(a) F = −5yi + 4xj + zk e C

Lista de Exercícios de Cálculo 3
Décima Segunda Semana
(Teorema de Stokes)
Parte A
1. Calcule a integral
¸
C
F · dr (i) diretamente e (ii) aplicando o teorema de Stokes.
(a) F = −5yi + 4xj + zk e C : o círculo x2 + y 2 = 16, z = 4 no sentido anti-horário quando visto de
cima.
(b) F = x3 i + 2xj + z 2 k e C : A elipse 4x2 + y 2 = 4 no plano xy, no sentido anti-horário quando visto
de cima.
(c) F = xyi + 2zj + 3yk e C : a curva de interseção entre o plano x + z = 5, e o cilindro x2 + y 2 = 9,
orientada no sentido anti-horário quando visto de cima.
(d) F = y 2 i + x2 j + (x + z)k e C : o triângulo de vértices (0, 0, 0), (0, 1, 0) e (1, 0, 1), no sentido
anti-horário quando visto de cima.
(e) F = (y 2 + z 2 )i + (x2 + z 2 )j + (x2 + y 2 )k e C : A fronteira do triângulo cortado a partir do plano
x + y + z = 1 pelo primeiro octante, no sentido anti-horário quando visto de cima.
(f) F = x2 y 3 i + j + zk e C : A interseção entre o cilindro x2 + y 2 = 4 e o hemisfério x2 + y 2 + z 2 = 16,
z ≥ 0 no sentido anti-horário quando visto de cima.
(g) F = 2y cos zi + ex sin zj + xey k e C : é o hemisfério x2 + y 2 + z 2 = 9, z ≥ 0 no sentido anti-horário
quando visto de cima.
2. Seja C uma curva simples e fechada que está no plano x + y + z = 1. Mostre que a integral de linha
˛
zdx − 2xdy + 3ydz
C
depende apenas da área da região delimitada pela curva C e não pelo formato de C ou sua localização
no plano.
3. Mostre as seguintes relações
(a) ∇ × (F × G) = F∇ · G − G∇ · F + (G · ∇) F − (F · ∇) G
˛
¨
(b)
f ∇g · dr =
(∇f × ∇g) · dS
C
S
˛
(c)
f ∇f · dr = 0
˛C
(d)
(f ∇g + g∇f ) · dr = 0
C
Parte B
1. Se E(t, x, y, z) e B(t, x, y, z) representam os campos elétrico e magnético no ponto (x, y, z) no tempo t,
∂B
um princípio básico da teoria eletromagnética diz que ∇ × E = −
. Use o teorema de Stokes para
∂t
mostrar a lei de Faraday
¨
˛
∂
E · dr = −
B · ndσ
∂t S
C
1
em que C representa um fio em loop no qual o fluxo de corrente se faz no sentido anti-horário com
respeito ao vetor normal da superfície n, dando origem a vontagem
˛
E · dr
C
sobre C. A integral de superfície à direita é chamado de fluxo magnético, e S é qualquer superfície
orientada com fronteira C.
2
Resumo do Conteúdo
1. Teorema de Stokes
Seja S uma superfície orientada e suave por partes que é limitada por uma curva C simples, fechada, suave por
partes com orientação positiva. Seja F(x, y, z) = P i + Qj + Rk um campo vetorial cujas componentes possuem
derivadas parciais contínuas em uma região aberta em R3 que contém S. Então
¨
˛
(∇ × F) · ndS =
F · dr,
S
C
em que
∇×F=
∂R ∂Q
−
∂y
∂z
i+
é o rotacional do campo vetorial F.
3
∂P
∂R
−
∂z
∂x
j+
∂Q ∂P
−
∂x
∂y
k
Gabarito
Parte A
1. Respostas
(a) 144π
(b) 4π
(c) 9π
(d) 0
(e) 0
(f) −8π
(g) 9π
4