zero matemáticos

Olá, Felipe e Jeff.
Felipe: Imaginado que uma partícula seja teletransportada para perto de uma
determinada estrela. Imaginando que a partícula "apareça" com
velocidade
0, com relação à estrela, pela gravidade ela irá começar a se deslocar
em
direção a estrela ("caindo").
Victor: Não importa como a partícula chegou lá. Se é deixada cair livremente, somente
sob a ação gravitacional do planeta, então ela irá descrever uma geodésica, que é o
caminho mais reto possível para aquele espaçotempo. Bem, mas isto você já sabe.
Felipe: Com o conceito de força, fica fácil entender o pq deste deslocamento
(mesmo que seja uma força "fantasma", de campo). Agora, o que faz com
que
a curvatura do espaço altere o estado de inércia da partícula?
Victor: Sim, o conceito de força explica satisfatoriamente, dentro dos limites da física
Newtoniana. Mas a razão mesma do comportamento dos corpos em queda livre não
pode ser explicado pela TN. A gênese é outra. Um dos problemas no entendimento
dessas questões está centrado no entendimento dos referenciais usados nas descrições.
A seguir, tentarei uma luz rumo a uma melhor compreensão, de meu ponto de vista.
Tanto caindo livremente, como em órbita elíptica ou circular, o corpo não sente o
próprio peso. Ou seja, para um referencial ligado ao corpo(cómovel, no linguajar
inteligente dos físicos e matemáticos), a aceleração medida é zero. Este é um fato. Já
para outro observador, ligado à terra, externo, isto não é assim. Ele diz que o corpo em
queda livre está sob o efeito de uma aceleração. E aqui no mundinho de Newton nosso
de cada dia, mede que essa aceleração é diferente de zero. Isto se o corpo está caindo. É
o g, no caso. Então, para um, aceleração é zero; para outro. Mas, experimentalmente,
sabemos que é assim.
Igualmente, se o corpo está em órbita, em volta do planeta, também não sente o próprio
peso; a aceleração que sente é zero, conforme observado no referencial ligado a ele.
Para o observador terrestre, a conversa é outra: ele vê um movimento circular(ou
elíptico) e, portanto, conclui que o corpo está acelerado, e isto é trivial. Em ambos os
casos acima, a trajetória descrita é geodésica, e sua curvatura é o produz a aceleração
vista pelo observador externo.
É sempre um argumento usar a matemática para justificar proposições. A seguir, vai a
tentativa a que me propuz anteriormente, mas de maneira suave, sem dores.
Matematicamente, o que expressamos mais acima pode ser visto usando o conceito de
derivada covariante, que difere da derivada ordinária pela inclusão de um termo, um
monômio, que envolve: 1)um fator que mede o quanto um ponto no espaçotempo curvo
difere de outro, infinitamente vizinho; e, 2) um fator que representa uma componente
qualquer(representada por um índice superior) do vetor tangente à geodésica(4velocidade da partícula). Agora, o que é e para que serve uma derivada covariante?
Há diversos tipos de derivadas. Um derivada ordinária, digamos, a taxa de variação de
um comprimento em relação ao tempo, por exemplo, ou velocidade(rapidez de mudança
de posição), dá, quando aplicada a uma função constante, o valor esperado nulo. Claro,
se a função é constante, ela não tem que se meter a sair variando por ai!.. Mas isto no
espaço plano, Euclideano. Se o espaço considerado não for plano, for curvo, a taxa de
variação ou sua derivada num ponto, em relação a um sistema de coordenadas adaptado
ao espaço curvo em consideração, não será mais zero! (O sistema de referência tem que
ser em coordenadas curvilíneas, obrigatoriamente, pois um espaço curvo não aceita
linhas retas, como as usados nos sistemas de referência retilíneos). O valor da derivada
da função, nesse espaço curvo, varia não somente devido à curvatura intrínseca do
espaço bem como ao próprio sistema curvilíneo usado. Então para manter o status de
função constante, cuja taxa de variação, em qualquer sistema de referência, tem que ser
zero, surgiu o fortuito conceito de derivada covariante. E esta derivada covariante
realmente obriga a função constante a se comportar como tal, qualquer que seja o
espaço. A expressão desse operador tão vital é(para um vetor V expresso em
componentes contravariantes):
𝑉;𝑘𝑖
=
∂V i
∂x k
+ Гi𝑚k V 𝑚
cujo termos têm o seguinte significado:
1) o ponto e a vírgula é uma convenção para dizer que a derivação da componente V i é
em relação x k ;
2)
∂Vi
∂xk
3) Гi𝑚k
é a derivada ordinária, segundo os moldes Euclideanos;
é o tal símbolo de conexão entre dois pontos vizinhos, num espaço curvos, um
deles em ( x1 ) e outro em (x1 + δx1 ). Se o espaço é plano,
este fator Гi𝒎k é nulo, e sobrevive apenas o primeiro termo da equação acima, que é a
velha e boa derivada ordinária, de nossos tempos de graduação. O cálculo de Гi𝑚k é
bastante laborioso e complicado. O m, inferior e superior, nos dois termos produto, é
1
um índice de soma e significa que cada componente de 𝑉;𝑘𝑖 , digamos 𝑉;𝑘
, é igual à
derivada ordinária dessa componente 1 mais uma soma de tantos monômios quanto seja
o intervalo de variação dos índices usados: 1,2,3,4 no 4-espaço tempo ou 1,2,3 no 3espaço Euclideano, onde o índice assume todos os valores desse conjunto. Para o caso
mais simples, o cálculo é laborioso e abusado. Mas dá satisfação, pois a familiaridade
com essas coisas só se dá debaixo de algumas gotas de suor e “munheca” exausta. Eu
sei.
Vamos agora à aplicação daquilo lá ao caso enfocado por você. Se V i é a componente i
𝑖
da velocidade do sistema, 𝑉;𝑘
é a taxa de variação dessa velocidade covariante(que é
uma aceleração), para o observador fixo ao corpo em queda livre. Ora, mas este
observador em queda livre sente-se em repouso, levinho, levinho, num sistema
𝑖
perfeitamente inercial. Portanto, 𝑉;𝑘
=0 para ele. Para o observador externo,
∂Vi
∂xk
é
diferente de zero, e sua medida dá como resultado o negativo de Гimk V m (em RG esse
termo, Гimk , é associado ao potencial gravitacional, 1 para cada conjunto de valores dos
índices i, m, k). É o fato de 𝑉;𝑘𝑖 = 0 que garante que os tripulantes de um satélite
espacial flutuem em seu interior.
Como as almas penadas que te fizeram querer ouvir um certa música, naquela
experiência que relatou...(Brincadeira)
Outro aspecto ainda não discutido: somente num espaço plano, tipo de Minkowski, é
que as geodésicas são linhas retas, retíssimas, e, portanto, ninguém, nenhum observador,
observa isso de aceleração(taxa de variação da derivada covariante).
E a equação de movimento, propriamente dito, como seria? No espaço plano
Euclideano, a equação que dá conta do recado é a de Newton, F=dp/dt=ma. A equação
equivalente, para outro tipo de espaço, é a chamada equação das geodésicas. Mas isso é
outro assunto. Para outro post, se houver interesse e questionamentos.
Jeff: Eu também tenho essa dúvida... Eu sei que a gravidade como curvatura do
espaço-tempo explica a sua atuação igual em objetos de qualquer natureza e
massa, e entendo o princípio da equivalência (que é equivalente a um
sistema acelerado porque, justamente, acelera). Mas porque a curvatura do
espaço-tempo acelera os corpos e não apenas os desvia os mantendo em MRU
na geodésica?
Victor: O corpo segue, obrigatoriamente, a curvatura do espaço. Ele não tem escolha, a
não ser a de seguir a curva mais reta possível. Se há curvatura presente, há variação do
vetor velocidade, que pode até ter o módulo constante, como é o caso que estamos
discutindo, mas variar outro parâmetro, como direção e sentido. Daí a razão de não
manter um MRU na geodésica.
A exposição acima, apesar de bastante simplificada, deu para dirimir alguma dúvida?
Se não, pode postar novamente. Se quiser, em pvt. Pois, talvez, muitos do grupo não
estejam mais
interessados nesses assuntos!.
Jeff: Tem alguma coisa a ver com curvatura do tempo? Talvez eu não
esteja entendendo porque tô pensando só em curvatura espacial, sei lá...
Victor: Estamos falando de espaçotempo. Este tem 4 coordenadas, em pé de igualdade.
Então diria que a curvatura envolve todas elas, inclusive a coordenada temporal, que
está ligada, principalmente às energias envolvidas.
(Se achar este post pedante, por envolver expressões matemáticas, “matemágicas”,
como diria o Alberto, então é porque não viu o primeiro que já tinha escrito, e
simplifiquei para este).
Sds,