lista de exercícios

lista de exercı́cios – teoria da relatividade
1. Dada a equação de onda de d’Alembert
∇2 Ψ −
1 ∂ 2Ψ
=0
c2 ∂t2
onde Ψ(x, y, z, t) é um campo escalar, mostre que: (a) a equação não é invariante
sob a TG
x′ = x − vt,
y ′ = y,
z ′ = z,
t′ = t.
(b) a equação é invariante sob a TL
x′ = γ(x − vt),
y ′ = y,
z ′ = z,
t′ = γ(t − xv/c2 ).
Nesse problema você deve usar que o campo escalar é observado em S como uma função Ψ(x, y, z, t) e em S ′ como uma função
Ψ′ (x′ , y ′ , z ′ , t′ ) tal que Ψ(x, y, z, t) = Ψ′ (x′ , y ′ , z ′ , t′ ), com (x, y, z, t) e (x′ , y ′ , z ′ , t′ ) sendo as coordenadas em S e em S ′ de um
mesmo evento. Usando essa igualdade e a regra da cadeia você pode relacionar as derivadas e obter, por exemplo no caso da TG,
∂Ψ
∂t
= −v
∂Ψ′
∂x′
+
∂Ψ′
∂t′
.
2. Um trem de 900 m de comprimento desloca-se em relação à estação com velocidade de 180 km/h. Dois sinalizadores colocados em seus extremos emitem feixes
luminosos um contra o outro que, segundo um observador na estação, foram emitidos simultaneamente. Determine o intervalo de tempo entre os dois sinais para um
observador no trem.
3. Segundo um observador O′ , que se desloca em relação a um outro observador O com
velocidade v = 0, 4 c, dois eventos separados por uma distância de 550 m ocorreram
simultaneamente. Determine, para o observador O, a distância e a diferença de
tempo de ocorrência entre os dois eventos.
4. Os eventos A, B e C estão plotados no diagrama x−t do laboratório na figura abaixo.
Responda as seguintes questões para o par de eventos A e B. (a) O intervalo entre
esses eventos é tipo-tempo, tipo-espaço ou tipo-luz? (b) Qual é a distância própria
(ou o tempo próprio) entre esses dois eventos? (c) É possı́vel um dos eventos ter
causado o outro? Responda essas mesmas questões para o par de eventos A e C e
para o par de eventos B e C.
5. efeito farol. Um feixe luminoso é emitido a um ângulo φ′ em relação ao eixo x′
do referencial de um foguete que se move com velocidade β na direção x em relação
ao laboratório. Mostre que o ângulo φ que a direção do feixe faz com o eixo x do
referencial do laboratório é dado pela equação
cos φ′ + β
cos φ =
.
1 + β cos φ′
Considere uma partı́cula em repouso no foguete que emite luz uniformemente em
todas as direções. Considere a luz que é emitida no hemisfério frontal do referencial
do foguete. No referencial do laboratório essa luz é emitida em um cone em torno
do eixo x, qual o ângulo de abertura desse cone?
B
7
6
5
ct (metros)
C
4
3
A
2
1
0
1
2
3
4
5
6
7
x (metros)
6. paradoxo da vara e do celeiro. Considere uma vara de 20 m transportada por
um corredor (super rápido) na direção de seu comprimento. Essa vara aparenta
ter apenas 10 m no referencial do laboratório, portanto em algum instante a vara
caberia inteiramente em um celeiro de 10 m de comprimento. No entanto, observe
a mesma situação do ponto de vista do corredor que transporta a vara. Para ele
o celeiro é que aparenta ter 5 m enquanto a vara tem 20 m. Como é possı́vel uma
vara de 20 m caber em um celeiro de 5 m? Explique o paradoxo.
7. paradoxo dos gêmeos. No seu 21o aniversário, Pedro deixa seu irmão gêmeo
Paulo na Terra e embarca em uma viagem espacial durante 7 anos, medidos pelo
seu relógio, a uma velocidade de 0.96c na direção x. Em seguida Pedro inverte sua
velocidade, e após mais 7 anos medidos pelo seu relógio, retorna à Terra. (a) Qual a
idade de Pedro no momento de sua volta? (b) Faça um diagrama x−t, no referencial
da Terra, mostrando o deslocamento de Pedro (idealize a Terra como um referencial
inercial). (c) Qual a idade de Paulo no momento que Pedro retorna à Terra?
8. foguete relativı́stico. Que limites a teoria da relatividade impõe na performance
e velocidade de um foguete? Idealize o mecanismo propulsor do foguete como correspondendo à ejeção de uma série de bolinhas idênticas - cada uma de massa m uma após a outra. Imagine que a velocidade para trás de cada bolinha que sai do
foguete, em relação ao próprio foguete, é βex = tanh θex . (a) Analisando a emissão
de uma bolinha no referencial do foguete, escreva as equações de conservação de
momento e energia. Não esqueça esqueça a massa inicial do foguete, M1 , mas como
a emissão da bolinha é uma colisão inelástica ao contrário, não assuma que a massa
de repouso é conservada. Elimine m das equações e obtenha
M1 − M2
dM
dθ = βex
= −βex
,
M2
M
onde dθ é o aumento no parâmetro de velocidade do foguete (no referencial onde
o foguete está inicialmente em repouso) e M2 − M1 = dM é a alteração na massa
de repouso do foguete. Em relação ao laboratório, o parâmetro de velocidade do
foguete passa de θ para θ + dθ, use isso para obter o parâmetro de velocidade final
do foguete (em relação ao laboratório) [Resp: θf = βex ln(Mi /Mf )]. (b) Mostre que
para velocidades pequenas (foguete não relativı́stico) a expressão da velocidade final
do foguete fica vf = vex ln(Mi /Mf ). No limite βex → 1 o foguete está emitindo luz
para avançar, nesse caso o fator limitante para se obter um θf tão grande quanto se
queira é Mf , que no caso de fontes luminosas usuais seria a massa da fonte de luz.
(c) Você conhece alguma fonte luminosa que, após emitir luz perde sua massa? (veja
a resposta no último problema dessa lista) (d) Calcule Mi para um foguete que usa
combustı́vel quı́mico (vex ∼ 4000m/s é um valor tı́pico) atingir γ = 10. Suponha
que ao atingir essa velocidade final sobrou uma massa de repouso de Mf = 1000 kg.
9. efeito Doppler relativı́stico. Um fóton se move no plano xy do laboratório em
uma direção que faz um ângulo φ com o eixo x, de tal modo que as componentes
de seu momentum são px = p cos φ, py = p sin φ, pz = 0. (a) Use a TL para energia
e momento e a relação E = pc para fótons para mostrar que em um referencial S ′ ,
que se move na direção x em relação ao laboratório, o fóton tem energia
E ′ = Eγ(1 − β cos φ)
(onde γ e β se referem à velocidade de S ′ ) e se move em uma direção que faz um
ângulo φ′ com o eixo x′ dado por
cos φ′ =
cos φ − β
.
1 − β cos φ
(b) Obtenha as equações inversas, que exprimem E e φ em termos de E ′ e φ′ e
compare com o resultado do problema do efeito farol. (c) se a frequência da luz no
laboratório é ν, qual é a frequência ν ′ em S ′ ? Essa diferença de frequência devida
ao movimento relativo dos observadores se chama efeito Doppler relativı́stico. (d)
Essas equações permitem determinar em qual referencial a *fonte* dos fótons está
em repouso?
10. decaimento do méson π 0 . Um méson π 0 se movendo na direção x com uma
energia cinética no referencial do laboratório igual a sua energia de repouso decai
em dois fótons. No referencial no qual o méson está parado esses fótons são emitidos
nas direções positiva e negativa do eixo y ′ . Encontre as energias dos dois fótons nesse
referencial (em unidades da energia de repouso do méson) e as energias e direções
de propagação dos fótons no referencial do laboratório.
11. colisão perfeitamente inelástica. Uma partı́cula livre de massa m1 inicialmente
em repouso é atingida por uma segunda partı́cula de energia cinética T e massa
diferente m2 . Após a colisão as duas partı́culas ficam grudadas. Qual é a massa de
repouso m da partı́cula combinada após a colisão? Sob que condições a massa m se
reduz ao resultado Newtoniano m = m1 + m2 ? O que essas condições dizem sobre
o valor máximo de T para a análise Newtoniana estar aproximadamente correta?
12. dificuldades com vôos interestrelares. Seja um motor ideal de foguete que
usa matéria e antimatéria para produzir fótons controladamente, dirigindo todos
os fótons emitidos para trás do foguete. Esse motor ideal move um foguete cuja
estrutura tem massa desprezı́vel. Esse foguete foi projetado para acelerar uma
carga a uma velocidade correspondente a γ = 10, desacelerar para visitar os planetas
de uma estrela vizinha (suposta em resouso em relação ao sistema solar) e então
retornar à Terra com a mesma velocidade. A carga, incluindo passageiros, a ser
carregada na viagem de ida e volta é de 100 toneladas. (a) Use o resultado do
problema do foguete relativı́stico com βex = 1 e conservação de energia para
encontrar a massa de combustı́vel (matéria + antimatéria) necessária apenas para
a viagem de ida (i.e., a massa necessária para uma aceleração de γ = 0 a γ =
10); (b) Qual é a distância (em anos-luz) da estrela mais distante que pode ser
visitada no tempo de vida de um astronauta (assuma 100 anos)? Por simplicidade
ignore os tempos das acelerações/desacelerações e considere apenas os tempos em
que o foguete está em velocidade constante. (c) Aproximadamente quantos anos
terão passado na Terra durante essa viagem? (d) Admitindo que a densidade de
Hidrogênio no espaço sideral é de 1 átomo por cm3 , qual é a energia cinética desses
átomos (em eV) no referencial do foguete quando esse está com γ = 10? (e) Qual o
número de átomos incidente por metro quadrado e por segundo na parte frontal do
foguete? Em alguns aceleradores de partı́culas aproximadamente 1012 prótons (de
energia 10 GeV) incidem por segundo por metro quadrado de área. Para proteger
os trabalhadores nesses aceleradores se colocam barreiras de 3-4 metros de concreto
na frente do feixe! Pense na proteção que deveria existir na frente do foguete que
viajasse com γ = 10!!!!