 + 5 + 7 = 16 (4 )
2
• A soma dos cinco primeiros números ímpares: 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 (5 )
Sem fazer adições, responda qual é o valor das seguintes somas:
a) 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19
b) 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + ... + 195 + 197 + 199
c) Dos 200 primeiros números ímpares.
20
4
6. (OBM) O número 7, quando elevado à quarta potência, termina com 01: 7 = 2401.
Quantos são os números de dois algarismos que, quando elevados à quarta potência,
terminam com 01?
Radiciação:
Dizemos que um número real “b” é a raiz n-ésima de um número “a” quando
e ela é
representada por
Acompanhe:
2

, pois 5 = 25; no caso do n = 2 a raiz se diz quadrada e não é usual escrevermos
este índice no radical.
3

, pois 3 = 27; no caso do n = 3a raiz se diz cúbica e esse índice aparece no
radical.
1.
Não existe raiz negativa com o índice do radical par. Acompanhe:
2
o natural é respondermos -2 mas (-2) = 4 então não é -2. Na verdade não existe
nenhum número real que ao multiplicarmos ele mesmo dê -4. Simbolicamente a resposta fica
assim:
3
Agora se for
A resposta é -2 pois (-2) = -8. Observe que nesse segundo caso o índice
do radical é 3 sendo um número ímpar. Podemos seguir o seguinte critério:
21
Propriedades da Radiciação:
P1)
Ex.:
P2)
n
a b  n a  n b
Ex.:
P3)
n
8  27  3 8  3 27  2  3  6
a

b
Ex.:
P4)
3
3
n
a
b
n
64 3 64 4


27 3 27 3
a 
n
m
x
 2
2
Ex.:
n
a mx
 22  2
P5)
Ex.:
Vamos Praticar!
1. Calcule o resultado da radiciação e escreva a potenciação correspondente.
a)
3
64 = 4 ⇒ 43 = 64
b)
d)
4
625
e)
7
400
c)
-1
f)
5
 32
9
64
2. Complete os itens com <, > ou =.
a)
7
3 · 5 ____ 7 3 ∙ 7 5
b)
25 + 16 ____
c)
3
12 : 3 ____ 3 12 : 3 3
d)
49 - 0 ____
36 - 9 ____ 36 – 9
f)
e)
12
2
____
12
2
3. Determine as raízes:
a) 81 =
b) 100 =
c) 3 8 =
d)
9
=
16
e) 3 27 =
f) 5 32 =
g)  25 =
h)
9
=
49
22
25 + 16
49 –
0
QUESTÃO RESOLVIDA:
1. Calculando
46 + 1 + 64 encontramos:
Esse tipo de questão se resolve de dentro pra fora resolvendo os radicais, acompanhe:
23
Se liga nas nas operações com os radicais!
1.
Adição e subtração: só podemos somar e subtrair radicais que tenham o mesmo
radicando e índice , ou seja, semelhantes.
Exemplo:
a)
b)
2.
Multiplicação e divisão: só podemos multiplicar e dividir radicais de mesmo índice.
Exemplo:
a)
b)
1. Efetue as operações:
72 + 72 =
a)
Esse método acima é chamado de fatoração que é muito comum utilizar nessas situações.
b)
98  2
c)
50 –
d)
4 3:2 2
e)
3
f)
3 5 
2
2
Racionalização de expressões numéricas
Consiste em tirar uma raiz do denominador. Para efetuar as racionalizações mais comuns é
bom que lembremos alguns fatores racionalizantes, vejamos:
1.
é o fator racionalizante de
Exemplo:
=
=
=
2.
é o fator racionalizante de
Exemplo:
=
3.
=
=
é o fator racionalizante de
Exemplo:
=
.
=
=
=
=
24
1. Racionalize os denominadores das frações:
a)
3
10
3
b)
3
5
2
c)
5
d)
3 2
2
10 + 3
TESTE AVALIATIVO PARA O FINAL DA 2° AULA
1. (G1 - ifsp)Leia as notícias:
“A NGC 4151 está localizada a cerca de 43 milhões de anos-luz da Terra e se enquadra entre
as galáxias jovens que possui um buraco negro em intensa atividade. Mas ela não é só
lembrada por esses quesitos. A NGC 4151 é conhecida por astrônomos como o ‘olho de
Sauron’, uma referência ao vilão do filme ‘O Senhor dos Anéis’”.
(http://www1.folha.uol.com.br/ciencia/887260-galaxia-herda-nome-de-vilao-do-filmeo-senhor-dos-aneis.shtml Acesso em: 27.10.2013.)
“Cientistas britânicos conseguiram fazer com que um microscópio ótico conseguisse enxergar
objetos de cerca de 0,00000005 m, oferecendo um olhar inédito sobre o mundo
‘nanoscópico’”.
(http://noticias.uol.com.br/ultnot/cienciaesaude/ultimas-noticias/bbc/2011/03/02/
com-metodo-inovador-cientistas-criam-microscopio-mais-potente-do-mundo.jhtm
Acesso
em: 27.10.2013. Adaptado)
Assinale a alternativa que apresenta os números em destaque no texto, escritos em notação
científica.
a) 4,3  107 e 5,0  108.
b) 4,3  107 e 5,0  108.
c) 4,3  107 e 5,0  108.
d) 4,3  106 e 5,0  107.
e) 4,3  106 e 5,0  107.
2. (Sistema aris de sá) Aplicando as propriedades das potências na sentença
,qual o valor de J?
a) 200
b) 399
c) 400
d) 401
e) 402
3. (Ufrgs)Um adulto humano saudável abriga cerca de 100 bilhões de bactérias, somente em
seu trato digestivo. Esse número de bactérias pode ser escrito como
a) 109.
b) 1010.
c) 1011.
d) 1012.
e) 1013.
4. (Sistema Ari de Sá) Em uma colônia de bactérias, uma bactéria divide-se em duas a cada
hora. Depois de 8 horas, o número de bactérias originadas de uma só bactéria é
a) o dobro do número oito
b) oito vezes o quadrado do número dois
c) o quadrado do número oito
d) duas vezes o quadrado do número oito
e) a oitava potência do número dois
5. (Enem)A Agência Espacial Norte Americana (NASA) informou que o asteroide YU 55 cruzou
o espaço entre a Terra e a Lua no mês de novembro de 2011. A ilustração a seguir sugere que
o asteroide percorreu sua trajetória no mesmo plano que contém a órbita descrita pela Lua
em torno da Terra. Na figura, está indicada a proximidade do asteroide em relação à Terra, ou
seja, a menor distância que ele passou da superfície terrestre.
25
Com base nessas informações, a menor distância que o asteroide YU 55 passou da superfície
da Terra é igual a
2
3
4
a) 3,25  10 km.
b) 3,25  10 km.
c) 3,25  10 km.
5
6
d) 3,25  10 km.
e) 3,25  10 km.
6. (Sistema aris de sá)
O numeral citado no final da tirinha corresponde a
79
81
82
84
83
a) 100 · 10 .
b) 10 · 10 .
c) 10 · 10 .
d) 10 . e) 100 · 10 .
7. (Unisinos)Em uma cultura de bactérias, a população dobra a cada duas horas. Sabendo-se
que, no início de uma experiência, há 500 bactérias, quantas haverá depois de 6 horas?
a) 1500.
b) 2000.
c) 3500.
d) 4000.
e) 4500.
3
8. (Cesgranrio-RJ) A representação decimal de 0,01 é:
a) 0,03.
b) 0,001.
c) 0,00001.
d) 0,000001.
9. (G1 - cftmg)Sendo y 
a) 23
b) 24
10. (Unirio-RJ) O valor de
a) 1
e) 5
b) 2
10
4
3
 8  16
32
e) 0,05
2
c) 25
, a metade do valor de y vale
d) 26
e) 2
15  32 + 25  81 é:
c) 3
d) 4
26
AULA 3- Expressões algébricas e Áreas
de figuras planas.
Valor Numérico
O valor numérico de uma expressão algébrica é um número que se obtém
após substituir as variáveis por pelos números dados e efetuar as operações
indicadas, seguindo esta ordem.
I) Potenciação e radiciação
II) Divisão e multiplicação
III) Adição e subtração.
Importante
Convém utilizar parênteses quando substituir as variáveis por números
negativos e frações.
1. Se m = –4, n = –1 e p = –16, ache o valor de:
a) 2m – n
b) 3p + n;
c)
m
;
4
d) –4n + 3m.
2. Considere os seguintes valores para estas letras: a = –2; b = 3; c = 6; d = –1. Calcule o valor
de:
a) a + b =
b) a : d =
c) 3a – b =
d) 5c + 3b =
e)
c
–4=
a
f) a – b + c – d =
g) 4 – 2a =
Monômios ou termo algébrico
Todo produto de números reais, expresso ou não por variável (letra), é chamado
monômio ou termo algébrico.
Exemplos:
5 x ;  xyz
e
8x 3 y 4
Partes de um monômio
Num monômio destacamos: o coeficiente e a parte literal.
Exemplo:
Grau de um monômio
O Grau de um monômio não nulo é dado pela soma dos expoentes de sua parte
literal.
27
Exemplo:
O grau de
2ax 3 y 4 z 6 é 1  3  4  6  14
Em relação a a ele é do 1º grau;
Em relação a x ele é do 3º grau;
Em relação a y ele é do 4º grau;
Em relação a z ele é do 6º grau;
Em relação a y e z ele é do 10º grau;
Monômios ou termos semelhantes
Monômios ou termos semelhantes são aqueles que possuem a mesma parte literal
ou não possuem parte literal.
Exemplo:
3a 2 bc3 e  8a 2 bc3 são monômios semelhantes.
Adição e Subtração de termos semelhantes (redução de termos semelhantes)
Lembre:
Ao eliminar parênteses precedidos pelo sinal positivo (+), não troque os sinais dos
termos incluídos nos parênteses. Já para o sinal negativo (–), troque os sinais de todos os
termos incluídos.
Exemplo:
Reduza os termos semelhantes das seguintes expressões algébricas.
a) 3x  (2 x  1) =3x +2x -1 = 5x-1
b) 3x  (2 x  1) =3x - 2x +1 = x+1
As regras acima são válidas para a eliminação de colchetes e chaves.
28
Polinômios
Polinômio é um monômio ou uma soma de monômios.
Se liga ae!
 O polinômio que possui dois termos recebe o nome
particular de binômio.
 O polinômio que possui três termos recebe o nome
particular de trinômio.
Grau de um Polinômio
É o grau do monômio de maior grau.
Exemplo:
O polinômio
2 x  7 x 4  3xy  3x 3 y 2 é do 5º grau.
Polinômio Homogêneo
É o polinômio em que todos os seus termos possuem o mesmo grau.
Exemplo:
x 4  x 3 y  2 xy 3 
2 2 2
x y
3
Polinômio Completo
Um polinômio de grau p é chamado polinômio completo se, e somente se, tem
monômios de todos os graus, desde zero até o grau p.
Exemplo:
x 5  x 4  x 3  x 2  .x  3
Multiplicação de Polinômios
Dado dois polinômios, o produto entre eles é obtido multiplicando-se cada termo de
um deles por todos os termos do outro (propriedade distributiva) e, em seguida, reduzimos
os termos semelhantes do resultado obtido.
Exemplos:
1. Efetue as somas abaixo:
2
2
a) 6x + 4x =
c) (–3x) + (–8x) =
b) –3y + 5y – y + 2y =
d) – 4xy + 2xy + 3xy =
1. Resposta:
a) 10x²
c) –11x
b) 3y
d) xy
29
2. Calcule:
a) (– 2x) ∙ (5x) =
2
b) 3 ∙ (–5x) =
2
d) (–7a ) ∙ (–3ad ) =
2 4
c) (–5ad) ∙ (+4d) =
2
e) (–7x y ) ∙ (–2xy ) ∙ (–xy) =
4
3
f) (6m ) ∙ (–3m ) =
3. Considere que x indica um número qualquer e represente-o por meio de expressões
algébricas:
a) x aumentado de 6;
b) x diminuído de 9;
c) o triplo de x;
d) a metade de x;
e) o quadrado de x;
f) o dobro de x somado com 7;
QUESTÕES CONTEXTUALIZADAS RESOLVIDAS:
1. A figura a seguir é um modelo de uma bicicleta de trilhas.
Observando-a, destacamos:
 A medida do raio das rodas traseira e dianteira é 9x.
 A distância entre os centros dos pneus (pontos A e B) é 12 cm.
Qual é a expressão que representa a distância entre os centros C1 e C2 das rodas?
2. Represente cada problema abaixo por uma expressão algébrica conveniente:
a) Um doce custa x reais e um pirulito custa y reais. Zuleide comprou 5 desses doces e
7 pirulitos para distribuir com seus amigos. Qual a expressão algébrica que representa a
quantia que Zuleide gastou?
5x + 7y
b) Mônica e seu Pai estão brincando de perguntas e respostas. As regras são as seguintes:
quem acertar ganha 10 pontos e quem errar perde 3 pontos. Se Mônica tiver x acertos e y
erros, qual a expressão que indica os pontos obtidos por ela no total?
10x – 3y
3. Escreva a área da região plana abaixo por meio de uma expressão algébrica que não tenha
termos semelhantes. Lembre: Área do retângulo é base vezes altura
Podemos dividir essa área na soma da área de dois retângulos, então temos:
2a ∙ b + a(a + b) = 2ab + a² + ab = a² + 3ab ou 2a(a + 2b) – a(a + b) = 2a² + 4ab – a² – ab =
= a² + 3ab
30
1. Na bilheteria do cinema há um cartaz com o preço dos ingressos com a inscrição: “Homem:
R$ 11,00; Mulher: R$ 4,00”. Para uma sessão, foram vendidas uma quantidade x de ingressos
para homens e uma quantidade yde ingressos para mulheres.
a) Que expressão algébrica representa o total arrecadado para essa sessão?
b) Quantos reais foram arrecadados nessa sessão se comparecerem 90 homens e 150
mulheres?
2. Escreva a fórmula que representa o perímetro de cada um dos polígonos.
a)
b)
3. Observe as figuras abaixo:
A
x
x
x
B
y
y
y
x
y
Determine:
a) a área do quadrado A;
b) a área de cada retângulo;
c) a área do quadrado B;
d) a área da figura formada quando juntar todas as peças;
4. Quanto tempo um objeto que é abandonado de uma certa altura leva para atingir o solo?
Conhecendo-se a altura h em que se encontra esse objeto em relação ao solo, podemos
encontrar o tempo t procurado usando a fórmula
t
h
. A altura h é dada em metros e
4,9
o tempo t, em segundos. Use essa fórmula para calcular o tempo que leva para chegar ao solo
uma pedra que cai de uma altura de 19,6 metros.
Respostas:
1. Resposta:
a) 11x + 4y
2. Resposta:
a) P = c + ℓ + c + ℓ ou P = 2c + 2ℓ. b) P = ℓ + ℓ + ℓ + ℓ ou P = 4ℓ.
3. Resposta:
a) x²
4. Resposta:
t = 2 s.
b) xy
b) 1 590
c) y²
d) x² + 2xy + y²
31
Divisão de Polinômios
Para efetuarmos a divisão entre dois polinômios é preciso que:
 Os dois polinômios estejam em ordem decrescente em relação á variável.
 O grau do dividendo, em relação seja maior ou igual ao do divisor.
 Multiplicamos por um termo conveniente todos os termos do divisor, colocamos o
resultado obtido com o sinal trocado sob o dividendo.
A seguir, adicionamos os termos semelhantes e baixamos o termo seguinte.
 Repetimos todo o procedimento com o resto parcial até que o resto do divisor tenha
menor grau que o divisor.
Lembre: Dividendo = divisor. quociente + resto
Exemplos:
Determine o resto e o quociente das divisões:
a) ( x 3  x 2  2 x  5) : ( x  2)
b) ( 3x 3  5 x 2  x  1) : ( x 2  2 x  1)
Solução:
x3  x 2  2x  5
x2
 x3  2x 2
x2  x  4
x 2  2x  5
 x 2  2x
4x  5
 4x  8
3
A divisão não é exata.
Solução:
3x3  5 x 2  x  1
 3x3  6 x 2  3x
x2  2x  1
3x  1
 x2  2x  1
 x2  2x  1
0
A divisão é exata.
1. Determine as divisões entre polinômios:
2
a) (x + 11x + 18) : (x + 2) =
2
b) (3x – 5x + 2) : (x – 1) =
2
c) (8x – 10x – 7) : (2x + 1) =
Área de figuras planas
A cada figura plana, iremos associar um número real positivo no qual chamaremos
de área.
Área do quadrado:
32
A área do quadrado é igual ao quadrado de seu lado.
A  a2
Área do retângulo:
A área de um retângulo qualquer, é igual ao produto de suas dimensões (base x
altura).
A  bh
Área do paralelogramo
A área de um paralelogramo qualquer, é igual ao produto de sua base por sua altura.
A  bh
Área do triângulo:
A área do triângulo é a metade do produto da base pela altura.
A
bh
2
Obs.: Triângulo equilátero:
 3
Altura: 2
2 3
Área: 4
Triângulo retângulo:
Área:
a.b
2
A área do triângulo retângulo é o semi –produto dos catetos.
Área do trapézio
A área do trapézio é o produto da metade da soma das bases pela altura.
A
( B  b)  h
2
33
Área do losango:
A área do losango é a metade do produto de suas diagonais.
A
Área do círculo:
A área de um círculo é

Dd
2
vez o raio ao quadrado.
A  R 2
Circunferência
Circunferência é o lugar geométrico de todos os pontos de um plano que estão
localizados a uma mesma distância r de um ponto fixo denominado o centro da
circunferência.
C  2 R ou C   d , onde   3,14
Se liga ae!
 Perímetro de uma figura plana é a soma de todos os
seus lados.
 O círculo não tem perímetro , ele tem comprimento e
área.
34
QUESTÕES RESOLVIDAS:
1. Calcule a área da região determinada por um triângulo equilátero cujo lado mede 10
cm.
3
1. Resposta:
Inicialmente vamos encontrar a altura desse triângulo.
 3 10 3  3

 15 ; Agora usaremos a altura para achar sua área: Área =
2
2
10 3  15
 75 3 cm2.
2
h=
2
2. A área do trapézio abaixo é 48 m . A base AB = x + 4 é igual a:
x
D
C
6

A
x + 4
B
a) 12 m.
b) 10 m.
c) 25 m.
d) 6 m.
2. Resposta:
2
Sabendo que a área é 48 m , a base maior é x+4, base menor x e altura 6 temos:
A
( B  b)  h
( x  4  x)  6
(2 x  4)  6
48 
48 
 96 = (2x+4).6
2
2
2


 96 = 12x+24  12x = 72  x = 6 m
3. Determine a área de uma praça circular cuja circunferência mede 376,80 m.
3. Resposta:
2r = 376,80  r = 60 m; A= r² = 3,14 ∙ 60² = 11 304
2
aproximadamente 11 304 m .
4. Determine a medida da área da região limitada pelo trapézio isósceles abaixo sabendo que
a altura mede 4,9 cm.
4,9
cm
Resposta:
A=
(12  5)  4,9
≅ 41,7
2
2
A ≅ 41,7 cm .
35
5. (IFRN) O Judô é realizado sobre um espaço retangular denominado tatame. Considerandose que as dimensões oficiais do tatame são 90 em por 180 cm, podemos afirmar que seu
perímetro é
a) 360 cm.
b) 480 cm.
c) 540 cm
d) 680 cm.
e) 800 cm.
5. Resposta:
Como perímetro é soma de todos os lados e o tatame é um retângulo, temos:
Perímetro = 90 cm+ 90 cm+180 cm+ 180 cm = 540 cm
Letra C
6. (IFRN)Em uma escola, como parte do programa de combate à violência, foi realizada uma
dinâmica de grupo onde os estudantes foram colocados em círculo. Se a distância de cada um
deles ao centro do círculo era de 1m, a área do círculo formado foi:
2
2
2
2
2
a) 2πm
b) πm .
c) π/2m .
d) π/4m .
e) 1 m
6. Resposta:
Sabendo que é um círculo de raio 1 m, temos:
Letra B
7. (ENEM) Em uma certa cidade, os moradores de um bairro carente de espaços de lazer
reivindicam à prefeitura municipal a construção de uma praça. A prefeitura concorda com a
solicitação e afirma que irá construí-la em formato retangular devido às características
técnicas do terreno. Restrições de natureza orçamentária impõem que sejam gastos, no
máximo, 180 m de tela para cercar a praça. A prefeitura apresenta aos moradores desse
bairro as medidas dos terrenos disponíveis para a construção da praça:
Terreno 1: 55 m por 45 m
Terreno 2: 55 m por 55 m
Terreno 3: 60 m por 30 m
Terreno 4: 70 m por 20 m
Terreno 5: 95 m por 85 m
Para optar pelo terreno de maior área, que atenda às restrições impostas pela prefeitura, os
moradores deverão escolher o terreno:
a) 1.
b) 2.
c) 3.
d) 4.
e) 5.
7. Resposta:
Se atribuirmos às dimensões do terreno os valores a e b, o comprimento da tela necessária
para cercar o terreno será dado pelo seu perímetro. Assim:
Como a prefeitura só possui orçamento para uma tela de, no máximo, 180 m, então:
2 . (a + b) < 180 m
a + b < 90 m
De todos os terrenos, os únicos que possuem a soma das suas dimensões (a e b) menor ou
igual a 90 m, são:
Suas áreas são dadas por:
.
2
(área do terreno 3) = 60 m 30 m = 1 800 m
.
2
(área do terreno 4) = 70 m 20 m = 1 400 m
O de maior área é o terreno 3.
Alternativa correta: C
36
8. (ENEM) Jorge quer instalar aquecedores no seu salão de beleza para melhorar o conforto
dos seus clientes no inverno. Ele estuda a compra de unidades de dois tipos de aquecedores:
2
modelo A, que consome 600 g/h (gramas por hora) de gás propano e cobre 35 m de área, ou
2
modelo B, que consome 750 g/h de gás propano e cobre 45 m de área. O fabricante indica
que o aquecedor deve ser instalado em um ambiente com área menor do que a da sua
cobertura. Jorge vai instalar uma unidade por ambiente e quer gastar o mínimo possível com
gás. A área do salão que deve ser climatizada encontra-se na planta seguinte (ambientes
representados por três retângulos e um trapézio).
Avaliando-se todas as informações, serão necessários
a) quatro unidades do tipo A e nenhuma unidade do tipo B.
b) três unidades do tipo A e uma unidade do tipo B.
c) duas unidades do tipo A e duas unidades do tipo B.
d) uma unidade do tipo A e três unidades do tipo B.
e) nenhuma unidade do tipo A e quatro unidades do tipo B.
8. Resolução:
2
Área I = 5 ∙ 8 = 40 m (tipo B)
2
Área II = 5 ∙ 6 = 30 m (tipo A)
2
Área III = 6 ∙ 4 = 24 m (tipo A)
Área IV =
Alternativa correta: C
(Tipo B)
37
Vamos Praticar!
2
1. Determine a área das seguintes figuras (em cm ):
b)
a)
d)
c)
2. Temos um triângulo equilátero de lado 6cm. Qual é o perímetro e qual é a área deste
triângulo?
3. Considere as regiões abaixo sabendo que as medidas estão indicadas em metros. Para cada
uma delas, escreva a fórmula do perímetro (em metros) e da área (em metros quadrados).
4. (IFRN) Um disco laser tem diâmetro igual a 11,8 cm. O comprimento de sua circunferência
é de aproximadamente: (Use π = 3,14).
a) 3,6 cm
b) 37,05 cm
c) 74,1cm
d) 118 cm
e) 220 cm
5. (IFRN) Em uma praça de formato circular, de diâmetro igual a 200 metros, realizou-se um
comício político. Considerando-se π = 3,14 e sabendo-se que cada metro quadrado pode ser
ocupado em média por quatro pessoas, é correto afirmar que, no momento em que a praça
ficou completamente lotada, estavam presentes:
a) 125.600 pessoas.
b) 312.080 pessoas.
c) 402.510 pessoas.
d) 502.400 pessoas.
e) 450.400 pessoas.
6. (IFRN) Uma empresa está fazendo um estudo a respeito da forma da embalagem que usará
para certo produto. Sua planificação está representada na figura abaixo. A área total dessa
embalagem é de, aproximadamente:
(Use π = 3,14).
a) 256,52 cm2
d) 456,52 cm2
b) 237,66 cm2
e) 520,80 cm2
c) 272 cm2
38
7. (SISTEMA ARIS DE SÁ) A fazenda do Senhor Manoel vem sendo alvo de constantes roubos e
invasões. Para dar maior segurança à sua propriedade, ele vai cercá-la com uma cerca de
arame. Sabendo-se que a cerca terá cinco fios de arame e a área cercada tem formato de um
hexágono regular, com 25Km de lado, então, a quantidade de metros de fio de arame que
deverão ser gastos para cercar a fazenda do Senhor Manoel é:
a) 150.000
b) 300.000
c) 450.000
d) 600.000
e) 750.000
Respostas:
1. Resposta:
a) 48cm²
b) 48cm²
c) 91cm²
d) 150cm²
2. Resposta:
Perímetro: 6.3 = 18cm
3. Resposta:
a) P = n + v + b + t; A =
n  b v
x d
b) P = x + p + s; A =
2
c) P = 4e; A = e
d) P = 4c; A =
2
2
ra
2
e) P = 2i + 2f; A = f ∙ h
4. Resposta: Letra B
5. Resposta: Letra A
6. Resposta:Letra A
7. Resposta:
I. 25 x 6= 150 km
II. 5 x 150= 750km
Ill. 750 km = 750.000 m
Alternativa correta: E
TESTE AVALIATIVO PARA O FINAL DA 3° AULA
1. (Espm) Durante uma manifestação, os participantes ocuparam uma avenida de 18m de
largura numa extensão de 1,5km. Considerando-se uma taxa de ocupação de 1,5 pessoas
por m 2 , podemos estimar que o número de participantes dessa manifestação foi de aproximadamente:
a) 70 mil
b) 60 mil
c) 40 mil
d) 30 mil
e) 50 mil
2. (G1 - ifal) Pedro, passeando de bicicleta pela bela orla de Maceió percorreu 900 πm.
Se o diâmetro da roda de sua bicicleta tem 60 cm, então o número de voltas realizadas pela
roda é
a) 15.
b) 500.
c) 1500.
d) 5000.
e) 50.
3. (Pucrj) Um show de rock foi realizado em um terreno retangular de lados 120 m e 60 m.
Sabendo que havia, em média, um banheiro por cada 100 metros quadrados, havia no show:
a) 20 banheiros b) 36 banheiros c) 60 banheiros d) 72 banheiros e) 120 banheiros
4. (IFRN) A fórmula para se calcular o número do sapato (N) de uma pessoa, conhecendo-se o
comprimento (C) de seu pé, é dada por N 
5C  28
.Com base nessa fórmula, podemos
4
concluir que o número do sapato de uma pessoa que tem o comprimento do seu pé igual a 24
cm é:
a) 37
b) 38
c) 39
d) 40
e) 41
39
5. (Ibmecrj) Uma emissora de TV, em parceria com uma empresa de alimentos, criou um
programa de perguntas e respostas chamado “UM MILHÃO NA MESA”. Nele, o apresentador
faz perguntas sobre temas escolhidos pelos participantes. O prêmio máximo é de
R$ 1.000.000,00 que fica, inicialmente, sobre uma mesa, distribuído em 50 pacotes com
1.000 cédulas de R$ 20,00 cada um. Cada cédula de R$ 20,00 é um retângulo de 14 cm
de base por 6,5cm de altura. Colocando todas as cédulas uma ao lado da outra, teríamos
uma superfície de:
a) 415m
2
b) 420m
2
2
c) 425m
d) 455m
2
2
e) 475m
6. (IFRN) Um grupo de alunos do CEFET-RN organizou uma festa para arrecadar recursos para
sua festa de formatura. Os ingressos custaram: R$ 5,00 para adultos; R$ 2,50 para crianças e
R$ 2,00 para alunos da escola. Uma das alunas fez um programa de computador que
forneceu, a cada nova entrada vendida, o total arrecadado na bilheteria. Se a aluna chamou
de x o número de ingressos vendidos aos alunos da escola; de y o número de ingressos
vendidos aos adultos; e de z o número de ingressos vendidos às crianças, a expressão
algébrica digitada no programa do computador para que o mesmo informasse o total
arrecadado foi
a) 2x + 5y + 2,5z.
b) 2,5x + 2y + 5z.
c) 5x + 2,5y + 2z.
d) 2x + 2,5y + 5z.
e) 3x + 4y + 5z.
7. (Ufpb) Um ambientalista, desejando estimar a área de uma região de preservação
ambiental, observou em um mapa, com escala de 1 cmpara cada 100 km, que o formato da
região era, aproximadamente, um triângulo retângulo de catetos medindo 2 cme 3 cm. Com
base nesses dados, conclui-se que a área da região de preservação ambiental era,
aproximadamente, de:
a) 20.000 km2
b) 30.000 km2
c) 35.000 km2
2
2
d) 40.000 km
e) 60.000 km
8. (SARESP-SP) Numa padaria há um cartaz afixado em que constam os seguintes itens:
LEITE R$ 0,70
PÃO R$ 0,12
Joana comprou uma quantidade x de litros de leite e uma quantidade y de pães. A expressão
algébrica que representa essa compra é:
a) 10x +y
b) 10y + 3x
c) 0,12x + 0,70y
d) 0,70x + 0,12y
e) 5y + 10x
9. (Pucmg) De uma placa quadrada de 16 cm2 , foi recortada uma peça conforme indicado
na figura. A medida da área da peça recortada, em centímetros quadrados, é:
a) 4
b) 5
c) 6
d) 7
e) 8
10. (Eear) Um carrinho de brinquedo que corre em uma pista circular completa 8 voltas,
percorrendo um total de 48 m.
Desprezando a largura da pista e considerando π  3, o seu raio é, em metros, igual a
a) 0,8
b) 1,0
c) 1,2
d) 2,0
40
AULA 4 - Frações
Conjunto dos Números Racionais (Q)
Como vimos da aula 1 os conjuntos númericos nos acompanha para caracterizarmos os
números, operações e suas utilidades. A seguir o conjunto que nos permite repartir números
decimais que anteriormente não fazimos pois o conjunto era o INTEIRO (Z).
a
Q  {x | x  , com a  Z , b  Z e b  0}
b
.
Exemplos:
1
2
3
b)
4
c) 0,13
4
d) 3
7
e) 2,23
f) 0,111...
a)
Uma fração é uma parte de um todo. Numa fração do tipo a/b, a é chamado de numerador
enquanto que b é chamado de denominador.
Exemplo:
O conjunto dos números racionais é formado por todas as frações ou razões, ou seja,
se um número pode ser escrito em forma de fração ou razão ele é racional. Assim, concluímos
que todo número inteiro também é racional, pois pode ser considerado como uma fração de
denominador 1.
Ex.: 5 = 5 /1
Subconjunto dos Números Racionais.





Conjunto dos racionais não-nulo Q*
Conjunto racionais não negativos Q+
Conjunto dos racionais não positivos Q_
Conjunto dos racionais positivos Q+*
Conjunto dos racionais negativos Q *
Propriedades:
 A soma, a subtração ou o produto de dois números inteiro quaisquer, é um número
inteiro.
 O quociente de dois números racionais quaisquer, sendo o divisor diferente de zero é um
número racional.
Tipos de Frações
 Fração Própria: é aquela em que o numerador é menor que o denominador.
Ex.: 4/6, 3/8, 1/2

Fração Imprópria: é aquela em que o numerador é maior ou igual que o denominador.
41

Ex.: 4/3, 8/5, 11/3
Fração Aparente: é aquela em que o numerador é múltiplo do denominador.
Ex.: 8/4, 9/3, 16/ 4
 Número Misto: Toda fração imprópria, que não é aparente, pose ser transformada em
número misto, que é composto de uma parte inteira e de uma parte fracionária.
7 13
4 denominador
Ex.: 4
numerador
parte inteiro
 Frações Equivalentes:
Propriedade Fundamental:
Quando multiplicamos ou dividimos os termos de uma fração (numerador e o
denominador) por um mesmo número natural diferente de zero, obtemos uma fração
equivalente à fração inicial.
Ex.:
2 1 2 2 2 1
  

4 2 4 4 2 2
Logo, 2/4 é equivalente a 1/2 (ou 2/4  1/2).
 Simplificação de Frações: simplificar uma fração é transformá-la em outra equivalente
cujos termos sejam primos entre si, deixando assim a fração na forma irredutível.
18 9 2 75 25 3


9
 25
3
4
27
100
Ex.:
;
 Frações Homogêneas: são frações que possuem denominadores iguais.
Ex.: 2/5; 3/5; 1/5
 Frações Heterogêneas: são frações que possuem denominadores diferentes.
Ex.: 4/7; 8/3; 1/5
Redução de frações ao mesmo denominador:reduzir frações ao
mesmo denominador é transformar em homogêneas e operamos
como a seguir.
Comparação de Frações:
 Se duas frações tem o mesmo denominador (fração homogênea), a maior será a que tiver
o maior numerador.
2 4

E x.: 5 5
 Se duas frações tem o mesmo numerador, a maior será a que tiver o menor
denominador.
6 6

Ex.: 5 7
 Se duas frações tem numerador e denominador diferentes, então, reduz-se a fração ao
mesmo denominador que podemos usar o método do M.M.C
Ex.: 2/3 > 3/5 = 10/15 > 9/15
42
O que é M.M.C ?
Mínimo múltiplo comum (MMC): Um número inteiro c é chamado de mínimo
múltiplo comum de dois números a e b quando é o menor múltiplo que é comum a a e b .
MMC a, b   c .
E representamos por
Observe que os múltiplos de 3 e 4:
M 3  3, 6, 9, 12, 15, 18, 21,...
M 4    4, 8, 12, 16, 20, 24, 28,...
Veja que 12 é o menor múltiplo que é comum a 3 e 4. Logo, dizemos que
Exemplos:
a)
MMC 3,4   12 .
MMC 4,18   36
b)
c)
MMC 12,14   84
MMC 2,7   14
Como
faço
para
determinar o MMC de
forma prática?
É fácil determinar o MMC entre dois números inteiros. Para determinar o MMC basta utilizar
o dispositivo prático: Calculando o M.M.C (4,18) e M.M.C (12,14):
4 18
2
12 14
2
2 9
2
6 7
2
1 9
3
3 7
3
1 3
3
1 1 2 3
2
7
1 1 2 3 7
2
MMC 4, 18  2  3  4  9  36 e MMC 12,14   2 2  3  7  84 .
2
Logo, dizemos que
1 7
2
2
Operações com Frações:
 Adição e Subtração: só podemos somar ou subtrair frações que tenham o mesmo
denominador e opera-se o numerador. Assim teremos dois casos a destacar:
1º Caso: Adição ou subtração de fracões que têm o mesmo denominador:
Quando os denominadores forem iguais, simplesmente somam-se os numeradores,
conservando-se o mesmo denominador.
Exemplos
3 2 3 2 5
 

7
7
A) 7 7
3 2 3 2 1
 

7
7
B) 7 7
43
3 1 3 1 4
 

5
5
C) 5 5
3 1 3 1 2
 

5
5
5
5
D)
2º Caso:
Adição ou Subtração de fracões que têm os denominadores diferentes:
Quando os denominadores forem diferentes, deve-se reduzir as fracões ao mesmo
denominador. Para tanto, calcula-se o MMC dos denominadores, que será o denominador
comum. Após isso, divide-se o denominador comum por cada denominador, multiplicando-se,
a seguir, o resultado pelo correspondente numerador.
3 1

MMC 7, 3  21 . Dividimos 21 por 7 e o resultado
Ex.: a) 7 3 . Sabendo que o
multiplicamos por 3, ou seja 21  7  3  3  9 . Depois fazemos o mesmo com o outro
3 1 97 2
 

7
3
21
21 .
denominador. O que irá resultar
2 1 43 7
 

6
6
b) 3 2
 Multiplicação: para multiplicar frações, multiplicamos numerador por numerador e
denominador por denominador.
Ex.:
a)
2 7 2  7 14
 

3 5 3  5 15
b)
1 3 7 1  3  7 21
  

2 5 4 2  5  4 40
c)
2 3 5 30 15 5
  


3 4 7 84 42 14
d)
4
4  5 20
5 

3
3
3
Não entendi!O que
aconteceu na “d”? O
5 não é uma fração!
5
O 5 é considerado uma fração, pois ele pode ser escrito da seguinte forma
4
4 5 4  5 20
5   

3
3
1
3

1
3 .
“d” fizemos o seguinte
5
1 . Logo na
 Divisão: na divisão de duas frações, conservamos a primeira fração e multiplicamos pelo
inverso da segunda.
44

Ex.:
conserva
7 5 7 4 28
   
a) 9 4 9 5 45
Inverte
2 7 2 5 10
   
b) 3 5 3 7 21
1 3 1 5 5
   
c) 2 5 2 3 6
4
4 1 4
5   
3 5 15
d) 3
Se liga ae!
Geralmente, nos problemas envolvendo frações é comum
encontrar frações por extenso.
Por exemplo:
Mariquinha ganhou R$ 1.000,00 na loteria e aplicou três
quartos dessa quantia na poupança e o restante comprou um
carro.
Quanto foi Mariquinha aplicou na poupança e qual o valor de carro comprado por ela?
Solução:
Sabendo
que
ela
aplicou
três
quartos
de
R$,
isto
é,
aplicou
3
300 .000
 100 .000 
 75.000
4
4
reais, o que nos garante que valor do carro foi de R$
25.000,00, o que é o mesmo que um quarto de R$ 100.000.
QUESTÕES CONTEXTUALIZADAS RESOLVIDAS
2
1. A massa de um saco de açúcar é de 5 kg. Numa receita foram gastos 5 dessa quantidade.
Quantos quilogramas restaram?
1. Resposta:
3 kg, pois:
 5

2
3 3

= ;
de 5 = 3 

5
5 5
 5

3
2. Kátia distribuiu 36 figurinhas entre os dois sobrinhos. O mais velho recebeu 4 das
figurinhas. Quantas figurinhas recebeu cada um?
2. Resposta:
3
1


 mais velho : de 36 = 27; mais novo : de 36 = 9  27  9 = 36  
4
4


Mais velho: 27 figurinhas; mais novo: 9 figurinhas.
45
3. Veja o que diz a menina:
Eu e meu irmão temos 1340
reais na poupança!
Mas veja que injustiça: só 1/4
desse valor é minha.
Quanto ela tem na poupança?
Primeira solução
De acordo com o enunciado da questão podemos montar um o diagrama abaixo:
1
Como a parte que coube a menina no problema corresponde a 4 do total temos
que esse valor é igual a:
Parte da Poupança da menina
1
de 1340
4
1
1340
1340 
 R$ 335,00
4
4
Segunda solução
Note que o problema pode ser resolvido facilmente pegando R$ 1340 no qual
corresponde ao total e dividido em 4 partes iguais, dessa forma podemos concluir que cada
parte é igual R$ 335,00 e como para a menina coube apenas uma das partes temos que a
mesma recebeu R$ 335,00.
4. (Fuzileiro Naval)Em um quartel, 7/9 dos militares são praças e existem 10 oficiais. Como o
efetivo do quartel é composto de oficiais e praças, qual o número total de militares no quartel
?
a) 45 b) 44 c) 36 d) 28 e) 21
Solução
Ora se, 7/9 do total dos militares em um quartel são praças isso nos mostra que o total
foi dividido em 9 partes iguais e dessas partes 7 são praças e como os outros militares no
quartel são oficiais, logo esses representam 2 dessas 9 partes e assim podemos escrever:
2 partes = 10 militares
1 parte = 5 militares
Logo o total, no qual equivale a:
9 partes = 9 x 5 = 45 militares
5. (VUNESP) Duas empreiteiras farão conjuntamente a pavimentação de uma estrada, cada
uma trabalhando a partir de uma estrada, cada uma trabalhando a partir de uma das
extremidades. Se uma delas pavimentar 2/5 da estrada e a outra os 81 quilômetros
restantes, a extensão dessa estrada é de:
a) 125 quilômetros
c) 142 quilômetro
e) 160 quilômetros
b) 135 quilômetros
d) 145 quilômetros
46
Solução
Como o total da estrada, ou seja, x km será realizado por duas empreiteiras, sendo que a
2
primeira ira pavimentar 5 do total da estrada e os 81 km restante pela segunda empreiteira,
podemos indicar o problema pelo diagrama abaixo:
3
Dessa forma, os 81 km correspondem a 5 do total da estrada e assim temos:
3
 x  81
5
3 x  5  81
3 x  405
405
x
 x  135 km
3
Segunda solução
Por sua vez, o problema pode ser resolvido rapidamente tomando em consideração
que o total da estrada foi dividido em 5 partes iguais (isso é indicado pelo denominador da
primeira fração) e como dessas 5 partes a primeira empreiteira pavimentos 2 deles, logo as 3
partes restantes couberam para a segunda empreiteira e assim podemos escrever as relações
abaixo:
3 partes = 81 km
1 parte = 27 km (81km ÷ 3 = 27 km)
Logo o total, ou seja:
5 partes = 5 x 27km = 135 km
6. (SISTEMA ARIS DE SÁ) A figura a seguir representa qual das seguintes somas entre frações?
a)
b)
c)
d)
Resolução
Uma fração representa uma parte (numerador) de um todo (denominador). No caso, o todo
possui 6 partes, então os denominadores devem ser 6. Como se está somando 2 partes com 3
partes, os numeradores são 2 e 3. Assim, a soma representada é:
Alternativa correta: A
47
Vamos Praticar?
1. Calcule e simplifique o resultado se possível.
1 2 4
 
9 3
a) 3
1
7
3


10 10 10
b)
7
3
1


15 15 10
c)
7 2 1
 
8
8 8
d)
2. Resolva:
5 1
:
10
3
a)
7
:3
8
b)
9
2
:
2
3
c)
x 3 
3. Sendo
a) x + y
c) x ∙ y
1
4
y ,
2 e
9 determine o valor de:
b) x – y
d) x : y
4. Numa caixa havia 42 bolinhas de gude que foram repartidas entre 3 crianças. A primeira
2
1
recebeu 3 das bolinhas, a segunda 7 e a terceira o restante. Quantas bolinhas recebeu
cada criança?
2
1
5. A classe de Maria tem 40 alunos. 5 deles participam da aula de dança, 4 faz aula de
computação e o restante tem aula de jardinagem.
a) Calcule o número de alunos em cada um dessas atividades.
b) Determine a fração irredutível que indica os alunos que fazem jardinagem em relação ao
total de alunos da classe.
6. (SISTEMA ARIS DE SÁ) Dois alunos de uma escola conveniada SAS foram a uma pizzaria em
que todas as pizzas são preparadas sobre uma pedra circular de tamanho único e padrão.
Todas as pizzas de mussarela são divididas em quatro fatias iguais, as pizzas de frango são
divididas em seis fatias iguais e as pizzas de banana com canela são partidas em oito fatias
iguais. O aluno do 6º ano do Ensino Fundamental comeu duas fatias de mussarela, três fatias
de frango e quatro fatias de banana com canela. Enquanto o aluno do 9º ano do Ensino
Fundamental comeu três fatias de mussarela, quatro fatias de frango e duas fatias de banana
com canela. Identifique a alternativa que traz uma afirmativa verdadeira.
a) O aluno do 6º ano comeu somente meia pizza.
b) O aluno do 6º ano comeu mais fatias do que o aluno do 9º ano.
c) Os dois alunos juntos comeram somente duas pizzas.
d) Os dois alunos juntos comeram mais do que três pizzas.
e) O aluno do 9º ano comeu menos de uma pizza.
48
49
TESTE AVALIATIVO PARA O FINAL DA 4° AULA
1. (SISTEMA ARIS DE SÁ)
Sabendo que
a)
, qual o valor de B – A?
b)
c)
d)
e) 1
2. (SISTEMA ARIS DE SÁ)Assinale a alternativa que contém a representação correta para a
fração
a)
b)
d)
c)
e)
3. (SISTEMA ARIS DE SÁ) Lucas, ao abrir um livro de Matemática em uma página qualquer, se
deparou com a expressão a seguir.
O resultado da expressão é
a)
b)
c)
d)
e) 1
4. (SISTEMA ARIS DE SÁ) Beto e Carlos estavam estudando Matemática. Eles decidiram que
cada um iria resolver um exercício diferente. Beto começou a resolver a expressão a seguir.
Carlos se propôs a resolver a expressão:
Depois que cada um resolveu o seu exercício, eles somaram os valores encontrados, e
obtiveram como resultado
a)
b)
c)
d)
5. (SISTEMA ARIS DE SÁ) Daniela, Eduardo e Fernanda foram a uma pizzaria e comeram,
respectivamente,
sobrou é
de uma pizza. A fração que representa a quantidade de pizza que
50
a)
b)
c)
d)
e) 1
6. (SISTEMA ARIS DE SÁ)Maria tinha uma dívida de R$ 200, da qual foram perdoados
pelo banco. Nesta mesma conta corrente foi depositado, posteriormente, R$ 500. Pode-se
concluir que o saldo final da conta era de
a) R$ 225.
b) R$ 450.
c) R$ 525.
d) R$ 650.
e) R$ 750.
7. (Ufpr) Rafaela e Henrique participaram de uma atividade voluntária que consistiu na
pintura da fachada de uma instituição de caridade. No final do dia, restaram duas latas de
tinta idênticas (de mesmo tamanho e cor). Uma dessas latas estava cheia de tinta até a
3
metade de sua capacidade e a outra estava cheia de tinta até 4 de sua capacidade. Ambos
decidiram juntar esse excedente e dividir em duas partes iguais, a serem armazenadas nessas
mesmas latas. A fração que representa o volume de tinta em cada uma das latas, em relação
à sua capacidade, após essa divisão é:
1
5
5
4
5
.
.
.
.
.
3
8
6
3
a)
b)
c)
d)
e) 2
8. (IFRN) Um estádio de futebol tem capacidade para 45.000 pessoas. Compareceram 3/5
desse total para assistir a uma partida.. O número de torcedores que falta para lotar o estádio
é igual a:
a) 15.000
b) 18.000
c) 21.000
d) 25.000
e) 27.000
9. (G1 - ifsp) Em março de 2015, na Síria, de acordo com informações divulgadas pela
Organização das Nações Unidas (ONU), 4 em cada 5 sírios viviam na pobreza e miséria.
Sendo assim, a razão entre o número de habitantes que viviam na pobreza e miséria e o
número de habitantes que não viviam na pobreza e miséria, naquele país, em março de 2015,
podia ser representada pela fração:
4
1
4
4
1
.
.
.
.
.
a) 5
b) 1
c) 4
d) 5
e) 9
10. (IFRN) Em uma escola, um terço dos 1.200 estudantes matriculados já foram vítimas de
algum tipo de violência, sendo que um quinto desses, especificamente, vítimas de “violência
moral” ou bullying. Nesse caso, podemos afirmar que, nessa escola, o número de alunos
vítimas de bullying foi de
a) 60 alunos.
b) 80 alunos.
c) 120 alunos. d) 160 alunos. e) 180 alunos.
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