1 conceitos iniciais

Notas de Aula de Probabilidade A
I- CONCEITOS INICIAIS.
1.1- INTRODUÇÃO.
PROBABILIDADE
AMOSTRA
POPULAÇÃO
ESTATÍSTICA
1.2- CONJUNTOS.
1.2.1- DEFINIÇÃO.
Conjunto é uma coleção de objetos chamados de elementos do conjunto. Em
geral denota-se com letras maiúsculas (A, B, ...).
Ex:
1. Conjunto dos números das faces de um dado:
A = {1,2,3,4,5,6}
2. Conjunto dos Números Naturais
N = {0,1,2,3,...}
3. Z+ = {x ∈ R x > 0}
Relação de Pertinência:
A relação existente entre elemento e conjunto é a de pertinência.
Ex:
1) 3 ∈ N
2) -1 ∈ Z
3)
2 ∉ N
4)
2 ∈ R
1.2.2- TIPOS.
Conjunto Universo (U): conjunto de todos os elementos que estejam sendo
estudados.
Conjunto Vazio ou Nulo ( ∅ ) : conjunto que não contém nenhum elemento.
Subconjunto : conjunto que é parte de um outro conjunto, sendo que todo
elemento do primeiro conjunto pertence ao segundo conjunto. Assim, se
todo elemento do conjunto B for também elemento do conjunto A,
dizemos que B é subconjunto de A. Leva a uma relação de inclusão.
Relação de Inclusão:
B ⊂ A (B está contido em A) ou A ⊃ B (A contém B).
Ex:
1) Seja B = { 1,2,3,4,5,6 } e A = {2,4,6), então A está contido em B ou B
contém A e representa-se por: A ⊂ B ou B ⊃ A .
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1.2.3- DIAGRAMA DE VENN.
U
A
B
1.2.4- OPERAÇÕES COM CONJUNTO.
União: A ∪ B
Representa o conjunto dos elementos que pertencem ao conjunto A ou
pertencem ao conjunto B ou a ambos os conjuntos.
A∪B={x / x∈A ou x∈B}
Interseção: A ∩ B ou AB
Representa o conjunto dos elementos que pertencem ao conjunto A e B ao
mesmo tempo.
A∩B={x / x∈A e x∈B}
Conjuntos Disjuntos:
Os conjuntos A e B são chamados de disjuntos quando a sua interseção é um
conjunto vazio ou seja A ∩ B = ∅.
Diferença: A - B
Representa o conjunto dos elemento que pertencem ao conjunto A, mas não
pertencem a B.
Complemento:
Se B ⊂ A, então A - B é chamado de complemento de B em relação a A,
c
representado por B A e se A é conjunto Universo , então A - B é chamado de
c
Complemento de A e representado por B′′ ou B ou B .
Conjunto das Partes de um Conjunto(P):
Seja A um conjunto. Chamamos partes de A (P(A)) ao conjunto formado
por todos os subconjuntos que possam ser formados pelos elementos de A, onde incluise também o conjunto vazio.
Ex:
1. Se A = {1,2,3}, temos que:
P(A) = {∅, {1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3}, A}
E o número de elementos do conjunto das partes de A é dado por 2n.
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Partição de um conjunto X:
Uma partição de um conjunto X é uma subdivisão de X em subconjuntos não
vazios, que são disjuntos e cuja união é X, isto é, uma classe de subconjuntos não vazios
de X, tal que cada elemento pertence a um único subconjunto.
Ex:
1. Seja X={1,2,3,...,9} então:
(I) [{1,3,5}, {2,6}, {4,8,9}]
(II) [{1,3,5}, {2,4,6,8}, {5,7,9}]
(III) [{1,3,5}, {2,4,6,8}, {7,9}]
Então:
- I não é partição de X, pois 7 pertence a X e não está em nenhuma das partes.
- II não é partição de X, pois 5 pertence a X e pertence a dois subconjuntos e
portanto eles não são disjuntos.
- III é uma partição de X.
Álgebra de Subconjuntos(A
A):
Álgebra de subconjuntos, A, do conjunto não-vazio U é uma classe de
subconjuntos de U satisfazendo os axiomas:
A1) U ∈ A
A2) Se A ∈ A ⇒ Ac ∈ A
A3) Se A ∈ A e B ∈ A ⇒ A∪B ∈ A
Dessa forma, valem ainda para a álgebra de conjuntos as seguintes propriedades:
A4) ∅ ∈ A
n
n
i =1
i =1
A5) ∀n, ∀A1, A2,..., An ∈ A tem-se U A i ∈ A e I A i ∈ A
1.2.5- TEOREMAS.
Teorema 1: Lei Comutativa.
A∪B=B∪A e
A∩B=B∩A
Teorema 2: Lei Associativa.
A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C = (A ∪ B ∪ C) e
A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C = (A ∩ B ∩ C)
Teorema 3: Lei Distributiva.
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪C)
e
Teorema 4:
(Ac)c = A
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Teorema 5:
A∩U=
A∪U=
A∩∅=
A∪∅=
Teorema 6:
A ∩ A’ =
A ∪ A’ =
A∩A=
A∪A=
Teorema 7 : Leis de De Morgan
(A ∪ B)’ = A’∩ B’ e
(A ∩ B)’ = A’∪ B’
Teorema 8:
A - B = A ∩ B’
Teorema 9:
A = (A ∩ B) ∪ (A ∩ B’)
Teorema 10:
(A ∪ B) = A ∪ (Ac ∩ B)
Teorema 11:
Se A ⊂ B, então A ∩ B = A e A ∪ B = B
1.3- Exercícios.
1.3.1- Seja um Conjunto Universo dado por U = {0,1,2,3,4,5} e seja os seguintes
subconjuntos de U:
X={1, 2, 4}
Y={0, 3, 4, 5}
Z={0, 5}
Encontre :
a) X ∩ Y
b) X ∪ Y
c) ( X ∪ Y ) ∩ Z
d) Y' ∪ Z'
e) X - Y
f) ( Y ∩ Z )'
g) ( X ∩ Y ) ∪ ( Y ∩ Z )
h) ( X' ∪ Y' )' ∩ ( Y' ∪ Z' )'
1.3.2- Suponha que o U={x | 0 ≤ x ≤ 2 }. Sejam os conjuntos A e B dado por:
A={x | 1 ≤ x ≤ 1 }
e
B={x | 1 ≤ x ≤ 3 }.
2
4
4
Determine os conjuntos:
a) A ∪ B
b) A ∪ B
c) A ∩ B
d) A ∩ B
e) A ∪ B
1.3.3- Dado o conjunto A = {a,b,c,d}, indique o conjunto das partes de A; e mostre que
o número de elementos é sempre 2n , onde n é o número de elementos de A.
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1.3.4- Sejam os conjuntos A={x ∈ ℜ  x é impar} e B={ x ∈ ℜ  x2-8x+15=0}, mostre
que B⊃A.
1.3.5- Dado o conjunto U= {1,2,3,4,5,6,7,8,9} e os subconjuntos:
A = {1,2,3,4}
B = {3,5,7,9}
C={5,6,7}
Verifique quais são os conjuntos disjuntos.
1.3.6- Seja A, B, e C eventos associados a um experimento aleatório. Exprima em
notações de conjuntos as seguintes afirmações verbais:
a) Ao menos um dos eventos ocorre.
b) Exatamente um dos eventos ocorre.
c) Exatamente dois eventos ocorrem.
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